第四章4.4.1对数函数的概念

2021-2022学年高一数学必修一第4章

4．4 对数函数 4．4.1 对数函数的概念

学习目标 1.理解对数函数的概念.2.会求简单对数函数的定义域.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．

知识点 对数函数的概念

一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

思考 函数y ＝log πx ，y ＝log 2x

3是对数函数吗？

答案 y ＝log πx 是对数函数，y ＝log 2x

3

不是对数函数．

1．由y ＝log a x ，得x ＝a y ，所以x >0.( √ ) 2．y ＝log 2x 2是对数函数．( × ) 3．若对数函数y ＝log a x ，则a >0.( √ )

4．函数y ＝log a (x －1)的定义域为(0，＋∞)．( × )

一、对数函数的概念及应用 例1 (1)下列给出的函数： ①y ＝log 5x ＋1；

②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③31)

log ;y x =

④y ＝log 3x

2；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；

⑥2π

log .y x =其中是对数函数的为( )

A ．③④⑤

B ．②④⑥

C ．①③⑤⑥

D ．③⑥

(2)已知对数函数的图象过点M (8,3)，则f ⎝⎛⎭⎫

12＝________. 答案 (1)D (2)－1

解析 (1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x ，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x ，而非常数a ，所以不是对数函数，故③⑥正确．

(2)设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，由图象过点M (8,3)，则有3＝log a 8，解得a ＝2.所以对数函数的解析式为f (x )＝log 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法

对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)对数式系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x .

跟踪训练1 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )

①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B

(2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________. 答案 －3

二、与对数函数有关的定义域 例2 求下列函数的定义域． (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x )； (3)y ＝log 1－x 5.

考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域

解 (1)由⎩

⎪⎨⎪⎧

3－x >0，3＋x >0，得－3

∴函数的定义域是(－3,3)． (2)由16－4x >0，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，

∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为(－∞，2)．

(3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧

1－x >0，

1－x ≠1，得x <1且x ≠0，

∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．

反思感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变． 跟踪训练2 求下列函数的定义域． (1)y ＝x 2－4

lg (x ＋3)；

(2)y ＝

1

2－x

＋ln(x ＋1)． 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域

解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2－4≥0，x ＋3>0，

x ＋3≠1，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≤－2或x ≥2，x >－3，x ≠－2，

即－3

故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧

2－x >0，x ＋1>0，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

x <2，x >－1，

∴－1

例3 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12log 3θ

100，单位是m/s ，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．

(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 解 (1)由v ＝12log 3θ

100

可知，

当θ＝900时，v ＝12log 3900100＝1

2

log 39＝1(m/s)．

所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.

(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量为v 1，θ1，提速后的游速、耗氧量为v 2，θ2.

由v 2－v 1＝1，即12log 3θ2100－12log 3θ1

100＝1，

得θ2

θ1

＝9. 所以耗氧量的单位数为原来的9倍． 反思感悟 对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论．

1．下列函数为对数函数的是( ) A ．y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1) B ．y ＝log a (2x )(a >0且a ≠1) C ．y ＝log (a －1)x (a >1且a ≠2) D ．y ＝2log a x (a >0且a ≠1) 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 答案 C

2．函数y ＝log 2(x －2)的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞)

D ．[4，＋∞)

考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 答案 C

3．函数f (x )＝3－x ＋lg(x ＋1)的定义域为( ) A ．[－1,3) B ．(－1,3) C ．(－1,3] D ．[－1,3] 答案 C

4．对数函数f (x )过点(9,2)，则f ⎝⎛⎭⎫

13＝________. 答案 －1

解析 设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，log a 9＝2， ∴a 2＝9，∴a ＝3(舍a ＝－3)，