和差问题
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第五讲
和差问题
已知两个数的和与它们的差，求这两 个数各是多少的应用题，叫做和差问 题。 这部分内容涉及和、差、大 数、小数几个基本概念。
话说有一天，去西天取经的唐僧师徒来到了西女国，刚进城门就看见 街上有很多百姓都朝着一个方向跑，一打听才知道，原来这西女国的国王有 一位非常漂亮的公主，见过公主的大臣都说这位公主美若天仙，现在公主要 选附马，公主说聪明的青年才配得上她，所以她出了一个题目，解出来的人 才可以参加进一步的选拔，现在榜文都张贴出来了。八戒一听就乐了，急忙
第三名分得钱数的3倍是： 875－125－375=375元 第三名分得钱数是： 375÷3=125元 第二名分得钱数是： 125＋125=250元 第一名分得钱数是： 250＋250=500元 答： 第一名分得钱数是500元，第二名分得钱数是250 元，第三名分得钱数是125元。
小结：涉及多个量的和差问题时，往往以最小的数为标准。
随堂练习
有两筐苹果，共重120千克，大筐比小筐重30千克。两筐 苹果各重多少千克？
例2 亮亮在一次测验中，语文和数学的平均分是93分，数 学比语文多4分，亮亮语文、数学各多少分？
可以直接运用公式吗？ 根据“语文和数学的平均分是93分”，可以求出语文和数学的分数和。
完 全 解 题
语文、数学的总分是：93×2＝186 数学的分数是：（186+4）÷2＝95（分） 语文的分数是：（186-4）÷2＝91（分）
帮你分析一下
举例子：就像你有3个苹果，他有1个苹果一样， 当你给他1个时源自文库们俩的苹果就一样多了，你给他 的1个只是你比他多的2个苹果的一半。这样便找 出第一筐比第二筐重6×2＝12千克。
完 全 解 题
第一筐苹果的重量为：（90+6×2）÷2＝51（千克） 第二筐苹果的重量为：51-12＝39（千克） 答：第一筐苹果原来有51千克，第二筐苹果原来有39千克。 另一个量增加a,这时，两个量的差就增加了2a.
课堂总结
1、推导和差问题的解题公式：
大数＝（和+差）÷2 小数＝（和-差）÷2 2、转化条件，运用公式。
（24-8）÷2＝8 大数＝（和+差）÷2 小数＝（和-差）÷2
例1 两个数的和为36，差为22，求大、小两数各是多少？
画线段图： 小数： 大数： 大数： 22 小数： 小数： 大数： 36 -22 （36－22）÷2=7……小数 36 +22 （36＋22）÷2=29……大数
答：大数为29 ， 小数为7。 22 小结：和差问题公式：大数＝（和+差）÷2 小数＝（和-差）÷2
总结：一个量减少a,
随堂练习 两层书架共放书220本，如果从上层拿出10本给下层，则两 层书一样多。上层、下层各放书多少本？
例4.甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转 学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人， 求两校原来有学生多少人？
思路分析：这道题虽然只告诉了我们两个数的和，但是两数的差属于 隐藏条件．由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，实际上 甲校比乙校多 (人)，找到了隐藏的差，就转变成了典型的和差问 题． 列式：乙： 甲： (人) (人)
例5 某工厂将875元奖金分给有创造发明的三 名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第 二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得 多少元？
与前面问题有什么区别？
1、画3条线段图，帮助理解条件。 2、以最少的第三名为标准，找出标准 与875元的关系。 3、列式计算，求出标准。
875元
完 全 解 题
随堂练习
草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2 只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？
