函数模型及其应用 知识点与题型归纳

●高考明方向

1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

★备考知考情

1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．

2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．

3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.

一、知识梳理《名师一号》P35

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知识点一几类函数模型

知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较

1.指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：

在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n.

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2．对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有log a x＜x n

由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n＞log a x.

注意：《名师一号》P36 问题探究问题1、2

问题1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，

初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转

化为符号语言，利用数学知识，

建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

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(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如下：

问题2 在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？

(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．

(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

二、例题分析：

（一）三种函数模型增长速度的比较

例1.《名师一号》P36 对点自测5、6

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5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )

(2)幂函数增长比直线增长更快．( )

(3)不存在x0，使a x0

(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x、h(x)＝log2x，

当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

思考：如何证明：任意x∈(4，＋∞)，x2<2x恒成立。

6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数

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A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝1

2

(x2－1) D．y＝

2.61cos x

解析由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23

＝8，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)接近，C中y＝1

2 (32

－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cos3<0，不合要求，故选B.

（二）函数模型应用题

例1.《名师一号》P36 对点自测1

1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )

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A B C D

解析由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B.

例2.《名师一号》P36 高频考点例1

(2014·武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．

(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；

(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．

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解析：(1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *.

P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000)

＝－20x 2＋2 500x －4 000，

MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )

＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000] －(－20x 2＋2 500x －4 000)＝2 480－40x . (2)P (x )＝－20⎝

⎛⎭⎪⎪⎫x －12522

＋74 125， 当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120元； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，

MP (x )取得最大值2 440元．

故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值 之差为71 680元．

注意:《名师一号》P36 高频考点 例1规律方法