离散数学命题逻辑
离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
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1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
离散数学-----命题逻辑
离散数学-----命题逻辑逻辑：是研究推理的科学。
公元前四世纪由希腊的哲学家亚里斯多德首创。
作为一门独立科学，十七世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
）→数理逻辑（是用数学方法研究推理的形式结构和规律的数学学科。
它的创始人Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑中。
其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。
）2. 辩证逻辑（是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
）一、命题及其表示方法1、命题数理逻辑研究的中心问题是推理,而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。
基本概念：命题：能够判断真假的陈述句。
命题的真值：命题的判断结果。
命题的真值只取两个值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示）。
真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。
假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。
因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
判断命题的两个步骤：1、是否为陈述句；2、是否有确定的、唯一的真值。
说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。
一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
（2）因为命题只有两种真值，所以“命题逻辑”又称“二值逻辑”。
（3）“具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。
2、命题的表示方法在书中，用大写英文字母A,B,…,P,Q或带下标的字母P1,P2,P3 ,…,或数字(1),*2+, …,等表示命题，称之为命题标识符。
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
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命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
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命题与命题联结词
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命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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离散数学中的命题逻辑与真值表
离散数学是数学中的一个重要分支，研究的是具有离散状态的问题。
在离散数学中，命题逻辑是一个重要的概念，它使用符号和规则来描述命题之间的关系。
而真值表则是命题逻辑中用来表示命题的真值的一种方法。
命题逻辑是一种研究命题真假关系的形式方法，它不关心命题的内容，只关注命题的逻辑结构。
在命题逻辑中，命题是指只有真假两种可能取值的陈述。
命题可以用符号表示，通常用大写字母P、Q、R等来表示，例如P表示“今天下雨”。
命题与其他符号之间通过逻辑运算符进行连接，常见的运算符有“与”（∧）、“或”（∨）和“非”（¬）等。
例如，P∧Q表示“今天下雨并且明天晴朗”，P∨Q表示“今天下雨或者明天晴朗”，¬P表示“今天不下雨”。
真值表是一种用来表示命题真值的工具，它通过给定命题的不同情况，列出所有可能的真值组合，并计算命题的真假情况。
真值表是通过行列表示的，其中每一行代表一种可能的真值组合，每一列代表一个命题或运算符。
真值表中的值可以是“真”（T）或“假”（F），分别表示命题为真或为假。
例如，对于P∧Q的真值表，一共有四种可能的真值组合（P为真Q为真、P为真Q为假、P为假Q为真、P为假Q为假），并且可以得到相应的结果（真、假、假、假）。
通过真值表，我们可以对复杂的命题逻辑进行推理和分析。
例如，如果我们希望判断命题P∧Q的真假情况，可以通过查看真值表中相应的行来得到答案。
在真值表中，只要有一组真值组合使得命题为真，那么命题就为真。
如果所有的真值组合都使得命题为假，那么命题就为假。
除了用来判断命题的真假情况，真值表还可以用来进行逻辑推理。
通过对真值表的分析，可以得到一些逻辑上的结论。
例如，如果我们希望证明一个逻辑等式成立，可以通过对真值表进行分析来判断。
如果两个命题在所有的真值组合下都有相同的真假情况，那么它们就是等价的。
在计算机科学和数理逻辑中，真值表还有广泛的应用。
计算机中的逻辑电路可以使用真值表来描述和分析，通过真值表，我们可以判断逻辑电路的输出情况。
离散数学逻辑公式大全化简