【解析】画图分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只，把 黑兔比白兔多的，补到灰兔比白免少的部分，这样黑兔、 白兔、灰兔共27只也可以看成是3倍白兔这么多，因此可 以先求出白兔的只数． 白兔： 列式： （只） 黑兔： （只） 灰兔： （只）
答：甲校原来有550人，乙校原来有500人。
随堂练习
姐姐和弟弟共有贺卡80张，如果姐姐给弟弟3张后，还比弟 弟多4张。姐姐和弟弟原来各有多少张？
思路分析：姐姐给弟弟3张，说明姐姐比弟弟多2个3 张即3×2=6（张），又知姐姐给过弟弟后，还比弟 弟多4张，可知姐姐原来一共比弟弟多6＋4=10 （张），这也就是姐姐比弟弟贺卡的数量差，题中 知道二人贺卡张数和，可以求出原来两人各多少张？
第一行:（6+2）÷2＝4 第二行:（8+4）÷2＝6
（6-2）÷2＝2 （8-4）÷2＝2
完成最后两行: （20+12）÷2＝16 （20-12）÷2＝4 （24+8）÷2＝16
规律:大数＝（和+差）÷2
小数＝（和 - 差）÷2
第三行验证:（和13+差3）÷2＝大数8 （和12-差3）÷2＝小数5
挤到人群中去看出的题目了。题目是这样的一张表，要求把它填完：
大数 小数 和 差 计算公式 和＝大数+小数 差＝大数-小数 8 5 20 24 3 12 8 小数＝ 差＝大数-小数 大数＝
4
6
2
和＝大数+小数
大数＝ 小数＝
大数 4
小数 2
和 6
差 2
6
8 16 16
2
5 4 8
8
13 20 24
4
3 12 8
这两筐苹果的重量和是多少千克？差是多少千克？
从第一筐中取出6千克放入第二筐后，两筐的重量相等，那是不是 第一筐就比第二筐重6千克呢？ 画线段图，如果第一筐比第二筐重6千克
从第一筐中拿出6千克放入第二筐后
这时第二筐就比第一筐多了6千
克，而不是两筐苹果的重量相等， 所以第一筐比第二筐重6千克是 不正确的。
答：亮亮的语文是91分，数学是95分。
小结：当题目中没有直接告诉我们两个数的和或差的时候，我们就要利
用题目中的已知条件求出和与差，然后再利用解决和差问题的公式解题。
随堂练习
丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2 分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？
例3 两筐苹果共重90千克，如果从第一筐中取出6千克放入 第二筐后，两筐的重量相等，第一筐苹果原来有多少千克？ 第二筐苹果原来有多少千克？
和差问题
已知两个数的和与它们的差，求这两 个数各是多少的应用题，叫做和差问 题。 这部分内容涉及和、差、大 数、小数几个基本概念。
话说有一天，去西天取经的唐僧师徒来到了西女国，刚进城门就看见 街上有很多百姓都朝着一个方向跑，一打听才知道，原来这西女国的国王有 一位非常漂亮的公主，见过公主的大臣都说这位公主美若天仙，现在公主要 选附马，公主说聪明的青年才配得上她，所以她出了一个题目，解出来的人 才可以参加进一步的选拔，现在榜文都张贴出来了。八戒一听就乐了，急忙
第三名分得钱数的3倍是： 875－125－375=375元 第三名分得钱数是： 375÷3=125元 第二名分得钱数是： 125＋125=250元 第一名分得钱数是： 250＋250=500元 答： 第一名分得钱数是500元，第二名分得钱数是250 元，第三名分得钱数是125元。
小结：涉及多个量的和差问题时，往往以最小的数为标准。
随堂练习
有两筐苹果，共重120千克，大筐比小筐重30千克。两筐 苹果各重多少千克？
例2 亮亮在一次测验中，语文和数学的平均分是93分，数 学比语文多4分，亮亮语文、数学各多少分？
可以直接运用公式吗？ 根据“语文和数学的平均分是93分”，可以求出语文和数学的分数和。
完 全 解 题
语文、数学的总分是：93×2＝186 数学的分数是：（186+4）÷2＝95（分） 语文的分数是：（186-4）÷2＝91（分）
帮你分析一下
举例子：就像你有3个苹果，他有1个苹果一样， 当你给他1个时源自文库们俩的苹果就一样多了，你给他 的1个只是你比他多的2个苹果的一半。这样便找 出第一筐比第二筐重6×2＝12千克。
完 全 解 题
第一筐苹果的重量为：（90+6×2）÷2＝51（千克） 第二筐苹果的重量为：51-12＝39（千克） 答：第一筐苹果原来有51千克，第二筐苹果原来有39千克。 另一个量增加a,这时，两个量的差就增加了2a.
