初中数学角平分线的几何知识点
八年级角平分线知识点总结
八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。
在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。
因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。
一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。
在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。
2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。
(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。
(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。
二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。
外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。
2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。
三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。
在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。
例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。
根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。
七年级角平分线知识点
七年级角平分线知识点七年级的数学学习中，角平分线是比较重要的知识点之一，它是几何中的一个比较基础的概念。
本文将针对角平分线的定义、性质、求解方法以及应用场景等方面进行详细介绍，希望对各位学生的数学学习有所帮助。
一、角平分线的定义角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的直线，也称为角的平分线。
如下图所示，$BD$就是角$ABC$的平分线。
（请参见附图一）二、角平分线的性质1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
如下图所示，$BP$是角$ABC$的平分线，$BD$和$BC$是该角的两边，那么有$BD=PC$，$BC=PD$。
（请参见附图二）2. 在一个三角形中，角平分线将对边分成相似的线段。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$。
（请参见附图三）3. 在一个四边形中，对角线相交于一点，当且仅当相邻角的平分线相交于该点。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，$AC$和$BD$也交于该点。
（请参见附图四）三、角平分线的求解方法1. 利用角平分线的定义和性质进行推导。
如下图所示，$BD$是角$ABC$的平分线，那么有$\angleABD=\angle DBC$，$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，又因为$\angle ABD=\angle DBC$，所以$\angle ABC=2\angle ABD$。
因此，当角的度数已知时，可以通过计算得到角平分线所对应的度数。
2. 利用相似三角形的性质。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$，因此可得出$BD$所对应的线段长度。
3. 利用对角线的交点进行计算。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，可以通过计算点$P$的坐标来求解角平分线。
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结一、角平分线的定义在平面几何中，如果一条射线恰好把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线的定义性质：角平分线将一个角分成两个相等的角。
2. 角平分线定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么这条射线上的任意一点与角的两边构成的两个角相等。
3. 两条角平分线的交点：如果两条不同的角平分线相交于一个点，那么这两条角平分线所构成的角是相等的。
4. 角平分线的唯一性：一个角的两边上有且仅有一条角平分线。
5. 角平分线的夹角定理：角的平分线所平分的角，与角的两边构成的角互补。
6. 角平分线的垂直平分线：在一个直角三角形中，直角的平分线即为直角边的垂直平分线。
7. 角平分线的应用：在一些证明题目中，角平分线可以被运用，简化证明的过程。
三、角平分线的构造方法1. 利用直尺和圆规来画出一个角的角平分线。
2. 利用三角形特点来寻找角平分线，如利用等腰三角形的特点来构造角平分线。
3. 利用角平分线的性质来构造角平分线，如利用角平分线与直线的相交得到的相等角来构造角平分线。
四、角平分线的应用1. 利用角平分线进行角的三等分。
如在一个40度的角中，通过画出其角平分线，再进行角的三等分。
2. 利用角平分线进行证明。
如在一个几何问题中，可以利用角平分线的性质来简化证明的过程。
3. 利用角平分线进行角的构造。
如在画出一个特定角度的角时，可以利用角平分线来准确地构造。
五、角平分线的相关定理1. 角平分线的交叉定理：如果两条角平分线相交于一点，那么这两条角平分线所构成的角相等。
2. 角平分线的三线共点定理：在任意的三角形中，角的外角平分线、内角平分线和中垂线三条线相交于一点。
3. 角平分线的内切定理：三角形内切圆的切点与三角形的顶点连线所成的角等于这个角的角平分线与这个角的两边所成的角。
4. 角平分线的外角平分线定理：在一个三角形中，三个外角平分线所构成的三个角互补。
七年级上册角平分线的角度计算教学重难点
七年级上册角平分线的角度计算教学重难点摘要：一、角平分线的定义和性质二、角平分线在几何问题中的应用三、角平分线角度计算的方法和技巧四、典型例题解析正文：我们在七年级上册的数学课程中，学习了关于角平分线的知识。
角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的射线。
它在我们解决几何问题中有着广泛的应用，是初中数学中的重要知识点。
首先，我们来了解角平分线的定义和性质。
在一个角的基础上，如果有一条射线把这个角平分成两个相等的角，那么这条射线就叫做这个角的角平分线。
角平分线具有以下性质：1.角平分线把角分成两个相等的角；2.角平分线上的点到角的两边的距离相等；3.角平分线与角的两边相互垂直。
其次，角平分线在几何问题中的应用。
在解决几何问题时，如果我们知道一个角的角平分线，那么就可以得到这个角的两边的长度关系，从而解决问题。
例如，如果在一个三角形中，我们知道一个角的角平分线，那么就可以根据角平分线的性质得到其他两边的长度关系，进而求出三角形的其他角度和边长。
接下来，我们来学习角平分线角度计算的方法和技巧。
对于一个角，如果它的角平分线的长度为a，那么这个角的度数为2*arctan(a/2)。
这个公式可以帮助我们快速计算角的度数。
另外，我们还可以通过角平分线的性质，判断一个角是否为直角或钝角。
如果一个角的角平分线与角的一边垂直，那么这个角就是直角；如果角平分线与角的一边不垂直，那么这个角就是钝角。
最后，我们通过典型例题来巩固和运用角平分线的知识。
例如，已知一个角的角平分线长度为3，求这个角的度数。
我们可以使用之前提到的公式，计算得到这个角的度数为2*arctan(3/2)≈60度。
总的来说，角平分线是一个非常重要的几何概念，它不仅在解决几何问题时有着广泛的应用，而且掌握角平分线的性质和计算方法，对我们理解和解决数学问题有着重要的帮助。
AAS,HL证全等及角平分线的性质知识点总结和重难点精析
AAS，HL证全等及角平分线的性质知识点总结和重难点精析
知识点总结：
1、AAS定理：两个三角形中，如果两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。
简写成对应角相等的角边角定理。
2、HL定理：两个直角三角形中，如果一条直角边和斜边相等，那么这两个三角形全等。
简写成对应边相等的直角边和斜边定理。
3、角平分线的性质：角平分线是将角分成两个相等的角的射线，角平分线上点到角的两边距离相等。
重难点精析：
1、AAS定理的应用难点在于如何通过已知条件构造出至少一组边角相等的关系，这对于推导证明过程至关重要。
对于初学者来说，可以尝试通过画图和模拟过程来理解，逐渐提高空间想象能力。
2、HL定理的应用主要难点在于直角三角形的判断，需要学生熟悉勾股定理的相关知识。
在解决实际问题时，需要灵活运用直角三角形的性质，如等角对等边等。
3、角平分线的性质在学习中容易被忽视，其重要性在于为证明线段相等提供了一种重要的方法。
对于初学者来说，需要加强对此性质的练习和理解，能够熟练地应用到各种几何问题中。
总结：
AAS，HL定理和角平分线的性质是八年级数学中的重要知识点，
它们在几何学中的应用广泛且具有挑战性。
通过对这些定理的深入学习和实践，学生可以提升自身的几何思维能力和问题解决能力。
角平分线的判定人教版八年级数学上册
8. 如图，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE=CF，DB=DC.求证：AD 是∠BAC 的
平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC 于点F， ∴∠BED＝∠CFD=90°， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
谢谢！
（1）证明：∵∠C＝90°，
第9课 角平分线的判定
（1）证明：∵∠C＝90°，
证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴∠B＝∠DEC，BC＝EC.
∴∠BEC＝∠DEC.
第9课 角平分线的判定
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为D，M，N.