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离散数学逻辑公式大全：
一、对称表达式
1. 对立矛盾：P∧(¬P)，这就意味着，实际上什么都不是真。
2. 波尔定理：(P→Q)∨(Q→P)，即P和Q之一必定是另一个的条件。
3. 谓词逻辑：∀xPx，表明了P是对任意x是真的。
二、蕴涵表达式
1. 因果关系：P→Q，其中P是因，Q是果。
2. 排中律：P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)，即P既支持Q和R的同时满足，也支持Q和R的分别满足。
3. 简单蕴涵：P→Q，Q即P的蕴涵结果。
三、命题逻辑
1. 范式：¬(P∨Q)即¬P∧¬Q，这表明,若P和Q两者成立其一，则结果
为假。
2. 合取范式：P ∨ Q，表示只要PQ其一成立，结果即成立。
3. 否定范式：P→Q，表示只有当P成立，Q才会成立，否则结果为假。
四、可辩证表达式
1. 含义性质：P→Q，表明当P为真时，Q也可能为真，但可能有证据
表明P为假时，Q也可能为假。
2. 对抗性质：¬P∧Q，表明当P（或Q）被否定时，另一方会加强对这个变量的认可。
3. 不可满足性：P∧¬P，表明两个性质之间存在矛盾，因此，这种形式无法同时满足。
离散数学 命题逻辑重言式
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…,Pn分别指定一个真值,称为对公式A的一组真值指派。
命题公式与其命题变元之间的真值关系，可以用真值表的方法表示出来。
离散数学 第一章 命题逻辑
1
定义1-8：
（1）命题公式A(P1...Pn)，n个命题变元的真值有2n种组合，每一种组合称为一种 指派。
（2）如果对于命题公式A所包含的命题变元的任何一组真值指派，A的真值恒为真， 则称公式A为重言式（或永真公式），常用“1”表示。
（3）相反地，若对于A所包含的命题变元的任何一组真值指派，A的真值恒为假， 则称公式A为矛盾式（或永假公式），常用“0”表示。 （4）不是永真式，也不是永假式的命题公式称为偶然式。 （5）如果至少有一组真值指派使公式A的真值为真，则称A为可满足公式 。
离散数学
第一章 命题逻辑
2
图示：
偶然
永真
非永真
离散数学第一章命题逻辑一重言式命题公式代表一个命题但只有当公式中的每一个命题变元都用一个确定的命题代入时命题公式才有确定的真值成为命题
1.2
一、重言式
重言式
命题公式代表一个命题，但只有当公式中的每一个命题变元都用一个确 定的命题代入时，命题公式才有确定的真值，成为命题。
定义1—7
设A为含有命题变元P1，P2，…,Pn的命题公式，对P1，P2，
F2=（Q→P）∧（¬ P∧Q）
F1和F2的真值表如下： ¬ P ¬ P↔Q P ↔Q ¬ (P→Q)
F1
Q→P
¬ P∧Q
F2 0 0
00 01
1 1
0 1
1 0
0 1
1 1
1 0
0 1
10
11
0
离散数学结构第1章命题逻辑基本概念
离散数学结构第1章命题逻辑基本概念第1章命题逻辑基本概念主要内容1. 命题与真值（或真假值）。
2. 简单命题与复合命题。
3. 联结词：否定联结词┐，合取联结词∧，析取联结词∨，蕴涵联结词→，等价联结词。
4. 命题公式（简称公式）。
5. 命题公式的层次和公式的赋值。
6. 真值表。
7. 公式的类型（重⾔式（或永真式），⽭盾式（或永假式），可满⾜式）。
学习要求1. 在5种联结词中，要特别注意蕴涵联结的应⽤，要弄清三个问题：① p→q的逻辑关系② p→q的真值③ p→q的灵活的叙述⽅法2. 写真值表要特别仔细认真，否则会出错误。
3. 深刻理解各联结词的逻辑含义。
4. 熟练地将复合命题符号化。
6. 会⽤真值表求公式的成真赋值和成假赋值。
1.1 命题与联结词 (2)⼀、命题的概念 (2)⼆、复合命题与联结词 (2)三、复合命题真假值 (5)1.2 命题公式及其赋值 (6)⼀、命题公式的定义 (6)⼆、公式的层次 (6)三、公式的赋值 (6)四、真值表 (7)五、公式的真假值分类 (8)1.1 命题与联结词⼀、命题的概念引⾔中的例⼦就是要对“我戴的是⿊帽⼦”进⾏判断。
这样的陈述句称为命题。
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是唯⼀的。
判断给定句⼦是否为命题，应该分两步：⾸先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯⼀的真值。
例1.1 判断下列句⼦是否为命题。
(1) 4是素数。
(2) 是⽆理数。
(3) x⼤于y。
(4) ⽉球上有冰。
(5) 2100年元旦是晴天。
(6) π⼤于吗？(7) 请不要吸烟！(8) 这朵花真美丽啊！(9) 我正在说假话。
解:本题的(9)个句⼦中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因⽽这3个句⼦都不是命题。
剩下的6个句⼦都是陈述句，但(3)⽆确定的真值，根据x,y的不同取值情况它可真可假，即⽆唯⼀的真值，因⽽不是命题。
离散数学推理规则公式
离散数学推理规则公式
离散数学的推理规则包括以下几种：
1. 前提引入规则（P规则）：可以在证明的任何时候引入前提。
2. 结论引入规则（T规则）：在证明的任何时候，已证明的结论都可以作为后续证明的前提。
3. 置换规则：在证明的任何时候，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等价的命题公式置换。
4. 假言推理规则（P∧ (P→Q) ⇒ Q）。
5. 附加规则（P ⇒ P∨Q）。
6. 化简规则（P∧ Q ⇒ P）。
7. 拒收式规则（¬Q∧(P→Q) ⇒ ¬P）。
