广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷五含解析

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2021届广东省高三普通高中学业水平考试模拟考试数学试卷(五)及答案

2021届广东省高三普通高中学业水平考试模拟考试数学试卷（五）★祝考试顺利★(含答案)时间:90分钟满分:150分一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{-1,0,2}D.{0,1}2.点(√3,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°3.已知a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,则y的值为()A.-12B.-3C.3D.124.若a<b<0,则下列不等式:①|a|>|b|;②1a >1b;③ab+ba>2;④a2<b2中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=()A.-513B.-1213C.513D.12136.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2-2D.y=lo g12x7.不等式组{x-3y+6≥0,x-y+2<0表示的平面区域是()8.一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下,则样本在(10,50]上的频率为 ( )A .120B .14C .12D .7109.cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°= ( )A .12B .-√32C .cos 50°D .√3210.函数y=log 2(x 2-3x+2)的递减区间是 ( )A .(-∞,1)B .(2,+∞)C .(-∞,32)D .(32,+∞)11.从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,其和为奇数的概率为 ( )A.15 B.25 C.35D.4512.将函数y=sin (x -π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是 ( )A .y=sin 12xB .y=sin (12x -π2)C .y=sin (12x -π6) D .y=sin (2x -π6)13.已知l ,m ,n 为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列判断正确的是 ( ) A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B .若m ⊥α,n ∥β,α⊥β,则m ⊥n C .若α∩β=l ,m ∥α,m ∥β,则m ∥l D .若α∩β=m ,α∩γ=n ,l ⊥m ,l ⊥n ,则l ⊥α。

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(三)(含解析)

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（三）（含解析）广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（三）（含解析）年级：姓名：2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(三)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分) 1.集合{0,1,2}的所有真子集的个数是 ( )A.5B.6C.7D.8 2.函数f (x )=lg(x-1)的定义域是 ( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[ 1,+∞) D.[2,+∞)3.已知平面向量a =(3,1),b =(x ,-3),若a ⊥b ,则实数x 等于 ( ) A.-1 B.1 C.-9 D.94.若函数f (x )=sin (x +x3)(0≤φ≤2π)是偶函数,则φ= ( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π35.已知直线的点斜式方程是y-2=-√3(x-1),那么此直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66.如图是2019年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 ( )7 98 4 4 6 4 7 9 3A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6 D .85,4 7.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x 的图象 ( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位C.向左平移12个单位D.向右平移12个单位 8.下列说法不正确的是 ( ) A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9.函数y=log a x (a>0,a ≠1)的反函数的图象过(12,√22),则a 的值为 ( )A.2B.12 C.2或12 D.310.已知等差数列{a n }中,a 2=2,a 4=6,则前4项的和S 4等于 ( ) A.8 B.10 C.12 D.1411.某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则这个几何体的体积是()A.6B.9C.18D.3612.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是()A.log2a>0B.2a-b<12C.log2a+log2b<-2D.2(xx +xx)<1213.设x,y满足约束条件{x+x-6≤0,x-3x+2≤0,3x-x-2≥0,则z=x-2y的最小值为()A.-10B.-6C.-1D.014.sin 47°-sin 17°cos 30°cos 17°=()A.-√32B.-12C.12D.√3215.小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则() A.v=x+x2B.v=√xxC.√xx<v<x+x2D.b<v<√xx二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4= .17.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是.18.已知函数f(x)={log2x,x>0,3x,x≤0,则f(x(14))的值是.19.锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=b,则角A等于.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程;(3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥平面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:平面ADE⊥平面ACD;(3)求四棱锥A-BCDE的体积.22.