∴△ABC≌△DEC（SAS）. ∴∠B＝∠DEC，BC＝EC. ∴∠B＝∠BEC.∴∠BEC＝∠DEC. ∴CE平分∠BED．
三级检测练
一级基础巩固练
7. 如图，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 BD=CD， BE=CF.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴△DNF≌△EMF（AAS）. ∴FE＝FD．
又PM⊥AB，PN⊥AC，
∵BP是△ABC的外角平分线.
∴AD是△ABC的角平分线．
∴△ABC≌△DEC（SAS）.
∴△ABC≌△DEC（SAS）. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）. ∴∠B＝∠DEC，BC＝EC. ∴∠BEC＝∠DEC. ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
《作角的平分线》 知识清单
《作角的平分线》知识清单一、角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
二、角平分线的性质1、角平分线上的点到角两边的距离相等。
这一性质在解决几何问题中经常被用到。
例如，已知角平分线和角两边上的距离，可以通过证明线段相等来得出三角形全等或其他结论。
2、三角形的三条角平分线交于一点，且到三角形三边的距离相等。
这个交点被称为三角形的内心，内心是三角形内切圆的圆心。
三、角平分线的判定1、到角两边距离相等的点在角的平分线上。
通过这一判定，可以在已知距离相等的条件下，确定角平分线的位置。
2、三角形内，若一个点到三角形三边的距离相等，则这个点是三角形内角平分线的交点（即内心）。
四、作角平分线的方法1、用量角器直接量出角的度数，然后将度数除以 2，得到角的一半的度数，再用量角器画出这个度数的角，其射线就是角的平分线。
2、用圆规和直尺步骤如下：（1）以角的顶点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于 A、B 两点。
（2）分别以 A、B 两点为圆心，大于 1/2AB 长为半径画弧，两弧在角的内部交于点 C。
（3）连接 OC，则 OC 就是角 AOB 的平分线。
这种方法的原理是利用全等三角形的性质，通过构造全等三角形来确定角平分线。
五、角平分线在数学中的应用1、证明线段相等在三角形中，如果有角平分线，可以利用角平分线的性质得到线段相等，进而证明三角形全等或得出其他结论。
2、求三角形的面积当已知三角形的角平分线和相关线段的长度时，可以利用角平分线的性质求出三角形的面积。
3、解决实际问题例如在建筑设计、测量等领域，需要将一个角平分时，可以运用角平分线的作图方法来实现。
六、常见错误与注意事项1、作图时圆规的半径选取要合适，不能过小或过大，否则可能无法准确作出角平分线。
2、在运用角平分线的性质和判定时，要注意条件的完整性，不能随意使用。
3、在证明过程中，要清晰地写出推理步骤和依据，避免逻辑混乱。
角的平分线知识点
角的平分线考点扫描掌握角平分线的性质定理和它的逆定理；能够利用它们证明一些相应的问题；理解互逆命题和互逆定理的概念．名师精讲1．角平分线性质定理及其逆定理性质定理：角的平分线上任意点到这个角的两边的距离相等；逆定理：到一个角的两边距离相等的点．在这个角的平分线上．由此可知，角的平分线是到两边的距离相等的所有点的集合．注意：要分清角平分线性质定理和它的逆定理的题设和结论，这两个定理，一个是性质，一个是判定，它们是有区别的，这两个定理的题设和结论正好相反．2．逆命题的定义也可以叙述为：交换一个已知命题的题设和结论所得的新命题叫做已知命题的逆命题．每个命题都有它的逆命题，原命题和逆命题两者是相对的．要注意真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题也不一定是假命题．3．根据一个已知命题表述出它的逆命题是本节的一个难点．这就要求在对原命题深刻理解的基础上，把原命题写成“如果……，那么……”的句式，然后把两部分的内容交换，就得到它的逆命题．说明：中考中单独测验角的平分线的性质的题目较少，往往把角平分线与其它知识组合成较复杂的题目．角平分线的使用一、平分线的应用几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件。
这个条件一般有下面几个方面的应用：（1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等。
（2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形。
（3）构造等腰三角形。
二、应用举例：1.利用角平分线的定义例1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证AD平分∠EAC。
证明：因AB=AC，故∠B=∠C。
又因AD//BC，故∠1=∠B，∠2=∠C，故∠1=∠2，即AD平分∠EAC。
2.利用等腰三角形三线合一例2.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF 平分∠DAE。
证明：连结EF并延长，交AD的延长线于G，则ΔFDG≌ΔFCE，故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。
角平分线的性质知识点
角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。
其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
如下图：0C平分/ AOB•••0C平分/ AOB•••/ AOC M BOC2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
【重点】如第一个图：•••OC平分/ AOB（或/ 仁/ 2）, PEL OA,PDLOB••• PD=PE此时我们知道△ OPE^A OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边）3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如第一个图：••• PE L OA,PDL OB,PD=PE•••OC T 分/ AOB（或/ 仁/ 2）4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
如下图：I ---------------1 ---------------- 1A C BVC是AB的中点••• AC=BC5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
如图：【重点】V AB丄CD•••/ AOC M AOD M BOC =/ BOD=90或VZ AOC=90••• AB丄CD注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的一个角是直角就可以了。
反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。
6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
•••△ABC^A A'B'C'••• AB=A'B',BC=BC,AC=AC;Z A=Z A', Z B=Z B', Z C=Z C'三、经验之谈：本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到题目中出现角平分线，我们要会利用它的性质。
初中数学《角平分线》课件-完美版【北师大版】2
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
初中数学《角平分线》完美ppt北师大 版2-精 品课件 ppt(实 用版)
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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九年级数学角平分线
到一个角的两边的距 离相等的点，在这个 角的平分线上。
常见误区及纠正方法
01
误区一
认为角平分线就是角的对称轴。实际上，角平分线所在的直线是这个角
的对称轴，但角平分线本身不是对称轴。
02 03
误区二
认为角平分线将角所在的平面分成面积相等的两部分。实际上，这个结 论只在一些特殊情况下成立，例如当角是直角或角所在的三角形是等腰 三角形测量建筑物的角 度，利用角平分线的性质可以简化测量过 程并提高精度。
在地理定位中，可以利用角平分线判断两 个地点之间的相对方向，从而确定目标位 置。
军事领域中阵地布局
物理学中光线传播路径分析
在军事领域中，角平分线可用于阵地布局 和火力分配，提高作战效率。
在物理学中，光线传播遵循直线传播和反 射定律，利用角平分线可以分析光线在不 同介质中的传播路径。
PART 05
角平分线在实际问题中应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
角度测量问题解决方法
利用角平分线性质定理
角平分线将相邻两边按比例分割，根据已知角度和边长，可求解 未知角度。
构造全等三角形
通过角平分线构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质求解角 度。
应用三角函数
在直角三角形中，利用角平分线与对边所形成的角，结合三角函数 求解角度。
答案及详细解析提供
练习题2答案及解析
解：过点D作DE⊥AB于点E。由于AD平分∠BAC，∠C=90°，所以CD=DE。在Rt△BDE和Rt△ACD中，由 于∠BDE=∠ADC=90°，∠B=∠CAD，所以Rt△BDE∽Rt△ACD。因此，BD:AD=DE:CD。设CD=7x，则 BD=9x。由于BC=32，所以7x+9x=32，解得x=2。因此，CD=14，DE=CD=14。所以点D到AB的距离 为14。
角平分线点有关的知识点
角平分线点是几何学中一个重要的概念，它与角的平分线和角的内切圆密切相关。
在本文中，我们将逐步探讨角平分线点的定义、性质以及与其他几何概念的关系。
1.角平分线点的定义：角平分线点是指一个角的两条平分线所交的点。
对于一个任意的角，它都有两条平分线，它们相交于一个点，这个点就是角的平分线点。
2.角平分线点的性质：（1）角平分线点在角的内部：根据角的定义，
平分线点一定在角的内部。
（2）角平分线点到角的边的距离相等：角的平分线点到角的两条边的距离相等。
这是因为平分线将角分成两个相等的角，而平分线点到角的边的距离就是角的内部到边的距离，所以距离相等。
