积分变换第6讲
数学积分变换法PPT学习教案
F1
1F
t
df( x,
)f *(
,
) 1( x )2 e 4(t )
x2
de4( t
)
d
2 0 t 2 (t )
*
1
x2
e 4t
2 t
t
f ( x, )*
1
x2
e d 4(t )
0
2 (t )
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傅 立 叶 逆 变 换是一 种把分 析运算 化为代 数运算 的有效 方法,但 1.傅 立 叶 变 换 要求 原象函 数在R上 绝对可 积.,大 部分函 数不能 作傅立 叶变换
t
f ( )
1
e d
x2 4a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
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例设
求 解 下面定 解问题
x 1, y 0
2u x2 y xy
解 对 进 行 拉普拉 斯变换 ,
y
u | y0 x 2
u | x1 cos y
ux, y Ux, p
则原方程
变为
x
u y
x2
y
d pU x, p x2 x2 1
2a t
gt
易证
g0 0
而
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p a
x
g 0
p
p x
e a
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于是
L1[
p
1
e
p a
x
积分变换_(Laplace)课件与习题
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
复变函数与积分变换课堂PPT课件
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定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
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有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
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上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
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例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
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容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
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在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
拉普拉斯积分变换 PPT课件
记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
积分变换1-5.ppt
ut u t0
a2uxx ( x 0;t
( x);ux x0 0
0)
解
记ℱy[u( x,t)]
u( x, t )cos wxdx uˆ y (w,t)
0
ℱy[( x)]
0
(
x
)
cos
wxdx
ˆ
y
(
w)
- 11 -
第五节 傅里叶变换的应用
方程两边求傅立叶余弦变换得
ℱy[uxx ( x,t)]
(
x)
sin
wxdx
ˆ
z
(
w
)
傅 里
方程两边求傅立叶正弦变换得
叶 变 换
ℱz[uxx ( x,t)]
0 uxx ( x, t )sin wxdx
ux
sin
wx
0
w
0 ux cos wxdx
w[u
cos
wx
0
w
usin wxdx]
0
w2uˆz
-9-
所以
第 一
因此
章
傅 里 叶 变 换
第五节 傅里叶变换的应用
第 一
aiwX (w) bX (w) c X (w) H(w)
章
iw
傅即
里 叶 变
换 所以
X
(w)
b
H(w) i(aw
c
)
w
x(t )
ℱ1[ X (w)]
ℱ1[
b
H(w) i(aw
c
] )
w
1
2
bw
wH (w) i(aw2
c
)
e
iwt
dw
-3-
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
积分变换--傅里叶变换课件
x
前面计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 2 2 n w n nw n , 可将cn以竖线标在频率图上 T 2
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一
周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
n
f (t 8n),
w
一般地, 对于周期T
1 jw n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 jw n t e dt T 1 1 1 1 jw n t jw n jw n e e e Tjw n Tjw n 1 2 sin w n 2 sinc( w n ) (n 0,1,2, ) T wn T
1
例如变换核 k( t ,ω ) e jωt , 积分域 ( a,b ) ( , ), 则
F( ω )
f ( t )e jωt dt
变换核 k(t , s) e st , 积分域 (a, b) (0,), 则
F ( s)
0
f ( t )e st dt ( s为复变量)
T 2
则在T=8时,
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 4 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 8 4
w
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2,) 8 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 16 8
1 T2 jnwt 合并为：cn fT (t )e dt n 0, 1, 2, T T 2
积分变换
= 1,2,3,
fT (t) = c0
cne
jw nt
c e- jwnt -n
=
cne jwnt
n =1
n = -
20
给定fT(t), cn的计算如下:
c 0
=
a0 2
=
1 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
当 n
1时 c n
=
an
- jb n 2
=
1 T
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
nwtd t =
m =1
2
= a n
T
2 cos
-T 2
2 nwt d t =
T an 2
即
an
=
2 T
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
16
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
(n, m = 1,2,3, , n m ),
T
2 cos nwt cos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3, , n m ), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
sin x
= 1, 则函数在整个实轴连续
x x=0
26
sinc函数的图形:
sinc(x)
x
积分变换_(Laplace)课件与习题
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需 要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
10
练习: 求单位斜坡函数
傅立叶积分变换
