等效电偶极矩产生的电势

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电磁场与电磁波答案

23 谐振腔和波导管内的电磁场只能存在或者传播一定的频率的电磁波是由谐振腔和波
导管的边界决定的。
24 写出采用洛伦兹规范和在此规范下的电磁场方程： v v v 1 ∂2Α v 1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ρ 2 2 J ， = − µ ∇⋅Α+ 2 = 0，∇ Α − 2 ∇ ϕ − =− 。 0 2 2 2 ε0 c ∂t c ∂t c ∂t 25 推迟势的本质是电磁作用具有一定的传播速度。
i 1 1 1v v 41 电磁场张量 Fµν按下列方式构成不变量。 Fµν Fµν = B 2 − 2 E 2 ， ε µνλτ Fµν Fλτ = B ⋅ E c 2 8 c 42 静止µ子的寿命只有 2.197×10-6 秒，以接近光速运动时只能穿过 660 米。但实际上很
大部分µ子都能穿过大气层到达底部。在地面上的参考系把这种现象描述为运动µ子寿命延长的效应。但在固定于µ子上的参考系把这种现象描述为运动大气层厚度缩小的效应。
二、填空题
1 电动力学的研究对象是电磁场的基本属性和运动规律，研究电磁场与带电粒子之间
的相互作用。
2 位移电流是由麦克斯韦首先引入的，其实质是电场的变化率。 3 麦克斯韦首先预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。 4 麦克斯韦方程和洛伦兹力公式正确描述了电磁场的运动规律以及它和带电物质的相
互作用规律。 v v v v 5 各向同性线性介质的极化强度 P 和外加电场 E 之间的关系是 P = χ e ε 0 E ，其中 χ e 是介质的极化率， ε 0 是真空电容率。 v v ∂B 。 6 变化的磁场产生电场的微分方程为 ∇ × E = − ∂t
时空坐标相互变换。相应地，电磁场的三维矢势和一维标势构成一个统一体，不可分割，当参考系改变时，矢势和标势相互变换。（√）（×） 28 时间和空间是两个独立的物理量，不能统一为一个物理量。

电势物理含义-概述说明以及解释

电势物理含义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：电势是电学中一个重要的物理概念，它描述了空间中某一点的电场势能与单位正电荷所受力之间的关系。

在电势的理论中，我们常常用电势能单位正电荷所受力的大小来表示电势的大小。

电势的物理意义十分重要，它不仅仅在电学领域具有广泛的应用，也与其他领域有着紧密的联系。

本文旨在对电势的物理意义进行深入探讨，包括电势的定义与概念、电势的物理意义以及电势的计算方法。

通过对这些方面的介绍，我们将更加全面地理解电势的含义与其在实际应用中的作用。

在电势的定义与概念部分，我们将深入探讨电势的定义和基本概念。

我们将介绍电势的定义是指单位正电荷所具有的电势能，并探讨电势与电荷之间的关系。

同时，我们将介绍电势的单位和量纲，并解释电势是一个标量量。

在电势的物理意义部分，我们将探讨电势在物理上代表的含义。

首先，我们将讨论电势与电场强度之间的关系，即电势是电场强度的负梯度。

我们还将介绍电势能的概念，并解释电势能如何与电势相关联。

在电势的计算方法部分，我们将详细介绍电势的计算方法，并提供一些具体的例子来帮助读者更好地理解这些方法。

我们将介绍如何计算点电荷、电偶极子和连续分布电荷所产生的电势，并探讨在各种情况下的应用和限制。

最后，通过对电势的重要性、电势与电场的关系以及电势在实际应用中的作用等方面的总结，我们将进一步强调电势在物理学中的重要性。

无论是在电学、电子学还是其他相关领域，电势的理解与应用都具有重要的价值。

综上所述，在本文中，我们将全面介绍电势的物理含义。

通过对电势的定义与概念、物理意义以及计算方法的讨论，读者将能够更好地理解电势在电学中的重要性，并了解其在实际应用中的作用。

希望本文能够对读者有所启发，进一步加深对电势的理解和应用。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来探讨电势的物理含义。

首先，在引言部分，我们将对电势的概念进行简要的介绍，并阐明本文的目的。

接下来，在正文部分，我们将从以下几个方面深入探讨电势的物理意义。

电动力学-选择题填空题判断题问答题复习

《电动力学1》随教材复习题目一、章节容：第0章矢量分析第一章电磁现象的普遍规律第二章静电场第三章静磁场第四章电磁波的传播第五章电磁波的辐射二、题型1. 选择题，填空题，判断题、问答题2. 计算题（见教材例题）2018年5月第0章矢量分析一、选择题0.1设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则有（ B ）A. 0=∇rB. r r r ∇=C. 0=∇'rD. r r r'∇= 0.2位置矢量r 的散度等于（B ）A ．0 B.3 C.r1 D. r 0.3位置矢量r 的旋度等于（A ）A.0B.3C.r rD.3rr 0.4位置矢量大小r 的梯度等于（ C ）A.0 B .r 1 C. r r D.3rr 0.5r 1∇=？（ B ） A. 0 B.3r r - C.r r D .r 0.6⨯∇3r r =？（A ） A. 0 B .r r C.r D.r 1 0.7⋅∇3rr =？（其中r ≠0）（ A ） A.0 B.1 C.r D.r1 二、填空题0.1位置矢量r 的散度等于（ 3 ）。