8. 假言三段论规则((P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R）。
9. 析取三段论规则（¬P∧(P∨Q) ⇒ Q）。
10. 构造性二难规则((P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ⇒ (S∨R))。
以上内容仅供参考，建议查阅离散数学书籍或咨询数学领域专业人士获取更多专业信息。
离散数学 第2章 命题逻辑
6
程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
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离散数学第一章命题逻辑定义1。
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作¬P。
若P为T，¬P为F；若P为F，¬P为T。
联结词“¬”表示命题的否定。
否定联结词有时亦可记作“¯”。
（P3）定义2。
两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。
当且仅当P,Q同时为T时，P∧Q为T，在其他情况下，P∧Q的真值都是F。
（P4）定义3。
两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。
当且仅当P，Q同时为F时，P∨Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。
（P5）定义4。
给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q，读作“如果P，那么Q”或者“若P则Q”。
当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P→Q的真值为T。
我们称P为前件，Q为后件。
（P6）定义5。
给定两个命题P和Q，其复合命题P⇆Q的真值为F。
（P7）定义6。
命题演算的合式公式（wff），规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B）和（A⇆B）都是合式公式。
（4）当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。
（P9）定义7。
在命题公式中，对于分量指派真值得各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
（P12）定义8。
给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，…，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。
记作A⇔B。
（P15）定义9。
如果X是合式公式的A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的字公式。
（P16）定理1。
设X是合式公式A的字公式，若X⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B 与公式A等价，即A⇔B。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象及其关系的数学理论。
它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续对象和其性质。
离散数学在计算机科学、信息科学、电子工程等领域具有重要的应用价值。
下面将对离散数学的主要知识点进行总结。
1.命题逻辑：命题逻辑研究由命题符号组成的复合命题及其逻辑关系。
其中命题是一个陈述性的语句，可以是真或假。
命题逻辑包括命题的逻辑运算、真值表、命题的等价、充分必要条件等。
2.谓词逻辑：谓词逻辑是对命题逻辑的扩充，引入了量词、谓词和项。
它的研究对象是命题函数，可以表示个体之间的关系。
谓词逻辑包括谓词的运算、量词的运算、公理化和推理规则等。
3.集合论：集合论是研究集合及其操作的数学分支。
集合是一种由确定的对象组成的整体。
集合论包括集合的基本运算（交、并、差、补）、集合的关系（包含、相等、子集、真子集）以及集合的运算律和推导定理等。
5.组合数学：组合数学是研究物体的组合与排列问题的数学分支。
它包括排列、组合、分配、生成函数等内容，经常应用于计数和概率问题中。
6.图论：图论是用来描述物体间其中一种关系的图形结构的数学理论。
它研究的对象是由顶点和边构成的图，包括无向图、有向图、带权图等。
图论研究的内容包括图的性质、连通性、路径、回路、树、图的着色等。
7.代数系统：代数系统是一种由一组元素及其相应的运算规则构成的数学结构。
常见的代数系统有群、环、域、格等，它们分别研究了集合上的不同运算规律和结构。
8.布尔代数：布尔代数是一种应用于逻辑和计算机的代数系统。
它以真和假为基础，通过逻辑运算（与、或、非）构成了布尔代数。
布尔代数在计算机硬件设计和逻辑推理中广泛应用。
9.图的同构与图的着色：图的同构是指两个图在结构上相同，也就是说，它们具有相同的顶点和边的连接关系。
图的同构判断是一个NP难问题，需要借助于图的着色等方法来判断。
图的着色是给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点的颜色不同。
离散数学第3章 命题逻辑
0
0
0
1 1 0 0
1 0 1 0
0
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一般来说, 只要不是非常明显的不可兼就使用.