已知等差数列{a n}满足a2+a5=8,a6-a3=3.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)若b n=1x x+3·2n-2,求数列{b n}的前n项和T n.答案：1.C【解析】真子集个数为23-1=7,故选C.2.B【解析】由题意得,x-1>0,x>1,即函数的定义域是(1,+∞),故选B.3.B【解析】a·b=3x-3=0,即x=1,故选B.4.C【解析】只需x3=π2+kπ⇒φ=3kπ+3π2(k∈Z),而φ∈[0,2π],所以φ=3π2,选C.5.C【解析】∵k=tan α=-√3,∴α=π-π3=2π3.故选C.6.C【解析】由茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分79后,所剩数据为84,84,86,84,87,平均数为84+84+86+84+875=85,方差为15[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]=85=1.6.故选C .7.C 【解析】y=cos 2x →y=cos(2x+1)=cos [2(x +12)].故选C .8.D 【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A 正确;B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B 正确;C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C 正确;D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D 不正确.故选D.9.B 【解析】函数y=log a x (a>0,a ≠1)的反函数为y=a x,过点(12,√22),即√22=x 12,解得a=12,故选B .10.C 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,则a 4=a 2+(4-2)d ⇒d=6-22=2,a 1=a 2-d=2-2=0,所以S 4=4(x 1+x 4)2=2×(0+6)=12.故选C .11.C 【解析】由题意可知,几何体是以正视图为底面的三棱柱,其底面面积S=12×4×√52-42=6,高是3,所以它的体积为V=Sh=18.故选C .12.C 【解析】由题意知0<a<1,故log 2a<0,A 错误; 由0<a<1,0<b<1,故-1<-b<0.又a2√xx 得ab<14,因此log 2a+log 2b=log 2ab<log 214=-2,C正确;由0<a2√x x ·x x =2,因此2(x x +xx )>22=4,D 错误.13.B 【解析】由z=x-2y 得y=12x-x2,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),平移直线y=12x-x2,由图象可知,当直线y=12x-x 2过点B 时,直线y=12x-x2的截距最大,此时z 最小,由{x +x -6=0,3x -x -2=0解得{x =2,x =4,即B (2,4).代入目标函数z=x-2y , 得z=2-8=-6,∴目标函数z=x-2y 的最小值是-6.故选B .14.C 【解析】 sin 47°-sin 17°cos 30°cos 17°=sin(30°+17°)-sin 17°cos 30°cos 17°=sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°-sin 17°cos 30°cos 17°=sin 30°cos 17°cos 17°=sin 30°=12.故选C .15.D 【解析】设甲地到乙地的距离为s.则他往返甲、乙两地的平均速度为v=2x x x +x x=2xxx +x ,∵a>b>0,∴2x x +x >1,∴v=2xxx +x >b.v=2xx x +x <2√xx =√xx .∴b<v<√xx .故选D .16.15 【解析】S 4=1-241-2=15.17.38 【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P=38.18.19 【解析】f (14)=log 214=-2,f (x (14))=f (-2)=3-2=19. 19.π6 【解析】因为2a sin B=b ,由正弦定理有2sin A sin B=sinB.因为△ABC 中sin B ≠0,从而sin A=12,而A 是锐角,故A=π6.20.【解】(1)已知圆C :(x-1)2+y 2=9的圆心为C (1,0),因直线过点P ,C ,所以直线l 的斜率为2,直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB 被点P 平分时,l ⊥PC ,直线l 的方程为y-2=-12(x-2),即x+2y-6=0.(3)当直线l 的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l 的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心到直线l 的距离为√2,圆的半径为3,弦AB 的长为√34. 21.【解】(1)证明:如图所示,取AC 中点G ,连接FG ,BG. ∵F ,G 分别是AD ,AC 的中点,∴FG ∥CD ,且FG=12DC=1.∵BE ∥CD ,∴FG 与BE 平行且相等,∴EF ∥BG.又∵EF ⊄平面ABC ,BG ⊂平面ABC , ∴EF ∥平面ABC.(2)证明:由题意知△ABC 为等边三角形, ∴BG ⊥AC.又∵DC ⊥平面ABC ,BG ⊂平面ABC , ∴DC ⊥BG ,∴BG 垂直于平面ADC 的两条相交直线AC ,DC , ∴BG ⊥平面ADC.∵EF ∥BG ,∴EF ⊥平面ADC. 又∵EF ⊂平面ADE , ∴平面ADE ⊥平面ACD.(3)连接EC ,该四棱锥分为两个三棱锥E -ABC 和E -ADC.x xxxxx =x xxxx +x xxxx =13×√34×1+13×1×√32=√34.22.【解】(1)由a 6-a 3=3得数列{a n }的公差d=x 6-x 33=1,由a 2+a 5=8,得2a 1+5d=8,解得a 1=32,∴S n =na 1+x (x -1)2d=x (x +2)2.(2)由(1)可得1x x=2x (x +2)=1x −1x +2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=(1-13)+(12-14)+…+(1x -1x +2)+32(1+2+…+2n-1)=(1+12+13+…+1x )−(13+14+…+1x +1x +1+1x +2) +32×2x -12-1 =32−1x +1−1x +2+32×(2n -1) =3·2n-1-1x +1−1x +2.。

2021年广东省普通高中学业水平考试数学科合格性考试说明

Ⅱ．命题指导思想
命题以中华人民共和国教育部 2003 年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）和本说明为依据，试题适用于使用经全国中小学教材审定委员会初审通过的各版本普通高中课程标准实验教科书的考生．
试题要体现立德树人根本要求，注重考查考生科学和人文素养、创新精神及实践能力，有利于促进考生核心素养的发展．
Ⅲ．考核目标与要求
1．知识要求知识是指《课程标准》中所规定的必修课程的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能．
1