第一章 傅里叶积分变换所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：()()ττF dt t f t k ba−−→−⎰记为),(这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫-⎪⎝⎭上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有()()∑∞=++=10sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)其中()dt t f T a TT T ⎰-=2201,()() ,2,1cos 122==⎰-n tdt n t f T a TT T n ω,()() .2,1sin 122==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于()()20000-++t f t f T T .又2cos φφφi i e e -+=,ie e i i 2sin φφφ--=,.于是()∑∞=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=10222n t in t in nt in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =2n nn ib a c -=, 2n n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞-∞==n tin nT ec t f ω()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c t in TT T n ω. (3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即()t f T T ∞→=lim ()t f =.由公式(2) 、(3)得()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221,可知()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim , 令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T πω2=或nT ωπ∆=2 .于是()()t i n TT i TT n n e d e f T t f ωτωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞-∞=--→∆22021lim , 令()()t i i TT T n T n n e d e f ωτωττπωφ][2122--⎰=,故()t f ()nn nTn ωωφω∆=∑∞-∞=→∆0lim. (4)注意到当,0→∆n ω即∞→T 时,()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞∞-⎰=→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：()t f ()⎰+∞∞-=ωωφd ，或者()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21. (5)公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即()dt t f ⎰+∞∞-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处应以()()20000-++t f t f 来代替.上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=-⎰⎰∞+∞+∞-.,200,]cos [1其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ(6)上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21.从上式出发，设()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰= (1)则()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21 (2)称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为()=ωF F ()}{t f .称(2)式，即()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为()t f =F 1-[()t f ].(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ↔()ωF .例 1 求函数()t f ⎩⎨⎧≥<=-0,0,0t e t t β的傅氏变换及其积分表达式其中 0>β.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.解:根据定义, 有()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰==dt e e t i t ωβ-+∞-⎰0=dt e t i ⎰+∞+-0)(ωβ=ωβi +1=22ωβωβ+-i . 这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21ωωβωβπωd e i ti ⎰+∞∞-+-=2221注意到t t eti ωωωsin cos +=， 上式可得()t f ()ωωωωβωβπd t i t i sin cos 2122++-=⎰+∞∞-=ωωβωωβπd tt ⎰+∞++022sin cos 1. 因此⎪⎩⎪⎨⎧>=<=++-∞+⎰.0,,0,2,0,0sin cos 022t e t t d t t t βππωωβωωβ 例2 求()t f =2t Ae β-的傅氏变换其中 0,>βA ---钟形脉冲函数.解: 根据定义, 有()()dt et f F ti ωω-+∞∞-⎰==dt e Ae t i t ωβ-+∞∞--⎰2,=βω42-Aedt Aei t ⎰∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22βωββωβπ42-=Ae .这里利用了以下 结果：()02>=⎰∞+∞--βωπβdx e x . 2．傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式()∑∞-∞==n t in n T e c t f ω,()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21,以及n c 和()ωF 的表达式()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c tin TT T n ω,()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=,由此引出以下术语： 在频谱分析中, 傅氏变换()ωF 又称为()t f 的频谱函数, 而它的模()||ωF 称为()t f 的振幅频谱(亦简称为谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱,因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数()||ωF 是角频率ω的偶函数, 即()||ωF ()||ω-=F ,()||ωF 的辐角()ωF arg 称为相角频谱, 显然()ωF arg ()()⎰⎰∞+∞-+∞∞-=tdtt f tdt t f ωωcos sin arctan ,相角频谱()ωF arg 是ω的奇函数.例3 求单个矩形脉冲函数()t f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤,2,0,2,a t a t E 的频谱图.解：()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=dte E t i a a ω--⎰=222sin222ωωωωa Ea a e i E ti =--, 频谱为()||ωF =|2sin2|ωωa E. 请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
积分变换 PPT
z → z0
lim f ( z ) = ∞ .
z = 0 是二级极点 z = −2 是一级极点 是二级极点, 是一级极点.