例 p: 今天晚上我在寝室上自习, q :今天晚上我去电影 院看电影. 今天晚上我在寝室上自习或去电影院看电影。 p q.
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5. 蕴涵(条件)联结词 : p q p: 我有时间, q : 我去看望我的父母. p q : 如果我有时间, 那么我去看望我的父母 . “”相当于“如果…那么…”, “若…则…”,等. p q 可读作“(若)p则q”. p称为前件, q称为后件.
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pq 1 1 1 0
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4. 异或联结词 : p q “不可兼或”, 它表示两者不能同时为真
例 p: 明天去深圳的飞机是上午八点起飞, q :明天去深圳 的飞机是上午八点半起飞. p q: 明天去深圳的飞机是上午八点或上午八点半起飞 . p 1 1 0 q 1 0 1 pq 0 1 1 p q pq 1 1 1
2
例
判断下列语句是否是命题. 2 + 3 = 5. √ 大熊猫产在我国东北. √ x > 3. 立正！ 这朵花真漂亮！ 你喜欢网络游戏吗? 1+1=10. √ 火星上有生物. √ 我说的都是假话. 小王和小李是同学. √ 你只有刻苦学习,才能取得好成绩. √
3
2. 命题的真值 命题的真值就是命题的逻辑取值. 经典逻辑值只有两个: 1和0 在数理逻辑中, 更多时候逻辑真是用 T(True) 或 t, 逻辑假用 F(False) 或 f 表示的.
离散数学命题逻辑
离散数学命题逻辑
离散数学是一门研究离散结构和逻辑推理的学科。
在这门学科中，命题逻辑是其中最基础的一部分。
命题逻辑是一种符号系统，用于表示和推理关于命题的真值。
命题是可以判断为真或假的陈述句。
命题逻辑的目标是通过推理规则和运算符来确定一个复合命题的真值。
命题逻辑中的符号包括命题变量、命题常量、逻辑连接词和逻辑运算符。
命题变量是用字母表示的可以代表任意命题的符号，命题常量是具体的命题，例如“今天是晴天”。
逻辑连接词包括“与”、“或”、“非”等。
逻辑运算符包括合取、析取、否定等。
命题逻辑有一些重要的推理规则，例如蕴含规则、假言推理、逆否命题等。
这些推理规则可以用来证明一个复合命题的真值。
在命题逻辑中，还可以使用真值表来确定一个复合命题的真值。
真值表是一种列出所有可能的真值组合并计算复合命题真值的表格。
除了命题逻辑，离散数学中还有谓词逻辑、谓词演算等其他逻辑系统。
这些逻辑系统在表示和推理复杂问题时更为强大和灵活。
离散数学中的命题逻辑在计算机科学、人工智能、密码学等领域有着广泛的应用。
例如，在计算机程序设计中，命题逻辑被用来表示和推理程序的正确性。
在人工智能中，命题逻辑被用来表示和推理关于世界的知识。
在密码学中，命题逻辑被用来分析和构造安全的密码算法。
总而言之，离散数学中的命题逻辑是一种重要的逻辑系统，用于表示和推理关于命题的真值。
它在各个领域都有广泛的应用，是理解和应用离散数学的基础。
离散数学 第6章 命题逻辑
(P Q) R m1 m3 m5 m6 m7 (1,3,5,6,7)
三、主合取范式
如组成合取范式的每一个括号中都包括所有的命题 变项或其否定形式，则该合取范式称为主合取范式。 在主合取范式中的每一个括号是一个包括所有的命题 变项或其否定形式的简单析取式，称为大项。 如果将大项中各命题变项看成为0，其否定看成为1, 按字母顺序排列后的二进制数为i,该大项表示为 M i ， 注意：M 1不是 (P Q R) ，而是 ( P Q R) 例如，在某命题公式A中P,Q,R为(0,0,1)和(1,1,1)时真 值为0，则A的主合取范式可记作为：
(P Q R) (P Q R) (1,7)
由主析取范式可直接求出主合取范式