各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明．对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次．（1）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它．这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等．（2）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力．这一层次所涉及的主要行为动词有：描述、说明、表达、推测、想象、比较、判别、初步应用等．（3）掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决．这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明、研究、讨论、运用、解决问题等． 2．能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识．（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．（2）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程．抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论．（3）推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程．推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，

2019-2020年高中数学学业水平考试模拟测试卷5套打包下载含解析答案

高中学业水平考试模拟测试卷(一)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合N＝{1，3，5}，则M∩N 等于()A．{2}B．{2，3}C．{1，3} D．{1，2，3，4，5}解析：M∩N＝{1，2，3，4}∩{1，3，5}＝{1，3}，故选C.答案：C2．函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为()A．{x|x>－3} B．{x|x>0} C．{x|x>3} D．{x|x≥3}解析：由x－3>0得x>3，则定义域为{x|x>3}．故选C.答案：C3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2>0，所以B为假命题．故选B.答案：B4．设i是虚数单位，若复数z＝5(1＋i)i，则z的共轭复数为() A．－5＋5i B．－5－5i C．5－5i D．5＋5i解析：由复数z ＝5(1＋i)i ＝－5＋5i, 得z 的共轭复数为－5－5i.故选B.答案：B5．已知平面向量a ＝(0，－1)，b ＝(2，2)，|λa ＋b |＝2，则λ的值为( )A ．1＋ 2 B.2－1 C ．2 D ．1解析：λa ＋b ＝(2，2－λ)，那么4＋(2－λ)2＝4，解得，λ＝2.故选C.答案：C6．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5解析：线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，k AB ＝1－23－1＝－12，所以垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝2，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝2(x －2) ⇒ 4x －2y －5＝0.故选B.答案：B7．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台解析：(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱．(2)三视图复原的几何体是四棱锥．(3)三视图复原的几何体是圆锥．(4)三视图复原的几何体是圆台．所以(1)(2)(3)(4)的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．故选C.答案：C8．已知f (x )＝x ＋1x－2(x >0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：由x >0，可得1x >0, 即有f (x )＝x ＋1x－2≥2 x ·1x －2＝2－2＝0, 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，取得最小值0. 答案：B9．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是( )A ．(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B ．(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C ．(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D ．(1)(2)都用分层抽样法解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C.答案：C10．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．2∶3∶1D ．1∶3∶2 解析：在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1, 可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.故选D. 答案：D11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么{a n }的前7项和S 7＝( )A ．22B ．24C ．26D ．28解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12, 所以3a 4＝a 3＋a 4＋a 5＝12，解得a 4＝4，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＝28.故选D.答案：D12．抛物线y ＝14x 2的焦点到准线的距离是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：方程化为标准方程为x 2＝4y .所以2p ＝4，p ＝2.所以焦点到准线的距离为2.故选C.答案：C13.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos 2 π12－sin 2 π12＝cos π6＝32.故选D. 答案：D14．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：因为三视图均为边长为2的正方形，所以几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12＝4π.故选C.答案：C15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－10，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则S n 取最小值时，n 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：在数列{a n }中，由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3(n ∈N *), 所以数列{a n }是公差为3的等差数列．