（3）角平分线点到角的顶点的距离最短：角平分线点到角的顶点的距离最短。
这是因为角平分线点是两条平分线的交点，而两条平分线的交点到角的顶点的距离是最短的。
3.角平分线点与其他几何概念的关系：（1）角平分线点与角的内切圆：
角的平分线点是角的内切圆的圆心。
内切圆是与角的每一条边都相切的圆，而圆心恰好是角的平分线点。
（2）角平分线点与角的外接圆：角的平分线点是角的外接圆的圆心。
外接圆是过角的每一条边的圆，而圆心正好是角的平分线点。
综上所述，角平分线点是指一个角的两条平分线所交的点。
它具有一些特殊的
性质，如在角的内部、到角的边的距离相等以及到角的顶点的距离最短。
此外，角平分线点还与角的内切圆和外接圆有密切的关系。
通过理解和应用角平分线点的概念和性质，我们可以更好地解决与角平分线点相关的几何问题。
角平分线的性质(4种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
角平分线的性质（4种题型）【知识梳理】一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC.射线OC 即为所求. 【考点剖析】题型一：角平分线性质定理 例1.（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 为BC 的中点，且AE 平分BAD ∠．求证：DE 是ADC ∠的平分线．【详解】证明：如图，过点E 作EF AD ⊥于点F ，∴90B Ð=°，AE 平分BAD ∠，∴BE EF =．∴点E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴CE EF =．又∵90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴DE 是ADC ∠的平分线．【变式1】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，5AB =，2CD =，求ABD △的面积．12【答案】5【详解】解：作DE AB ⊥如图，∵AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，2CD =，∴=2CD DE =，1152522ABD S AB DE ∴=⨯⨯=⨯⨯=△．【变式2】（2023春·湖南常德·八年级统考期末）如图，点P 是ABC 的三个内角平分线的交点，若ABC 的周长为24cm ，面积为236cm ，则点P 到边BC 的距离是（ ）A ．8cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm【答案】B 【详解】解：过点P 作PD AB ⊥于，PE BC ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，如图，∵点P 是ABC 的内角平分线的交点，∴PE PF PD ==，又ABC 的周长为24cm ，面积为236cm ，∴()11112222ABC S AB PD BC PE AC PF PE AB BC AC =⋅+⋅+⋅=++，∴124363PE ⨯⨯=∴3cm PE =【变式3】（湖南省郴州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点E ．如果8AC =，那么AD DE +=______．【答案】8【详解】解：∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，∴CD DE =，∵8AC =，∴8AD DE AD CD AC +=+==， 【变式4】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）把两个同样大小的含30︒角的三角尺像如图所示那样放置，其中M 是AD 与BC 的交点，若4CM =，则点M 到AB 的距离为______．【答案】4【详解】解：由题意，得：90,30D C ABC DAB ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴,60MC AC CAB ⊥∠=︒，∴30MAC BAC MAB MAB ∠=∠−∠=︒=∠，∴AM 平分DAB ∠，过点M 作MN AB ⊥，交AB 于点N ，∴4MN MC ==．故答案为：4．【变式5】如图，P 为ABC 三条角平分线的交点，PH 、PN 、PM 分别垂直于BC 、AC 、AB ，垂足分别为H 、N 、M ．已知ABC 的周长为15cm ，3cm PH =，则ABC 的面积为______2cm ．【答案】22.5【详解】解：连接PM 、PN 、PH ，P 为ABC 三条角平分线的交点，PH 、PN 、PM 分别垂直于BC 、AC 、AB ，3cm PM PN PH ∴===，ABC ∴∆的面积ΔAPB =的面积ΔBPC +的面积ΔAPC +的面积111222AB PM BC PH AC PN =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1()32AB BC AC =++⨯222.5(cm )=．七年级校考期末）如图，在ABC 中，【答案】(1)32︒ (2)6【详解】（1）解：∵40B ∠=︒，76C ∠=︒，∴180407664BAC ∠=︒−︒−︒=︒，∵AD 平分BAC ∠， ∴1322BAD BAC ∠=∠=︒；（2）如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，∴DF DE =，∵2DE =，6AB =，∴2DF =， ∴ABD △的面积12662=⨯⨯=.题型二：角平分线性质定理及证明 ，且PMN 与OMN 的面积分别是【答案】(1)证明过程见详解(2)20OM ON +=【详解】（1）证明：如图所示，过P 作PC MN PD OA PE OB ⊥⊥⊥，，，∵MP 平分AMN ∠，NP 平分MNB ∠，∴PD PE =，PC PE =，∴PD PE =，∵PD AO PE BO ⊥⊥，，∴OP 平分AOB ∠．（2）解：如图所示，过P 作PC MN PD OA PE OB ⊥⊥⊥，，，连接OP ，∵18162PMN MN S MN PC ===△，，∴4PC =，由（1）可知4PD PE PC ===，∵1624PMN OMN S S ==△△，，∴40MONP S =四边形，即1122OPM ONP MONP S S S OM PD ON PE =+=+△△四边形，∴1140442222OM ON OM ON =⨯+⨯=+，∴20OM ON +=． 【变式1】（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E 是BC 的中点，AB BC DC BC ⊥⊥，，AE 平分BAD ∠．求证：(1)DE 平分ADC ∠；(2)AD AB CD +＝．【详解】（1）证明：如下图，过E 作EF AD ⊥于F ，∵AB BC ⊥，AE 平分BAD ∠，∴EB EF ＝，∵点E 是BC 的中点，∴EB EC ＝，∴EF EC ＝，∵DC BC EF AD ⊥⊥，，∴90EFD ECD ∠∠︒＝＝，在Rt EFD 和Rt ECD △中，EF EC ED ED =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL EFD ECD ≌（），∴FDE CDE ∠∠＝，∴DE 平分ADC ∠；（2）解：由（1）知，Rt Rt EFD ECD ≌，∴FD CD ＝，在Rt AEF 和Rt AEB 中，EF EB AE AE =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL AEF AEB ≌（），∴AF AB ＝，∵AD AF FD +＝，∴AD AB CD +＝．【变式2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，DE AB ⊥，于点E ，AD 平分CAB ∠，点F 在AC 上，BD DF =．求证：BE FC =．【详解】证明：∵AD 平分CAB ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥，∴DE DC =，90C DEB ∠=∠=︒，∴在Rt DEB ∆和Rt DCF ∆中，∵DE DC BD DF =⎧⎨=⎩，∴()HL DEB DCF ∆≅∆，∴BE FC =．(1)求证：BE ＝CD ；(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．（1）证明：BE 、CD 是ABC ∆的高，且相交于点O ，90∴∠=∠=︒BEC CDB ，在BDO ∆和CEO ∆中，90CDB BEC BOD COEBD CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BOD COE ∴∆≅∆(AAS)，OD OE ∴=，OB OC =，OD OC OE OB ∴+=+，即CD BE =；（2）解：点O 在BAC ∠的平分线上，理由如下： 连接AO ，如图所示：BE 、CD 是ABC ∆的高，且相交于点O ， 90ADC AEB ∴∠=∠=︒，由（1）得BE CD =，∴在ABE ∆和ACD ∆中，90ADC AEB CAD BAE CD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD ABE ∴∆≅∆(AAS)， AD AE ∴=，由（1）得OD OE =，∴在AOD ∆和AOE ∆中，90AD AE ADC AEB OD OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，AOD AOE ∴∆≅∆(SAS)，DAO EAO ∴∠=∠， ∴点O 在BAC ∠的平分线上．题型三：角平分线的判定定理 例3.如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，AM 平分DAB ∠，求证：DM 平分ADC ∠．【详解】证明：如图：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，AM 平分DAB ∠，MB AB ⊥，ME AD ⊥，ME MB =∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），又MC MB =，ME MC ∴=，MC CD ⊥，ME AD ⊥，DM ∴平分ADC ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EF DA ⊥于点F ，∵90C ∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴CE EF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴BE EF =，又∵90B Ð=°，EF DA ⊥，∴AE 平分DAB ∠．