阶线性微分方程解的结构
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构
如果y1 ( x ), y2 ( x )中的任意一个都不是另一个的常数倍,
y1 ( x ) 即 不恒等于非零常数, 则称y1 ( x )与y2 ( x )线性无关, y2 ( x ) 否则称y1 ( x )与y2 ( x )线性相关。
定理8.2 如果y1 ( x ), y2 ( x )是方程(1)的两个线性无关的解, 则 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解. 如 y1 cos x和y2 sin x是方程 y y 0的两个线性无关解.
方程(1)的任何两个线性无关的 特解称为基解组.
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理8.3 设 y1 ( x ) 是二阶非齐次线性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2) 的一个特解, y2 ( x ) 是对应的齐次方程(1)的通解, 那么 Y y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程(2)的通解. 证 因为 y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 f ( x ) 且 y P ( x ) y Q( x ) y2 0 2 2 则 Y P ( x )Y Q( x )Y ( y1 y2 ) P ( x )( y1 y2 ) Q( x )( y1 y2 ) [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] f ( x ) 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x ) 和 的解, 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f( x ) y Q( x ) y 0 (1)
二、线性齐次微分方程解的结构
浅析二阶线性微分方程解的结构定理
版权所有翻版必究/浅析二阶线性微分方程解的结构定理一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的一般形式是22d d ()()(),y y P x Q x y f x dx dx ++=1-1其中()P x ，()Q x 及()f x 是自变量x 的已知函数，函数()f x 称为该方程的自由项。
当()0f x =时，方程1-1成为22d d ()()0,y y P x Q x y dx dx++=1-2这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程1-1称为二阶非齐次线性微分方程。
定理1如果函数1()y x 与2()y x 是方程1-2的两个解，则1122()()y C y x C y x =+1-3也是方程1-2的解，其中1C ，2C 是任意常数。
定理2如果1()y x 与2()y x 是方程1-2的两个线性无关的特解，则1122()()y C y x C y x =+也是方程1-2的通解，其中1C ，2C 是任意常数。
定理3设*y 是方程1-1的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程1-2的通解，则*y Y y =+1-4就是二阶非齐次线性微分方程1-1的通解。
定理4设1*y 与2*y 分别是方程1y ()()()P x y Q x y f x '''++=版权所有翻版必究/与2y ()()()P x y Q x y f x '''++=的特解，则12**y y +是方程12y ()()()()P x y Q x y f x f x '''++=+1-5的特解。
定理5设12y iy +是方程12y ()()()()P x y Q x y f x if x '''++=+1-6的解，其中()P x ，()Q x ，1()f x ，2()f x 为实值函数，i 为纯虚数。
则1y 与2y 分别是方程1y ()()()P x y Q x y f x '''++=2y ()()()P x y Q x y f x '''++=的解。
文学研究一二阶线性微分方程解的结构课件
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
线性微分方程通解的结构
y p( x) y q( x) y f2( x)
的解y， 则py(1x()xy) qy(2x()xy)是0方程：(6.1)
y p( x) y q( x) y f ( x) (6.2) y p( x) y q( x) y f1( x) f2( x) 的解
又
y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x是所给方程的通解.
15
2. 非齐线性微分方程解的结构 定理9.2 (二阶非齐次线性方程(2)的解的结构)
设 y*是二阶非齐次线性方程 y p( x) y q( x) y f ( x) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次线性方程(1) 的通解, 那么 y Y y* 是二阶非齐次线性微 分方程(2)的通解.
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.
8
例3 下列各函数组在给定区间上是线性相关
还是线性无关？
(1) e x，e x , e2x ( x (,)); 线性无关
解 若 k1e x k2e x k3e2x 0, 则 k1e x k2e x 2k3e2x 0, k1e x k2ex 4k3e2x 0,
y C( y1 y2 ) y1
25
16
例6 设 y1, y2 , y3 是微分方程 y p( x) y q( x) y f ( x)
的三个不同解，且 y1 y2 常数， y2 y3
则该微分方程的通解为( D ).
( A) C1 y1 C2 y2 y3; (B) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ); (C) C1 y1 C2 y2 C3 y3; ( D) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ) y3.