例如，上面的例3 ( P Q) R 主析取范式已经求得，为 那么，它的主合取范式为：
(1,3,5,6,7)
( P Q R) ( P Q R) (P Q R)
5。等价 如果两个命题P和Q有 P Q P Q 的真值表 同时又有 Q P 则记作 P Q P Q P Q P Q 就是 ( P Q) (Q P) 0 0 1 合取、析取和等价都满足交换 0 1 0 律，而蕴含是不满足交换律的。 1 0 0 P 例如， Q Q P , P Q Q P 1 1 1 P Q Q P 在一个命题公式中如果没有括号， 各种联结词的运算顺序从先到后依次为：
例题5： 用真值表证明命题公式P ( P Q R) 是重言式 解： P ( P Q R) P Q R PQ R 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
离散数学命题逻辑知识点总结
离散数学命题逻辑知识点总结《离散数学命题逻辑知识点总结》命题逻辑是数理逻辑的一个分支，研究的是命题之间的关系以及它们的推理规则。
以下是离散数学命题逻辑的一些重要知识点的总结：1. 命题：命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的，但不能同时既是真的又是假的。
2. 逻辑运算符：逻辑运算符用于组合和操作命题。
常见的逻辑运算符有：“与（∧）”、“或（∨）”、“非（¬）”、“蕴含（→）”和“等价（↔）”。
3. 真值表：真值表用于表示逻辑运算符的结果。
通过列出所有可能的命题组合，并在每个组合下计算逻辑运算符的结果，可以得到真值表。
4. 合取范式和析取范式：合取范式是通过将命题用“与”运算符连接起来得到的，析取范式是通过将命题用“或”运算符连接起来得到的。
将命题转化为它们的合取范式或析取范式，能方便地进行逻辑运算。
5. 重言式和矛盾式：重言式是指对于所有可能的命题组合，逻辑表达式都为真的命题。
矛盾式是指对于所有可能的命题组合，逻辑表达式都为假的命题。
重言式和矛盾式具有重要的推理性质。
6. 推理规则：推理规则是用来推导逻辑表达式的一些基本规则。
常见的推理规则有“假言推理法”、“逆命题推理法”、“逆否命题推理法”和“拒取式推理法”。
7. 等价关系和等价演算：等价关系是指两个逻辑表达式具有相同的真值。
等价演算是一种通过运用逻辑等价关系来简化逻辑表达式的方法。
通过应用等价演算，可以将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
8. 形式化证明：在命题逻辑中，形式化证明是用推理规则和等价演算来推导出逻辑表达式的一系列步骤。
形式化证明的目的是证明一个逻辑表达式的正确性。
离散数学命题逻辑是理解和应用数理逻辑的基础。
通过掌握上述知识点，我们能够准确地分析和推理命题逻辑问题，并在解决问题时运用逻辑规律和推理方法。
对于计算机科学、人工智能和数学等领域的研究和应用，命题逻辑具有重要的理论和实际意义。
离散数学命题逻辑
Q）
(MQ) P（附加前提）
(2) SR
P
第一章命题逻辑
本题即证：M Q, MS, SR R→Q (3) RS T(2)E (4) S T(1)(3)I (5) MS P (6) M T(4)(5)I (7) (MQ) P (8) MQ T(7)E (9) (MQ)∧(QM) T(8)E (10) QM T(9)E (11) MQ T(10)E (12) Q T(6)(11)E (13) R→Q CP
第一章命题逻辑
请根据下面事实，找出凶手：
1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。 6.经理有钱且清洁工不富裕。 7.午夜时屋里灯灭了。 令A:清洁工谋害了经理。 B:秘书谋害了经理。 C:谋害发生在午夜前。 D:秘书的证词是正确的. E:午夜时屋里灯光灭了。 H:清洁工富裕. G:经理有钱. 命题符号为： A∨B,AC,DC,DE,HA,G∧H,E ?
