周期信号的傅里叶级数分解
傅里叶级数及其在信号处理中的应用
傅里叶级数及其在信号处理中的应用傅里叶级数是一种数学工具，用于解析周期性信号，可以将周期性信号分解成无数个正弦和余弦波的叠加。
这种分解方法是由法国数学家傅里叶在18世纪末首次提出，并在信号处理、通信系统、图像处理与声音等方面广泛应用，是多媒体技术和通信技术中不可或缺的数学基础。
一、什么是傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期性函数分解成无数个正弦和余弦波的叠加的数学表达式，也称为周期函数傅里叶展开。
简单的说，周期函数f(x)可以表示为：f(x) = a0 + a1 sin(x) + b1 cos(x) + a2 sin(2x) + b2 cos(2x) + ... + an sin(nx) + bn cos(nx)其中a0、an、bn都是常数，表示分解后每个正弦、余弦波的振幅大小，以及f(x)本身的偏移量。
二、傅里叶级数的应用傅里叶级数几乎融入了所有现代的通信与信号处理技术中。
傅里叶级数的应用范围非常广泛，从基础的音频和视频信号处理，到用于调节机器、诊断疾病、安全加密和经济分析等其他领域。
下面我们将详细介绍一些傅里叶级数的具体应用。
1. 调制解调调制解调是指通过改变信号的频率、幅度或相位等特征，将数字信号转换成模拟信号或将模拟信号转化成数字信号的过程。
在通信系统中，调制解调技术是信号传输的基础。
在频分多路复用(FDM)技术中，每个信道都有一个特定的频带宽度和中心频率，以允许它传输特定的信号。
傅里叶级数可以极大地简化我们对于这些信号的分析和处理过程，因为他们已经被分解成了特定频率的正弦和余弦波。
2. 声音和图像处理傅里叶级数在音频和图像处理方面得到了广泛应用。
在音频信号处理中，将模拟信号进行数字化后可以利用傅里叶级数对其进行频域分析，在消除噪声、音调准备、音乐合成、过滤操作等方面发挥重要作用。
在图像处理中，傅里叶级数被广泛用于图像压缩、图像滤波、图像边缘检测等方面。
例如，在jpeg压缩中，傅里叶级数的频域分析可以有效消除图像中的高频噪声，使图像更清晰并减小文件大小。
12.2周期函数分解为傅里叶级数
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
解：f(t)在第一个周期内的表达式为
T
Em f(t) =
0t 2
-Em
T t T 2
根据公式计算系数
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
a0
1 T
T 0
f (t)dt 0
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
ak
1
2
0
f (t) cos(k1t)d(1t)
3、两种形式系数之间的关系
第一种形式 f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1
第二种形式 f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
A0=a0
Akm ak2 bk2
ak=Akmcosψk
bk=- Akmsinψk
k
arctan( bk ak
f(t)
O
t
1、只含有余弦分量
f(t)应是偶函数
关于纵轴对称
f(t)
O
t
2、只含有正弦分量
f(t)应是奇函数
关于原点对称
f(t)
O
t
f (t) a0 ak cos(k1t) k 1
2、奇函数 f(t)=-f(-t) 原点对称的性质
f(t)
O
t
f(t)
O
t
2、奇函数 原点对称的性质 f(t)=-f(-t) 可以证明： a0=0, ak=0
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1 展开式中只含有正弦项分量
ch3.周期信号的傅里叶级数展开
周期信号的傅里叶级数展开：1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w Tπ=，所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞==++∑其中：2021()TT a f t dt T -=⎰2122()cos TT n a f t nw tdt T -=⎰2122()sin TT n b f t nw tdt T -=⎰ 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式：011()cos()nn n f t c cnw t ϕ∞==++∑其中：00c a =n c =nn nb tg a φ=-（3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1jnw t e1()jnw tnn f t F e∞=-∞=∑其中1221()Tjnw t T n F f t e dt T --=⎰注意：（1）幅度谱和相位谱nj n n F F e φ= ：偶谱和奇谱与三角形式间的关系（2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞==+∑0n b =或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c a =||n n c a =0,0,0n n n a a