积分变换第6讲

L
t
0
f (t) d t
1 sL
f (t) 1 F (s)
s
11
重复应用(2.8)式, 就可得到:
{ } L
t
dt
t dt
t
f (t) d t
0 0 0
1 sn F(s)
(2.9)
n次
12
由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F(s)d s
因L
[sinh t]
s
1 2-
1
(习题一,1(5)),由积分性质
L
sinh t
t
s
1 s2 -1
d
s
s
1 2
s
1 -1
-
s
1 1
d
s
1 2
ln
s s
-1 1
s
1 ln s 1 2 s -1
14
如果积分 f (t) d t存在,按(2.10)式,取s 0 0t
则有
f (t) d t
F(s)d s,
0t
0
其中F(s)=L [f(t)]. 此公式常用来计算某些积分.
例如,
L
[sin t]
s
1 2
1
,
则有
sin t d t
0t
0
1 s2
1
d
s
arctan
s
|0
2
15
4.位移性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c). (2.12)
(s2
k
)2 2
10
3. 积分性质 若L [f(t)]=F(s)
则
L
t 0
f
(t)
d
t
1 s
F
(s)
(2.8)
证 设h(t) t f (t) d t,则有 0 h(t) f (t), 且h(0) 0
由上述微分性质, 有
L [h(t)] sL [h(t)] - h(0) sL [h(t)], 即
-k2L [cos kt]=s2L [cos kt]-s 移项化简得
L
[cos kt]
s2
s k2
(Re(s) 0)
7
例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其 中m是正整数. 由于f(0)=f '(0)=...=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m! 所以L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)]-sm-1f0)-
L [f1(t)]=F1(s), L [f2(t)]=F2(s), 则有
L [af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) L -1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
3
微分性质 若L [f(t)]=F(s),
则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0)
证 根据拉氏变换式, 有
L [eat f (t)] e at f (t) e-std t 0 f (t) e-(s-a)td t 0
此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化
为F(s)的代数方程.
6
例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变换. 由于f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=-k2cos kt, 则 L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0). 即
f (t) e-std t d s
s
s0
Leabharlann Baidu
0
f
(t )
-1 e-st t
s
d t
f (t) e-std t 0t
L
f (t) t
即L
f
(t) t
F(s)d s
s
一般地,有L
f (t) tn
ds
s
ds
s
n次
s F (s)d s
13
例4 求函数
f (t) sinh t 的拉氏变换. t
=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f '(0)-...-f(n-1)(0) (2.4)
5
特别, 当初值f(0)=f ‘(0)=...=f(n-1)(0)=0时, 有
L [f ’(t)]=sF(s), L [f ‘’(t)]=s2F(s), ...,
L [f(n)(t)]=snF(s)
(2.5)
因为L
[sin
kt]
s2
k k2
根据上述微分性质可知
L
[t sin
kt]
-
d ds
s2
k k 2
2ks (s2 k2)2
同理可得
L
[t cos kt]
-
d ds
s2
s k 2
2s2
1
2s2 - s2 - k 2 s2 - k 2
-
(s2 k2)2 s2 k2
(s2 k2)2
积分变换
第6讲
1
拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变 换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数 都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这 些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性 质时不再重述这些条件
2
1. 线性性质
若a,b是常数
sm-2f '(0)-...-f(m-1)(0) 即
而
L
[m!]=smL [tm]
L [m!] m!L
[1]
m!
s
所以
L
[t m ]
m! s m1
(Re(s) 0).
8
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的
微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则
F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c.
(2.3)
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
u
a
d
v
uv
|ba
-
b
vdu
a
L [ f (t)] f (t) e-std t e-std f (t)
0
0
e-st
f (t) -
f (t) de-st
0
0
- f (0) s f (t) e-std t sL [ f (t)] - f (0) 0
即L [ f (t)] sF (s) - f (0) (Re(s) c)
4
推论 若L [f(t)]=F(s), 则
L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0)
=s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0)
=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0) ... L [f(n)(t)]=sL [f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)
(2.6)
和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c.
(2.7)
这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导
可以调换次序
d F (s) d f (t) e-std t
ds
ds 0
d f (t) e-std t - tf (t) e-std t
0 ds
0
9
例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.