湖北省2019届高三1月联考测试数学(理)试题(名师解析)

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tanA＝3tanB，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．
【详解】解：∵acosB﹣bcosA ，
∴由正弦定理化简得：sinAcosB﹣sinBcosA sinC sin（A+B） sinAcosB cosAsinB，
【解析】
【分析】
设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．
【详解】由题意可得A（a，0），
A为线段OB的中点，可得B（2a，0），
令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝± b，
可设P（2a， b），
可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．
10.在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ，则 的最小值为（）
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得：c＝2a＝2 ，a ，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】解：∵AB＝2BC＝2 ，
∴由题意可得：c＝2a＝2 ，a ，
∵（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）＝sinAsinC﹣sin2C，
【详解】解：由y＝3x，x∈R，
得y＞0，即A＝（0，+∞），
由y ，x∈R，
得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，
即A∩B＝（0，2]，
故选：C．
【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．
3.函数 的大致图像是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为__．
【答案】5
【解析】
【分析】
先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．
【详解】作出x，y满足约束条件 ，所示的平面区域，如图：
作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，
4.已知等边 内接于 ， 为线段 的中点，则 （）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出 用 、 的表达式即可．
【详解】解：如图所示，
设BC中点为E，则
（ ） • ．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．
5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，
联立 ，可得ky2﹣y+m＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则 ， ，
∴ ，即m＝﹣2k．
∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．
则直线MN过定点（2，0）．
则O到直线MN的距离不大于2．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．
【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，
即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），
湖北省2019年元月高考模拟调研考试
理科数学
一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 是虚数单位，若 ，则 的共轭复数 对应的点在复平面的（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断
【详解】f（﹣x） f（x），
则函数f（x）为偶函数，故排除C、D，
当x＝1时，f（1） 0，故排除B，
故选：A．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【详解】设停车位有n个，
这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有An﹣23种，
恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32An﹣22种，
由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），
即|AP|＝2a，即有2a ，
可得a＝b，e ，
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.已知偶函数 满足 ，现给出下列命题：①函数 是以2为周期的周期函数；②函数 是以4为周期的周期函数；③函数 为奇函数；④函数 为偶函数，则其中真命题的个数是（）
由 可得A（1，2），此时z＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
【详解】根据几何体的三视图：
该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．
所以：v ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．
14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．
【答案】10
【解析】
【分析】
设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得An﹣23＝A32An﹣22，解得即可.
∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，
且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，
∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，
CH⊥平面ABC，
∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；
当CD＝1时，B与D重合，AH ，
6.若 在 上是增函数，则 的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．
【详解】解：若f（x）＝sinx cosx＝2（ sinx cosx）＝2sin（x ）[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，
∴﹣m ，且m ．
整理得：sinAcosB＝3cosAsinB，
∴cosAcosB＞0，
∴tanA＝3tanB；
∴则 2 2 2 ．
∴可得 的最小值为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
11.如图，在等腰 中，斜边 ， 为直角边 上的一点，将 沿直线 折叠至 的位置，使得点 在平面 外，且点 在平面 上的射影 在线段 上设 ，则 的取值范围是（）
∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，
∴S ac ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.设函数 ，若函数 有4个零点，则 的取值范围为__．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知函数 为偶函数，函数 有4个零点转化为函数 在 有2个零点，即研究函数的单调性与最值即可.
当CD＜1时，AH ，
∵D为直角边BC上的一点，
∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（ ，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.设 ， 是抛物线 上的两个不同的点， 是坐标原点，若直线 与 的斜率之积为 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．
【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，