系统辨识综述

系统辨识方法综述

摘要

在自然和社会科学的许多领域中，系统的设计、系统的定量分析、系统综合及系统控制，以及对未来行为的预测，都需要知道系统的动态特性。在研究一个控制系统过程中，建立系统的模型十分必要。因此，系统辨识在控制系统的研究中起到了至关重要的作用。本文论述了用于系统辨识的多种方法，重点论证了经典系统辨识方法中运用最广泛的的最小二乘法及其优缺点，引出了将遗传算法、模糊逻辑、多层递阶等知识应用于系统辨识得到的一些现代系统辨识方法，最后总结了系统辨识今后的发展方向。

关键字：系统辨识；最小二乘法；遗传算法；模糊逻辑；多层递阶

Abstract

In many fields of natural and social science, the design of the system, the quantitative analysis of the system, the synthesis of the system and the control of the system, as well as the prediction of the future behavior, all need to know the dynamic characteristics of the system. It is very necessary to establish a system model in the process of studying a control system. Therefore, system identification plays an important role in the research of control system. This paper discusses several methods for system identification, the key argument is that the classical system identification methods using the least squares method and its advantages and disadvantages, and leads to the genetic algorithm, fuzzy logic, multi hierarchical knowledge application in system identification of some modern system identification method. Finally, the paper summarizes the system identification in the future direction of development.

Keywords:System identification; least square method; genetic algorithm; fuzzy logic; multi hierarchy

第一章系统辨识概述

系统辨识是研究建立系统数学模型的理论和方法。系统辨识是建模的一种方法，不同的学科领域，对应着不同的数学模型。从某种意义上来说，不同学科的发展过程就是建立他的数学模型的过程。辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统（或将要构造的系统）本质牲征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式。当然也可以有另外的描述，辨识有三个要素：数据，模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中

选择一个与数据拟合得最好的模型。总而言之，辨识的实质就是从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态或动态特性。通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。

第二章 最小二乘法

2.1最小二乘法的引出

18世纪末，德国数学家高斯首先提出了最小二乘法，他用最小二乘法计算天梯运行轨道。这一方法后来被广泛用于系统辨识领域。20世纪60年代，随着电子计算机的普及，系统辨识方法有了飞速发展。为了选出使得模型输出与系统输出y(t)尽可能接近的参数估计值，可用模型与系统输出误差的平方和来度量接近程度，是误差平方和最小的参数即为所求的估计值。应用最小二乘法对系统模型参数进行辨识的方法有离线辨识和在线辨识两种离线辨识是在采集到系统模型所需全部输入输出数据后，用最小二乘法对数据进行集中处理，从而获得模型参数的估计值；而在线辨识是一种在系统运行过程中进行的递推辨识方法，所应用的数据是实时采集的系统输入输出数据，应用递推算法对参数估计值进行不断修正，以取得更为准确的参数估计值。

2.2 最小二乘法原理

本文中以一个SISO 系统为例说明最小二乘法的原理。

假设一个SISO 系统如下图所示

图1 SISO 系统结构图

其离散传递函数为：

3.1 输入输出的关系为：

)()()()(1k y k e z G k u =+∙- 3.2

进一步，我们可以得到：

)()()()()(11k e z B k u z A k y +⋅=⋅--

3.3

n

n n n z a z a z a z b z b z b z A z B z G ---------+⋯++++⋯++==221122111111)()()(

其中，扰动量)(k e 为均值为0，不相关的白噪声。

将式3.3写成差分方程的形式：

)

()()2()1()()2()1()(2121k e n k u b k u b k u b n k y a k y a k y a k y n n +-⋯+-+-+--⋯-----= 3.4

令T n k u k u k u n k y k y k y k ])()2()1()()2()1([)(-⋯----⋯----=ϕ][2121n n b b b a a a ⋯⋯=θ

则式3.4可以写为：

)()()(k e k k y T +=θϕ 3.5

将上述式子扩展到N 个输入、输出观测值{)(),(k y k u }，k=1,2,…，N+n 。将其代入到式3.5中，写成矩阵的形式为：

e Y +Φ=θ 3.6

其中，

取泛函)(θJ 为 )()()()()(212θθθθΦ-Φ-=∙=+=Φ-=∑∑=Y Y e e i n e Y J T T N

i

最小二乘法原理即是使)(θJ 最小，对其求极值得：

由此可得系统的最小二乘法估计值为：

Y T T T ΦΦΦ=)(θ

这样，我们就得到了系统的最小二乘估计值。以上推导的最小二乘法存在一些缺点，比如：预先取得的观测值越多，系统参数估计的精度越高，但使得矩阵ΦΦT 的阶数越大，矩阵求逆计算量也越大，所需的存储空间也会越大；每增加一次观测值，必须重新计算Φ和1)(-ΦΦT ； 若T Φ列相关,即不满秩,则ΦΦT 为病态矩阵,无法求得最小二乘估计值。

T

T N n e n e n e e N n y n y n y Y ])()2()1([])()2()1([+⋯++=+⋯++=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-⋯⋯+-⋯---⋯-⋯---=Φ)()

()()1()()2()1()2()()1()1()()1()1()(N u N n u N y N n y N n y u n u y n y n y u n u y n y n y 0)]()[(=Φ-Φ-∂∂=∂∂θθθθY Y J T