债券价格与债券收益率
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持有期收益率（horizon rate of return,简称 HRR）是假设投资者计划持有债券一段期间获 得的投资回报率 计算公式： 特点：难点在于如何计算未来的期末的总回报 FH，这需要对利率进行预测
收益率 持有期收益率----举例
某投资者按照250元的价格购买了这样一种债券，该债 券承诺今后三年内每年可以支付100元，如果进一步假 定三年内再投资利率为5%，那么3年后投资者的总回 报为
HRR H B(i)
B0
(1 i) 1
收益率 持有期收益率---对未来利率的设定
某投资者以115.44元的价格购买了一张票面利率为7%， 剩余期限为10年的债券，此时市场利率为5%。假设投 资者刚买完债券后，市场利率上涨到6%，其债券价格 下跌到107.36元，如果今后5年内利率一直保持6%这 一水平不变，问投资者持有该债券5年期间的收益率为 多少？
利率
远期利率
远期利率代表了未来两个时点之间的利率水平。 用f(0,t,T)代表一个议定日为当前（0时刻）、 资金借出日为t,偿还日为T的远期利率水平。
议定日
贷款日
偿还日
f(0,t,T)
0
t
T
利率
即期利率和远期利率的关系
√如果等号左边大于等号右边：借一笔期限为T的长期资 金，立即投资t期，同时签订一个T-t的远期贷款合同 。 √如果等号左边小于等号右边：借一笔期限为t的短期资 金并立即按照T期贷出，同时签订一个远期借款协议（期 限为T-t）,
债券价格表达式 利率固定的付息债券
附息债券现金流的特点是中途有票息支付，到 期归还本金和最后一次票息
C1 C2 C3 C4 CT-2 CT-1 本金+最后的 票息=CT
当前价格 附息债券的现金流特点。与零息债券不同的是中途有多笔现金流发生。
债券价格表达式 付息债券价格表达式
BT c c c B(i) 2 T 1 i (1 i) (1 i) (1 i) T
零息债券
零息债券是到期一次性还本付息的债券，其特 征是仅发生两笔现金流
到期偿付
当前价格 零息债券的现金流特点。箭头向下表示支出现金流，箭头向 上表示收到现金流
债券价格表达式
零息债券的价格表达式
B0 BT [1 i(0, T )]
T
例如：某零息债券剩余期限为两年，如果 当前两年期的即期利率是4%，则 B0=100[1+4%]-2=92.46。
收益率
利率 即期利率
即期利率就是人们根据零息债券的价格计算出 来的利率水平 。 √如果市场上期满日为三个月的零息债券的价格是99元
（面值100元），在意味着（年度化的）即期利率=[ （100-99）/99]/（1/4）=4.04%
√设想某2年期零息债券当前的价格79.72，则79.72×
（1+i）2=100,得到i=12%，意味着2年期市场的即期利 率是（平均每年）12%。
[1 5%] 3 [1 5%] 3 f (0,2,3) 3 2 1 1 7.03% 2 2 [1 4%] [1 4%]
利率
利率与金额回报
把“1+利率”看作是某个投资期实现的金额回报。T期即 期金额回报就是组成T期的两个远期金额回报的几何加权 平均数，权重是每段时间占总时段的比重。
收益率 当期收益率
当期收益率（current yield,简称CY）是票息与 债券购买价格之比 c 计算公式 CY B0 特点：
直观简单，便于计算，强调了购买价格和票息的高 低对收益率的影响 它没有考虑卖出价格与时间的因素，更没有考虑再 投资因素
收益率
例子：
21国债（10）是财政部于2001年9月25日发行的10年 期国债，到期日为2011年9月25日，票面额为100元， 票面利率为2.95%，计息方式为固定利率，每年9月25 日付息一次。某投资者于2006年12月25日按照市场报 价99.59元购买了这一债券，问其当期收益率是多少？
债券价格与时间、利率的关系
95 000896国债交易价格 1年期定期存款利率 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
96国债8净价平均价格与1年期定期存款利率的走势
1%
收益率
1
2 3 4
当期收益率
到期收益率 持有期收益率
总收益率
收益率 影响收益率高低的4个因素
债券的买卖价格（资本利得因素） 票息的高低（票息因素） 票息以什么样的利率再投资（再投资因素） 时间因素
——时间和利率同时变动
债券价格与时间和利率关系示意图 140 120 100
P (yuan)