0.2位置矢量r 的旋度等于（ 0 ）。

0.3位置矢量大小r r r 。

0.4无旋矢量场可以引入(标)势来处理，无源矢量场可以引入(矢)势来处理。

0.5(无旋)矢量场可以引入标势来处理，(无源)矢量场可以引入矢势来处理。

三、判断题0.1标量场的梯度必为无旋场。

（√）0.2矢量场的旋度不一定是无源场。

(×) 0.3无旋场必可表示为标量场的梯度。

(√) 0.4无源场必可表示为另一矢量的旋度。

(√)第一章电磁现象的普遍规律一、选择题1.1对于感应电场下面哪一个说确（ D ）A 感应电场的旋度为零B 感应电场散度不等于零C 感应电场为无源无旋场D 感应电场由变化磁场激发1.2从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( B )A 有源无旋场B 有源有旋场C 无源无旋场D 无源有旋场1.3从麦克斯韦方程组可知变化磁场是（ D） A 有源无旋场 B 有源有旋场 C 无源无旋场 D 无源有旋场。

运动电偶极矩的类A-C效应

运动电偶极矩的类A-C效应王康;李炜【摘要】近些年来量子力学中的相位问题在凝聚态物理学中扮演着至关重要的角色,比如Aharonov-Bohm效应,AharonovCaser效应和Berry相位.这里我们根据电磁的对偶性,提出一个运动电偶极矩在磁场中也能产生类Aharonov-Caser效应.同时,我们还从数学角度指出产生这些量子力学的相位效应的根源是来自于运动系统中的势能不仅是位置的函数,而且还是速度的函数.因此,根据我们的结论可以设计全新的物理模型来实现新型的量子力学相位效应.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)012【总页数】4页(P70-72,81)【关键词】量子力学的相位;运动电偶极矩;类Aharonov-Caser效应【作者】王康;李炜【作者单位】上海科技大学物质科学与技术学院,上海201210;中国科学院上海微系统与信息技术研究所信息功能材料国家重点实验室,上海200050【正文语种】中文【中图分类】O413.2在近代物理学中，通过对物质的波-粒二象性的理解，引入波函数的描述方法而建立起来的具有严整逻辑体系的量子力学，给复杂的微观体系现象以一个自洽的理解和解释，并得到许许多多崭新的理论[1-3].同时，量子力学中的许多理论预言现象不断被实验所证实，而且量子理论本身也还在不断地深化和发展，其中最为显著代表的是量子力学中的相位问题[4].它与当前凝聚态物理学最前沿、最活跃的有关拓扑绝缘体方面的研究领域有着密切的关系[5，6].量子力学的相位首先是由Aharonov和Bohm于1959从理论上率先提出[7]，即电子在其运动的路径上不经历着电场强度E和磁感应强度B，但只要存在着标势φ和矢势A，电子波函数的相位就会发生变化.这种相位的变化，可以用电子波的干涉实验来观察.这就是著名的A-B效应.通过此效应充分展示了矢势A和标势φ在量子力学中所扮演的重要角色.1984年，Aharonov和Caser根据电磁对偶性在理论上又提出了A-C效应[8].这里需要指出的是A-B效应主要讨论的是电子在矢势A的作用下在运动路径上的相位的变化，而A-C效应则是主要讨论具有磁矩的电中性粒子在无电场力和磁场力作用，但仍有电场势的影响的条件下沿运动路径方向上的相位累积.相比较A-B效应，A-C效应实际上是运动中的具有电中性的磁矩为μ的粒子在狭义相对论效应下会诱导出电偶极矩P.这时类似于A-B效应的物理机制，电偶极矩P在电场E的作用下粒子波函数的相位也会发生变化.根据上述讨论的物理图像，我们可以猜想一个运动中的具有电偶极矩为P的粒子在狭义相对论效应下会诱导出磁偶极矩M.该磁偶极矩M在磁势的作用下也会发生类似于A-C效应，使得粒子波函数的相位随运动而发生变化.为了简易地推导出运动的电偶极矩P在外磁场B的作用下会使得电子发生类似于A-C效应，我们先从A-B效应出发，得到最一般的拉格朗日量L的数学表示形式以准确地描述A-B效应，再通过验证A-C效应的准确性，最后应用到运动的电偶极矩的类A-C效应.我们知道拉格朗日量是以广义坐标q和广义速度以及时间t为参数的物理动力学量，并服从欧拉-拉格朗日运动方程：这时拉格朗日量L对广义坐标q和广义速度的一阶偏微商分别记为： F=称为广义力，和称为正则动量.一般来说，系统的能量主要包含粒子的动能T和势能V两部分，而动能T往往仅是广义速度的函数.如果势能V仅仅是广义坐标q的函数，那么拉格朗日量L就可以表示为： L=T-V，称为类能量，以满足欧拉-拉格朗日方程(1).如果体系的势能V不仅是广义坐标q的函数，而且还是广义速度的函数，那么拉格朗日量L就不再可以表示为T-V了.比如带电荷量为Q的粒子在电磁场中的运动，它所受到的洛伦兹力为如果按照拉格朗日量L=T-V的定义，动能T= mv2，势能V=Qφ，那么根据欧拉-拉格朗日方程(1)，于是得到：F′=QE+Q与洛伦兹力式(4)不一致.这就说明拉格朗日量L=T-V的定义在该系统是不能成立的. 为了得到准确的拉格朗日量L的形式以正确地描述带电粒子在电磁场中的运动规律，我们需要从经典牛顿运动方程出发，有利用矢量运算关系式代入式(6)，并考虑到矢势A不仅是时间t的函数，而且还是空间r的函数，即矢势A对时间的全微分量： =+ =+A，于是我们得到：或改写为与欧拉-拉格朗日方程(1)相比较，并写成广义坐标q和广义速度的形式，得到带电粒子在电磁场中运动的拉格朗日量：以及正则动量这里我们注意到拉格朗日量L的表达式(8)已不再是简单地取为T-V了，而是在电势能Qφ中减去一项新的势能称为广义势能，显然地它不仅是广义坐标q的函数，而且还是广义速度的函数.但是，广义势能U中存在着矢势项，它不是磁势能，因为磁场不对带电粒子做功，而是源于电磁场作用力的不守恒引起的效应.有了拉格朗日量的表示形式(8)以及正则动量的形式(9)，我们可以通过勒让德变换得到哈密顿量，即这里的哈密顿量H为体系的动能和势能之和，即H=T+V，为体系的总能量.