高阶线性微分方程解的结构
）、线性齐次方程解的结构 （二）、线性齐次方程解的结构
定理1. 若 数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 函
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
的两个解, 则y = C y1(x) + C2 y2 (x) 1 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
u′′ − u′ = x (二阶常系数非齐次方程 二阶常系数非齐次方程) 二阶常系数非齐次方程 此题不需再作变换. 特征根: r = 0, r =1,
设⑦的特解为 代入⑦可得: 于是得⑦的通解: 故原方程通解为
说明: 说明
y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
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定义: 定义 设 y1(x), y2 (x),L, yn (x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 不全为 使得
得
′′ ′ + ( y2 + P y2 + Qy2 )v2 = f (x) y1, y2 是对应 ′ ′ ′ ′ y1v1 + y2v2 = f (x) ⑥
齐次方程的解
因y1, y2 线 无 , 故⑤, ⑥的系数行列式 性 关 y1 y2 W= ≠0 ′ ′ y1 y2
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阶线性微分方程解的结构与通解性质
稳定性应用举例
控制系统设计
在控制系统中，稳定性是至关重要的指标。通过设计控制器使 得系统达到稳定状态，可以确保系统的正常运行和安全性。
生态学研究
在生态学中，研究生物种群的动态变化时，稳定性是一个重要概念。通过 分析种群的稳定性，可以预测种群的发展趋势和制定相应的保护措施。
经济学分析
在经济学中，稳定性与经济增长、通货膨胀等宏观经济指标密切相关 。通过分析经济系统的稳定性，可以为政策制定者提供决策依据。
微分方程是描述自然现象、工程技术和社会科学等领域中变量间关系的数 学模型。
微分方程按照自变量个数可分为常微分方程和偏微分方程，其中常微分方 程研究一个自变量的函数与其导数之间的关系。
微分方程在物理学、化学、生物学、经济学等领域有广泛应用。
线性微分方程定义
线性微分方程是指关于未知函数及其各 阶导数都是一次方的方程，即方程中不 会出现未知函数及其导数的二次及以上 的项。
高阶线性微分方程的通解表达式较为复杂， 一般通过特征方程、比较系数等方法求解。
通解性质分析
唯一性
对于给定的初始条件，线性微分方程的通解是唯一的。
叠加性
若y1和y2分别是线性微分方程对应于f1(x)和f2(x)的特解，则 y=c1y1+c2y2（c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次性
若y1和y2是齐次线性微分方程的解，则它们的线性组合c1y1+c2y2 （c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
积分因子法
通过构造一个积分因子$mu(x) = e^{int p(x)dx}$，将原方程转化为$mu(x)y' + mu(x)p(x)y = mu(x)q(x)$，即 $(mu(x)y)' = mu(x)q(x)$，然后两边积分得到通解。
高阶线性微分方程解的结构-文档资料
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x sin x 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
第十二章
是二阶线性齐次方程的两个线 y ( x ), y ( x ) 定理 2. 若 1 2
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 y sin x ,且 cos x ,y y 0 例如, 方程 y 2 1 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 y C cos x C sin x 1 2
第十二章
二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y 代入方程①左端, 得 Y ( x ) y * ( x )
第七节、高阶线形微分方程
( 2)
的一个特解． 的一个特解．Y ( x ) 是与 ( 2) 对应的齐次方程的通解， 那么 y = Y ( x ) + y * ( x ) 是二阶非齐次线性微分方程 ( 2) 的通解． 的通解．
证 将 y = Y( x) + y * ( x) 代入(2) 式左端 得 ,
(Y′′ + y *′′ ) + P( x)(Y′ + y *′ )+ Q( x)(Y + y *) + (Y′′ + P( x)Y′ + Q( x)Y )
这是物体在有阻尼的情况下的自由振动的微分方 程． 若物体还受到铅直干扰 力 F = H sin pt ,
d2 x dx H 2 则有 + k x = hsin pt，其中h = . 2 + 2n dt dt m
这是强迫振动的微分方程． 这是强迫振动的微分方程．
例
设有一个由电阻 R、自感 L、电容 C 和电源 E
* * 的特解，那么 y1 ( x ) + y2 ( x ) 就是原方程的特解． 就是原方程的特解． 的特解， 证 将 y = y1 * ( x) + y2 * 代入方程(3) 的左端，得 的左端， * 1 * 2
( y1 * + y2 * )′′+ P( x)( y1 * + y2 *)′ + Q( x)( y1 * + y2 *)
d 2 uC duC Em 2 sin ωt . 或写成 + ω 0 uC = 2 + 2β dt LC dt R 1 , ω0 = . 串联电路的振荡方程 式中 β = 串联电路的振荡方程. 2L LC
若电容器经充电后撤去外电源， 若电容器经充电后撤去外电源， 即 E = 0，
线性微分方程解的性质
线性微分方程解的性质一、线性微分方程的解的结构1.1二阶齐次线性方程y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 (1)y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)定理1：如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x)y2(x)是方程（1）的两个解，那么y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) (2) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2} y=C1y1(x)+C2y2(x)(2)也是方程（1）的解，其中 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。
解（2）从形式上看含有C1C_1C1和C2C_2C2两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解。
那么在什么情况下（2）式才是方程（1）的通解呢？要解决这个问题，还得引入新概念，即函数组的线性相关与线性无关。
设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅⋅⋅ , y n ( x )y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,yn(x)为定义在区间 I I I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数 k 1 , k 2 , ⋅⋅⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,⋅⋅⋅,kn，使得当x ∈ I x\in I x∈I时有恒等式k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋅⋅⋅ + k n y n = 0k_1y_1+k_2y_2+···+k_ny_n=0 k1y1+k2y2+⋅⋅⋅+knyn=0成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则线性无关。
应用上述概念可知，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数；如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性无关。
第七节 线性微分方程解的结构
(Y′′ + y *′′ ) + p(Y′ + y *′ ) + q (Y + y *)
+ (Y′′ + pY′ + qY )
= f (x) + 0 = f (x)
是非齐次方程的解, 故 y = Y(x) + y *(x) 是非齐次方程的解 又Y 中含有 两个独立任意常数, 两个独立任意常数 因而 也是通解 .
