武汉大学研究生课程数值分析期末考试
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������−������
������
������
(������)
������+1
������ ;插值余项������������ (������) = (������ ) ������
������
������≠������ ������ ������+1 (������) ������ ������+1 (������) (������+1)!
一般通式 称 s*(x)为子空间Ф中对与 f(x)在区间[a, b]上带权ρ(x)的最佳平方逼近元素 ������ (1)∑������=0 < ������������ , φ������ > ������������ =< ������������ , ������ >, 取基函数Φ = span{1, x, ������ 2 , … ,������ ������ }
������−������ ������+������
������
������
,对应偏导等于 0 进行求解
(3)Legendre 正交多项式(要将积分区间进行变换:[-1, 1]) x = ������ + 2 2 1 1 ������ ������ 2 3 ������0 (������) = 1; ������1 (������) = ������; ������2 (������) = (3������ − 1); ������3 (������) = (5������ − 3������) ; … ������������+1 (������) = (1 + ������ (������) ) ������������������ (������) − 2 2 ������ + 1 ������ + 1 ������−1 <������������ ,������> 2������+1 1 ������������ = = ∫−1 ������(������)������������ (������)������������ ;注意,逼近函数什么形式就取基函数什么形式(比如逼近函数 y=ax+bx2,基函数 就取{x,x }),基函数是和进行区间变换之后的函数进行积分。得到逼近函数:φ(x) = ∑������ ������ (������) ������=0 ������������ ������ 第 6 章 数值积分
武汉大学研究生课程《数值分析》半开卷考试资料
姓名: 学号: 第 1 章 绪论 1.1 误差的基本概念 绝对误差:∆ ������ = ������ ∗ − ������ ; ∆f(x) = ������������(������) = ������ ′ (������)������������ ; 绝对误差:∆������ ������ = 有效数字:������ = (0. ������1 ������2 … ������������ × 10−������ ) × 10������ ,则有 n 位有效数字。 1 1 误差限:|∆ ������| = |������ ∗ − ������| ≤ × 10������−������ ; |∆������ ������| ≤ × 10−(������−1)
������ ������ ������ 5.2 Lagrange 插值多项式:������n (������) = ∑������ ������=0 ������������ (������)������������ = ∑������=0 [{∏������=0 ������ −������ } ������������ ]; ������+1 则������n (������) = ∑������ ������=0 (������−������ )������′ ������
a s ( x ) a b
������ ������+1 (������)
( x ) f ( x ) s ( x ) d x m in
2
b
(x) f (x) s(x) dx
2
(2)J(������0, ������1 , … , ������������ ) = ∫������ [������(������) − ������(������)]2 ������������ = ∫������ [������0 + ������1 ������ + ⋯ + ������������ ������ ������ − ������(������)]2 ������������
|������ ∗ −������������+1 | ������→∞ |������ ∗ −������������|������
= C (对于收敛的迭代格式,当|������′(������)| = 0,则是线性收敛)
������(������ )
������
若碰到求收敛阶:迭代公式是个方程,准确解带进去是个方程,两方程相减,然后适当变形利用微分中值定理。 3.3 Newton 法 (二阶收敛):������������+1 = ������������ − ������′(������������ ) ; 假设������ ∗ 是 f(x) = 0 的单根, f(x)在������ ∗ 的邻域内具有连续的二阶导数且 f ′(������ ∗ ) ≠ 0 , 则牛顿公式具有局部收敛性;若 f′′(������ ∗ ) ≠ 0 且������0 ≠ ������ ∗ , 则序列{������������ }是平方收敛。 第 4 章 矩阵特征值特征向量 (略) Householder 变换(H=I-2wwT) 、 Givens 变换、幂法 第 5 章 插值与逼近 5.1 插值多项式的唯一性 Pn (x) = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ⋯ + ������������ ������ ������ ; |������| = ∏(������������ − ������������ ) ≠ 0
������
1.3 条件数 Cond (A) = ‖������−1‖‖������‖;远大于 1 时,矩阵病态 第 2 章 线性方程组解法 顺序消去 A = LU (Doolittle 分解) 2.1 Gauss 消去法{ 列主元法 PA = LU 2.2 经典迭代法 迭代法误差估计:若某种范数‖������‖ < 1,则有: A������ = b ; A = D + L + U (1)Jacobi 迭代:������ (������+1) = ������������ ������ (������) + ������ 式中:������������ = −������−1 (������ + ������) ������ = ������ −1������ (������+1) (2)Gauss - Seidel 迭代:������ = ������������������ ������ (������) + ������ 式中:������������������ = −(������ + ������)−1 ������ ������ = (������ + ������)−1 ������ 充要条件: 迭代矩阵 ρ(G) < 1 经典迭代格式的收敛性判别 {充分条件: ������某种范数‖������‖ < 1 充分条件:系数矩阵 A 对角占优 第 3 章 非线性方程(组)迭代解法 3.1 二分法 (略) 3.2 不动点迭代:������ = ������(������) , 迭代公式:������������+1 = ������(������������ ) 根据压缩映射原理,若������(������)在根������ ∗邻域内有一阶导,且|������′ (������ ∗ )|<1,则迭代收敛,实际根未知,可用其根邻近值 收敛速度: lim
牛顿插值: N(x) = N(������0 ) + N[������0 , ������1 ](x − ������0 ) + ������[������0 , ������1 , ������2 ](������ − ������0 )(������ − ������1 ) + ⋯ + ������[������0 , … , ������������ ](������ − ������0 ) … (������ − ������������−1 ) 插值余项:������������ (������) = ������[������, ������0 , … , ������������ ](������ − ������0 )(������ − ������1 )(������ − ������2 ) … (������ − ������������ ) Lagrange 插值形式简单,便于计算,但当增加插值点时,原先所作计算没有利用价值,需从头计算;Newton 插值要 计算差商表,突出优点是当新增加一个插值点������������+1 时,只需在原插值多项式后增加一项。 PS:Lagrange 插值与 Newton 插值得到的多项式应一样 (插值多项式的唯一性)。 5.4 Hermite 插值 (不但满足插值点处函数值相等,还满足插值点处导数也相等) 2 2 ′ ′ 当给出了所有插值点的导数值时:H(x) = ∑������ ������=0{������������ [1 − 2(������ − ������������ )������ ������ (������������ )]������������ (������) + ������ ������ (������ − ������������ )������������ (������)}
������
定义:������������+1 (������) = ∏������=0(������ − ������������)
������
≤ (������+1)! |(������ − ������0 )(������ − ������1 ) … (������ − ������������ )|
������ 2 2 范数: ‖������‖2 = √∑������ ������=1 ������������ ∞范数: ‖������‖∞ = max |������������ | 0≤������≤������
谱范数: ‖������‖2 = √������������������������ (������������ ������) 行范数:‖������‖∞ = max ∑������ 1 |������������������ |
当插值点处导数条件少于函数值条件,解题两个步骤,第一步先利用 Lagrange 或者 Newton 插值公式得到满足插值 点处函数值相等的多项式, 第二步, 将第一步得到的多项式与满足导数值相等的条件相结合, 待定系数。 插值余项: 系数为 (������+1)! , n 为插值多项式的最高次方。 给出了哪个或哪些点的导数就在哪个点上写成(������ − ������������ )2, 其余不加平方。 x x x xi i1 5.5 分段低次插值(分段线性插值、分段二次插值,如右式和页最后) f ( x ) P ( x ) yi y i1 1 5.7 最佳(一次、二次)平方逼近 x i x i1 x i1 x i
������
熟练当 n=1、n=2、n=3 的 Lagrange 插值多项式计算 5.3 Newton 插值多项式 差商 (建议:利用表格计算更加清楚明了) f[������������ , ������������ ] =
������(������������ )−������(������������ ) ������������ −������������
2 2������1
������ ∗ −������ ������
; ∆������ ������(������) =
�����������Leabharlann Baidu(������) ������(������)
减少误差的原则:如果考的话最可能考:选择稳定的数值计算公式(递推公式,进行变形,放缩求平均,往前迭代) 1.2 向量范数与矩阵范数 1 范数: ‖������‖1 = ∑������ 列范数:‖������‖1 = max ∑������ 1 |������������������ | ������=1|������������ |
; f[������������ , ������������, ������������ ] =
������[������������ ,������������ ]−������[������������ ,������������ ] ������������ −������������
; ……