又a 1＝－10，所以数列{a n }是公差为3的递增等差数列．由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋3(n －1)＝3n －13≥0，解得n ≥133. 因为n ∈N *，所以数列{a n }中从第五项开始为正值．所以当n ＝4时，S n 取最小值．故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．若点(2，1)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)关于y ＝x 对称的图象上，则a ＝________．解析：因为点(2，1)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)关于y ＝x 对称的图象上，所以点(1，2)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上，所以2＝a 1，解得a ＝2.答案：217．已知f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋(m ＋1)的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________(用区间表示)．解析：依题意Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)＝(m ＋1)(m －3)<0⇒－1<m <3, 故m 的取值范围用区间表示为(－1，3)．答案：(－1，3)18．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________．解析：因为x ＝－2<0，所以f (－2)＝10－2＝1100>0, 所以f (10－2)＝lg10－2＝－2，即f (f (－2))＝－2.答案：－2 19．已知4x ＋9y＝1，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值是________．解析：因为4x ＋9y ＝1，且x >0，y >0, 所以x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋2 4y x ·9x y ＝25，当且仅当4y x ＝9x y，即x ＝10且y ＝15时取等号．答案：25三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ·cos B －b ＝2a .(1)求角C 的大小；(2)设角A 的平分线交BC 于D ，且AD ＝3，若b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由已知及余弦定理得2c ×a 2＋c 2－b 22ac＝2a ＋b, 整理得a 2＋b 2－c 2＝－ab, 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3，即角C 的大小为2π3. (2)由(1)知C ＝2π3，依题意画出图形．在△ADC 中，AC ＝b ＝2，AD ＝3，由正弦定理得sin ∠CDA ＝AC ×sin C AD ＝23×32＝22，又△ADC 中，C ＝2π3，所以∠CDA ＝π4，故∠CAD ＝π－2π3－π4＝π12. 因为AD 是角∠CAB 的平分线，所以∠CAB ＝π6，所以△ABC 为等腰三角形，且BC ＝AC ＝ 2.所以△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ·sin 2π3＝12×2×2×32＝32. 21．已知圆C 经过A (3，2)、B (1，6)两点，且圆心在直线y ＝2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 经过点P (－1，3)且与圆C 相切，求直线l 的方程．解：(1)方法1：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0), 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（6－b ）2＝r 2，b ＝2a ，解得a ＝2，b ＝4，r 2＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5. 方法2：因为A (3，2)、B (1，6)，所以线段AB 中点D 的坐标为(2，4), 直线AB 的斜率k AB ＝6－21－3＝－2，因此直线AB 的垂直平分线l '的方程是y －4＝12(x －2)，即x －2y ＋6＝0. 圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧x －2y ＋6＝0，y ＝2x ，的解．解此方程组，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，即圆心C 的坐标为(2，4)．圆C 的半径长r ＝|AC |＝（3－2）2＋（2－4）2＝ 5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5.(2) 由于直线l 经过点P (－1，3),当直线l 的斜率不存在时，x ＝－1与圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝5相离，不合题意．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y －3＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋3＝0.因为直线l 与圆C 相切，且圆C 的圆心为(2，4)，半径为5，所以有|2k －4＋k ＋3|k 2＋1＝ 5.解得k ＝2或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －3＝2(x ＋1)或y －3＝－12(x ＋1), 即2x －y ＋5＝0或x ＋2y －5＝0.高中学业水平考试模拟测试卷(二)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1}解析：因为集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}, 所以M ∪N ＝{－1，0，1，2}．答案：A2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件；150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．故选B. 答案：B3．已知a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ⊥b ，则y 的值为( )A ．－12B ．－3C ．3D ．12 解析：因为a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ⊥b,所以a ·b ＝0，即4×6＋2y ＝0，解得y ＝－12.故选A. 答案：A4．若a |b |；②1a >1b ；③a b ＋b a >2；④a 2|b |，故正确；对于②，若a 0，b a >0，根据基本不等式即可得到a b ＋ba >2，故正确；对于④，若a b 2，故不正确．