（2）解：∵EF DA ⊥，90C ∠=︒，∴EFD △和ECD 都为Rt △，又∵DE 平分ADC ∠，∴EC EF =，在Rt EFD 和Rt ECD △中，ED ED EC EF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFD ECD △≌△， ∴EFD ECD S S =△△，CED FED ∠=∠，∵EF DA ⊥，90B Ð=°，∴EFA △和EBA △都为Rt △，又∵AE 平分DAB ∠，∴EF EB =，在Rt EFA △和Rt EBA △中，EA EA EF EB =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFA EBA △≌△， ∴EFA EBA S S =△△，FEA BEA ∠=∠， ∴()111809022DEA DEF AEF CEF BEF ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∵4AE =，3DE =， ∴1143622AED S AE DE =⋅=⨯⨯=△， ∴EFD ECD EFA EBA ABCD S S S S S =+++△△△△四边形EFD EFD EFA EFA S S S S =+++△△△△()2EFD EFA S S =+△△2AED S =△ 26=⨯12=．∴四边形ABCD 的面积为12． 【变式2】如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =（OA OC <），AOB COD α∠=∠=，直线AC ，BD 交于点M ，连接OM ．(1)求证：AC BD =；(2)用α表示AMB ∠的大小；(3)求证：OM 平分AMD ∠．【详解】（1）证明：AOB COD α∠=∠=，AOB BOC COD BOC ∴∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AOC BOD ∴≌， ∴AC BD =，（2）解：由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，由（1）得()SAS AOC BOD ≌△△，∴OAC OBD ∠=∠，AMB AOB α∴∠=∠=，（3）证明：作OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，如图所示，则90OGA OHB ∠=∠=︒，在OAG △和OBH △中，OGA OHB OAC OBDOA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OAG OBH ∴≌， OG OH ∴=，OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，MO ∴平分AMD ∠，是ABC 的角平分线，且交于点(1)APB ∠=______．(2)求证：点P 在C ∠的平分线上．【详解】（1）解：证明：60C ∠=︒，AE ，BD 是ABC 的角平分线，12ABP ABC ∴∠=∠，12BAP BAC ∠=∠，11()(180)6022BAP ABP ABC BAC C ∴∠+∠=∠+∠=︒−∠=︒， 120APB ∴∠=︒；（2）如图，过P 作PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥，AE ，BD 分别平分CAB ∠，CBA ∠，PF PG ∴=，PF PH =，PH PG ∴=，∴点P 在C ∠的平分线上；（3）如图，在AB 上取点M 使AM AD =，连接PM ，AE 是BAC ∠的平分线，PAM PAD ∴∠=∠， 在AMP 与ADP △中，AP AP PAM PADAM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AMP ADP ∴≌， 18060APM APD APB ∴∠=∠=︒−∠=︒，180()60BPM APM APD ∴∠=︒−∠+∠=︒，60BPE APD ∠=∠=︒，BPM BPE ∴∠=∠，BD Q 是ABC ∠的角平分线，MBP EBP ∴∠=∠，在BPM △与BPE 中，MBP EBP BP BPBPE BPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA BPM BPD ∴≌，BM BE ∴=， AB AM BM AD BE ∴=+=+． (1)如图1，连接AC BD ，，交点为G ，连接OG ，求证：①AC BD =；②OG 平分DGC ∠；(2)如图2，若90AOD BOC ∠=∠=︒，E 是CD 的中点，过点在同一条直线上．∴AOD AOB BOC AOB ∠+∠=∠+∠，∴AOB AOC ∠=∠，又∵OA OD =，OB OC =，∴()SAS DOB AOC V V ≌，∴AC BD =；②如图所示，过点O 作OH DB ⊥于点H ，OF AC ⊥于点F ，∵DOB AOC ≌，OH DB ⊥，OF AC ⊥∴OH OF =，∴点O 在DGC ∠的角平分线上，∴OG 是DGC ∠的角平分线，∴OG 平分DGC ∠；（2）证明：连接OE ，并延长到N ，使NE OE =，连接CN ，∵E 是CD 的中点，∴CE DE =，又∵CEN DEO ∠=∠，NE OE =，∴()SAS CEN DEO ∠V V ≌，∴NCE ODE ∠=∠，CN OD =，∴CN OD ∥，∴180OCN COD CN OA ∠+∠=︒=，，90AOD BOC ∠=∠=︒，180AOB COD ∴∠+∠=︒，OCN AOB ∴∠=∠，在ONC 和BAO 中，OC OB OCN AOBCN OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ONC BAO ∴≌， NOC ABO ∴∠=∠，OF AB ⊥，90ABO BOF ∴∠+∠=︒，90NOC BOF ∴∠+∠=︒，180NOC BOF BOC ∴∠+∠+∠=︒，∴点E O F ，，在同一条直线上．题型四：尺规作图—作角平分线 例4．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知ABC ，利用尺规，在AC 边上求作一点D ，使得ABD DBC ∠=∠.（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：如图点D 即为所求..【变式1】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD 为BC 边上的高．(1)尺规作图，在AB 边上求作点P ，使得点P 到边BC 的距离等于AP （保留作图痕迹，不写做法）：(2)连接CP （P 为所求作的点）交AD 于点Q ，若30B ∠=︒，求AQC ∠的度数．【详解】（1）解：如图：点P 即为所求；作法：作ACB ∠的角平分线，与AB 的交点P 即为所求；理由：∵CP 是ACB ∠的角平分线，∴点P 到AC 的距离等于点P 到BC 的距离，∵90BAC ∠=︒，∴点P 到AC 的距离即为PA 的值，故点P 到边BC 的距离等于AP ．（2）解：如图：∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴180903060ACB ∠=︒−−︒=︒，又∵AD 为BC 边上的高，∴90ADC ∠=︒，∴180906030DAC ∠=︒−−︒=︒，由（1）可知CP 是ACB ∠的角平分线， ∴1302ACQ QCD ACB ∠=∠=∠=︒，∴1803030128001ACQ DAC AQC ∠−∠=︒−︒−︒=︒∠=︒−． 【变式2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ∠=∠，∴OE 是AOB ∠的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；． 【变式3】（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）如图，已知在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．（1）尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）在（1）的条件下，求证：AFE AEF ∠=∠．AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒∴__________90BFD +∠=︒又BFD ∠=__________FBD ∴∠+__________90=︒90BAC ∠=︒ABF ∴∠+__________90=︒BF 平分ABC ∠ABF ∴∠=__________AFE AEF ∴∠=∠．【详解】（1）如图所示，（2）AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒∴FBD ∠90BFD +∠=︒又BFD ∠=AEF ∠FBD ∴∠+AEF ∠90=︒90BAC ∠=︒ABF ∴∠+AFE ∠90=︒ BF 平分ABC ∠ABF ∴∠=FBD ∠AFE AEF ∴∠=∠．故答案为：FBD ∠；AEF ∠；AEF ∠；AFE ∠；FBD ∠．【过关检测】一、单选题 1．（2023春·四川泸州·八年级统考期末）如图，70AOB ∠=︒，点C 是AOB ∠内一点，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．且CD CE =，则DOC ∠的度数是（ ）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【答案】B【分析】根据角平分线的判定定理可得OC 平分AOB ∠，再计算角度．【详解】解：∵CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE =，∴OC 平分AOB ∠， ∴1352DOC AOB ∠=∠=︒，故选C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 2．（陕西省榆林市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，在Rt ABC △中，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ．若9cm CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．9cmB ．