离散数学命题逻辑

1-7 对偶与范式
7.1 对偶式
在前面介绍的命题定律中，多数是成对出现的， 这些成对出现的定律就是对偶性质的反映。
定义1-7.1 在给定的仅使用联结词、∧和∨的命
题公式A中，若把∧和∨互换，F和T互换而得到 一个命题公式A*，则称A*为A的对偶式。
显然，A也是A*的对偶式。可见A与A*互为对偶式.
如 P 、P 、P∨Q、P∨Q∨R 注:∵ P∨PP P∧PP ∴P是合(析)取式.
2.析取范式 公式A如果写成如下形式： A1∨A2∨...∨An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n) 是合取式，称之为A的析取范式。
3.合取范式 公式A如果写成如下形式： A1∧A2∧...∧An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n) 是析取式，称之为A的合取范式。
TT F
6.3 与非“ ”
定义：Ｐ，Ｑ是命题公式，复合命题 P Q 为Ｐ,Ｑ
的“与非”。
P Q 的真值为:
P Q P Q FF T
P Q的真值为F当且仅当
FT T
P，Q均为T.其余为T.
TF T
显然：P Q (P Q)
1)P P (P P) P T T F
2)(P Q) (P Q) (P Q) P Q
偶式；2)表明，命题变元否定的公式等价于对偶 式之否定。
此定理可以反复地使用德-摩根定律得以证明。
定理1-7.2 设A和B为两个命题公式，若AB，则 A*B*。
证明：因为 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 故 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 而 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) B(P1,P2,…,Pn)B*(P1,P2,…,Pn) 故 A*(P1,P2,…,Pn) B*(P1,P2,…,Pn)
2)(P Q) (P Q) (P Q) P Q
3)(P P) (Q Q) P Q P Q
目前为止我们已经介绍了9个联结词，够用吗？
命题联结词是通过真值表定义的，两个命题变元恰可
2 构成 4个不等价的命题公式。
9个联结词中有一个一元联结词，二元联结词中有
两个不满足交换律、c。
最小联结词组（联结词的完备集）：如果G满足下列两 条件：
1）由G中联结词构成的公式能等价表示任意命题公式；
2）G 中的任一联结词不能用其余下的联结词等价表示。
联结词组G称为最小联结词组.
定理1 {， ∨}、{ ，∧}都是最小联结词组。
证明： 先证{， ∨}是最小联结词组。
PQ (PQ) PQ (PQ)
例题1-7.1 求命题公式(P∨T)∧Q的对偶式. 解： (P∨T)∧Q的对偶式为(P∧F)∨Q.
例题1-7.2 求PQ， PQ的对偶式。
解： PQ ¬(P∧Q)，故PQ的对偶式为¬(P∨Q)
即PQ. 同理， PQ的对偶式为PQ.
定理1-7.1(对偶定理) 设A和A*互为对偶式，P1， P2，…，Pn是出现A和A* 中的原子命题变元，则 1) A(P1，P2，…，Pn)A*(P1，P2，…，Pn) 2) A(P1，P2，…，Pn)A*(P1，P2，…，Pn) 1)表明，公式A的否定等价于其命题变元否定的对
例如，PQ 的析取范式与合取范式： PQ (P∧Q)∨(P∧Q)----析取范式 PQ (P∨Q)∧(P∨Q)----合取范式
对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范 式和合取范式。
所以 A*(P1,P2,…,Pn)B*(P1, P2,…, Pn)
有了等价式、对偶定理，使化简命题公式更为方便。
1-7 范式
范式就是命题公式形式的规范形式。
析取范式与合取范式 1.合取式与析取式
合取式：是用“∧”联结命题变元或变元的否定构成 的式子。
如 P 、P 、P∧Q、P∧Q∧R 析取式：是用“∨” 联结命题变元或变元的否定构 成的式子。
1-6 其他联结词
6.1 异或（不可兼析取）
P Q的真值为: P Q的真值为F当且仅当
P与Q的真值相同.其余为T.
P Q P Q FF F FT T TF T
异或性质：
TT F
1)P Q QP （交换律）
2)(P Q) R P (Q R)
3)P (Q R) (P Q) (P R)
Q R P R R P F P;
P Q R R R F.
6.2 条件否定
定义：Ｐ，Ｑ是命题公式，复合命题 P cQ 为Ｐ,Ｑ
的条件否定。
P cQ 的真值为: P cQ 的真值为T当且仅当 P为T，Q为F.其余为F.
P Q PcQ FF F FT F TF T
显然：P cQ (P Q)
PcQ (PQ) P Q (PQ)
可见扩充的4个联结词能由原有5个联结词分别替代之。
又因为P∧Q （P ∨ Q ） PQ P ∨ Q PQ (PQ)∧(QP)
则由， ∧，∨， ， 组成的命题公式必可有 {， ∨}组成的命题公式等价代换。即为最小联结词组.
同理可证： { ，∧}也是最小联结词组。
定理2 {},{},{,¬},{,F}都是最小联结词组. 证明: 我们已证{∨,¬}是最小联结词组.
{},{}的功能完备性分别由公式: PP¬P, (PP)(QQ)P∨Q; PP¬P, (PQ)(PQ)P ∧ Q 推出.
{,¬},{,F}的功能完备性则由公式: P∨Q¬PQ； ¬P¬P∨FPF 推出.
3)(P P) (Q Q) P Q P Q
6.4 或非“ ”
定义：Ｐ，Ｑ是命题公式，复合命题 P Q 为Ｐ,Ｑ
的“或非”。
P Q 的真值为:
P Q P Q FF T
P Q的真值为T当且仅当
FT F
P，Q均为F.其余为F.
TF F
显然：P Q (P Q)
1)P P (P P) P T)
6)P P F; F P P;T P P.
定理1-6.1 设P,Q,R为命题公式，如果 P Q R,
则 P R Q, Q R P, 且 P Q R
为矛盾式.
证明：由 P Q R, 则
P R P P Q F Q Q;