这也就是为什么量子力学中的运动方程常用到的是哈密顿量的原因.另外，由于勒让德变换，使得哈密顿量的参数变为广义坐标q和正则动量为参数的函数).因此，我们在式(10)中的第二个等号表示为正则动量的形式.在量子理论中，我们只需要对体系的总能量，哈密顿量，进行一次量子化手续[2，3]，即由于矢势A的存在，这时体系的波函数为：其中ψ0是A=0时定态Schrödinger方程的解，满足：式(12)中的积分表示沿着任意路径s(r)进行.波函数的相位因子为产生A-B效应的根本原因.由此可见，产生A-B效应的根本原因是拉格朗日量L中的势能V依赖于广义速度的变化而引起的.根据这个结论，我们可以尝试写出具有磁矩μ的电中性粒子在电磁势中运动的拉格朗日量L来讨论A-C效应.根据经典电动力学知识[9]：设实验室静止的参考系为S系，相对于静止参考系运动的为S′系，两参考系的相对速度为v.在S系中观察到的粒子的极化P-磁化M二阶张量为[9,10]而洛伦兹变换的变换矩阵为其中β=，以及γ=.通过二阶张量的洛伦兹变换后，在粒子所在的S′系中观察到的极化-磁化二阶张量为M′=αMα-1在A-C效应中，设电中性粒子的磁矩为M′=μ，电极化强度P′=0，反解出线性方程组式(15)，并在非相对论极限下略去β2项，于是我们得到：则粒子的总电极距为其中而这时粒子的势能为则粒子的拉格朗日量L为：正则动量可以求得，为所以粒子的哈密顿量H为相应的薛定谔方程为类似于式(11)和式(12)，容易验证电中性的磁偶极矩的波函数为式中ψ0(r，t)是电场E为零时粒子的波函数.从式(21)可以明确地看出，运动的电中性的磁矩为μ的粒子在相对论效应下诱导出电偶极矩p，与外电场E发生耦合，使得粒子在运动的路径上的波函数的相位发生变化.这种现象称为A-C效应.如果经过一个闭合回路，产生的效果将会与A-B效应相一致，即出现干涉现象[10].另外，需要指出的是粒子的磁偶极矩可以理解为粒子的自旋，在相对论效应下，会与外电场发生耦合，即它与这些年所研究的热门话题，自旋-轨道耦合效应，相联系在一起.也就是说，磁偶极矩在外电场中的运动实际上就是凝聚态物理学中的自旋-轨道耦合效应的一种比较简单的形式[11].最后，我们根据前面所讨论的结论以及电磁对偶性，来验证运动中的具有电偶极矩为P的粒子在外磁场B中也能产生类A-C效应：若将磁偶极矩为μ的粒子换为电偶极矩为P的粒子，将外电场E换为外磁场B，这时粒子的磁化强度M′=0，反解出方程组(15)，并同样地在非相对论极限下，并略去β2项，于是我们得到：M=-v×P即粒子的总磁矩u为其中而粒子的势能则可以表示为这时粒子的拉格朗日量L可以表示为而正则动量为所以这时粒子的哈密顿量H为很容易验证，粒子的波函数为式中ψ0(r，t)是磁场B为零的时候粒子的波函数.式(26)表明，粒子的磁偶极矩p 会与外磁场B相耦合，从而在运动路径上的波函数的相位发生变化.如果经过一个闭合回路，和A-B效应或A-C效应一样，将出现干涉现象.我们首先通过对A-B效应的数学形式的讨论，给出最一般的拉格朗日量L的形式来描述量子力学的相位问题.从该拉格朗日量L的表示形式可以看出产生A-B效应的根源在于体系的势能是随广义速度有关的函数.根据这个数学结构的特征，我们还从拉格朗日量L出发验证了A-C效应.同时，我们还根据电磁的对偶性，提出了一个运动的电偶极矩在外磁场中也能产生类A-C效应.因此，根据我们所得的结论可以为将来继续设计和构造全新的物理模型以实现新型的量子力学相位效应并在实际中得到广泛的科学应用.【相关文献】[1] Dirac P A M.The Principles of QuantumMechanics [M].Oxford Science Publications，1982.[2] Shankar R.Principles of Quantum Mechanics [M].Plenum Press，1994.[3] Cohen-Tannoudji Claude，Diu Bernard，Laloe Frank.Quantum Mechanics [M].Wiley-VCH，1992.[4] Xiao Di，Chang Ming-Che, Niu Qian.Berry phase effects on electronic properties [J].Reviews of Modern Physics，2010，82(3)： 1959-2007.[5] Hasan M Z，Kane C L.Topological insulators [J].Reviews of Modern Physics，2010，82(4)： 3045-3067.[6] Qi Xiao-Liang, Zhang Shou-Cheng.Topological insulators and superconductors [J].Reviews of Modern Physics，2011，83(4)：1057-1110.[7] Aharonov Y，Bohm D.Significance of Electromagnetic potential in the quantum theory [J].Physical Review Letters，1959 115(3)： 485-491.[8] Aharonov Y，Casher A.Topological quantum effects for neutral particles [J].Physical Review Letters，1984，53(4)： 319-321.[9] 蔡圣善，朱耘，徐建军.电动力学[M].高等教育出版社，2002.[10] 苏汝铿.量子力学[M].高等教育出版社，2012.[11] Sakurai J J.Advanced Quantum Mechanics [M].Addison-Wesley，1967.。