′ 即 y1 u′′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )u′ = 0,
令v = u′,
′ 则有 y1v ′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )v = 0,
′ y1v ′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )v = 0
v 的一阶方程
降阶法
1 ∫ P ( x ) dx 1 ∫ P ( x ) dx 解得 v = 2 e , ∴ u = ∫ 2e dx y1 y1
y 2 = y1 ∫
∫ 1 e 2 y1 p ( x ) dx
（1 ）
dx
是该方程与y1(x) 线性无关的解
证
令 y2 = u( x) y1
代入(1)式 代入 式, 得
′ ′ ′ y1 u′′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )u′ + ( y1′ + P ( x ) y1 + Q ( x ) y1 )u = 0,
y1 = e x , 由刘维尔公式 对应齐次方程一特解为
1 ∫ 1xx dx x y2 = e ∫ 2 x e dx = x , e
对应齐方通解为 Y = C1 x + C 2e x .
《高等数学》第三节 二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
一、二阶线性微分方程解的结构
形如 y'' P( x) y' Q( x) y f ( x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f ( x) 0 时，
把它们分别代入所给方程左端，得 e x e x 2e x 0, 4e 2 x 2e 2 x 2e 2 x 0，
故y1 ( x) e x与y2 ( x) e 2 x 都是原方程的解.
y 2 ( x) e x 2 x e 3 x 常数， y1 ( x) e
0，
即
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)满足方程(3)，
所以它是方程(3)的解.
这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两 个解y1(x)， y2(x)的线性组合 C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ，仍 是方程的解.那么，y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 是不是方程 (3)的通解呢？
成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，
否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微 分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y C1 y1 ( x) C2 y 2 ( x) (C1 , C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显 然它不是所给方程的通解.
问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) (C1，C2为任意常数)
微分方程解的结构总结
微分方程解的结构总结一、常微分方程的解的结构常微分方程是指只涉及一个未知函数及其导数的微分方程。
在常微分方程的解的结构方面，我们有以下几个重要结论：1. 叠加原理：如果一个常微分方程有两个解，那么它们的线性组合也是该方程的解。
这意味着我们可以通过已知的解构造出新的解。
2. 初始条件的影响：常微分方程通常需要给定初始条件才能确定特定的解。
不同的初始条件会得到不同的解，这反映了解的结构的多样性。
3. 解的存在唯一性：对于某些常微分方程，解的存在唯一性是成立的，也就是说只有一个解满足给定的初始条件。
这种情况下，解的结构相对简单明确。
二、线性微分方程的解的结构线性微分方程是指未知函数及其导数的线性组合等于已知函数的微分方程。
线性微分方程的解的结构更加复杂，我们有以下重要结论：1. 叠加原理：对于线性微分方程，它的解也满足叠加原理。
如果一个线性微分方程有两个解，那么它们的线性组合也是该方程的解。
2. 齐次线性微分方程的解的线性空间性质：齐次线性微分方程是指其右端项为零的线性微分方程。
对于齐次线性微分方程，它的解构成一个线性空间。
这意味着我们可以通过已知的解构造出线性空间中的其他解。
3. 非齐次线性微分方程的解的结构：非齐次线性微分方程是指其右端项不为零的线性微分方程。
对于非齐次线性微分方程，它的解由齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和构成。
这可以通过叠加原理和线性空间性质得出。
三、特殊微分方程的解的结构除了常微分方程和线性微分方程外，还有一些特殊的微分方程，它们的解的结构也有一些特殊性质：1. 可分离变量的微分方程：可分离变量的微分方程可以通过分离变量的方法求解。
解的结构相对简单，可以通过分离变量再积分得到。
2. 齐次微分方程：齐次微分方程的右端项可以通过变量替换转化为常数项，从而得到其解的结构。
3. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程可以通过积分因子法求解。
解的结构可以通过积分因子的选择和积分的方法得到。
常微分方程-第四章习题解答
C1 ⎞ ⎟ C2 ⎟ . ⎟ M ⎟ Cn ⎟ ⎠
3. 常系数n阶线性齐次方程
y ( n ) + a1 y ( n−1) + a 2 y ( n− 2 ) + L + a n y = 0 其中a i ( i = 1,2, K , n)为常数 .