6cmC ．4.5cmD ．3cm【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解．【详解】∵BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，AC BC ⊥，∴9DC DE ==，∴点D 到AB 的距离是9cm ．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．3．（2023春·河南焦作·七年级校考期末）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 的长不可能是（ ）【答案】A【分析】根据余角的性质可得ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，作DE BC ⊥于E ，则3AD DE ==，再根据垂线段最短即可得到答案．【详解】解：∵90A ∠=︒，BD CD ⊥，∴90,90ABD ADB CBD C ∠+∠=︒∠+∠=︒，∵ADB C ∠=∠，∴ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，作DE BC ⊥于E ，则3AD DE ==，∵P 是BC 边上一动点，则DP DE ≥，即3DP ≥，∴DP 的长不可能是52；故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和角平分线的性质，得出BD 平分ABC ∠是解题的关键．A ．12∠=∠且CM DM =B ．13∠=∠且CM DM =C ．12∠=∠且OD DM =D ．23∠∠=且OD DM =【答案】A 【分析】由作图过程可得：,OD OC CM DM ==，再结合DM DM =可得()SSS COM DOM ≌，由全等三角形的性质可得12∠=∠即可解答．【详解】解：由作图过程可得：,OD OC CM DM ==，∵DM DM =，∴()SSS COM DOM ≌．∴12∠=∠．∴A 选项符合题意；不能确定OC CM =,则13∠=∠不一定成立，故B 选项不符合题意；不能确定OD DM =,故C 选项不符合题意，OD CM ∥不一定成立，则23∠∠=不一定成立，故D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． ，ABC 的面积为，则ABC 的周长为（ A ．4B ．6C ．24D ．12【答案】C 【分析】过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，根据角平分线的性质可得1EG EF ED ===，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．【详解】解：过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，∵BE 平分ABC ∠，ED BC ⊥，EF AB ⊥，∴1EF ED ==，∵CE 平分ACB ∠，ED BC ⊥，EG AC ⊥，∴1ED EG ==，∴ABC 的面积ABE =的面积BEC +△的面积AEC +△的面积()11111122222AB EF BC ED AC EG AB BC AC =⋅+⋅+⋅=⨯⨯++=，∴24AB BC AC ++=，即ABC 的周长为24．故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．A ．3PD =B ．3PD <C ．3PD ≤ D ．3PD ≥【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得到3PF =，再根据垂线段最短即可解答．【详解】解：过点P 作PE AB ⊥于点E ，过点P 作PF BC ⊥于点F ，∵点P 在ABC ∠的平分线上，∴PE PF =， ∵3PE =，∴3PF =，∴根据垂线段最短可知：3PD ≥，故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键． 八年级统考期末）如图，在ABC 中， A ．83 B ．43 【答案】D【分析】由题意可求DC 的长，由角平分线的性质可求解．【详解】解：如图，过点D 作DH AB ⊥，垂足为H ，∵143AC DC AC ==，，∴1DC =，∵BD 平分ABC ∠，90C DH AB =︒∠，⊥，∴1CD DH ==，∴点D 到AB 的距离等于1，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．8．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，三条公路把A ，B ，C 三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）A ．三角形三个内角的角平分线的交点B ．三角形三条边的垂直平分线的交点C ．三角形三条高的交点D ．三角形三条中线的交点【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =，F 是射线OB 上的任意一点，则DF 的长度不可能是（ ）【答案】A 【分析】过Ｄ点作DH OB ⊥于H ，根据角平分线的性质得5DH DE ==，再利用垂线段最短得到5DF ≥，然后对各个选项进行判断即可，【详解】过Ｄ点作DH OB ⊥于H ，OD 平分AOB ∠，DE OA ⊥，DH OB ⊥，5DH DE ∴==，DF DH ≥，5DF ∴≥，故选A【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键． 10．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，则下列结论：①DE CD =；②AD 平分CDE ∠；③BAC BDE ∠=∠；④BE AC AB +=，其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质得出结论：DE CD =；②证明ACD AED △≌△，得AD 平分CDE ∠；③由四边形的内角和为360︒得180CDE BAC ∠+∠=︒，再由平角的定义可得结论是正确的；④由ACD AED ∆≅∆得AC AE =，再由AB AE BE =+，得出结论是正确的．【详解】解：①90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DE CD ∴=；所以此选项结论正确；②DE CD =，AD AD =，90ACD AED ∠=∠=︒，ACD AED ∴≌，ADC ADE ∴∠=∠，AD ∴平分CDE ∠，所以此选项结论正确；③90ACD AED ∠=∠=︒，3609090180CDE BAC ∴∠+∠=︒−︒−︒=︒，180BDE CDE ∠+∠=︒，BAC BDE ∴∠=∠，所以此选项结论正确；④ACD AED ≌，AC AE ∴=，AB AE BE =+，BE AC AB ∴+=，所以此选项结论正确；本题正确的结论有4个，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据HL 证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．二、填空题 七年级统考期末）如图，在ABC 中，ABC 的内部相交于点 【答案】5【分析】先根据尺规作图描述得出AD 为BAC ∠的角平分线，再根据角平分线的性质得到点D 到AB 的距离5DE =，进而求出三角形的面积．【详解】由作法得AD 平分BAC ∠，如图所示，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵90ACB ∠=︒，根据角平分线的性质，得43DC DE ==，ABD ∴的面积114102233AB DE AB =⋅⋅=⨯⨯=． ∴5AB =，故答案为：5．【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用．【答案】2【分析】根据尺规作图可得BF 平分ABC ∠，再利用角平分线的性质定理可得出2DF CF ==，最后根据垂线段最短即可得出FH 的最小值是2．【详解】解：如图，过点F 作FD AB ⊥于D ．由作图可知，BF 平分ABC ∠，∵FC BC ⊥，FD AB ⊥，∴2DF CF ==．根据垂线段最短可知，FH 的最小值为DF 的长，即为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够准确判断出BF 是ABC ∠的角平分线．13．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 为线段AC 上一点，连接DE ，且B CED ∠=∠．若16AB =，6CE =，则AE 的长为________．【答案】4【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，由角平分线的性质得出DC DF =，证明DCE DFB ≌，得出BF CE =，求出AF ，由HL 证明Rt Rt ADC ADF ≌，得出AC AF =，即可求出结果．【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，如图所示：∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，，∴DC DF =，在DCE △和DFB △中，90=BFD DCE B CEDDC DF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，∴()AAS DCE DFB ≌，∴6BF CE ==，∴10AF AB BF =−=，在Rt ADC 与Rt ADF 中，==DC DF AD AD ⎧⎨⎩，∴Rt Rt ADC ADF ≌，∴10AC AF ==，∴1064AE AC CE =−=−=．故答案为：4．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，根据HL 证明直角三角形的全等解答．【答案】30【分析】由作图可知OC 是AOB ∠的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：由题意可知，OC 是AOB ∠的角平分线，∴11603022AOC AOB ∠=∠=⨯︒=︒．故答案为：30【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．，则POD 的面积是【答案】6【分析】过点P 作PF OB ⊥交OB 于点F ，由作图可知OP 是AOB ∠的平分线，根据角平分线的性质得3PF PC ==，即可求得POD 的面积．