10
2)极点的判定方法 极点的判定方法 (1) 由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z − z 0 的负幂项为有 限项 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) = ( z − z0 ) m
的邻域内解析, 其中 g (z ) 在 z0 的邻域内解析 且 g ( z0 ) ≠ 0.
lim (3) 利用极限 z z f ( z ) = ∞ 判断 . →
0
11
课堂练习
1 求 3 级数. 的奇点, 如果是极点, 的奇点 如果是极点 指出它的 级数 2 z − z − z+1
答案
1 1 , 由于 3 = 2 2 z − z − z + 1 ( z + 1)( z − 1)
lim (2) 判断极限 z→ z f ( z ) : 若极限存在且为有限值 若极限存在且为有限值, →
→
0
则 z0 为 f (z ) 的可去奇点 的可去奇点.
6
例3
sin z 1 2 1 4 中不含负幂项, = 1 − z + z − L 中不含负幂项 z 3! 5!
sin z z=0是 的可去奇点 . z
9
说明: 说明 (1)
g ( z ) = c− m + c− m +1 ( z − z0 ) + c− m + 2 ( z − z0 ) 2 + L
特点: 特点
1. 在 z − z 0 < δ 内是解析函数 2. g ( z0 ) ≠ 0
数学物理方程第四章 积分变换法(课堂PPT)
❖ 傅里叶变换建立R了信号时域与频域之间的关系，
频率是信号的物理本质之一。
6
❖ 设f(x)为[-π,π]上的有限信号，则f(x)的傅 里叶变换可简化为：
fˆ ( ) π f (x)eix dx π
❖ 对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可 采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在 上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在 区间上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此 可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式， 它们在上均代表.有时，对函数在边界（区间的 端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条 件，这常常就决定了如何延拓。
第四章 积分变换法 傅立叶变换与拉普拉斯变换
数学物理方程
1
1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信 N 1
号f(x)进行表征：f (x) P(x) anxn。 n0 1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函
数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学
家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为
( x ,t 0)
U ' (t; k) k 2a2U (t; k) F(t; k) U (t; k) |t0 0
其中 U (t; k) 为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次
e 常微分方程，用 k2a2t 遍乘方程各项 18
d [U (t; k)ek2a2t ] F (t; k)ek2a2t dt
19
❖ 交换积分次序
u(x,t) t
1
= 0
f ( , )[2
e e dk] k2a2 (t ) ik (x ) d d
引用积分公式
e2k2 ek dk =
傅里叶积分变换PPT课件
F( )
f (t)ej t dt
（2）
则
f (t) 1
F ( ) e j t d
2
（3）
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从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
0
E e jt
j
0
E (1 cos τ j
jsin τ
)
2E
e jT 2
sin τ
2
第34页/共66页
解2
前面介绍的矩形单脉冲
f1
(t
)
E,
0,
τ t τ ;
2
2
其他
的频谱函数为
F1 ()
2E
sin
τ
2
因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移 利用位移性质有
τ 2
得到，
F() F
故（8）式成立。这表明：一个函数积分后
的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以
因子 j。
第38页/共66页
例2 求微分积分方程
t
ax(t) bx(t) c x(t)dt h(t)
的解，其中 t , a,b, c 均为常数。
解 记 F x(t) X () F h(t) H()
在方程式两边取傅氏变换，并利用傅氏变换的微 分性质和积分性质可得
例6 求指数衰减函数
f
(t)
0,
t 0;
( 0)
e t , t 0
的频谱。
解
根据例1的结果， F ( )
数理方法-第一章-积分变换
2.1.2 复数形式的傅立叶级数
从复变函数的知识中， 我们知道， 由欧拉公式， 三角函数与复指数函数有着密切的联系：
eiθ = cos θ + i sin θ, (2.9)
因此， 我们可以进一步来构造复数形式的傅立叶级数。 将上述欧拉公式代入（2.3 ）式中的傅立叶级数中， 得 ) ∞ ( ∑ kπx kπx f (x) = ak cos + bk sin l l k=0 ( ) kπx kπx kπx kπx ∞ ∑ ei l + e− i l ei l − e− i l = ak + bk 2 2i k=0 ( ) ∞ ∑ ak − ibk kπx ak + ibk −i kπx l = ei l + e 2 2 k=0 因此， 我们可以将上式归纳为
f (x) =
∞ ∑ k=−∞
ck ei
kπx l
,
其中的展开系数可如下求得：
ck = 1 2l ˆl
−l
0 ˆ ˆl x kπx kπx x kπx 1 1 − (−1)k e−1 e l e−i l dx + e− l e−i l = f (x)e−i l dx = , 2l 1 + k2 π2
f (x) = a0 + 1 l ˆl f (x) dx,
0 ∞ ∑ k=1
ak cos
kπx , x ∈ [0, l] l 2 ak = l ˆl f (x) cos
0
a0
=
kπx dx. l
(2.20)
注意以上有限区间傅里叶级数展开系数表达式中的积分区间和积分号前面的系数。
F (x) =
∞ ∑ k=1
bk sin
积分变换课件市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
d (t) F 1[1] 1 eitd eitd 2d (t)
2
例1 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.