两种电四极矩产生的势

第１８卷第４期齐齐哈尔大学学报Ｖｏｌ．１８，Ｎｏ．４２００２年１２月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＱｉｑｉｈａｒＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＤｅｃ．，２００２
第４期两种电四极矩产生的势・１０９・
′ = 3qa 2 + 3q( − a) 2 = 6qa 2 D33 ′ = D′ ′ = D 21 ′ = D13 ′ = D31 ′ = D′ ′ = 0 D11 = D12 = D32 22 23 所以电势
2 1 1 1 qa 2 3 cos 2 θ − 1 (6qa 2 ) d 2 ϕ (x ) = ＝ 4π ε0 6 dz R 4πε 0 R3
q a -2q a q
图１线性电四极子的势
R
解法２用第二个电四极矩的定义求解。解同解法１，只求电四极矩项。 D ij = ∑ 3x i' x 'j − r '2 δ ij q n 当 i ≠ j 时 Dij ＝０当 i = j 时
用电多极矩法［１］求解静电学问题是解决有限电荷分布求远场的重要方法，对解决实际问题非常有用。电多极矩法是由电荷体系激发的电势在远处的多极展开式 ϕ (x ) = 1 1 1 1 ∂2 1 +Λ ∫V ρ (x ' ) − x ' ⋅ ∇ + ∑ xi' x 'j 4ð ε 0 R 2! i , j ∂xi ∂x j R R dV '
ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｔｗｏｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｑｕａｄｒｕｐｏｌｅｍｏｍｅｎｔ，ａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｓｏｌｖｉｎｇｐｏｔｅｎｔｉａｌｂｙｍａｋｉｎｇｕｓｅｏｆｔｈｅｍ．Ｆｏｒｃｏｎｃｒｅｔｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｓｏｌｖｉｎｇｐｏｔｅｎｔｉａｌ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｑｕａｄｒｕｐｏｌｅｍｏｍｅｎｔｍａｙｂｅｕｓｅｄ，ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉｔｗｉｌｌｂｅｈｅｌｐｆｕｌｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅｍｅａｎｉｎｇａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｓｏｌｖｉｎｇｅｌｅｃｔｒｏｓｔａｔｉｃｆｉｅｌｄｂｙｍｅａｎｓｏｆｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｍｕｌｔｉｐｏｌｅｍｏｍｅｎｔｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｑｕａｄｒｕｐｏｌｅｍｏｍｅｎｔ；ｔｅｎｓｏｒ；ｐｏｔｅｎｔｉａｌ（上接第９９页）参考文献

电偶极子

在平衡时，在电介质内部的总场强应是这两者的矢量
和。则
E→=
→
E0

→
Ep
在均匀外电场中，这三个矢量互相平行，故
可写成： E = E0 – EP 。 27
§9.5 静电场中的电介质
s
E0
=
0

0
EP
=
s 0
此时有 σ′=Ｐ=χｅε０Ｅ，则Ｅｐ=χｅＥ，并由
于Ｅｐ与Ｅ0 反向，故合场强大小为
E = E0 EP = E0 ceE
10
第六节心电知识
一、心电场（cardio-electric field）
1、心肌细胞的电偶极矩
11
§9.6 心电知识
12
2、心电偶的电性质
§9.6 心电知识
13
二、心电图
§9.6 心电知识
14
15
§9.6 心电知识
16
17
三、心电图导联
§9.6 心电知识
18
§9.6 心电知识
19
We
=
V wedV
=
1 E 2dV
V2
37
和的例电R介92-，质4所，带如问电图此荷所电为示容,器球Q贮形存电．的容若电器在场的两能内球量、壳为外间多半充少以径？电分容别率为为R1
解
→ E=
1
4π
Q r2
→ er
we
=
1 E 2
2
=
Q2
32π 2 r 4
dWe
=
wedV
=
Q2
4
§9.4 电偶极子
三、电偶极子轴线延长线上的场强：
E
=