ϕπ>⎧=⎨<⎩（2）奇函数：11()sin n n f t b nw t ∞==∑00n a a ==或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c =||n n c b =,02,02nn nb b πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩（3）奇谐函数：()()2T f t f t =-±其傅里叶级数展开式中仅含奇次谐波分量，即： 0240a a a ====2460b b b ====4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数信号()f t ，周期为T ，脉宽为τ，脉幅为E（1）三角形式011()cos nn f t a anw t ∞==+∑0n b =其中：2202211()T T E a f t dt Edt T T Tτττ--===⎰⎰211222cos 2n E a E nw tdt Sa nw T T ττττ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 谐波形式：011()cos()n n n f t c c nw t φ∞==++∑其中：00c a =n nc a =， {0,0,0n n n a a ϕπ>=<（2）指数形式：1()jnw t n n f t F e ∞=-∞=∑其中：11222211()T jnw tjnw t T n F f t e dt Ee dt T T ττ---==⎰⎰112E Sa nw T ττ⎛⎫=⎪⎝⎭（3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度二．傅里叶变换 ()()jwt F w f t e dt ∞--∞=⎰1()()2jwt f t F w e dw π∞-∞=⎰特点：（1）()()()j w F w F w e ϕ=幅频函数和相频函数（2）变换条件：|()|f t dt ∞-∞<∞⎰ （3）()f t 也是由许多频率分量构成三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号,0()0,0t e t f t t α-⎧>=⎨<⎩，0α> ↔1()F w jw α=+ 双边指数衰减信号||,0(),0t t te tf t ee t ααα--⎧>==⎨<⎩ ↔222()F w w αα=+矩形脉冲(),2f t E tτ=<↔ ()()2F w E Sa w ττ=符号函数()sgn()f t t = ↔2()F w jw=冲击函数()()f t t δ= ↔ ()1F w = ()()f t t δ'=↔ ()F w jw =()()()n f t t δ=↔ ()()nF w jw = 直流信号()1f t = ↔ ()()2F w w πδ=()f t jt =-↔ ()()2F w w πδ'=()()nf t jt =-↔()()()2n F w w πδ=阶跃信号()()f t u t = ↔()1()F w w jwπδ=+四．傅里叶变换的性质 1.线性性2.奇偶虚实性：()f t 为实函数()()()cos ()sin jwtF w f t edt f t wtdt j f t wtdt ∞∞∞--∞-∞-∞==-⎰⎰⎰（1）()f t 为实偶函数，虚部()()sin 0X w f t wtdt ∞-∞==⎰ （2）()f t 为实奇函数，实部()()cos 0R w f t wtdt ∞-∞==⎰3. 对称性4.时移性5. 尺度变换：时域压缩，频谱扩张 时域扩张，频谱压缩 时域反褶，频谱反褶6.频移性：00()()jw tF f t e F w w ⎡⎤=-⎣⎦[][]001()cos ()()2F f t wt F w w F w w =-++[][]001()sin ()()2F f t wt F w w F w w j=--+ 7.时域微分：[]()()F f t jwF w '=()()()()n nF f t jw F w ⎡⎤=⎣⎦8.频域微分：[]()()F jtf t F w '-=()()()()n n F jt f t F w ⎡⎤-=⎣⎦9.时域卷积：()()()1212()F f t f t F w F w *=⎡⎤⎣⎦ 10.频域卷积：五．周期信号的傅里叶变换：（1） 周期信号的傅里叶级数展开式：1()jnw tnn f t F e ∞=-∞=∑（2） 周期信号的傅里叶变换：1()2()nn F w F w nw πδ∞=-∞=-∑特点：（ⅰ）频谱为冲击谱 （ⅱ）强度为2n F π（ⅲ）谱线位于谐波处（1nw ）（ⅳ）()1120211()|Tjnw t jwt T n w nw F f t e dt f t e dt T T∞--=-∞-==⎰⎰()101|w nw F w T==其中：0()f t 为周期信号的第一个脉冲， ()0F w 为0()f t 的傅里叶变换。
信号与系统周期信号的傅立叶级数展开
满足一定条件的周期函数 f ( t ) 可用三角函数集表示为
狄里 赫利
f(t)a 0 a nco sn0 tb nsinn0 t
n 1
0
2 T
条件
a0
1 T
t1T t1
f(t)dt
a n , bn
称为傅立叶系
数
an
t0 T t0
f (t) cos n0tdt
t0 T t0
