选修1-2.1.2独立性检验

若要推断的结论为H1:”X与Y有关系”,可用如下方法: 1、频率比较法：根据列联表。 2、图形分析法：通过等高条形图。
3.独立性检验法 步骤：


（1）列出列联表, （2）假设 两分类变量没有关系， （3）计算K2观测值k, （4）查临界值表，作出判断（两分类变量有关 系的程度）.
例题解析： 例1 春节期间,“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开， 某市随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光 盘”行动， （1）完成如下列联表。 （2）有多大的把握认为居民能否做到“光盘”与性 别有关系？ （3）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为 居民能否做到“光盘”与性别有关系？
3、某班主任对全班50名学生作了一次调查得下表，由表中数据得到 K2的观测值 k ≈ 5.059，于是__________(能或不能）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系。
2.某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,于是该单位领导决定在餐 厅墙壁上张贴文明标语,并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作
不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965
与表格相比， 等高条形图能 更直观地反映 出相关数据的 总体状况 列联表:两个 分类变量的频 数表 （四行四列）
那么吸烟是否对患肺癌有影响? 在不吸烟者中患肺癌的比例是 0.54% 在吸烟者中患肺癌的比例是 2.28% 因此,直观上得到结论:
男 女 总计 喜欢数学课程 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总计 122 178 300
由表中数据计算K2的观测值k 4.513.在多大程度上可以认 为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？
练习：1性别与喜欢数学课
男 女 总计
喜欢数学课程 37 35 72
不喜欢数学课程 85 143 228
P( K 6.635) 0.01
2
5.059 6.635
练习4、在吸烟和患肺癌这两个分类变量的计算中， 下列说法正确的是 （C） A、若K2的观测值k=6.635，我们在犯错的概率不超 过0.010的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在 100个吸烟的人中必有99人患有肺病 B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺 癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能 患有肺病 C、若从统计量中求出有5%的可能性使得推断出现 错误，是指有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系 D、以上三种说法都不正确 解析：因为统计结果只是说明事件发生的概率大 小，具体到一个个体不一定发生。
P K 6.635 0.010
2
即在H0成立的情况下,K2的值大于6.635的概率非常小, 近似于0.010。 现在的观测值56.632远大于6.635，即假设成立的概率 为0.010，是小概率事件，所以有理由断定H0不成立， 即认为“吸烟与患肺癌有关系”。但这种判断会犯错 误，犯错误的概率不会超过0.010 。即有99%的把握认 为“吸烟与患肺癌有关”。
有关系"
思考： 你能从上述探究过程中总结出判断两个分类变量有关 系的思路吗？ 一般地, 假设有两个分类变量X 和Y , 它们的取值分别为
{x1 , x2 }和{ y1 , y2 }, 其样本频数列联表(称为2 2列联表)为 : y2 y1 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
总计 122 178 300
解:假设高中生的性别与是否喜欢数学课程之间 没关系. 由k 4.513>3.841
这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论 错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜 欢数学课程之间有关系”.
2.某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,于是该单位领导决定在餐
0.02总计 0.01 5 55 0 5.02 4 6.63 45 5 0.00 5 7.87 9 0.001 10.82 8
100
假设“性别与是否做到光盘之间没有关系”
2 100 ( 45 15 30 10 ) 2 K 3.03 6.635 75 25 55 45
a b c d a c b d
n ad bc
2
（1）
其中n a b c d 为样本容量
若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K 应 该很小。
2
接下来，我们就利用卡方统计量K2来判断探究中“吸 烟与患肺癌有关”的可靠程度。 例：现在，根据表1-7中的数据
不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为居 民能否做到“光盘”与性别有关系 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为 居民能否做到“光盘”与性别没有关系
P( K 6.635) 0.010
2
练习：1
性别与喜欢数学课
为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，
在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下 联表：
ab

cd
a c d c a b ad bc 0
结论：|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; |ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强;
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于 上述分析,我们构造一个随机变量（卡方统计量）
2
K

吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异。
等高条形图
100% 80% 60% 40% 20% 0%
0.54%
2.28%
患病比例
不患肺癌 患肺癌
不患病比例
不吸烟
吸烟
上面我们通过分析数据和图形,得到的直观印象是“吸 烟和患肺癌有关”。这一直觉来自于观测数据，即样本。 问题是我们有多大的把握认为“吸烟和患肺癌有关” 我们假设 H0:吸烟与患肺癌没有关系
厅墙壁上张贴文明标语,并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作
了一个统计,具体数据如下: 损坏餐 椅数 39 29 68 未损坏餐 椅数 157 167 324 总计
文明标语张贴前
文明标语张贴后 总计
196
196 392
由表中数据计算K2约等于1.78.
你认为在餐厅墙壁上张贴文明标语对 减少餐椅损坏数有效果吗
课题引入：
在现实中，我们会遇到类似下面的问题： 肺癌是严重威胁人类生命的一种疾病，吸烟 与患肺癌有关系吗？ 性别对是否喜欢数学课程有影响吗？
1.2
独立性检验的基本思想及其初步应用
对于性别变量，其取值为男和女两种。 这种变量的 不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变 量称为“分类变量”。在现实生活中，分类变量是 大量存在的，例如是否吸烟，宗教信仰，国籍……
吸烟有害健康！
正常人的肺
吸烟者的肺
独立性检验法 步骤：


（1）列出列联表, （2）假设 两分类变量没有关系， （3）计算K2观测值k, （4）查临界值表，作出判断（两分类变量有关 系的程度）.
看看能推出什么样的结论。
为了研究的一般性,在列联表1-7中中用字母代替数字： 不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 a c a+c 患肺癌 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 a c a+c
患肺癌 b d b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
如果”吸烟与患肺癌没有关系”,则在吸烟样本中不 患肺癌的比例应该与不吸烟样本中相应的比例差不多 , 即a c
0.02总计 0.01 5 55 0 5.02 4 6.63 45 5 0.00 5 7.87 9 0.001 10.82 8
100
假设“Байду номын сангаас别与是否做到光盘之间没有关系”
2 100 ( 45 15 30 10 ) 2 K 3.03 2.706 75 25 55 45
日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否 有关系，例如吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否 对于喜欢数学课程有影响等等。
在统计学中，独立性检验是检验 两个分类变量是否有关系的一种 统计方法。
探究： 为调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿瘤研究所随机 地调查了9965人,得到如下结果(单位:人)
表1-7 吸烟与患肺癌列联表
P( K 2.706) 0.10
2
有90%的把握认为居民能否做到“光盘”与性别 有关。
“光盘”与性别列联表 做不到光盘 做到光盘 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 P( K 2 k0 ) 0.50 45 10 男 0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 3.84 k0 5女 8 3 30 2 6 15 1 75 25 总计
“光盘”与性别列联表 男 女 总计 做不到光盘 做到光盘 45 10 30 15 75 25 总计 55 45 100
“光盘”与性别列联表 做不到光盘 做到光盘 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 P( K 2 k0 ) 0.50 45 10 男 0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 3.84 k0 5女 8 3 30 2 6 15 1 75 25 总计
0.01 0 6.63 5
0.00 5 7.87 9
0.001 10.82 8
k0
(1)如果k 10.828, 就有99.9%的把握认为" X 与Y 有关系" (2)如果k 7.879, 就有99.5%的把握认为" X 与Y 有关系" (3)如果k 6.635, 就有99%的把握认为" X 与Y 有关系" (4)如果k 5.024, 就有97.5%的把握认为" X 与Y 有关系" (5)如果k 3.841, 就有95%的把握认为" X 与Y 有关系" (6)如果k 2.706, 就有90%的把握认为" X 与Y 有关系" (7)如果k 2.706, 就认为没有充分的证据显示 " X 与Y
了一个统计,具体数据如下: 损坏餐 椅数 39
29
文明标语张贴前 文明标语张贴后
未损坏餐 椅数 157
167
总计 196 196
总计
68
324
392
3、某班主任对全班 50 名学生作了 一次调查得下表，由表中数据得到 2 K 的观测值 k ≈ 5.059，于是 不能 ________( 能或不能）在犯错误的 概率不超过 0.01 的前提下认为喜 欢玩电脑游戏与认为作业多有关系。
“光盘”与性别列联表 做不到光盘 做到光盘 45 15 75 总计 55 100
男 女 总计
例题解析：
例1 春节期间,“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开， 某市随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘” 行动， （1）完成如下列联表。 （2）有多大的把握认为居民能否做到“光盘”与性 别有关系？ （3）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为居 民能否做到“光盘”与性别有关系？
不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965
利用公式（1）计算得K2的观测值为:
9965 7775 49 42 2099 k 56.632 7817 2148 9874 91
2
在H0成立的情况下,统计学家估算出如下的概率:
上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认 为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量 的独立性检验。
临界值表：
P ( K k0 )
2
0.50 0.45 5
0.40 0.70 8
0.25 1.32 3
0.15 2.07 2
0.10 2.70 6
0.05 3.84 1
0.02 5 5.02 4