几种典型带电体的场强和电势公式

d
l
l
d
i
4 0
1 d
l
1 d
i
。
U
p d
4 0
ln
l
d d
。
（2）在直线的中垂线上，与直线的距离为 d 的 Q 点处：
电场强度矢量为：
EQ
d
4 0
d
l
j
l 2 d 2
4 0 d
2l
j
l 2 4d 2
。
2
电势：
l l 2 d 2
UQ
d
4 0
ln
2 l
2 l 2 d 2
几种电荷分布所产生的场强和电势
1、均匀分布的球面电荷（球面半径为 R，带电量为 q）
电场强度矢量：
E(r)
1
qr ,
（球面外，即r R）
Hale Waihona Puke 4 0 r 3E(r) 0 。（球面内，即r R）
电势分布为：
U r 1 q ，（球外）
4 0 r
U r 1 q 。（球内）
4 0 R
2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为 R,带电量为 q）
PSin r3
0
其大小为 E P 4 0r 2
3Cos 2 1 ，
方向为 arctg E Er
tg
1
E Er
tg
1
1 2
tg
。其中
为
E
与
r
0
之间的夹角。
电势：U r
1 4 o
P Cos r2
1 4 0
P
r
r3
。
电场强度矢量的另一种表达式为：
E

电动力学练习题

.zD a e 2.63x yC xye y e + .x yB aye axe -+ .()r A are 柱坐标系p p B are ϕ=电动力学练习题第一章电磁现象的基本规律一.选择题1.下面函数中能描述静电场强度的是( )2.下面矢量函数中不能表示磁场强度的是（）3.变化的磁场激发的感应电场满足（）4.非稳恒电流的电流线起自于（）A.正点荷增加的地方；B.负电荷减少的地方；C.正电荷减少的地方；D.电荷不发生改变的地方。

5.在电路中负载消耗的能量是（）A.通过导线内的电场传递的；B.通过导线外周围的电磁场传递的；C.通过导线内的载流子传递；D. 通过导线外周围的电磁场传递的，且和导线内电流无关。

二、填空题1.极化强度为的均匀极化介质球,半径为R,设与球面法线夹角为θ，则介质球的电偶极矩等于_____，球面上极化电荷面密度为_____。

2.位移电流的实质是_________.3.真空中一稳恒磁场的磁感应强度（柱坐标系）产生该磁场的电流密度等于_______。

4.在两种导电介质分界面上，有电荷分布，一般情况下，电流密度满足的边值关系是____。

5.已知某一区域在给定瞬间的的电流密度：其中c 是大于零的常量。

此瞬间电荷密度的时间变化率等于___ ，若以原点为中心，a 为半径作一球面，球内此刻的总电荷的时间变化率等于_____。

6.在两绝缘介质的界面处，电场的边值关系应采用()21 ,n D D ⋅-= 21()n E E ⨯-=。

在绝缘介质与导体的界面(或两导体的界面处)稳恒电流的情况下，电流的边值关系为7.真空中电磁场的能量密度w =_____________，能流密度S =_________。

8.已知真空中电场为23r r E ab r r =+（a ，b 为常数）,则其电荷分布为______。

9.传导电流与自由电荷之间的关系为:f J ∇⋅= _____________ 极化电流与束缚电荷之间的关系为:p J ∇⋅=_____________然而按分子电流观点，磁化电流的散度为 M J ∇⋅=_____________ 10.电荷守恒定律的微分形式为_____________。

电偶极子的电势公式

电偶极子的电势公式
嘿，朋友！咱们来聊聊电偶极子的电势公式呀！电偶极子的电势公式是：V = kp cosθ/r² （这里的 k 是静电力常量，p 是电偶极矩，r 是距离，θ 是连线与偶极子方向的夹角）。

比如说，就像把电偶极子想象成两个好朋友，一个带正电，一个带负电，他们之间的距离和相对位置就决定了电势的大小。

你想想看呀，如果这两个“朋友”离得特别远，那电势不就变得很小很小啦！这就好像你和好朋友分隔两地，联系可能就没那么紧密了呀。

但要是离得很近很近，那电势可就大了去了，就如同你和最要好的朋友整天形影不离，那关系得多铁呀！明白了吧？哈哈！
所以说呀，这个电势公式真的很神奇呢！能让我们更好地理解电偶极子的特性。