证法1：F 1
1
e
jt dt
s
t
e jsds 2d .
证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得
f (t) 1 2d () ejtd e jt 1
lim
0
1 dt 1
0
（在极限与积分可互换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
可将d-函数用一种长度等于1旳有向线段表达,
这个线段旳长度表达d-函数旳积分值, 称为d-函数
旳强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d (t) f (t)d t
f (0) 及
d (t t0 ) f (t) d t
fT
(t)
a0 2
n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)
(1.1.1)
其中 2T称为频率，频率ω相应旳周期T与fT(t)
旳周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)旳n
次谐波频率。
2
a0 T
T
2 T
fT (e)dt
2
dn
2 T
T
2 T
fT (e)dt
2
bn
2 T
T
2 T
fT (t) sin ntdt
在原来电流为零旳电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量旳脉冲, 目前要拟定电路上旳电流 i(t). 以q(t)表达上述电路中旳电荷函数, 则
q(t )
0, 1,
t 0; t 0.
北京大学数学物理方法经典课件第十二章——积分变换法
即为
最后得到定解问题的解为
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17
12.1.3 稳定场问题
我们先给出求半平面内
拉普拉斯方程的第一
边值问题的傅氏变换系统解法（读者可以与格林函数解法进 行比较） 例 5 定解问题
解 对于变量 作傅氏变换，有
编辑ppt
18
定解问题变换为常微分方程
因为 可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为
因为
12.2.2半无界区域的问题 例 2 求定解问题
解首先作变量
的拉氏变换
原定解问题即为
编辑ppt
(12.2.6)
27
易得到(12.2.8)式的解为
编辑ppt
28
又 故 由于
及拉氏变换的卷积定理 最后,得原定解问题的解为
编辑ppt
29
12.2.2半无界区域的问题
例 2 求定解问题
【解】首先作变量 的拉氏变换 原定解问题即为
编辑ppt
30
易得到(12.2.8)式的解为
因为 所以 又
故
编辑ppt
31
利用
及拉氏变换的卷积定理 最后,得原定解问题的解为
编辑ppt
32
例3 求解在无失真条件下 电报方程的定解问题
（12.2.16）
解令
并考虑到无失真条件则原方程(15.2.16)化为
编辑ppt
（15.2.17）
33
若对时间 作拉氏变换有 于是定解问题(15.2.16)化为下列常微分方程的边值问题:
上述问题的解为 因为
编辑ppt
(12.2.18)
34
所以 于是 最后利用拉氏变换的延迟定律,得定解问题(15.2.16)的解为：
或
积分变换
1 例 求 (s) = 2 F 的 变 . 逆 换 2 s(s −1 ) B(s) = s(s −1 2 , s = 0为 零 , s = 1 二 ) 单 点 为 阶 零 , 点 1 f (t ) = est (s −1 2 ) d 1 st + lim s e s→ d s 1
14
如方程B(s)=0有一个二重根s1, 称s1为B(s)的 二阶零点, 也是F(s)est的二阶极点, 这时F(s)est 在s=s1处可展开为罗朗级数, 其形式为:
A(s) st c−2 c−1 e = + + c0 + c1(s − s1) +L 2 B(s) (s − s1) s − s1 等 两 同 (s − s1)2 得 式 边 乘 A(s) st (s − s1) e = c−2 + c−1(s − s1) + B(s)
− ∫ e−aτ dτ = 0 0
t
25
例1 求t * sin t
f1(t) ∗ f2 (t) = ∫
+∞
−∞
f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
21
如果f1(t)与f2(t)都满足条件: 当t<0时, f1(t)=0 f2(t)=0, 则上式可以写成
f1(t ) ∗ f2 (t ) = ∫
t 0 0 −∞
f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
+∞ t
+ ∫ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ + ∫ = ∫ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
f1(t) * [f2(t) * f3(t)] = [f1(t) * f2(t)] * f3(t) f1(t) * [f2(t) + f3(t)]= f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t)
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L [af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) L -1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
3
微分性质 若L [f(t)]=F(s),
则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0)
积分变换
第6讲
1
拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变 换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数 都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这 些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性 质时不再重述这些条件
2
1. 线性性质
若a,b是常数
因为L
[sin
kt]
s2
k k2