80 60 40 20 0 20 10 t (year) 0 20 15 10 i (%) 0
5
债券价格与时间、利率的关系
96国债8 经历了中国从1996年到2003年之间利率变动 的周期。以该国债为例,分析利率波动和时间效应对其 价格的影响。 96国债8的基本信息 挂牌代码 000896 挂牌名称 96国债⑻ 国债全称 九六年记帐式(六期) 国债 实际发行 200 量 发行价格 100 发行方式 记帐式 期限 到期日 票面利率 7 2003-11-01 8.56%
债券价格与时间利率的关系 债券价格的封闭形式
B(i) c / BT BT i
1 1 1 T T ( 1 i ) ( 1 i )
1.债券相对价格始终在[（c/ BT）/i]和1之间波动 2.息票率和市场利率之间的关系决定债券相对价格 3.随着到期日的临近（令T趋向于零），等式右边趋向 于1，即债券价格趋近于面值
2.95 102.95 102.77 1 YTM (1 YTM ) 2 解得YTM=1.08%
收益率 到期收益率的实现条件
债券现金流能够如约实现
投资者必须持有债券到期 再投资收益率等于到期收益率 所有期限的利率水平都相同且在债券持有期间保持不 变
收益率 持有期收益率
( t j t j 1 ) / t n
1 i (0, t n ) [1 f (0, t j 1 , t j )]
j 1
n
tn期限内的即期金额回报是该区间内各个小的时间 段的远期金额回报的几何平均数。
债券价格表达式 一般意义
债券的价格，从理论上讲，就是债券带来的现 金流的贴现之和
3
t 1
100 (1 5%)
3 t
315 .25
HRR=（315.25/250）1/3-1=8.037%。
收益率 持有期收益率---对未来利率的设定
假如在购买债券后，利率由初始水平（设为i0）变成了 新的水平（设为i）并在持有期间一直保持这个水平， 则债券总回报可以由B（i）（1+i）H=FH得出，这里 B(i)表示新的利率下对应的债券的价格。
[1 i(0, t )]t [1 f (0, t, T )]T t [1 i(0, T )]T
利率
远期利率的表达式
[1 i (0, T )] f (0, t , T ) T t 1 t [1 i (0, t )]
T
利率
如何计算远期利率
已知3年期即期利率为5%，两年期即期利率为4%，则第 2年到第3年之间的远期利率为
(T t ) / T
1 i(0, T ) [1 i(0, t )] [1 f (0, t , T )]
t /T
利率
利率与金额回报
把时间段（0，T）划分成n个小区间，分别由t1，t2，t3， …，tn来代表这些小的时间区间上的时间点，则市场套利 机制使得下面的式子成立
[1 i(0, t1 )]t1 [1 f (0, t1 , t 2 )]t2 t1 [1 f (0, t n1 , t n )]tn tn1 [1 i(0, t n )]tn
国债付息方 按年付息 式 1996-11-01 计息日期 1996-11-21 上市日期
100
105
110
115
120
125
130
135
90
1997-6-27 1997-8-20 1997-10-14 1997-12-4 1998-2-10 1998-4-1 1998-5-22 1998-7-13 1998-9-1 1998-10-23 1998-12-15 1999-2-4 1999-4-14 1999-6-4 1999-7-26 1999-9-14 1999-11-11 2000-1-5 2000-3-9 2000-4-28 2000-6-26 2000-8-15 2000-10-11 2000-12-1 2001-2-6 2001-3-28 2001-5-24 2001-7-13 2001-9-3 2001-10-30 2001-12-20 2002-2-27 2002-4-18 2002-6-14 2002-8-6 2002-9-25 2002-11-25 2003-1-15 2003-3-17 2003-5-15 2003-7-4 2003-8-25 2003-10-21
B0 ct [1 i(0, t )]
t 1
T
t
债券价格表达式
7 7 7 7 7 (1 4.5%) (1 4.75%)2 (1 4.95%)3 (1 5.1%)4 (1 5.2%)5 7 7 7 7 107 111.83 6 7 8 9 10 (1 5.3%) (1 5.4%) (1 5.45%) (1 5.5%) (1 4.5%) B0
107.36 HRR (1 6%) 1 4.47% 115.44
1/ 5