怎么样，是不是觉得挺有意思的呀？。

电偶极子的电场强度和电势_概述及解释说明

电偶极子的电场强度和电势概述及解释说明1. 引言:1.1 概述:电偶极子是物理学中重要的概念之一，指的是由两个相等但相反电荷构成的偶极子。

当电偶极子置于外部电场中时，会受到力矩的作用而发生旋转运动。

了解电偶极子在不同情况下的行为对于理解电场强度和电势具有重要意义。

1.2 研究意义:研究电偶极子的性质和行为可以帮助我们理解电场在空间中的分布规律，以及如何控制和利用电场力进行工程实践。

此外，通过研究电偶极子，还能推导出更深层次的物理原理和数学公式，拓展我们对自然界规律的认识。

1.3 目的:本文旨在探讨电偶极子所产生的电场强度和电势分布特性，并分析其在不同情况下的反应和稳定性。

通过深入剖析该主题，希望能够为相关领域的研穴提供新思路和启示，推动该领域研究向前发展。

2. 电偶极子的基本概念：2.1 定义和特征：电偶极子是由两个等量异号的电荷组成的系统，它们之间的距离很小。

其中一个带正电荷，另一个带负电荷。

这种构成的系统具有一定的特性，例如对外界电场具有响应能力，可以产生自身的相互作用力。

2.2 数学表达式：可以用矢量来描述电偶极子，其中矢量指向从负电荷到正电荷。

其数学表达式可以表示为p = q*d，其中p是电偶极矩，q是单个电荷大小，d是两个电荷之间的距离。

2.3 实际应用：在物理学领域中，电偶极子是一种非常重要的模型。

它在分子结构、光学、物理化学等领域都有广泛应用。

通过研究和理解电偶极子的基本概念和特性，我们可以更深入地探讨分子内部结构及相互作用力的机制，并且应用于各种实际问题中。

3. 电场强度与电势的关系3.1 电场强度的计算方法电场强度是描述某一点上电场对单位正电荷施加的力的大小和方向。

在静电学中，可以通过库仑定律来计算某一点上的电场强度。

根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力与它们之间的距离成反比，因此可以得到该点处的电场强度。

3.2 电势与电场强度之间的关系电势是描述一个系统中单位正电荷所具有的做功能力。

电势公式3个公式

电势公式3个公式
电势公式是描述电势的数学公式，是电学领域中的重要概念。

下面将介绍三个电势公式。

1. 点电荷电势公式：对于一个点电荷Q，它在距离为r处的电势V定义为V=kQ/r，其中k为库伦常数，其值为8.99×10^9 N·m/C。

这个公式可以通过叠加原理推广到多个点电荷的情况下。

2. 电偶极子电势公式：对于一个电偶极子，它在距离为r处的电势V定义为V=kp/r^2，其中p为电偶极矩的大小，k为库伦常数。

这个公式可以用于计算由两个相互靠近的电荷所形成的电势。

3. 电场电势公式：在电场中，电势可以表示为V=-∫E·dl，其中E为电场强度，l为路径长度。

这个公式描述了电势与电场的关系，它在许多电学应用中都有很大的用处。

这三个电势公式分别描述了不同情况下的电势计算方法，它们在电学中有着广泛的应用。

了解这些公式，对于理解电场和电势的本质特性，以及解决电学问题都有很大的帮助。

- 1 -。

静电场中电偶极子电势与电场的计算

静电场中电偶极子电势与电场的计算作者：王旭梅黎姝张璐来源：《速读·中旬》2015年第11期摘要：关于静电场中电偶极子的电场和电势的分布，一般教科书上只给出某个特殊方向上的电场表达式，这是由于任意场点的电场求解比较麻烦，该论文给出比较简单的三种解法，以便掌握电偶极子的电场分布特点。

关键词：电偶极子；电场强度；电势；叠加原理；等效原理关于静电场中电偶极子的电场和电势的分布，在许多电磁学教材中均详细的讲述过，但是这些仅限于特殊方向上的场强和电势的计算，本文意在任意方向上进行拓展。

电偶极子是一个重要的物理模型，在实际问题中，当两个点电荷之间的距离比所考虑的场点到二者的距离小得多时，这一对点电荷就可以视为电偶极子。

在研究电解质极化时，采用“重心模型”描述后，电解质分子可以等效为偶极子；在电磁波的吸收和发射以及中性分子相互作用的理论基础上，电偶极子的模型也是一个很重要的模型，因此研究电偶极子的电场和电势问题有重要的意义。

1由电场叠加原理直接求解图（1）电场叠加原理求解以电偶极子连线的中心为原点，以其连线为轴建立极坐标系，如上图（1）所示，对任意一场点P的电场其中，分别为点电荷-q，+q在P点产生的电场强度并且有所以可以得到其中[r-]与 [r+]分别为点电荷-q，q到P点的位矢，在直角坐标系中有：（[i]， [j]表示直角坐标的两个基矢， [r]，[θ] 表示极坐标的两个基矢）因为所以同理可得：因为电偶极子r>> l.所以可以得到式子，代入式子可得到其中讨论：（1）当[θ] =0时，即场点在x轴上，所以，而[Eθ]=0，由此可得此情况下的（2）当[θ] =[π2]时，即场点在y轴上，所以[Er]=0，而由此可得此情况下的2由电势的分布求电偶极子的电场分布根据点电荷电势公式和电势的叠加原理，如图（1），则有P点的电势为因为所以利用电场强度与电势的关系，选用球坐标系有此结果与前面的一致。

3由等效原理求电偶极子的电场分布电偶极子的电偶极矩，它在一级近似下可以等效为两个垂直的电偶极子的矢量和，即如下图（2），其中，那么场点P的电场可以看成与分别单独在P点产生的电场强度之和，即这里的E1和E2均为熟悉的两个特殊方向的电偶极子产生的电场，它们分别为：所以此结果也与前面一致。