课堂总结
1、推导和差问题的解题公式：
大数＝（和+差）÷2 小数＝（和-差）÷2 2、转化条件，运用公式。
（24-8）÷2＝8 大数＝（和+差）÷2 小数＝（和-差）÷2
例1 两个数的和为36，差为22，求大、小两数各是多少？
画线段图： 小数： 大数： 大数： 22 小数： 小数： 大数： 36 -22 （36－22）÷2=7……小数 36 +22 （36＋22）÷2=29……大数
答：大数为29 ， 小数为7。 22 小结：和差问题公式：大数＝（和+差）÷2 小数＝（和-差）÷2
总结：一个量减少a,
随堂练习 两层书架共放书220本，如果从上层拿出10本给下层，则两 层书一样多。上层、下层各放书多少本？
例4.甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转 学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人， 求两校原来有学生多少人？
思路分析：这道题虽然只告诉了我们两个数的和，但是两数的差属于 隐藏条件．由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，实际上 甲校比乙校多 (人)，找到了隐藏的差，就转变成了典型的和差问 题． 列式：乙： 甲： (人) (人)
例5 某工厂将875元奖金分给有创造发明的三 名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第 二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得 多少元？
与前面问题有什么区别？
1、画3条线段图，帮助理解条件。 2、以最少的第三名为标准，找出标准 与875元的关系。 3、列式计算，求出标准。
875元
完 全 解 题
随堂练习
草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2 只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？
【解析】画图分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只，把 黑兔比白兔多的，补到灰兔比白免少的部分，这样黑兔、 白兔、灰兔共27只也可以看成是3倍白兔这么多，因此可 以先求出白兔的只数． 白兔： 列式： （只） 黑兔： （只） 灰兔： （只）
答：甲校原来有550人，乙校原来有500人。
随堂练习
姐姐和弟弟共有贺卡80张，如果姐姐给弟弟3张后，还比弟 弟多4张。姐姐和弟弟原来各有多少张？
思路分析：姐姐给弟弟3张，说明姐姐比弟弟多2个3 张即3×2=6（张），又知姐姐给过弟弟后，还比弟 弟多4张，可知姐姐原来一共比弟弟多6＋4=10 （张），这也就是姐姐比弟弟贺卡的数量差，题中 知道二人贺卡张数和，可以求出原来两人各多少张？
第一行:（6+2）÷2＝4 第二行:（8+4）÷2＝6
（6-2）÷2＝2 （8-4）÷2＝2
完成最后两行: （20+12）÷2＝16 （20-12）÷2＝4 （24+8）÷2＝16
规律:大数＝（和+差）÷2
小数＝（和 - 差）÷2
第三行验证:（和13+差3）÷2＝大数8 （和12-差3）÷2＝小数5
挤到人群中去看出的题目了。题目是这样的一张表，要求把它填完：
大数 小数 和 差 计算公式 和＝大数+小数 差＝大数-小数 8 5 20 24 3 12 8 小数＝ 差＝大数-小数 大数＝
4
6
2
和＝大数+小数
大数＝ 小数＝
大数 4
小数 2
和 6
差 2
6
8 16 16
2
5 4 8
8
13 20 24
4
3 12 8
这两筐苹果的重量和是多少千克？差是多少千克？
从第一筐中取出6千克放入第二筐后，两筐的重量相等，那是不是 第一筐就比第二筐重6千克呢？ 画线段图，如果第一筐比第二筐重6千克
从第一筐中拿出6千克放入第二筐后
这时第二筐就比第一筐多了6千
克，而不是两筐苹果的重量相等， 所以第一筐比第二筐重6千克是 不正确的。
答：亮亮的语文是91分，数学是95分。
小结：当题目中没有直接告诉我们两个数的和或差的时候，我们就要利
用题目中的已知条件求出和与差，然后再利用解决和差问题的公式解题。
随堂练习
丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2 分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？
例3 两筐苹果共重90千克，如果从第一筐中取出6千克放入 第二筐后，两筐的重量相等，第一筐苹果原来有多少千克？ 第二筐苹果原来有多少千克？