等效电偶极矩产生的电势

x2
x2

x3
)2 x3
f
(0)

f
(0)

(x
)
f
(0)

1
(x
)2
f (0)
2
(3) 将
1在
r
x 0 点展开
1 1 f (x x), x 0, 1 1
r x x
rR
f (x x) f (x) (x ) f (x) 1 (x )2 f (x) 2
r X
R x2 y2 z2
X O l V
r | x x | (x x)2 ( y y)2 (z z)2
f (x x') 在 x' 0 附近作泰勒展开
2. 1 的泰勒展开
r
(1) 一元函数的泰勒展开式（在坐标原点展开）
f (x) f (0) 1 df (0) x 1 df 2 (0) x 2
但是在许多实际情况中，电
荷分布区域的线度远小于该区 域到场点的距离，可以近似处
理，解析求解。条件 l r 。
P
r
x
x l
O ( x)
原子核线度 1015 m
原子线度 1010 m
若电荷分布在有限的空间，空间的线度为 l ,
则该电荷分布对空间较远处 r 产生的场，可 以按小参量 l r 进行展开。
40 V
R
R2
R
电偶极矩矢量
Q (x)dV V
p V (x)xdV


D 3xx(x)dV 电四极矩张量 V
Dij
3xixj

(
x
)dr
i 1 3, j 1 3
(x) Q 1 p 1 1 1 D : 1
1 1 (x ) 1 1 (x )2 1
rR
r x0 2
r x0
1 (x ) 1 1 (x )2 1
R
R2
R
1 (x ) 1 1 (xx : ) 1
R
R2
R
其中 ( 1 1 1 , aa : bb (a b)2 )
2 xi x j
1 R


2
D : ij Dijei e j : kl xk xl ek el

ij
Dij
kl
2 xk xl
jk il

ij
Dij
2 xi x j
(2)等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简
单的体系为坐标原点附近（+，-，+，-）四个点
依定义 D33 0 其它分量均为零
D33
3zz (x)dV
V
z 3zzQ (z z)dz
z
3z1z1Q 3z2 z2Q 3z3z3Q 3z4 z4Q
3(b2 a2 a2 b2 )Q 6Q(b2 a2 )
6Q(b a)(b a) 6 pl
电荷产生的电势
电四极矩最简单体系举例：
四个点电荷在一直线上按 （+，-，-，+）排列，可看作
z
b+
r+
P
一对正负电偶极子。
l a b
a
-
q
R
r-
lO
P上 Q(b a)ez p
-a -
x
P下 Q(b a)ez p
体系总电荷、总电偶极矩为零
-b +

1
40
p
1 R

1
40
p (

R R3
)

pR
40 R3
等效电偶极矩 p 产生的电势。最简单的体系为
两个点电荷产生的电势。

P
+Q
| r |

q |r|

lO
| r |
-Q
(2)
1
4 0
1
D
:

1

1
6
R 40
1 6
ij
Dij

x22
2
f
(0, 0, 0) x2

x32
2
f
(0, 0, 0) x3

2 x1 x2
2 f x1x2
2x1x3
2 f x1x3
2x2 x3
2 f ] x2x3

f
(0)

1 1! ( x1
x1

x2
x2

x3
x3
)
f
(0)

1 2!
(
x1
x1


1
4 0
1 6 6 plezez
: 1 R

1
4 0
pl
2 z 2
(1) R
它与直接计算结果完全一致（ l R ）：


p r
40r3
p r
40r3
1
40
p [
1
r
1 ] r
r
1 p (1 1)
40 z r r
R l cosq
2
r

R

l 2
cosq
( p pez )
1! dx
2! dx 2
(2) 三元函数的泰勒展开
f (x) f (x1, x2, x3)
1 f (0,0,0) f (0,0,0) f (0,0,0) f (0, 0, 0) 1!(x1 x1 x2 x2 x3 x3 )

1[ 2!
x12
2
f
(0, 0, 0) x1
40R 40
R 40 6
R
(0) (1) (2)
二、电多极矩
1.展开式的物理意义
(0) Q 40 R
等效于坐标原点点电 荷产生的电势。因此小 电荷体系在电荷分布区 外产生的电势在零级近 似下可视为将电荷集中 于原点处产生的电势。
|R|
(1)
§2.6 电多极矩
主要内容 一、电势的多极展开 二、电多极矩 三、电荷体系在外电场中的能量(相互作用能)
一、电势的多极展开
1.小区域电荷分布
若已知

(
x
)
，原则上可通过
(x)
(x)dV
求电势。
40r
一般若体电荷分布不均匀或
区域不规则，积分十分困难பைடு நூலகம்
（用计算机可数值求解）。
r x0
r x0
R
3.小区域电荷分布产生的电势
(x) (x)dV 40r

(x)

1
(x)[ 1 x 1 1 xx : 1 ]dV
40 V
R
R2
R

(
x)

1
(x)[ 1 x 1 1 xx : 1 ]dV