第一章命题逻辑
例题1-8.2 用命题逻辑推理方法证明下面推理的 有效性： 如果我学习，那么我数学不会不及格。如果我不 热衷于玩朴克，那么我将学习。但是我数学不 及格。因此，我热衷于玩朴克。 解 设 P：我学习。 Q：我数学及格。 R：我热衷于玩朴克。 于是符号化为： P→Q，R→P，Q R
1-8 推理理论
第一章得出一个新 的判断的思维过程。称这些已知的判断为前提。 得到的新的判断为前提的有效结论。 实际上，推理的过程就是证明永真蕴含式的过程， 即令H1，H2，…，Hn是已知的命题公式(前提)， 若有 H1∧H2∧....∧Hn C 则称C是H1，H2，…Hn的有效结论，简称结论。
离散数学命题逻辑公式
离散数学命题逻辑公式1. 命题逻辑的基本概念命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑中的基本概念包括：命题：命题是描述客观事实真假的句子。
命题的真假值只有两个：真和假。
命题联结词：命题联结词用于将两个或多个命题连接起来，形成新的命题。
常见的命题联结词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）。
命题公式：命题公式是由命题和命题联结词组成的表达式。
命题公式的真假值取决于其组成命题的真假值。
2. 命题逻辑的推理规则命题逻辑的推理规则是用于从给定的命题公式推导出新命题公式的规则。
常见的推理规则有：三段论：三段论是一种由两个前提和一个结论组成的推理形式。
如果两个前提都是真的，那么结论也一定是真的。
例如：所有哺乳动物都是恒温动物。
猫是哺乳动物。
所以，猫是恒温动物。
假言推理：假言推理是一种由一个条件句和一个结论组成的推理形式。
如果条件句是真的，那么结论也一定是真的。
例如：如果今天下雨，那么我就不出门。
今天下雨。
所以，我不出门。
选言推理：选言推理是一种由两个或多个分支组成的推理形式。
如果其中一个分支是真的，那么结论也一定是真的。
例如：要么今天下雨，要么明天下雨。
今天下雨。
所以，明天不会下雨。
3. 命题逻辑的应用命题逻辑在计算机科学、人工智能、哲学等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，命题逻辑用于设计和分析逻辑电路、编译器和操作系统等。
在人工智能中，命题逻辑用于知识表示和推理。
在哲学中，命题逻辑用于研究逻辑的本质和推理的有效性。
4. 结语命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑的应用非常广泛，包括计算机科学、人工智能、哲学等领域。
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1-7 对偶与范式
7.1 对偶式
在前面介绍的命题定律中，多数是成对出现的， 这些成对出现的定律就是对偶性质的反映。
定义1-7.1 在给定的仅使用联结词、∧和∨的命
题公式A中，若把∧和∨互换，F和T互换而得到 一个命题公式A*，则称A*为A的对偶式。
显然，A也是A*的对偶式。可见A与A*互为对偶式.
如 P 、P 、P∨Q、P∨Q∨R 注:∵ P∨PP P∧PP ∴P是合(析)取式.
2.析取范式 公式A如果写成如下形式： A1∨A2∨...∨An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n) 是合取式，称之为A的析取范式。
3.合取范式 公式A如果写成如下形式： A1∧A2∧...∧An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n) 是析取式，称之为A的合取范式。
TT F
6.3 与非“ ”
定义：Ｐ，Ｑ是命题公式，复合命题 P Q 为Ｐ,Ｑ
的“与非”。
P Q 的真值为:
P Q P Q FF T
P Q的真值为F当且仅当
FT T
P，Q均为T.其余为T.
TF T
显然：P Q (P Q)
1)P P (P P) P T T F
2)(P Q) (P Q) (P Q) P Q
偶式；2)表明，命题变元否定的公式等价于对偶 式之否定。
此定理可以反复地使用德-摩根定律得以证明。
定理1-7.2 设A和B为两个命题公式，若AB，则 A*B*。
证明：因为 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 故 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 而 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) B(P1,P2,…,Pn)B*(P1,P2,…,Pn) 故 A*(P1,P2,…,Pn) B*(P1,P2,…,Pn)
2)(P Q) (P Q) (P Q) P Q
3)(P P) (Q Q) P Q P Q
目前为止我们已经介绍了9个联结词，够用吗？
命题联结词是通过真值表定义的，两个命题变元恰可
2 构成 4个不等价的命题公式。
9个联结词中有一个一元联结词，二元联结词中有
两个不满足交换律、c。
最小联结词组（联结词的完备集）：如果G满足下列两 条件：
1）由G中联结词构成的公式能等价表示任意命题公式；
2）G 中的任一联结词不能用其余下的联结词等价表示。
联结词组G称为最小联结词组.
