数学建模课表安排

bij J J ,
i 1 J 1
10
m a i m 1

bij J
J 21

30
J , ,
( h 1) m a i ( h 1) m 1

bij J
20h 10 J 20( h 1) 1

J
依此建立一个优化类的数学模型， 在 lingo 软件
j时间上i课 j时间不上i 课 bij J
2.3 以满足学生要求尽量把课程安排在每天你的最优时段列目标函数： min 再以下列要求作约束条件； （1） 一个班在一个时间对应一堂课，则有：
b
j 1
20 h
ij
1
（2） 本专业仅有 l 个教室，则有：
b
i 1 j 1
hm 20 h
ij
hl
二． 问题分析
问题一：通过对多张课表的研究，发现排课表过程中的主要影响因素间关系如下图 B 课程 时间
A
C
D
E 教室 老师
分别以单箭头左边的为行右边的为列建立两关系间的有效矩阵 A、B、D，由 A B 得矩
阵 C，再由 C D 得矩阵 E,确定其中的时间课程矩阵 B 为目标矩阵,以 A、C、D 影响矩阵为 约束对目标矩阵进行修改即可得所求的最优目标矩阵 B，以最优目标矩阵 B 初排课表，再根 据修正矩阵 E 对初排课表进行修正即可得最优排课表。 问题二:运用我们建立的模型， 以宝鸡文理学院数学系 08 级信息与计算科学专业为例， 对该 专业的课表进行了重排，并和现有的该专业的课表进行了对比分析； 问题三：首先，找出与和学校、教师、学生的满意度有关的因素，已知对学生而言，希望尽 量把重点难学的课程安排在黄金时间上午且连着上课时不要换教室； 对老师而言， 要求尽量 安排一天内能连续上课，避免出现早上 1-2 节，下午 7-8 节课的情况，使得老师在学校的逗 留时间尽可能的少；对学校而言，希望尽可能减少每周派往新区的车次，为学校节省开支。 其次，对这些因素进行综合分析，找出主影响因素。最后以在主影响因素下各方的满意概率 为评价指标，对本模型的优缺点进行评价，在继承优点的同时改进缺点。 问题四：通过我们建立的排课模型，综合优缺点分析，对学校教务处排课表问题中出现的问 题给出合理的、可行性的建议。
已知 l 间教室中有单用教室（ x 间） ，公用教室（ y 间）对教室按由小到大依次排序，即为 Wi （ i 1 x, x 1, x y ）其中 l x y ，则 i 1, , l . 以课时序号 J uv 为行，以教室 Wi 为列，做上课时间与教室之间的关系矩阵
D20 hl
宝鸡文理学院新校区课表安排问题
编号：J4004 摘要：每学期的开学初，总有许多老师对新校区的课程安排很有意见，本文选取宝鸡文理学 院某系某专业的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵 为目标矩阵， 通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法， 对新校区各系各专业的课表进行了重 排。在具体模型建立过程中采用了 0-1 矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模 型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐 层修改，得出最优排课表，最后通过 lingo 软件加以实现。运用我们建立的数学模型，对宝 鸡文理学院数学系 08 级信息与计算科学专业的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表 进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。根据新课表中每节课对应的相关因素（课 程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上 课老师人数的研究安排校车的接送） 。我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量 标准，以宝鸡文理学院数学系 08 级信息与计算科学专业的课表为例，可得学校、教师和学 生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、 在新区逗留时间、 专业课排在早上， 计算得评价指标分别为 0.88、1、1，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过 80%， 即做到了三者兼顾的满意最大化。最后，通过我们建立的模型，我们给教务处排课表问题给 处了一些合理的、可行性的建议。 关键字：排课问题 0-1 矩阵 矩阵的乘法 优化目标矩阵 满意度
p ：专业课老师数； q ：公共课老师数； r ：选修课老师数； Gi ：表示课堂序号， i 1, , m ； J uv ：表示上课时间序号， u 1, , h; v 1, , 20 ； Tk ：表示老师序号； Wi ：教室序号； A : 表示老师和课堂之间的关系矩阵； B ：表示课堂和上课时间之间的关系矩阵； C ：表示老师和上课时间之间的关系矩阵； D ：表示上课时间和教室之间的关系矩阵； E ：表示老师和教室之间的关系矩阵； p1 ：学校满意度 p2 ：老师满意度 p3 ：学生满意度

d ij
1 ，其中 d ij i 1, , 20 h ; j 1, , l 0
10 x 30 x
i时间在j教室上课 i时间不在j教室上课
20 h 10
，
（1） 小教室上专业课，则：
dij 3a, dij 3a, ,
3a 2b 1, ,3a 2b c ）其中 m 3a 2b c ，则 i 1, , m .
依 此 顺 序 对 h 个 班 的 课 进 行 排 序 可 得 此 专 业 课 堂 序 号 为 Gi ，
i 1, , m, m 1Βιβλιοθήκη Baidu , 2m, , hm ，
1.2 将 n 位代课老师按专业课（p 位） ，公共课（q 位）选修课（r 位）依次排序，记为 Tk
[1]
中编程， 运行后可得课堂与上课时间
之间的效矩阵 Bhm20 h