收益率 总收益率
总收益率（total rate of return,简称TR）是根据 一定的再投资收益和债券出售价格的计算出来 的债券投资回报率 计算公式： 特点：
TR中的“FH”与HRR中的“FH”不尽相同。TR的 “FH”是指假设了再投资收益率与“卖出价格”后的 总回报，而HRR中的“FH”是指假设了再投资收益率 与持有期末“债券估值”后的总回报，假设的“卖 出价格”并不一定等于假设的“债券估值”
由于距离上一付息日为3 个月，所以累计利息为
2.95/4=0.7375，支付价格=99.59+0.7375=100.3275。 所以，在投资者购买债券的当天持有期收益率为
c 2.95 CY 2.94% B0 100.3275
收益率 到期收益率
到期收益率（ yield to maturity,简称YTM）是 这样一种贴现率，经它贴现后的债券现金流加 总后，正好等于债券的购买价格 即通过反解 得到 特点：
收益率 总收益Fra Baidu bibliotek(例子)
按照82.84的价格购买一张20年期、票息率为8%的债券 （每年支付2次票息），持有3年后卖掉债券。假设未来3 年内再投资利率为6%，3年后出售债券时的到期收益率为 7%，问总收益率是多少？ 解答 总回报的构成—— √息票以及息票带来的利息 √3年后债券的卖价
考虑到了票息因素、再投资因素和时间因素，在一 定程度上也考虑了资本利得因素
收益率 到期收益率(例子)
仍以 21 国债（ 10 ）为例。某投资者于 2009 年 9 月 25 日 按照报价 102.77 元购买债券时，其到期收益率为多少？ 由于9月25日当天是付息日，没有累积利息，所以这个 价格也就是全价。债券剩余期限为2年，通过解下面的 方程
债券价格与时间、利率的关系 债券价格与时间、利率关系示意图
——仅时间变动
债券价格
溢价债券
100 平价债券 折价债券
0
时间 T
债券价格与时间、利率的关系 债券价格与时间、利率关系示意图
——仅利率变动
债券价格
到期债券
短期债券
长期债券
0
利率
债券价格与时间、利率的关系 债券价格与时间、利率关系示意图
第三讲:债券价格与债券收益率
固定收益证券
李磊宁
中央财经大学金融工程系
主讲教师：李磊宁
单位：中央财经大学金融工程系 主讲课程：《金融工程学》/《固定收益证券》 联系方式： √电子邮件：lileining3631@126.com
内容提要
1
2 3 4
利率
债券价格表达式 债券价格与时间利率的关系
收益率 持有期收益率----举例
某投资者按照250元的价格购买了这样一种债券，该债 券承诺今后三年内每年可以支付100元，如果进一步假 定三年内再投资利率为5%，那么3年后投资者的总回 报为
HRR H B(i)
B0
(1 i) 1
收益率 持有期收益率---对未来利率的设定
某投资者以115.44元的价格购买了一张票面利率为7%， 剩余期限为10年的债券，此时市场利率为5%。假设投 资者刚买完债券后，市场利率上涨到6%，其债券价格 下跌到107.36元，如果今后5年内利率一直保持6%这 一水平不变，问投资者持有该债券5年期间的收益率为 多少？
利率
远期利率
远期利率代表了未来两个时点之间的利率水平。 用f(0,t,T)代表一个议定日为当前（0时刻）、 资金借出日为t,偿还日为T的远期利率水平。
议定日
贷款日
偿还日
f(0,t,T)
0
t
T
利率
即期利率和远期利率的关系
√如果等号左边大于等号右边：借一笔期限为T的长期资 金，立即投资t期，同时签订一个T-t的远期贷款合同 。 √如果等号左边小于等号右边：借一笔期限为t的短期资 金并立即按照T期贷出，同时签订一个远期借款协议（期 限为T-t）,
债券价格表达式 利率固定的付息债券
附息债券现金流的特点是中途有票息支付，到 期归还本金和最后一次票息
C1 C2 C3 C4 CT-2 CT-1 本金+最后的 票息=CT
当前价格 附息债券的现金流特点。与零息债券不同的是中途有多笔现金流发生。
债券价格表达式 付息债券价格表达式
BT c c c B(i) 2 T 1 i (1 i) (1 i) (1 i) T
零息债券
零息债券是到期一次性还本付息的债券，其特 征是仅发生两笔现金流
到期偿付
当前价格 零息债券的现金流特点。箭头向下表示支出现金流，箭头向 上表示收到现金流
债券价格表达式
零息债券的价格表达式
B0 BT [1 i(0, T )]
T
例如：某零息债券剩余期限为两年，如果 当前两年期的即期利率是4%，则 B0=100[1+4%]-2=92.46。
收益率
利率 即期利率