电动力学_选择题填空题判断题问答题复习

《电动力学1》随教材复习题目一、章节内容：第0章矢量分析第一章电磁现象的普遍规律第二章静电场第三章静磁场第四章电磁波的传播第五章电磁波的辐射二、题型1. 选择题，填空题，判断题、问答题2. 计算题（见教材例题）2018年5月第0章矢量分析一、选择题0.1设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则有（ B ）A. 0=∇rB. r r r ∇=C. 0=∇'rD. r r r'∇= 0.2位置矢量r 的散度等于（ B ）A ．0 B.3 C.r 1 D. r 0.3位置矢量r 的旋度等于（ A ） A.0 B.3 C.r r D.3rr 0.4位置矢量大小r 的梯度等于（ C ） A.0 B .r 1 C. r r D.3rr 0.5r 1∇=？（ B ） A. 0 B.3r r - C. r r D .r 0.6⨯∇ 3r r =？（ A ） A. 0 B .r r C. r D.r 1 0.7⋅∇ 3rr =？（其中r ≠0）（ A ） A.0 B.1 C. r D.r1 二、填空题0.1位置矢量r 的散度等于（ 3 ）。

0.2位置矢量r 的旋度等于（ 0 ）。

0.3位置矢量大小r r r 。

0.4无旋矢量场可以引入(标)势来处理，无源矢量场可以引入(矢)势来处理。

0.5(无旋)矢量场可以引入标势来处理，(无源)矢量场可以引入矢势来处理。

三、判断题0.1标量场的梯度必为无旋场。

（√）0.2矢量场的旋度不一定是无源场。

(×)0.3无旋场必可表示为标量场的梯度。

(√)0.4无源场必可表示为另一矢量的旋度。

(√)第一章电磁现象的普遍规律一、选择题1.1对于感应电场下面哪一个说法正确（ D ） A感应电场的旋度为零 B感应电场散度不等于零C感应电场为无源无旋场 D感应电场由变化磁场激发1.2从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( B )A有源无旋场 B有源有旋场 C无源无旋场 D无源有旋场1.3从麦克斯韦方程组可知变化磁场是（ D ）A 有源无旋场B 有源有旋场C 无源无旋场D 无源有旋场。

电动力学》理论证明集锦

《电动力学》理论证明集锦为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。

在此编撰了与《电动力学》课程相关的20余条理论证明容，有的是基础理论，但大部分是扩展容。

第一章电磁现象的普遍规律1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。

[证明]设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为d P M fJ J J J 、、、,由麦克斯韦程之一(安培环路定理)给出)(0d P M f J J J J B +++=⨯∇μ对程两边作任意闭合曲面积分，得)()()(00d P M f Sd P M f SI I I I S d J J J J S d B +++=⋅+++=⋅⨯∇⎰⎰μμ即给出总电流为⎰⎰∑⨯∇⋅∇=⋅⨯∇=+++=VSd P M fdVB S d B I I I II )(1)(1μμ因为矢量场的旋度无散度:0)(=⨯∇⋅∇B，故 0∑=I--------------------------------------2. 若m是常矢量，证明除R=0点以外，矢量3R R m A ⨯=的旋度等于标量3R R m ⋅=ϕ的负梯度，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，向由原点指向场点。

[证明]在0≠R 的条件下，有)1(R m A ∇⨯⨯-∇=⨯∇R m R m m R m R 1)(1)()1()1(∇⋅∇+∇∇⋅+∇⋅∇-∇⋅∇-=R m 1)(∇∇⋅=另一面)1(R m ∇⋅-∇=∇ϕmR m R R m R m)1()(11)()1(∇⋅∇-⨯∇⨯∇-∇∇⋅-∇⨯∇⨯-=R m 1)(∇∇⋅-=经比较以上两式的右边，便可给出ϕ-∇=⨯∇A的答案。

注释:本题中所见的矢量和标量的形式在《电动力学》容中有多处出现，开列如下供参考（注意比较相同、相异之处）：（1）电偶极矩P 激发的电势：3041R R P ⋅=πεϕ；（2）磁偶极矩m产生的磁标势：341R R m m ⋅=πϕ；（3）磁偶极矩m产生的磁矢势：304R Rm A ⨯=πμ。

电四极矩.ppt

3(b2 a2 a2 b2 )Q 6Q(b2 a2 )
6Q(b a)(b a) 6 pl
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1
4 0
1 6 6 plezez
: 1 R

1
4 0
pl
2 z 2
(1) R
它与直接计算结果完全一致（ l R ）：
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力： F W (0) W (1)
Qe ( p Ee )
QEe ( p Ee )
F (0)
QEe (x)
相当于带电体系集中在一点上点电荷在外场中受到的作用力
F (1) ( p Ee )
r x0
r x0
R
3. 小区域电荷分布产生的电势
(x)
(x)dV 40r

(x)

1
(x)[ 1 x 1 1 xx : 1 ]dV
40 V
R
R2
R
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(
x)

1
(x)[ 1 x 1 1 xx : 1 ]dV
D22 0 四个点电荷在 y 轴
D12 D21 0 x-y 平面
D13 D31 0 x-z 平面
D23 D32 0 y-z 平面
z
D12 0
+
-
-
+y
x
作业：计算图示情况下的电四极矩张量自学：教材９０页例题
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三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）