cos2
n0tdt
信P87号图与4系-2-2统f( t) 4 [ s in0 t 1 3 s in 3 0 t 1 5 s in 5 0 t L 1 n s in n 0 t L ]
f1
(t)
4
sin
0tfLeabharlann 2(t)4
(sin 0t
1 3
sin
30t)
2
0
2 t
2
0
2 t
(a)
f
3
(t)
4
(sin
周期信号
周期信号的特点：
（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间
范围为(, )
（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成 f 0 ( t )，则周期信号 f ( t )
可以写成
f (t) f0(t nT) n
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有
aT
bT
T
f(t)dt f(t)dtf(t)dt
f(t)A0Ancon s0tn
n1
两种形式之间系数有如下关系:
A0 a0
An an2 bn2
n 1, 2, L
或
n
arctg
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的概念，并探讨它们之间的关系。
一、傅里叶级数的概念傅里叶级数是一种将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它基于傅里叶分析的原理，将一个周期为T的周期信号f(t)表示为：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是信号直流分量的系数，an和bn是信号的谐波分量的系数，n为谐波的阶数，ω0为基频的角频率。
傅里叶级数可以理解为将一个周期信号分解为不同频率成分的叠加。
二、傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种将非周期信号分解为不同频率成分的方法。
它的基本思想是将信号f(t)在整个实数轴上进行积分变换，得到频率域上的表示。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号在频率域上的表示，f(t)为原始信号，e^(-jωt)为旋转因子。
傅里叶变换将一个时域上的信号转换为频域上的表示，以便更好地分析信号的频谱特性。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期信号上的特殊情况。
当一个信号f(t)为周期信号时，其傅里叶变换和傅里叶级数之间存在着对应关系。
具体而言，傅里叶级数是傅里叶变换在周期为T的周期信号上的反离散化。
通过傅里叶级数，我们可以将一个周期信号分解为多个谐波成分，每个谐波成分对应着傅里叶变换的频谱。
四、应用实例傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
以音频信号为例，我们可以通过傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的音调，进而进行声音合成和音乐分析。
而傅里叶变换则可以将非周期信号的频谱特性表示出来，如在图像处理中可以用于图像压缩和特征提取。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系使得我们能够更好地理解和处理信号和图像。
总结傅里叶级数和傅里叶变换是处理周期信号和非周期信号的有效工具，它们在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
(完整版)周期信号傅里叶级数
C e dt T0 n0
j(nk )0t
n =
由{en (t)}的正交性得：
T0
0
e
dt j(nk )0t
T0
[n k]
T0 n=k 0 n不等于k
Ck
1 T
T
2 T
fT (t)e jk 0t dt
2
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0tdt
(n = 1,2 )
纯余弦形式傅立叶级数
其中
f（t）
a0 2
n1
An
co（ s n0t
）
n
An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0 2
称为信号的直流分量，
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展 开式。
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
其中
Cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jn0t dt
（傅立叶系数）
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量
n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
若 f (t)为实函数，则有 Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
信号与系统实验报告