即期利率就是人们根据零息债券的价格计算出 来的利率水平 。 √如果市场上期满日为三个月的零息债券的价格是99元
（面值100元），在意味着（年度化的）即期利率=[ （100-99）/99]/（1/4）=4.04%
√设想某2年期零息债券当前的价格79.72，则79.72×
（1+i）2=100,得到i=12%，意味着2年期市场的即期利 率是（平均每年）12%。
[1 5%] 3 [1 5%] 3 f (0,2,3) 3 2 1 1 7.03% 2 2 [1 4%] [1 4%]
利率
利率与金额回报
把“1+利率”看作是某个投资期实现的金额回报。T期即 期金额回报就是组成T期的两个远期金额回报的几何加权 平均数，权重是每段时间占总时段的比重。
收益率 当期收益率
当期收益率（current yield,简称CY）是票息与 债券购买价格之比 c 计算公式 CY B0 特点：
直观简单，便于计算，强调了购买价格和票息的高 低对收益率的影响 它没有考虑卖出价格与时间的因素，更没有考虑再 投资因素
收益率
例子：
21国债（10）是财政部于2001年9月25日发行的10年 期国债，到期日为2011年9月25日，票面额为100元， 票面利率为2.95%，计息方式为固定利率，每年9月25 日付息一次。某投资者于2006年12月25日按照市场报 价99.59元购买了这一债券，问其当期收益率是多少？
债券价格与时间、利率的关系
95 000896国债交易价格 1年期定期存款利率 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
96国债8净价平均价格与1年期定期存款利率的走势
1%
收益率
1
2 3 4
当期收益率
到期收益率 持有期收益率
总收益率
收益率 影响收益率高低的4个因素
债券的买卖价格（资本利得因素） 票息的高低（票息因素） 票息以什么样的利率再投资（再投资因素） 时间因素
——时间和利率同时变动
债券价格与时间和利率关系示意图 140 120 100
P (yuan)
80 60 40 20 0 20 10 t (year) 0 20 15 10 i (%) 0
5
债券价格与时间、利率的关系
96国债8 经历了中国从1996年到2003年之间利率变动 的周期。以该国债为例,分析利率波动和时间效应对其 价格的影响。 96国债8的基本信息 挂牌代码 000896 挂牌名称 96国债⑻ 国债全称 九六年记帐式(六期) 国债 实际发行 200 量 发行价格 100 发行方式 记帐式 期限 到期日 票面利率 7 2003-11-01 8.56%
债券价格与时间利率的关系 债券价格的封闭形式
B(i) c / BT BT i
1 1 1 T T ( 1 i ) ( 1 i )
1.债券相对价格始终在[（c/ BT）/i]和1之间波动 2.息票率和市场利率之间的关系决定债券相对价格 3.随着到期日的临近（令T趋向于零），等式右边趋向 于1，即债券价格趋近于面值
2.95 102.95 102.77 1 YTM (1 YTM ) 2 解得YTM=1.08%
收益率 到期收益率的实现条件
债券现金流能够如约实现
投资者必须持有债券到期 再投资收益率等于到期收益率 所有期限的利率水平都相同且在债券持有期间保持不 变
收益率 持有期收益率
( t j t j 1 ) / t n
1 i (0, t n ) [1 f (0, t j 1 , t j )]
j 1
n
tn期限内的即期金额回报是该区间内各个小的时间 段的远期金额回报的几何平均数。
债券价格表达式 一般意义
债券的价格，从理论上讲，就是债券带来的现 金流的贴现之和
3
t 1
100 (1 5%)
3 t
315 .25
HRR=（315.25/250）1/3-1=8.037%。
收益率 持有期收益率---对未来利率的设定
假如在购买债券后，利率由初始水平（设为i0）变成了 新的水平（设为i）并在持有期间一直保持这个水平， 则债券总回报可以由B（i）（1+i）H=FH得出，这里 B(i)表示新的利率下对应的债券的价格。
[1 i(0, t )]t [1 f (0, t, T )]T t [1 i(0, T )]T
利率
远期利率的表达式
[1 i (0, T )] f (0, t , T ) T t 1 t [1 i (0, t )]
T
利率
如何计算远期利率
已知3年期即期利率为5%，两年期即期利率为4%，则第 2年到第3年之间的远期利率为
(T t ) / T
1 i(0, T ) [1 i(0, t )] [1 f (0, t , T )]
t /T