【详解】解：如图，过点P 作PF OB ⊥交OB 于点F ，由作图可知，OP 是AOB ∠的平分线，∵PC OA ⊥，PF OB ⊥，∴3PF PC ==，∴POD 的面积为：162OD PF ⋅=，故答案为：6．【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．16．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在锐角ABC 中，60BAC ∠=︒，BE 、CD 为ABC 的角平分线．且BE 、CD 交于点F ，连接AF ．有下列四个结论：①120BFC ∠=︒；②BD CE =；③BC BD CE =+；④FBD FEC FBC S S S +=△△△．其中结论正确的序号是__________ ．【答案】①③④【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出BFC ∠；在BC 上取BM BD =，证明()SAS DBF MBF ≌△△，再证明()ASA MCF ECF ≌△△；过点F 作FG AB ⊥于点G ，FH AC ⊥于点H ，FK BC ⊥于点K ，根据角平分线的性质和三角形面积公式分别对各个结论进行判断即可．【详解】解：∵ABC 的两条角平分线BE 和CD 交于点F ，60BAC ∠=︒，∴FBC FCB∠+∠()12ABC ACB =∠+∠()11802BAC ︒=−∠()1180602=⨯︒−︒60=︒， ∴()180********BFC FBC FCB ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，故结论①正确； ∴18060BFD BFC CFE Ð=°-Ð=°=Ð，在BC 上取BM BD =，∵BE 平分ABC ∠，∴DBF MBF Ð=Ð，在DBF 和MBF V 中，BD BM DBF MBFBF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS DBF MBF ≌△△， ∴60BFD BFM ∠=∠=︒，∴1206060CFM BFC BFM ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴60CFM CFE ∠=∠=︒，∵CD 平分ACB ∠，∴MCF ECF ∠=∠，在MCF △和ECF △中，CFM CFE CF CFMCF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA MCF ECF ≌△△， ∴CM CE =，∴BC BM CM BD CE =+=+，故结论③正确；∵没有条件得出点M 是BC 的中点，∴不能得出BD 与CE 一定相等，故结论②错误；过点F 作FG AB ⊥于点G ，FH AC ⊥于点H ，FK BC ⊥于点K ，∵BE 、CD 为ABC 的角平分线，∴FG FK =，FK FH =，∴FG FK FE ==， ∵12FBD S BD FG =⋅△，12FEC S EC FH =⋅△，12FBC S BC FK =⋅△，∴FBD FEC S S +△△1122BD FG EC FH =⋅+⋅ 1122BM FK MC FK =⋅+⋅ ()12BM MC FK =+⋅ 12BC FK =⋅FBC S =△，∴FBD FEC FBC S S S +=△△△，故结论④正确，∴结论正确的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题 17．（2023春·重庆江北·七年级统考期末）完成下面的解答过程，并填上适当的理由．已知：如图，DE BC ∥，BD 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠．解： ∵DE BC ∥（已知）∴ABC AED ∠=∠（ ① ）．∵BD 平分ABC ∠，EF 平分∠∴112ABC ∠=∠，122AED ∠=∠【答案】两直线平行，同位角相等 2∠ 等量代换 同位角相等，两直线平行【分析】先分析角的位置关系，根据平行线的性质及判定定理，即可写出答案．【详解】证明：∵DE BC ∥（已知），∴ABC AED ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠，∴112ABC ∠=∠，122AED ∠=∠．∴12∠=∠（等量代换）．∴EF BD ∥（同位角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，同位角相等 ； 2∠ ；等量代换 同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等），及平行线的判定方法（同位角相等，两直线平行）．牢记平行线的性质和判定方法是解题的关键．18．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ．求证：(1)36AMB ∠=︒；(2)MO 平分AMD ∠．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）证明()SAS AOC BOD ≌△△，由三角形全等的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，可得出AMB ∠的度数；（2）作OG AC ⊥于G ，OH BD ⊥于H ，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH =，由角平分线的判定方法即可得证．【详解】（1）证明：∵36AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB BOC COD BOC ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS AOC BOD ≌△△， ∴OAC OBD ∠=∠，∵AEB ∠是AOE △和BME 的外角∴AEB AMB OBD AOB OAC ∠=∠+∠=∠+∠，∴36AMB AOB ∠=∠=︒；（2）如图所示，作OG AC ⊥于G ，OH BD ⊥于H ，∴OG 是AOC 中AC 边上的高，OH 是BOD 中BD 边上的高，由（1）知：AOC BOD ≌，∴OG OH =，∴点O 在AMD ∠的平分线上，即MO 平分AMD ∠．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识．证明三角形全等是解题的关键． 七年级统考期末）如图，在ABC 中， (2)18【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠得12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠，根据40ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒得140202DBC ∠=⨯︒=︒，170352DCB ∠=⨯︒=︒，根据三角形内角和定理即可得；（2）过点D 作DF BC ⊥于点F ，根据BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥得DE DF =，根据4DE =得4DF =，即可得．【详解】（1）解：∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠，∵40ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒，∴140202DBC ∠=⨯︒=︒，170352DCB ∠=⨯︒=︒，∴在BCD △中，1802035125BDC ∠=︒−︒−︒=︒；（2）解：过点D 作DF BC ⊥于点F ，∵BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥，∴DE DF =，∵4DE =，∴4DF =，∵9BC =， ∴11S 941822BCD BC DF =⨯⨯=⨯⨯=△．【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 八年级假期作业）如图，在ABC 中， 【答案】6cm CD =，34B ∠=︒【分析】根据角平分线的性质可得CD DE =，28BAD CAD ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出B ∠的度数．【详解】解：∵ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，∴6cm CD DE ==，28BAD CAD ∠=∠=︒，∴256BAC CAD ∠=∠=︒，∴9034B CAD ∠=︒−∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键．21．（2023春·广西南宁·七年级南宁十四中校考期末）如图，已知ABC ．(1)尺规作图：作BAC ∠的角平分线交BC 于点G （不写作法，保留作图痕迹）；(2)如果6AB =，10AC =，ABG 的面积为18，求ACG 的面积．【答案】(1)见解析(2)30【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）如图所示，过点G 作GE AB GF AC ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，证明AEF AFG △≌△，得到EG FG =，根据面积法求出6EG FG ==，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：如图所示，过点G 作GE AB GF AC ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，∴90AEG AFG ∠=∠=︒，∵AG 是BAC ∠的角平分线，∴EAG FAG ∠=∠，又∵AG AG =，∴()AAS AEF AFG △≌△，∴EG FG =；∵6AB =，ABG 的面积为18，∴1182AB EG ⋅=，即16182EG ⨯=，∴6EG =，∴6EG FG ==，∴111063022ACG S AC FG =⋅=⨯⨯=△．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的尺规作图，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．（2023春·山西太原·七年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线，DE AB ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，且BE CF =．