定理1 {， ∨}、{ ，∧}都是最小联结词组。
证明： 先证{， ∨}是最小联结词组。
PQ (PQ) PQ (PQ)
例题1-7.1 求命题公式(P∨T)∧Q的对偶式. 解： (P∨T)∧Q的对偶式为(P∧F)∨Q.
例题1-7.2 求PQ， PQ的对偶式。
解： PQ ¬(P∧Q)，故PQ的对偶式为¬(P∨Q)
即PQ. 同理， PQ的对偶式为PQ.
定理1-7.1(对偶定理) 设A和A*互为对偶式，P1， P2，…，Pn是出现A和A* 中的原子命题变元，则 1) A(P1，P2，…，Pn)A*(P1，P2，…，Pn) 2) A(P1，P2，…，Pn)A*(P1，P2，…，Pn) 1)表明，公式A的否定等价于其命题变元否定的对
例如，PQ 的析取范式与合取范式： PQ (P∧Q)∨(P∧Q)----析取范式 PQ (P∨Q)∧(P∨Q)----合取范式
对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范 式和合取范式。
所以 A*(P1,P2,…,Pn)B*(P1, P2,…, Pn)
有了等价式、对偶定理，使化简命题公式更为方便。
1-7 范式
范式就是命题公式形式的规范形式。
析取范式与合取范式 1.合取式与析取式
合取式：是用“∧”联结命题变元或变元的否定构成 的式子。
如 P 、P 、P∧Q、P∧Q∧R 析取式：是用“∨” 联结命题变元或变元的否定构 成的式子。
1-6 其他联结词
6.1 异或（不可兼析取）
P Q的真值为: P Q的真值为F当且仅当
P与Q的真值相同.其余为T.
P Q P Q FF F FT T TF T
异或性质：
TT F
1)P Q QP （交换律）
2)(P Q) R P (Q R)
3)P (Q R) (P Q) (P R)
Q R P R R P F P;
P Q R R R F.
6.2 条件否定
定义：Ｐ，Ｑ是命题公式，复合命题 P cQ 为Ｐ,Ｑ
的条件否定。
P cQ 的真值为: P cQ 的真值为T当且仅当 P为T，Q为F.其余为F.
P Q PcQ FF F FT F TF T
显然：P cQ (P Q)
PcQ (PQ) P Q (PQ)
可见扩充的4个联结词能由原有5个联结词分别替代之。
又因为P∧Q （P ∨ Q ） PQ P ∨ Q PQ (PQ)∧(QP)
则由， ∧，∨， ， 组成的命题公式必可有 {， ∨}组成的命题公式等价代换。即为最小联结词组.
同理可证： { ，∧}也是最小联结词组。
定理2 {},{},{,¬},{,F}都是最小联结词组. 证明: 我们已证{∨,¬}是最小联结词组.
{},{}的功能完备性分别由公式: PP¬P, (PP)(QQ)P∨Q; PP¬P, (PQ)(PQ)P ∧ Q 推出.
{,¬},{,F}的功能完备性则由公式: P∨Q¬PQ； ¬P¬P∨FPF 推出.
3)(P P) (Q Q) P Q P Q
6.4 或非“ ”
定义：Ｐ，Ｑ是命题公式，复合命题 P Q 为Ｐ,Ｑ
的“或非”。
P Q 的真值为:
P Q P Q FF T
P Q的真值为T当且仅当
FT F
P，Q均为F.其余为F.
TF F
显然：P Q (P Q)
1)P P (P P) P T)
6)P P F; F P P;T P P.
定理1-6.1 设P,Q,R为命题公式，如果 P Q R,
则 P R Q, Q R P, 且 P Q R
为矛盾式.
证明：由 P Q R, 则
P R P P Q F Q Q;