1数学归纳法(能力)
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数学归纳法
【知识要点】
数学归纳法证明命题的步骤
(1)先证明当n=n 0(n 0是使命题成立的最小自然数)时命题成立;
(2)假设当n=k (k ∈N*, k ≥n 0)时命题成立,再证明当n=k+1时命题也成立;
(3)结论.
【典型例题】
例1.基础训练
1.若f (n )=1+
1213121++⋅⋅⋅++n (n ∈*N ),则当n=1时,f (n )为( ) A.1 B.31 C.1+3121+ D.非以上答案 2.设f (n )=11+n +21+n +31+n +…+n
21(n ∈*N ),那么f (n+1)-f (n )等于( ) A.121+n B.2
21+n C.121+n +221+n D.121+n -2
21+n 3.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n )=2n ·1·3·…·(2n -1)”,从“k 到
k+1”左端需增乘的代数式为( )
A.2k +1
B.2(2k +1)
C.1
12++k k D.132++k k 4.已知某个命题与正整数有关,如果当)(*N k k n ∈=时该命题成立,那么可以推得
1+=k n 时该命题也成立.现已知5=n 时该命题不成立,则( )
A.4=n 时该命题成立
B.6=n 时该命题不成立
C.4=n 时该命题不成立
D.6=n 时该命题成立
5.用数学归纳法证明2n >n 2
(n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ;
6.如图,第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来(n =1,2,3,…),则第n 个图形中共有____________个顶点.
例2.用数学归纳法证明:()2222(1)(21)1236n n n n n N *++++++=∈
例3.求证:n n n +≤++++≤+
212
13121121
例4.已知数列{bn }是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.
(1)求数列{bn }的通项公式bn ;
(2)设数列{a n }的通项a n =lg (1+n
b 1),记S n 为{a n }的前n 项和,试比较S n 与 2
1lg bn +1的大小,并证明你的结论.
例5.是否存在常数a,b,c,使等式1·22+2·32+……+n(n +1)2=12)1( n n (an 2+bn +c)对一切自然数n 成立?并证明你的结论.
【课堂练习】
1.凸n 边形有f (n )条对角线,则凸n+1边形有对角线条数f (n+1)为( )
A.f (n )+n+1
B.f (n )+n
C.f (n )+n -1
D.f (n )+n -2
2.474
131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出 ___ ___ __ 3.证明:
*1115()1236
n N n n n +++≥∈++
4.求证:()()()*sin 2cos cos3cos 212sin nx x x n x n N x
++
+-=∈