信号与系统实验报告一、实验目的(1) 理解周期信号的傅里叶分解，掌握傅里叶系数的计算方法；(2)深刻理解和掌握非周期信号的傅里叶变换及其计算方法；(3) 熟悉傅里叶变换的性质，并能应用其性质实现信号的幅度调制；(4) 理解连续时间系统的频域分析原理和方法，掌握连续系统的频率响应求解方法，并画出相应的幅频、相频响应曲线。
二、实验原理、原理图及电路图(1) 周期信号的傅里叶分解设有连续时间周期信号()f t ，它的周期为T ，角频率22fT，且满足狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。
傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。
1）三角形式的傅里叶级数：01212011()cos()cos(2)sin()sin(2)2cos()sin()2n n n n a f t a t a t b t b t a a n t b n t 式中系数n a ，n b 称为傅里叶系数，可由下式求得：222222()cos(),()sin()T T T T nna f t n t dtb f t n t dtTT2）指数形式的傅里叶级数：()jn tn nf t F e式中系数n F 称为傅里叶复系数，可由下式求得：221()T jn tT nF f t edtT周期信号的傅里叶分解用Matlab进行计算时，本质上是对信号进行数值积分运算。
Matlab中进行数值积分运算的函数有quad函数和int函数。
其中int函数主要用于符号运算，而quad函数（包括quad8，quadl）可以直接对信号进行积分运算。
因此利用Matlab进行周期信号的傅里叶分解可以直接对信号进行运算，也可以采用符号运算方法。
quadl函数(quad系)的调用形式为：y＝quadl(‘func’,a,b)或y＝quadl(@myfun,a,b)。
其中func是一个字符串，表示被积函数的.m文件名（函数名）；a、b分别表示定积分的下限和上限。
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。
试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。
又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。
属于工程反问题的一种。
在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。
系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。
又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。
如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。
2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。
求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。
复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。
4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。
固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。
圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。
即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。
它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。
一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。
系统的状态按照阻尼比ζ来划分。
把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。
第三章周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt
周期信号的傅里叶级数
②
③
ii)
变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部
解：
①
i) 项数越多，误差越小，
④
P99
3.吉布斯现象
N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去
②
≈9%
t
0
①项数越多， 中出现
①
3．
与
的关系
②
i)
ii)
iii)
4．幅度谱：
，相位谱：
实 傅立叶级数的特点：
ii)
为奇函数
为偶函数
i)
为实数时， 的正负表示 的0和π，幅度谱和相位谱画到一张图上
5．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。
每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半； 只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。
而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。