(a ). 如果 λ 是方程 (4.3)的特征方程
(4.3)
5. 拉普拉斯变换法求初值问题的解:
设 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞ )上有定义 , 如果含参变量 s 的广义积分
∫
+∞
0
e − st f ( t )dt当 t ∈ I时收敛 , 则称 F ( s) =
∫
+∞
0
e − st f ( t )dt
为函数 f ( x )的拉普拉斯变换 .
6. 幂级数解法:
如果Y1 ( x ), Y2 ( x ),K , Yn ( x )是方程 (4.1)的n个线性无关解， u( x )是方程 (4.2)的一个特解 , 则(4.2)的通解具有形式 :
Y ( x ) = C1Y1 ( x ) + L + C nYn ( x ) + u( x ) 其中, C1 , C 2 , K , C n为任意常数 .
x −x
.
p( x ) = −1.
例 2 求方程 y ( 4 ) − 4 y ( 3 ) + 8 y"−8 y'+3 y = 0的通解 .
答案:
y = e x (C1 + C 2 x ) + e x (C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x ).
例 3 设 y = x 3 e − x 是一个常系数四阶齐次 线性 方程的特解 , 确定此方程及其通解 .
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阶线性微分方程解的结构公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-附录A 线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。
把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。
线性常微分方程的标准形式()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （）其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。
可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。
，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。
一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。
在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。
一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程表示为'()()y p x y f x x I +=∈，. （） 当()0f x ≡，方程退化为'()0y p x y +=, （）假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y=，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -⎰= （ ）对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ⎰注意到上面等式的左端因此有两端积分其中C 是任意常数。
进一步有综上有如下结论定理 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --⎰⎰⎰=+⎰‘（）其中C 是任意常数。
观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性齐次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -⎰加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -⎰⎰=⎰。
容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。
这符合线性方程解的结构规律。
例1 求解一阶常微分方程解 此时()2()1p x f x =-=，,由（）式，解为其中C 是任意常数。
二阶线性常微分方程将具有以下形式的方程"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。
称"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （） 为与（）相伴的齐次方程.A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构首先讨论齐次方程（）解的结构。
定理 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。
定理1 说明齐次线性常微分方程（）的解如果存在的话，一定有无穷多个。
为了说明齐次线性常微分方程（）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。
定义设函数12(),(),,()n y x y x y x 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n个不全为零的常数12,,n k k k ，，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=在区间I 上恒成立，则称函数12(),(),,()n y x y x y x 在区间上线性相关，否则称为线性无关。
例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。
特别的，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只需要看它们的比值是否为常数即可，比值为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。
有了函数线性无关的概念，就有如下二阶线性齐次微分方程（）通解结构的定理。
定理假设线性齐次方程（）中，函数()()p x q x 与在区间I 上连续，则方程（）一定存在两个线性无关的解。
类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。