线段BD 与CD 相等吗？说明理由．【答案】BD CD =，见解析【分析】根据角平分线的性质得出DE DF =，根据垂直定义得出90DEB DFC ∠=∠=︒，根据SAS 证明DFC △D E B ≌△，得出BD CD =即可．【详解】解：BD CD =；理由如下：∵AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90DEB DFC ∠=∠=︒，又∵BE CF =，∴DFC △DE B ≌△， ∴BD CD =．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂线定义理解，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明DFC △DE B ≌△． 23．（重庆市大渡口区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，AD BC ∥，180B BCD ∠+∠=︒．(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A 作BAD ∠的角平分线，交CD 于点F ，与BC 的延长线交于点E ；（不写做法，保留作图痕迹）(2)求证：CFE FEC ∠=∠．证明：∵AD BC ∥（已知），∴DAF FEC ∠=∠（①__________）． ∵AE 平分BAD ∠，∴②__________（角平分线的定义）． ∴BAE FEC ∠=∠（③__________）． ∵180B BCD ∠+∠=︒（已知）， ∴④__________（⑤__________）． ∴BAE CFE ∠=∠（两直线平行，同位角相等）． ∴CFE FEC ∠=∠（等量代换）． 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用基本作图作BAD ∠的平分线即可；（2）先根据平行线的性质得到DAF FEC ∠=∠，再利用角平分线的定义得到BAE DAF ∠=∠，则BAE FEC ∠=∠，接着证明AB CD ∥得到BAE CFE ∠=∠，然后利用等量代换得到CFE FEC ∠=∠．【详解】（1）解：如图，BE 为所作；（2）证明：AD BC ∥（已知）， DAF FEC ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）．AE 平分BAD ∠，BAE DAF ∴∠=∠（角平分线的定义），BAE FEC ∴∠=∠（等量代换）．180B BCD ∠+∠=︒（已知），AB CD ∴∥（同旁内角互补，两直线平行）．BAE CFE ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）．CFE FEC ∴∠=∠（等量代换）．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行线的判定与性质． 七年级校考阶段练习）如图，ABC 中， 若BCG 的面积为，则ABC 的面积为【答案】(1)120︒(2)3(3)6【分析】（1）根据作图方法可得BG 是ABC ∠的角平分线，则1302ABG ABC ==︒∠∠，再由三角形外角的性质可得120BGC A ABG =+=︒∠∠；（2）如图所示，过点G 作GD BC ⊥于D ，先求出3AG AC CG =−=，再证明ABG DBG △≌△，得到3DG AG ==，根据垂线段最短可知线段H G 的最小值为3；（3）证明BDG CDG △≌△，得到122BDG CDG BCG S S S ===△△△，进而求出2BDG ABG S S ==△△，则6ABC ABG CBG S S S =+=△△△．【详解】（1）解：由作图方法可知BG 是ABC ∠的角平分线， ∴1302ABG ABC ==︒∠∠，∵90A ∠=︒，∴120BGC A ABG =+=︒∠∠，故答案为：120︒；（2）解：如图所示，过点G 作GD BC ⊥于D ，∴90BAG BDG ==︒∠∠，∵96AC CG ==，，∴3AG AC CG =−=，∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴ABG DBG ∠=∠，又∵BG BG =，∴()AAS ABG DBG △≌△，∴3DG AG ==，∵H 是边BC 上一动点，∴当点H 与点D 重合时，HG 最小，∴线段HG 的最小值为3， 故答案为：3；（3）解：∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴30ABG DBG ==︒∠∠，∵9030C ABC ∠=︒−∠=︒，∴GBD C ∠=∠，又∵90DG DG BDG CDG ===︒，∠∠，∴()AAS BDG CDG △≌△， ∴122BDG CDG BCG S S S ===△△△，∵ABG DBG △≌△，∴2BDG ABG S S ==△△，∴6ABC ABG CBG S S S =+=△△△，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 七年级统考期末）ABC 中， (2)如图2，若ABC 是锐角三角形．过点FED ∠，EDB ∠与ABC ∠ (3)若ABC 是钝角三角形，其中FED ∠，EDB ∠与ABC ∠之间的数量关系．【答案】(1)45 (2)12BDE FED ABC ∠=∠+∠，证明见解析 (3)12ABC BDE DEF ∠=∠+∠【分析】（1）首先证明AED ABC ∠=∠得到DE BC ∥，得到EDB DBC ∠=∠，再根据角平分线的定义得到1452DBC ABC ∠=∠=︒，即可证明；（2）延长ED 、BC 交于G ，利用平行线的性质得FED G ∠=∠，再利用三角形外角的性质可得结论；（3）由（2）同理解决问题．【详解】（1）解：DE AB ∵⊥，90AED ∴∠=︒．90ABC ∠=︒，AED ABC ∴∠=∠．DE BC ∴∥．EDB DBC ∴∠=∠．BD Q 平分ABC ∠，1452DBC ABC ∴∠=∠=︒．45EDB ∴∠=︒．（2）如图，12BDE FED ABC ∠=∠+∠，理由如下：延长ED 、BC 交于G ，EF BC ∥，FED G ∴∠=∠，BD Q 平分ABC ∠，。
初中数学角平分线的性质知识点
初中数学角平分线的性质知识点
初中数学中，角平分线是一个重要的概念。
下面我们来探讨一下角平分线的性质。
一、角平分线的定义
角平分线是指把一个角平分为两个相等的角的线段。
二、角平分线的性质
1.角平分线与角的两边相交于角的顶点，并把角分为两个相等的角。
2.角平分线所在的平面上，与角的两边的延长线交于一点，这个点称为角的外心。
3.角平分线上的每一个点到角的两边的距离相等。
4.角平分线上的每一个点到角的外心的距离相等。
5.对于同一个角，高度相等的两条角平分线相交于角的外心。
6.角平分线将一个角分为两个相等的角，但是并不一定把一个平面分为两个相等的部分。
三、角平分线的性质应用
1.根据角平分线的定义和性质，可以帮助我们判断一个线段是否为角的平分线。
2.通过利用角平分线的性质，可以求解一些几何问题。
比如，已知一个角的两边和这个角的外心，可以求出这个角的平分线。
3.利用角平分线的性质，可以证明一些角的关系。
比如，可以利用角平分线的性质来证明角平分线是角的垂直平分线。
四、角平分线的相关定理
1.角平分线定理：如果一条直线与一个角的两边相交且把这个角平分为两个相等的角，则这条直线是这个角的平分线。
2.角平分线的外角性质：角平分线所在直径上的角是180度的外角。
五、角平分线的证明方法
1.角平分线的证明方法一般采用反证法或者直接证明。
比如，先假设直线不是角的平分线，然后利用假设得出矛盾，从而得到直线是角的平分线。
2.对于一些特殊的角，可以直接利用三角形的辅助线去证明角平分线的存在性和性质。
八年级角平分线
八年级角平分线角平分线，这是一个几何术语，也是数学中的一个基本概念。
在八年级的数学课程中，我们学习了角平分线的性质和判定方法。
下面，我将从定义、性质、判定方法三个方面，对八年级角平分线进行解析。
角平分线是指从一个角顶点引出一条射线，将这个角分成两个相等的角。
这条射线叫做角的平分线。
在书写时，我们通常用符号“”来表示角平分线，例如，如果有一个角AOB，那么它的角平分线可以表示为。
角平分线有许多重要的性质。
这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是角平分线的一些主要性质：角平分线将对应的边分为两段，两段长度相等。
也就是说，如果一个角AOB被分为两个相等的角，那么从角的顶点到角平分线的任意一点的距离等于另一段距离。
角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
这意味着，如果你在角平分线上画一个点，那么这个点到角的两边的距离是相等的。
角的两边中点之间的连线是角平分线。
这是一个重要的性质，可以帮助我们在不知道角平分线的情况下找到角平分线的位置。
在八年级的数学课程中，我们学习了如何判断一个线段是否是角平分线。
以下是两种主要的判定方法：如果一个线段将一个角的两边等分，那么这个线段是这个角的平分线。
如果一个线段通过一个角的顶点，且将这个角分成两个相等的角，那么这个线段是这个角的平分线。
在几何学中，角平分线是一个非常重要的概念。
它不仅可以帮助我们解决一些简单的问题，还可以帮助我们理解更复杂的几何问题。
在八年级的数学课程中，我们学习了角平分线的性质和判定方法，这为我们进一步学习几何学打下了坚实的基础。
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一。
在三角形中，中线和角平分线是两种非常重要的线段，它们在几何学中有着重要的性质和应用。
三角形的中线是指连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段。
三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，且每条中线都与三角形的三条边相交。
三角形中线的性质包括：1）任意两边中线的长度相等；2）中线将三角形的面积分成相等的两部分；3）当一个顶点与中线的交点之间的连线作为辅助线时，可以构成直角三角形。
初二角的平分线知识点
初二角的平分线知识点
角的平分线是指通过角的顶点且将角分成两个相等的角的直线。
每个
角都有两条平分线，分别位于角的两侧。
角的平分线具有以下性质：
1.平分线与角的两边相交于顶点，将角分成两个相等的角。
2.在角的顶点处，平分线与角的两边构成两对垂直的相等角。
3.平分线的两侧对称。
角的平分线的相关运用和应用：
1.利用平分线可以证明两个角相等。
a.若两个角的平分线相交于一点，则这两个角是相等的。