时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；
引言
第三章 傅立叶变换
02
01
频域分析
本章主要内容
一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛
含直流、基波和奇次谐波
A
0
[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次谐波
01
f(t)
02
偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量
03
t
04
0
0 [例5]：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。
傅里叶级数展开与傅里叶变换的区别与联系
傅里叶级数展开与傅里叶变换的区别与联系傅里叶级数展开和傅里叶变换是信号处理领域中常用的数学工具，用于分析和处理周期性和非周期性信号。
它们在电子工程、通信工程、图像处理、物理学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数展开和傅里叶变换的定义、区别和联系。
一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期性信号分解为多个正弦波成分的方法。
对于一个周期为T的信号f(t)，它可以表示为以下级数展开的形式：f(t) = a₀ + Σ(aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))其中a₀、aₙ和bₙ分别为信号的直流分量、余弦系数和正弦系数，n为正整数，ω₀为角频率。
通过计算这些系数，可以将信号分解为多个具有不同频率的正弦波成分。
傅里叶级数展开的优势在于对周期性信号的分析和重构具有简洁的数学表达形式，能够准确地描述信号的频谱特性。
然而，傅里叶级数展开仅适用于周期性信号，对于非周期性信号需要通过周期化处理后再进行展开。
二、傅里叶变换傅里叶变换是一种将非周期性信号分解为连续频谱成分的方法。
对于一个非周期信号f(t)，它的傅里叶变换表达式为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中F(ω)为信号的频谱，ω为角频率，e^(-jωt)为复指数函数。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到的频谱表示了信号在不同频率上的能量分布。
与傅里叶级数展开不同，傅里叶变换适用于非周期性信号的分析和频谱表示。
它能够捕捉信号的全局变化和瞬态特性，对于时域上的瞬变信号和非周期性信号分析更加有效。
然而，傅里叶变换无法对离散信号进行处理，需要使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）等离散形式进行处理。
三、傅里叶级数展开与傅里叶变换的联系傅里叶级数展开和傅里叶变换有着紧密的联系，它们是傅里叶分析的两种不同形式。
傅里叶级数展开是傅里叶变换的特殊情况，当一个信号为周期性时，它的傅里叶变换可以用傅里叶级数展开来表示。
周期信号的分解-傅里叶级数
傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期信号分 解为不同频率的正弦和余弦函数 的数学方法。
三角函数系
傅里叶级数使用正弦和余弦函数 作为基底，将周期信号表示为这 些函数的线性组合。
频谱分析
通过傅里叶级数，可以分析周期 信号的频谱，了解信号中各个频 率分量的强度和分布。
周期信号的频谱分析
频谱图
频谱图是用来表示周期信 号中各个频率分量强度的 图形，横轴表示频率，纵 轴表示幅度。
傅里叶级数的发展经历了多个阶段， 包括早期的数学证明和后来的完善， 最终成为数学和工程领域中分析周期 信号的重要工具。
傅里叶级数的应用领域
1 2 3
通信领域
傅里叶级数用于信号处理和调制解调，例如在频 分复用（FDM）和调频（FM）中分析信号的频 谱特性。
振动分析
傅里叶级数用于分析机械振动，通过将振动信号 分解为不同频率的分量，可以研究振动的模式和 频率成分。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中广泛应用，通过将图像 信号表示为傅里叶级数，可以实现图像的滤波、 去噪、压缩等处理。
02 傅里叶级数的数学基础
三角函数和正弦函数三角Fra bibliotek数包括正弦函数、余弦函数、正切函数 等，它们在周期信号的分解中起着关 键作用。
正弦函数
正弦函数是周期函数，其基本周期为 $2pi$，在信号处理中常用于描述周 期信号。
周期信号的频谱分析
频谱分析
通过将周期信号分解为不同频率的正弦波分量，可以分析信号中各频率分量的 幅度和相位。
频谱密度函数
描述了信号中各频率分量的分布情况，其图形称为频谱图或频谱密度图。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数
是一个无穷级数，可以用来表示任何周期信号。
信号的奇偶分解和共轭分解傅里叶级数
信号的奇偶分解和共轭分解傅里叶级数傅里叶级数是描述周期信号的重要工具，它能够将一个周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的和，这对于信号的分析和处理具有重要的意义。