利率
利率与金额回报
把时间段（0，T）划分成n个小区间，分别由t1，t2，t3， …，tn来代表这些小的时间区间上的时间点，则市场套利 机制使得下面的式子成立
[1 i(0, t1 )]t1 [1 f (0, t1 , t 2 )]t2 t1 [1 f (0, t n1 , t n )]tn tn1 [1 i(0, t n )]tn
国债付息方 按年付息 式 1996-11-01 计息日期 1996-11-21 上市日期
100
105
110
115
120
125
130
135
90
1997-6-27 1997-8-20 1997-10-14 1997-12-4 1998-2-10 1998-4-1 1998-5-22 1998-7-13 1998-9-1 1998-10-23 1998-12-15 1999-2-4 1999-4-14 1999-6-4 1999-7-26 1999-9-14 1999-11-11 2000-1-5 2000-3-9 2000-4-28 2000-6-26 2000-8-15 2000-10-11 2000-12-1 2001-2-6 2001-3-28 2001-5-24 2001-7-13 2001-9-3 2001-10-30 2001-12-20 2002-2-27 2002-4-18 2002-6-14 2002-8-6 2002-9-25 2002-11-25 2003-1-15 2003-3-17 2003-5-15 2003-7-4 2003-8-25 2003-10-21
B0 ct [1 i(0, t )]
t 1
T
t
债券价格表达式
7 7 7 7 7 (1 4.5%) (1 4.75%)2 (1 4.95%)3 (1 5.1%)4 (1 5.2%)5 7 7 7 7 107 111.83 6 7 8 9 10 (1 5.3%) (1 5.4%) (1 5.45%) (1 5.5%) (1 4.5%) B0
107.36 HRR (1 6%) 1 4.47% 115.44
1/ 5
收益率 总收益率
总收益率（total rate of return,简称TR）是根据 一定的再投资收益和债券出售价格的计算出来 的债券投资回报率 计算公式： 特点：
TR中的“FH”与HRR中的“FH”不尽相同。TR的 “FH”是指假设了再投资收益率与“卖出价格”后的 总回报，而HRR中的“FH”是指假设了再投资收益率 与持有期末“债券估值”后的总回报，假设的“卖 出价格”并不一定等于假设的“债券估值”
由于距离上一付息日为3 个月，所以累计利息为
2.95/4=0.7375，支付价格=99.59+0.7375=100.3275。 所以，在投资者购买债券的当天持有期收益率为
c 2.95 CY 2.94% B0 100.3275
收益率 到期收益率
到期收益率（ yield to maturity,简称YTM）是 这样一种贴现率，经它贴现后的债券现金流加 总后，正好等于债券的购买价格 即通过反解 得到 特点：
收益率 总收益Fra Baidu bibliotek(例子)
按照82.84的价格购买一张20年期、票息率为8%的债券 （每年支付2次票息），持有3年后卖掉债券。假设未来3 年内再投资利率为6%，3年后出售债券时的到期收益率为 7%，问总收益率是多少？ 解答 总回报的构成—— √息票以及息票带来的利息 √3年后债券的卖价
考虑到了票息因素、再投资因素和时间因素，在一 定程度上也考虑了资本利得因素
收益率 到期收益率(例子)
仍以 21 国债（ 10 ）为例。某投资者于 2009 年 9 月 25 日 按照报价 102.77 元购买债券时，其到期收益率为多少？ 由于9月25日当天是付息日，没有累积利息，所以这个 价格也就是全价。债券剩余期限为2年，通过解下面的 方程
债券价格与时间、利率的关系 债券价格与时间、利率关系示意图
——仅时间变动
债券价格
溢价债券
100 平价债券 折价债券
0
时间 T
债券价格与时间、利率的关系 债券价格与时间、利率关系示意图
——仅利率变动
债券价格
到期债券
短期债券
长期债券
0
利率
债券价格与时间、利率的关系 债券价格与时间、利率关系示意图
第三讲:债券价格与债券收益率
固定收益证券
李磊宁
中央财经大学金融工程系
主讲教师：李磊宁
单位：中央财经大学金融工程系 主讲课程：《金融工程学》/《固定收益证券》 联系方式： √电子邮件：lileining3631@126.com
内容提要
1
2 3 4
利率
债券价格表达式 债券价格与时间利率的关系