定理 若12()()y x y x 与是二阶线性齐次常微分方程（）的两个线性无关的特解，则1122()()y c y x c y x =+是该方程的通解，其中12,c c 是任意的常数。
从定理可以看出二阶线性齐次常微分方程（）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。
关于二阶线性非齐次常微分方程（）的通解，有如下结论定理 若函*()y x 是方程（）的一个特解，()Y x 是方程（）相伴的齐次方程的通解，则()()*()y x y x Y x =+是二阶线性非齐次常微分方程（）的通解。
从定理,可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（）的通解的一般步骤： （１）求解与（）相伴的齐次方程（）的线性无关的两个特解12()()y x y x 与，得该齐次方程的通解1122()()()Y x c y x c y x =+；（２）求二阶线性非齐次常微分方程（）的一个特解*()y x ，那么方程（）的通解为()()*()y x y x Y x =+对于一些相对复杂的问题，如下的线性微分方程的叠加原理是非常有用的。
定理 设二阶线性非齐次常微分方程为12"()'()()()y p x y q x y f x f x ++=+, （） 且12*()*()y x y x 与分别是和的特解，则12*()*()y x y x +是方程（）的特解。
A ．2．1 二阶常系数线性常微分方程的解法如果二阶线性常微分方程为"'()y py qy f x ++=, （） 其中,p q 均为常数，则称为二阶常系数线性常微分方程。
以下分两种情形讨论方程（）的解法。
一、二阶常系数线性齐次方程的解法此时问题为"'0y py qy ++=, （） 考虑到方程中的系数,p q 均为常数，可以猜想该方程具有形如rx y e =的解，其中r 为待定常数，将'rx y re =和2"rx y r e =‘及rx y e =代入方程"'0y py qy ++=得，2()0rx e r pr q ++=,由于0rx e ≠，因此，只要r 满足方程20r pr q ++=,即只要r 是上述一元二次方程的根时，rx y e =就是（）的解，方程称为方程的特征方程，它的根称为特征根。
关于特征方程的根与微分方程的解的关系有如下结论。
１． 特征方程具有两个不相等的实根12r r 与，即12r r ≠。
此时函数1212()()r x r xy x e y x e ==和都是微分方程的解，且因1212r r x y e y -=≠（）常数，所以12()()y x y x ，线性无关，因而常微分方程的通解为1212()r x r x y x c e c e =+.２． 特征方程具有两个相等的实根，即122p r r ==-。
这时函数11()r x y x e =是微分方程的一个特解，还需另找一个与之线性无关的特解2()y x 。
为此设21()()()y x u x y x =，其中()u x 为待定的函数，将2()y x 及其一、二阶导数代入方程得，12111["(2)'()]0r x e u r p u r pr q u +++++=， 注意到12p r =-是特征方程的根，且10r x e ≠，因此只要()u x 满足"()0u x =“，则12()()r x y x u x e =就是微分方程的解。
特别地取12()r x y x xe =，此时微分方程的通解为1111212()()r x r x r x y x c e c xe c c x e =+=+.３． 特征方程具有一对共轭复根，12r i r i αβαβ=+=-与。
这时两个线性无关的特解()()12i x i x y e y e αβαβ+-==与是两个复数解。
为了便于在实数范围内讨论问题，我们再构造两个线性无关的实数解。
由欧拉公式cos sin ix e x i x =+，可得1(cos sin )x y e x x αββ=+，2(cos sin )x y e x x αββ=-,于是由定理１知，函数121cos 2x e x y y αβ=+（），121sin 2x e x y y αβ=-（） 是微分方程的解，容易验证它们线性无关，所以这时方程的通解可以表示为12()(cos sin )x y x e c x c x αββ=+ .上述求解二阶常系数线性齐次方程的方法称为特征根法，其具体步骤可总结如下（１）写出所给微分方程的特征方程；（２）求出特征根；（３）根据特征根的三种不同情况求得对应的特解，并写出其通解。
例2 求解二阶齐次常微分方程（1）"0y y -=； （2）"0y y +=.解(1) 特征方程为210r -=，其根为121r =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12(),()x x y x e y x e -==，所以通解可以表示为12()x x y x c e c e -=+。
又cosh ,sinh 22x x x xe e e e x x --+-==，因而cosh sinh x x 和也是微分方程的解，并且它们也是线性无关的，因此也可以构成微分方程的基础解系，即方程的通解也可以表示为12()cosh sinh y x c x c x =+，这种表示方法在讨论某些问题时更加方便。
(2) 特征方程为210r +=，其根为12r i =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12()cos ,()sin y x x y x x ==，所以通解可以表示为12()cos sin y x c x c x =+。
在实际应用中，我们经常遇到带有一些条件的微分方程，如"4,(0)0,'(0)1x y y e y y +===或"23sin 2,(0)0,(1)0y y y x y y +-===‘等，这些问题称为初值问题或边值问题。
例3 求方程"4'40y y y -+=的满足初始条件(0)1,'(0)4y y ==的特解解 "4'40y y y -+=的特征方程为2440r r -+=，有重根2r =，其对应的两个线性无关的特解为2212()()x x y x e y x xe ==，,所以通解为212()()x y x c c x e =+,求导得22212'()2()x x y x c xe c c x e =++‘,将(0)1,'(0)4y y ==代入以上两式得121124c c c =⎧⎨+=⎩, 解之得1212c c ==，，即得初值问题为2()(12)x y x x e =+.例4 求含参数方程"0y y λ+=（λ为实数）满足边界条件(0)0,'()0y y l ==的特解。