第八章静电场第四节电偶极子

心重合。
2、电介质的极化
1）有极分子的取向极化当有极分子组成的电介质受到外电场作用后，每个分子
电矩都受到力偶矩的作用，使分子电矩尽量转向外电场的方向。电介质内部仍是电中和状态，但在电介质的两个端面上出现了束缚电荷。
E0
＋
－
E0
－
＋
电介质在外电场的作用下产生束缚电荷的现象称为电介质的极化。这种极化称为取向极化。
dr
Q oR
r
解：由高斯定理可知在球外距球心r处的场强为
E
Q
4 0 r r 2
或由E=
E0
r
得出
电场的能量密度为
w
1 2
0
r
E
2
Q2
32 20rr4
以O点为心取半径为r厚度为dr的同心球壳，其体积为 dV 4 r，2d则r 该球壳的电场能为
dW dV
带电金属球的整个电场的能量为
W dW dV
到导体上，则外力做功为dA
dA Udq
dA全部转换为导体的静电能dW，则
dW dA Udq
当导体的带电量由零增到Q时，导体具有的静电能为
W
dW
Q
Udq
Qq dq
0
0C
1 Q2 1 QU 1 CU 2
2C 2
2
三、静电场的能量
设平行板电容器两极板电势差为（U1－U2），带电量
填充电介质
C S 0r S
dd
电场的能量密度
ω
1 E2
2
1 2
0
r
E
2
一般采用在两板间填充绝缘好的电介质，则用 0r 代替式中的 0，这时的电容为：
C S 0r S

电动力学判断题

电动⼒学判断题判断题第⼀章电磁现象的普遍规律1. ⽆论是稳恒磁场还是变化的磁场，磁感应强度总是⽆源的。

(√)2. ⽆论是静电场还是感应电场，都是⽆旋的。

(×)3. 在任何情况下电场总是有源⽆旋场。

(×)4. 在⽆电荷分布的区域内电场强度的散度总为零。

(√)5. 任何包围电荷的曲⾯都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内。

(√)6. 电荷只直接激发其临近的场，⽽远处的场则是通过场本⾝的内部作⽤传递出去的。

(√)7. 稳恒传导电流的电流线总是闭合的。

(√)8. 在任何情况下传导电流总是闭合的。

(×)9. ⾮稳恒电流的电流线起⾃于正电荷减少的地⽅。

(√)10. 极化强度⽮量p 的⽮量线起⾃于正的极化电荷，终⽌于负的极化电荷。

(×)11. 均匀介质内部各点极化电荷为零，则该区域中⽆⾃由电荷分布。

(√)12. 在两介质的界⾯处，电场强度的切向分量总是连续的。

(√)13. 在两均匀介质分界⾯上电场强度的法向分量总是连续的。

(×)14. 在两介质的界⾯处，磁感应强度的法向分量总是连续的。

(√)15. ⽆论任何情况下，在两导电介质的界⾯处，电流线的法向分量总是连续的。

(×)16. 两不同介质表⾯的⾯极化电荷密度同时使电场强度和电位移⽮量沿界⾯的法向分量不连续。

(×)17. 电介质中，电位移⽮量D 的散度仅由⾃由电荷密度决定，⽽电场的散度则由⾃由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。

(√)18. 两不同介质界⾯的⾯电流密度不改变磁场强度和磁感应强度的连续性。

(×)19. 关系式P E D +=0ε适⽤于各种介质。

(√)20. 静电场的能量密度为ρ?21。

(×) 21. 稳恒电流场中，电流线是闭合的。

（ √ ）22. 电介质中E D ε=的关系是普遍成⽴的。

（ × ）23. 跨过介质分界⾯两侧，电场强度E 的切向分量⼀定连续。

偶极矩四极矩八极矩电势展开

偶极矩、四极矩、八极矩等的物理意义的电势展开法先注意一个比较容易忽视的问题，以避免证明误区：下式在a 为负数时不成立，类似这一系列在底数为负数时均不成立。

2323)(a a =k k j j i i e r e r e r r ++=r r r f '-='1)(3212])[(1)(r r r r r r r r r r r r f i i i i i '-'-='∂'-∂='∂'-∂='∂'∂-证明：注意以下矢量k k j j i i e r e r e r r ++=iii i i k k i j j i i i i e r e r r e r r e r r e r r r =∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂)()()()(32322322232212)()(])[()()(])[()(])[(21])[(1rr r r e r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r i i i i i i i i i '-'-='-'-='∂'-∂'-'--='∂'-∂'--='∂'-∂='∂'-∂----θcos )()(r r e r r i '-='-如果对这个矢量再进行偏导呢，如何计算？?)(2='∂'∂'∂i j r r r f ，同理计算如下：53252325232523225232323333))((3))((])[(3))((])[(3)())((])[(3])[()(])[(23])[()()()][(])[(r r r r r r r r r r r r r r r r e r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r j j i i ijj j i i ij j i i ij j i i ij j i i ij j i i ij j i i j i i j i i '-'-'-+'--='-'-'-+'--='-'-'-+'--='∂'-∂'-'-'--'--='∂'-∂'-'--'--='∂'-∂'-+'--='∂'-∂'-+'∂'-∂'-='∂'-'-∂-------------δδδδδδ所以可得：532))((3)(r r r r r r r r r r r f j j i i ij i j '-'-'-+'--='∂'∂'∂δ非点电荷情形电势表达式的展开：假设有以不规则形状的物体，其每处的带电密度不同且有正有负，则求此物体在无穷远处产生的电势时，可以把此物体看成一个点，即为把此物体看作点电荷，取物体带电的绝对值然后采用点电荷计算电势的公式即可。