在傅里叶级数的拆解过程中，奇偶分解和共轭分解是两种常见的方法，它们能够帮助我们更好地理解信号的特性和波形。
1. 傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是将一个周期为T的连续周期信号f(t)表示成正弦和余弦函数的和的形式，数学表达式为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为信号的直流分量，an和bn为信号的交流分量，n为谐波次数，ω0为基本角频率。
傅里叶级数展开的目的是将原始信号分解为一系列正弦和余弦函数的和，从而方便信号的分析和处理。
2. 奇偶分解的基本原理奇偶分解是指将一个周期信号分解为奇函数和偶函数的和的过程。
通过奇偶分解，可以将信号分解为两个相互独立的部分，分别是偶函数部分和奇函数部分。
对于一个周期为T的信号f(t)，其奇偶分解可以表示为：f(t) = fe(t) + fo(t)其中fe(t)为偶函数部分，fo(t)为奇函数部分。
3. 共轭分解的基本原理共轭分解是指将一个周期信号分解为共轭函数的和的过程。
通过共轭分解，可以将信号分解为实部和虚部的和，其中实部和虚部分别为共轭函数。
对于一个周期为T的信号f(t)，其共轭分解可以表示为：f(t) = f*(t) + fcon(t)其中f*(t)为信号f(t)的实部，fcon(t)为信号f(t)的虚部。
4. 奇偶分解和共轭分解的关系奇偶分解和共轭分解是两种不同的分解方法，但它们之间存在着一定的关系。
具体来说，任意一个周期信号都可以同时进行奇偶分解和共轭分解。
假设f(t)为一个周期信号，那么它可以同时进行奇偶分解和共轭分解：f(t) = fe(t) + fo(t) = f*(t) + fcon(t)这意味着奇函数部分可以用虚部表示，偶函数部分可以用实部表示。
实验5 周期信号的傅里叶级数及频谱分析
N = length(n_max) ;
for k=1:N
n = 1:2:n_max(k) ;
b = 4./(pi*n) ;
x = b*sin(omega*n'*t) ;
figure
plot(t,y) ;
hold on
plot(t,x) ;
hold off ;
xlabel('t') ;
ylabel(' 部分和的波形') ;
f (t) A0 An cos(nw0t n ) n1
A0 a0
An an2 bn2
n
arctg
bn an
(n 1, 2, )
a0 A0
bann
Acosn Asinn
(n 1, 2, )
从物理概念上来说，A0是信号f (t)的直流分量, A1 cos(w0t 1)
f (t)e jnw0t , n 0, 1, 2,
2
例1：周期方波信号如图6-1所示，是求出 该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程 实现其各次谐波的叠加，并验证其收敛性
ex6_1.m
理论分析，周期方波信号的傅里叶级数展 开式子为：
4A
1
1
1
f (t) (sin w0t 3 sin 3w0t 5 sin 5w0t 7 sin 7w0t )
Fne jnw0t与Fne jnw0t成对出现
傅里叶系数的幅度 Fn 或随An角频率 的n变w0化关系绘制 成的图形称为信号的幅度谱，而相位 随角n或频n率 变化关系nw绘0 制成图形，称为信号的相位谱。幅度谱 和相位谱统称为信号的频谱，信号频谱是信号的另 一种形式的表示，它提供了从另一个角度来观察和 分析信号的途径。利用MATLAB命令可以对周期 信号的频谱及其特点进行观察验证分析
周期信号的傅里叶级数表示
弦波叠加起来，合成复杂的周期信号。
信号分析
02
对于给定的周期信号，可以利用傅里叶级数进行频谱分析，得
到信号中各个频率分量的幅度和相位信息。
频谱特性
03
通过傅里叶级数展开，可以清晰地展示信号在频域上的特性，
如主频、谐波分量等。
信号调制与解调
01 02
调制
在通信系统中，常常需要将低频信号调制到高频载波上进行传输。利用 傅里叶级数，可以将低频信号表示为一系列正弦波的叠加，进而实现调 制过程。
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PART 01
傅里叶级数基本概念
周期信号与非周期信号
周期信号
具有固定时间周期的信号，即信 号在某个时间周期内重复出现。
非周期信号
不具有固定时间周期的信号，即 信号不会重复出现。
傅里叶级数定义及公式
傅里叶级数定义
将周期信号表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，这些正弦波和余弦波具有不 同的频率和幅度。
数值计算与仿真实验
数值计算方法简介
01
离散傅里叶变换 （DFT）
将连续时间信号在时域上进行离 散化，并通过傅里叶变换得到频 域上的离散表示。
02
快速傅里叶变换 （FFT）
利用DFT中冗余计算的特点，采 用分治策略减少计算量，提高计 算效率。
03
迭代法
通过逐步逼近的方式求解傅里叶 系数，如雅可比迭代和高斯-赛 德尔迭代等。
3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数
4
狄利克雷（Dirichlet）条件 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
5
狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期 为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一 个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8， 但不连续点的数目是无穷多个。
0
1
1
0
1
2 1
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
0.15 2 1
1
0.25
2 1 1
0
1
1
0
0.15
2 1
0.25
21
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽
26
一．频谱结构
f (t ) E
/ 2
脉宽为 脉冲高度为E 周期为T1
T1
/2
T1
t
1. 指数函数形式的谱系数
2. 频谱特点
27
1．指数形式的谱系数
1 F ( n 1 ) T1
1 = T1
jn 1 t
T1
T1
2 2
f ( t )e jn1t d t
bn n tg a n
1
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
§3.3 周期信号基于指数函数的正交分解——傅里叶级数
a0
,
n0
F
n1
an
jbn 2
,
n0
n
f t F n1 ejn1t n
F n1
周期信号的复数频谱，简称复数谱
X
三、指数函数形式傅里叶级数
直接利用信号正交分解
T1
T1
2 T1
e jn1t
ejm1tdt
2 T1
cos n1t jsin n1t
cos m1t jsin m1t
an
jbn 2
e jn1t
an
jbn 2
e jn1t
an an , bn bn
f
t
a0
n1
an
jbn 2
e jn1t
n1
an
jbn 2
e jn1t
a0
n1
an
jbn 2
e jn1t
1 n
an
jbn 2
e jn1t
F n1 e jn1t
n
其中
F
n1
将复数表示为模与辐角的形式（直角坐标~极坐标），则
F n1 F n1 ejn n n1
其中模称为复数频谱的幅度谱，辐角称为相位谱，即
F (n1 )
1 2
an2
bn2
1 2 cn
n
tg1
bn an
注意： |F(nω1)|和ϕn分别为nω1的偶函数和奇函数
f (t) E
an2
bn
an cn cosn , bn cn sinn
an dn sinn , bn dn cosn X
三、指数函数形式傅里叶级数
幅度频率特性是指周期信号分解为余弦函数表示时，不同 谐波频率的余弦函数的幅度值 Cn随谐波频率nω1的变化关 系，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。
周期信号的傅里叶级数分析
n
2 2e j0t
2e j0t
4e
j
2
e
j
30t
4e
j
2
e
j
30t
j t
j
j ( 3 t )
j ( 3 t )
2 2e 4 2e 4 4e 4 2 4e 4 2
仿真 源码
连续时间信号与系统的频域分析
三、周期信号频谱的特点
f(t) E
-T -/2
/2 T
t
Fn
E T
0 0 20
信号与系统分析
周期信号的傅里叶级数分析 一、三角函数形式的傅里叶级数
若周期信号 的周期f为(t) 角频率 T 狄里赫利条件，即
，且0 满 2足T
（1）在一周期内，若有间断点存在，则间断点的数 目应为有限个。
（2）在一周期内，极大值和极小值的数目为有限个。
（3）在一周期内，信号绝对可积。即 为有限值。
指数型傅 里叶级数
n 为整数，Fn ( jn0 ) 为复傅里叶系数。其中
Fn
(
jn0
)
1 T
t0 T f (t)e jn0t dt
t0
连续时间信号与系统的频域分析
指数型傅里叶系数与三角形傅里叶系数的关系：
F0 a0 A0
Fn ( jn0 )
1 2
(an
jbn )
Fn
e jn
1
Fn
2
an2
二者共同组成信号的复频谱。（双边谱）
连续时间信号与系统的频域分析
单边谱的每条谱线代表一个分量的振幅，而双边谱是 将单边谱的每个频率分量一分为
二、对应到正、负频率处各为一半而得。即
An Fn Fn
总结周期信号的分解与合成原理
总结周期信号的分解与合成原理
信号可以分解为一个直流分量和许多不同频率的正弦分量之和。
主要表现为各频率的正弦分量在信号所占比重大小的不同。
根据周期信号的傅立叶级数展开式可知，任何非正弦周期信号，只要满足狄里赫利条件都可以分解为一直流分量和由基波及各次谐波(基波的整数倍)分量的叠加。
同样，由基波及各次谐波分量也可以叠加出一个周期方波信号。
至于叠加出来的信号与原信号的误差，则取决于傅立叶级数的项数。
一般来说，将周期信号分解得到的三角函数形式的傅里叶级数的项数是无限的。
也就是说，通常只有无穷项的傅里叶级数才能与原函数精确相等。
但在实际应用中，显然无法取至无穷多项，而只能采用有限项级数来逼近无穷项级数。
而且，所取项数越多，有限项级数就越逼近原函数，原函数与有限项级数间的方均误差就越小，而且低次谐波分量的系数不会因为所取项数的增加而变化。
当选取的傅里叶有限级数的项数越多，所合成的波形的峰起就越靠近f(t)的不连续点。
当所取得项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，约等于总跳变值的百分之九，这种现象称为Gibbs现象。