选修1-2.1.2独立性检验

上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认 为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量 的独立性检验。
临界值表：
P ( K k0 )
2
0.50 0.45 5
0.40 0.70 8
0.25 1.32 3
0.15 2.07 2
0.10 2.70 6
0.05 3.84 1
0.02 5 5.02 4
3、某班主任对全班50名学生作了一次调查得下表，由表中数据得到 K2的观测值 k ≈ 5.059，于是__________(能或不能）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系。
2.某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,于是该单位领导决定在餐 厅墙壁上张贴文明标语,并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作
0.02总计 0.01 5 55 0 5.02 4 6.63 45 5 0.00 5 7.87 9 0.001 10.82 8
100
假设“性别与是否做到光盘之间没有关系”
2 100 ( 45 15 30 10 ) 2 K 3.03 2.706 75 25 55 45
不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965
利用公式（1）计算得K2的观测值为:
9965 7775 49 42 2099 k 56.632 7817 2148 9874 91
2
在H0成立的情况下,统计学家估算出如下的概率:
a b c d a c b d
n ad bc
2
（1）
其中n a b c d 为样本容量
若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K 应 该很小。
2
接下来，我们就利用卡方统计量K2来判断探究中“吸 烟与患肺癌有关”的可靠程度。 例：现在，根据表1-7中的数据
男 女 总计 喜欢数学课程 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总计 122 178 300
由表中数据计算K2的观测值k 4.513.在多大程度上可以认 为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？
练习：1性别与喜欢数学课
男 女 总计
喜欢数学课程 37 35 72
不喜欢数学课程 85 143 228
吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异。
等高条形图
100% 80% 60% 40% 20% 0%
0.54%
2.28%
患病比例
不患肺癌 患肺癌
不患病比例
不吸烟
吸烟
上面我们通过分析数据和图形,得到的直观印象是“吸 烟和患肺癌有关”。这一直觉来自于观测数据，即样本。 问题是我们有多大的把握认为“吸烟和患肺癌有关” 我们假设 H0:吸烟与患肺癌没有关系
“光盘”与性别列联表 做不到光盘 做到光盘 45 15 75 总计 55 100
男 女 总计
例题解析：
例1 春节期间,“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开， 某市随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘” 行动， （1）完成如下列联表。 （2）有多大的把握认为居民能否做到“光盘”与性 别有关系？ （3）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为居 民能否做到“光盘”与性别有关系？
P K 6.635 0.010
2
即在H0成立的情况下,K2的值大于6.635的概率非常小, 近似于0.010。 现在的观测值56.632远大于6.635，即假设成立的概率 为0.010，是小概率事件，所以有理由断定H0不成立， 即认为“吸烟与患肺癌有关系”。但这种判断会犯错 误，犯错误的概率不会超过0.010 。即有99%的把握认 为“吸烟与患肺癌有关”。
“光盘”与性别列联表 男 女 总计 做不到光盘 做到光盘 45 10 30 15 75 25 总计 55 45 100
“光盘”与性别列联表 做不到光盘 做到光盘 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 P( K 2 k0 ) 0.50 45 10 男 0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 3.84 k0 5女 8 3 30 2 6 15 1 75 25 总计
不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965
与表格相比， 等高条形图能 更直观地反映 出相关数据的 总体状况 列联表:两个 分类变量的频 数表 （四行四列）
那么吸烟是否对患肺癌有影响? 在不吸烟者中患肺癌的比例是 0.54% 在吸烟者中患肺癌的比例是 2.28% 因此,直观上得到结论:
总计 122 178 300
解:假设高中生的性别与是否喜欢数学课程之间 没关系. 由k 4.513>3.841
这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论 错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜 欢数学课程之间有关系”.
2.某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,于是该单位领导决定在餐
P( K 2.706) 0.10
2
有90%的把握认为居民能否做到“光盘”与性别 有关。
“光盘”与性别列联表 做不到光盘 做到光盘 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 P( K 2 k0 ) 0.50 45 10 男 0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 3.84 k0 5女 8 3 30 2 6 15 1 75 25 总计
ab

cd
a c d c a b ad bc 0
结论：|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; |ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强;
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于 上述分析,我们构造一个随机变量（卡方统计量）
2
K

P( K 6.635) 0.01
2
5.059 6.635
练习4、在吸烟和患肺癌这两个分类变量的计算中， 下列说法正确的是 （C） A、若K2的观测值k=6.635，我们在犯错的概率不超 过0.010的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在 100个吸烟的人中必有99人患有肺病 B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺 癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能 患有肺病 C、若从统计量中求出有5%的可能性使得推断出现 错误，是指有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系 D、以上三种说法都不正确 解析：因为统计结果只是说明事件发生的概率大 小，具体到一个个体不一定发生。
0.02总计 0.01 5 55 0 5.02 4 6.63 45 5 0.00 5 7.87 9 0.001 10.82 8
100
假设“性别与是否做到光盘之间没有关系”
2 100 ( 45 15 30 10 ) 2 K 3.03 6.635 75 25 55 45
了一个统计,具体数据如下: 损坏餐 椅数 39
29
文明标语张贴前 文明标语张贴后
未损坏餐 椅数 157
167
总计 196 196
总计
68
324
392
3、某班主任对全班 50 名学生作了 一次调查得下表，由表中数据得到 2 K 的观测值 k ≈ 5.059，于是 不能 ________( 能或不能）在犯错误的 概率不超过 0.01 的前提下认为喜 欢玩电脑游戏与认为作业多有关系。
日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否 有关系，例如吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否 对于喜欢数学课程有影响等等。
在统计学中，独立性检验是检验 两个分类变量是否有关系的一种 统计方法。
探究： 为调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿瘤研究所随机 地调查了9965人,得到如下结果(单位:人)
表1-7 吸烟与患肺癌列联表
0.01 0 6.63 5
0.00 5 7.87 9
0.001 10.82 8
k0Байду номын сангаас
(1)如果k 10.828, 就有99.9%的把握认为" X 与Y 有关系" (2)如果k 7.879, 就有99.5%的把握认为" X 与Y 有关系" (3)如果k 6.635, 就有99%的把握认为" X 与Y 有关系" (4)如果k 5.024, 就有97.5%的把握认为" X 与Y 有关系" (5)如果k 3.841, 就有95%的把握认为" X 与Y 有关系" (6)如果k 2.706, 就有90%的把握认为" X 与Y 有关系" (7)如果k 2.706, 就认为没有充分的证据显示 " X 与Y
看看能推出什么样的结论。
为了研究的一般性,在列联表1-7中中用字母代替数字： 不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 a c a+c 患肺癌 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 a c a+c
患肺癌 b d b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
如果”吸烟与患肺癌没有关系”,则在吸烟样本中不 患肺癌的比例应该与不吸烟样本中相应的比例差不多 , 即a c
有关系"
思考： 你能从上述探究过程中总结出判断两个分类变量有关 系的思路吗？ 一般地, 假设有两个分类变量X 和Y , 它们的取值分别为
{x1 , x2 }和{ y1 , y2 }, 其样本频数列联表(称为2 2列联表)为 : y2 y1 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d