根据上述微分性质可知
L
[t sin
kt]
-
d ds
s2
k k 2
2ks (s2 k2)2
同理可得
L
[t cos kt]
-
d ds
s2
s k 2
2s2
1
2s2 - s2 - k 2 s2 - k 2
-
(s2 k2)2 s2 k2
(s2 k2)2
-k2L [cos kt]=s2L [cos kt]-s 移项化简得
L
[cos kt]
s2
s k2
(Re(s) 0)
7
例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其 中m是正整数. 由于f(0)=f '(0)=...=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m! 所以L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)]-sm-1f0)-
=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f '(0)-...-f(n-1)(0) (2.4)
5
特别, 当初值f(0)=f ‘(0)=...=f(n-1)(0)=0时, 有
L [f ’(t)]=sF(s), L [f ‘’(t)]=s2F(s), ...,
L [f(n)(t)]=snF(s)
(2.5)
即L [ f (t)] sF (s) - f (0) (Re(s) c)
4
推论 若L [f(t)]=F(s), 则
L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0)
=s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0)
=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0) ... L [f(n)(t)]=sL [f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)
(2.6)
和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c.
(2.7)
这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导
可以调换次序
d F (s) d f (t) e-std t
ds
ds 0
d f (t) e-std t - tf (t) e-std t
0 ds
0
9
例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.
证 根据拉氏变换式, 有
L [eat f (t)] e at f (t) e-std t 0 f (t) e-(s-a)td t 0
因L
[sinh t]
s
1 2-
1
(习题一,1(5)),由积分性质
L
sinh t
t
s
1 s2 -1
d
s
s
1 2
s
1 -1
-
s
1 1
d
s
1 2
ln
s s
-1 1
s
1 ln s 1 2 s -1
14
如果积分 f (t) d t存在,按(2.10)式,取s 0 0t
则有
f (t) d t
F(s)d s,
0t
0
其中F(s)=L [f(t)]. 此公式常用来计算某些积分.
例如,
Hale Waihona Puke L[sin t]
s
1 2
1
,
则有
sin t d t
0t
0
1 s2
1
d
s
arctan
s
|0
2
15
4.位移性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c). (2.12)
(2.3)
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
u
a
d
v
uv
|ba
-
b
vdu
a
L [ f (t)] f (t) e-std t e-std f (t)
0
0
e-st
f (t) -
f (t) de-st
0
0
- f (0) s f (t) e-std t sL [ f (t)] - f (0) 0
sm-2f '(0)-...-f(m-1)(0) 即
而
L
[m!]=smL [tm]
L [m!] m!L
[1]
m!
s
所以
L
[t m ]
m! s m1
(Re(s) 0).
8
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的
微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则
F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c.
L
t
0
f (t) d t
1 sL
f (t) 1 F (s)
s
11
重复应用(2.8)式, 就可得到:
{ } L
t
dt
t dt
t
f (t) d t
0 0 0
1 sn F(s)
(2.9)
n次
12
由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F(s)d s
f (t) e-std t d s
s
s0
0
f
(t )
-1 e-st t
s
d t
f (t) e-std t 0t
L
f (t) t
即L
f
(t) t
F(s)d s
s
一般地,有L
f (t) tn
ds
s
ds
s
n次
s F (s)d s
13
例4 求函数
f (t) sinh t 的拉氏变换. t
(s2
k
)2 2
10
3. 积分性质 若L [f(t)]=F(s)
则
L
t 0
f
(t)
d
t
1 s
F
(s)
(2.8)
证 设h(t) t f (t) d t,则有 0 h(t) f (t), 且h(0) 0
由上述微分性质, 有
L [h(t)] sL [h(t)] - h(0) sL [h(t)], 即
此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化
为F(s)的代数方程.
6
例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变换. 由于f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=-k2cos kt, 则 L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0). 即