bij
（具体的程序见附录一）.
3,老师与时间之间的有效矩阵 从 1 中老师与课程间的有效矩阵 Anhm 中任选一个，从 2 中课程与上课时间之间的有效矩阵
Bhm20 h 任选一个，两矩阵做乘积可得；Cn20 h Anhm Bhm20 h ,显然 Cn20 h 表示老师与课程
（3） 每 班 所 有 的 20 堂 课 必 须 在 20 个 课 时 内 上 完 ， 则 有 ：
b
i 1 j 1 a
m 20 h
ij
m,
2m
i m 1 j 1
b
20 h
ij
m, ,
i ( h 1) m 1 j 1
b
hm
20 h
ij
m
（4） 专业课放在最优时间，则有：
一． 问题重述
每学期的开学初， 总有许多老师对对新校区的课程安排进行抱怨， 还有许多老师要求调 课，教务处对这一问题很是头疼。根据宝鸡文理学院院的实际情况，用数学建模的方法解决 这一问题，既要让老师满意，又要让同学和学校满意。 让老师满意， 就是要让每位老师在一周内前往新校区上课的乘车次数尽可能少， 同时还 要使每位老师在新校区逗留的时间尽可能少，比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上 1-2 节，7-8 节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少 应隔一天上一次， 另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段； 同时为避免下课 楼道拥挤，对于上午有四节课的班级，在教室功能允许的情况下，应尽量避免更换教室；让 学校满意，就是要节约支出，每周派往新校区的车次尽可能的少。 从学院的实际情况出发，收集相关数据，用数学建模的方法解决以下问题： 1) 建立排课表的数学模型，并研制出排课表的软件包； 2) 利用建立模型及软件对本学期新校区的课表进行重排， 并与现有的课表进行比较； 3) 给出评价指标评价你的模型，特别要指出模型的优点与不足之处； 4) 对学校教务处排课表问题给出你的建议
2.2 以 课 堂 序 号 Gi 为 行 ， 以 课 时 序 号 J uv 为 列 ， 做 课 堂 与 上 课 时 间 之 间 的 关 系 矩 阵
Bhm20 h

bij
1 ,i 1, , hm ; j 1, , 20h .其中 bij 0
三． 模型假设
1， 假设专业课一周上 3 次，公共课一周上 2 次，选修课一周上 1 次； 2， 假设一位老师只能带一门课程； 3， 假设教室只有大小两种类型； 4， 假设晚上不排课； 5， 假设小教室一次最多上 1 个班，大教室一次最多上 2 个班；
四． 符号说明
h ：表示班级数； l ： 表示教室数； x ：表示单用教室； y ：表示公用教室； m ：表示课堂数； a ：表示专业课门数； b ：表示公共课门数； c ：表示选修课门数； n ：表示有代课老师数；
i 1 j 1 i 21 j 1 20 h
20( h 1) 1 j 1
d
x
ij
3a
（2） 大教室上非专业课，一次两个班，则：
d
i 1 j x 1
l
ij

h(m 3a ) 2
5.从 3 中所得老师与时间的有效矩阵 Cn20 h

ckj
中任取一个，从 4 中所得的关系
20 h
kj
j {21, 23, 25, 27, 29,31, ,39, , 20(h 1) 1, 20(h 1) 3, , 2 0(h 1) 9} ;
2)所有非 0 的 cij 为相同的常数。 则以此矩阵为修正矩阵对 B 矩阵中相关元素作修改， 根据 B 矩阵排出课表， 此时课表中每一 项中包括科目、代课老师。 4.建立上课时间与教室的有效矩阵 D
和时间之间的关系矩阵。
若所得矩阵 Cn20 h

ckj
k 1, , n ; j 1, , 20h ，
，
其中 ckj
2 hm 1， 0
k 老师在j时间上课满意指数 k 老师在j时间不上课
满足：1)老师逗留是假尽可能的少 即：
c
j 1
五． 模型建立求解
问题一：假设某系某专业有 h 个班，n 位代课老师，每个班每周 m 堂课（一堂课为两小节） ，
l 间教室。
1.建立老师与课程之间的有效矩阵 A 1.1 将一周内的所有课按专业课（a 门） ，公共课（b 门） ，选修课（c 门）依次排序，记为 Gi （ i 1 a, a 1, 2a, 2a 1, 3a,3a 1, 3a b,3a b 1, 3a 2b,
矩阵 D20 hl

d ij
中任取一个，两个矩阵做乘积可得： Enl Cn 20h D20hl ，显然 Enl 表示老师和教室之间的关系矩阵。若所得矩阵 Enl eij i 1, , n ; j 1, ,l ，
（ k 1, , p , p 1, , p q , , p q 1, , p q r ）， 其 中 p q r n ， 则
k 1 n ，
1.3 以 老 师 序 号 Tk 为 行 ， 以 课 堂 序 号 Gi 为 列 ， 做 老 师 与 课 堂 之 间 的 关 系 矩 阵
通 过 上 表 可 得 课 时 向 量 v (1, 2, , 20) ， 依 此 可 得 h 个 班 的 课 时 向 量 排 序 为
J uv (1, , 20, 21, , 40, , 20(h 1) 1, , 20h ) . (u 1, , h; v 1, , 20)
Anhm

aki
1 .其中 aik , k 1, , n ; i 1, , hm 0 aki
k老师上i课 k老师不上i 课
则所得的矩阵 Anhm
为老师与课堂之间的有效矩阵。
2.建立课程与时间之间的有效矩阵 B 2.1 给一周内的所有上课时间赋值 星 课 时 1、2 节 3、4 节 5、6 节 7、8 节 1 10 11 20 2 9 12 19 3 8 13 18 4 7 14 17 5 6 15 16 星期一 星期二 (表一) 星期三 星期四 星期五