b.若两个角的平分线分别平行，则这两个角是相等的。
c.若两个角的平分线分别垂直且相交于同一点，则这两个角是相等的。
2.利用平分线可以求得角的度数。
如图中所示，AB为角的平分线，角ACB的度数为x度，因为AD与AC
垂直，所以角DAB和角CAB的度数也为x度。
因此，通过观察这些角所围
成的其他图形，可以得到角ACB的具体度数。
3.平分线的运用还可用于构造各类几何图形。
a.构造角的平分线：给定一个角，需要用尺规作图来找到该角的平分线。
b.利用平分线构造等边三角形和正五边形等特殊多边形。
总之，平分线作为几何中的重要概念，在几何证明和构造中具有广泛的应用。
熟练掌握角的平分线的性质和运用，对于理解几何知识和解决相关题目有很大帮助。
人教版数学八年级上册 角的平分线的性质(第1课时)
课堂小结
尺规 作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角平分线 性 质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
为证明线段相等 提供了又一途径
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
巩固练习
如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于
点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( B)
A. OD>OE
B．OD＝OE
C. OD<OE
D．不能确定
探究新知
素养考点 1 角平分线的性质的应用
例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且
BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
O
课堂检测
4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分
别是C，D，下列结论中错误的是(D )
A.PC＝PD
B. OC＝OD
C. ∠CPO＝∠DPO
D. OC＝PC
5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为
E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长D是( C )
D
求证：EB=FC.
A
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF，
E B
D
F C
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
巩固练习
如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB， PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
九年级数学角平分线知识点
九年级数学角平分线知识点角平分线，作为数学中的一个重要概念，是九年级数学教学内容中的一部分。
它在几何学中扮演着重要的角色，不仅是解决几何问题的关键，也是应用于实际生活中的数学原理之一。
本文将详细介绍角平分线的定义、性质和应用。
1. 定义角平分线是指一个线段将一个角分成两个相等的角。
具体来说，对于一个给定角ABC，在其中选择一个点D，并且连接AD，使其刚好平分角ABC，那么线段AD就是角ABC的平分线。
同样的，角的平分线也可以延长，即延长线段AD，则其也仍然保持平分角ABC。
2. 性质（1）角平分线上的任意一点都在该角的内部。
（2）一个角的内角平分线可以与该角的外角平分线相交。
（3）如果一个点在一个角的内角平分线上，那么该点到角两边的距离相等。
（4）如果一个角的两边被一条角平分线分为两个相等的线段，那么该角是一个直角。
（5）如果一个角的两边被一条角平分线分为两个不相等的线段，那么该角不是一个直角。
3. 应用角平分线的性质和定义在解决几何问题时发挥着重要的作用。
它被广泛应用于测量和校准领域。
例如，在地理测量中，我们可以利用角平分线的概念来确保准确测量两个点之间的距离。
在建筑设计中，使用角平分线可以保证建筑物的结构和比例的准确性。
此外，角平分线的性质还可以应用于证明问题。
证明某个角是直角或者某条线段是角平分线，都可以利用角平分线的性质进行推导。
通过使用角平分线的定义和性质，我们可以解决许多几何问题，并推广到更复杂的应用中。
总结起来，九年级数学中的角平分线知识点是十分重要的。
了解角平分线的定义、性质和应用，可以帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。
而且，角平分线的概念也为我们理解和学习更高级的几何概念打下了基础。
因此，在学习数学过程中，我们应该仔细研究角平分线的知识点，并在实践中加以运用。
通过不断练习和掌握，我们可以更好地应用角平分线解决实际问题，并提高数学解决问题的能力。
总的来说，角平分线是一个十分有用的数学概念，在解决几何问题和实际应用中起到了关键的作用。
人教版数学八年级上册 角的平分线的性质(第2课时)
课堂检测
基础巩固题
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，
OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，
OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
课堂检测
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC
交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知 方法点拨
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
探究新知
角的平分线的性质 角的平分线的判定
归
图形
C P
C P
纳
总
结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知 条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组
垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
探究新知
证明结论
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，
△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度
数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角 平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所∠B以C有O＝∠C∠BAOC＝O＝∠AB1 ∠OA＝CB12 ，∠ABC，
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初中数学角平分线的几何知识点
初中数学角平分线的几何知识点
初中数学角平分线的几何知识点
2020-01-07
初中数学角平分线的几何知识点
角平分线要领：由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
角平分线三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等。
三角形的角平分线不是角的平分线：前者是线段，后者是射线。
其它解释：角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。
三角形的角平分线定义三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。
(也叫三角形的内角平分线。
) 由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
且，三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
知识总结：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相
垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
初中数学知识点：点的坐标的性质下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。
点的坐标的性质建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。
反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。
一个点在不同的’象限或坐标轴上，点的坐标不一样。
希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。
初中数学知识点：因式分解的一般步骤关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。
因式分解的一般步骤如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。
因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。
初中数学知识点：因式分解下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。
因式分解因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④ 因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c) 公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。
②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
提取公因式步
骤：①确定公因式。
②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
分解因式注意；
①不准丢字母②不准丢常数项注意查项数③双重括号化成单括号④结果按数单字母单项式多项式顺序排列⑤相同因式写成幂的形式⑥首项负号放括号外⑦括号内同类项合并。
通过上面对因式分解内容知识的讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望上面的内容给同学们的学习很好的帮助。