故选C.答案：C5．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213解析：因为α是第二象限角，sin α＝513，所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.故选B. 答案：B6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：因为y ＝x －1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B ，D ；又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C.故选A.答案：A7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0，表示的平面区域是( )解析：由题意可知，(0，0)在x －3y ＋6＝0的下方，满足x －3y ＋6≥0；(0，0)在直线x －y ＋2＝0的下方，不满足x －y ＋2<0. 故选B.答案：B8．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下，A.120B.14C.12D.710解析：根据题意，样本在(10，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14, 所求的频率为P ＝1420＝710.故选D.答案：D9．cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝( ) A.12B ．－32C ．cos 50° D.32解析：cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝cos 40°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝cos(40°－10°)＝32.答案：D10．函数y ＝log 2(x 2－3x ＋2)的递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：由x 2－3x ＋2>0，得x <1或x >2，又y ＝log 2(x 2－3x ＋2)的底数是2，所以在(－∞，1)上递减．故选A.答案：A11．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为( )A.23B.12C.14D.16解析：记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b 、c 、d ，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、 cd 共6种，符合条件的情况为ab 共1种，故概率为16，选D.答案：D12．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象沿x 轴向左平移m (m ＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m 的最小值为( )A.7π16B.15π16C.7π8D.π16解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象向左平移m 个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π8，因为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π8为奇函数，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋π8＝0. 所以2m ＋π8＝k π，k ∈Z ，即有m ＝k π2－π16，k ∈Z ，所以正数m 的最小值为7π16.答案：A13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±12x D ．y ＝±2x解析：由双曲线的离心率为3，则e ＝ca ＝3，即c ＝3a,b ＝c 2－a 2＝3a 2－a 2＝2a ，由双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x, 得其渐近线方程为y ＝±2x .故选D.答案：D14．函数f (x )＝log 2x ＋x －2的零点所在的区间是( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：函数f (x )＝log 2x ＋x －2的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (1)＝0＋1－2<0，f (2)＝1＋2－2>0，故函数f (x )＝log 2x ＋x －2的零点所在的区间是(1，2)．故选B. 答案：B15．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB→＋μAD →，则λ＋μ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，与AD 垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，那么AD →＝(1，0)，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，－2)，那么⎩⎨⎧λ＋μ＝2，2λ＝－2，解得λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A.答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________．解析：当x －1＝0，即x ＝1时，y ＝2.所以函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(1，2)．答案：(1，2)17．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6＝________．解析：由等差数列的通项公式可得，a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝9，a 1＋d ＝3，所以a 1＝2，d ＝1，所以a 1a 6＝2×7＝14.答案：1418．某学院A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则该学院C 专业应抽取________名学生．解析：抽样比为1∶10，而C 学院的学生有 1 200－380－420＝400(名)，所以按抽样比抽取40名．答案：4019．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则∠A 的度数为________．解析：根据正弦定理可得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ⇔sin(B ＋C )＝sin 2A ，而sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝sin 2A ，所以sin A ＝1，所以∠A ＝90°.答案：90°三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a . 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.21．已知函数f (x )＝1＋1x －x α(α∈R)，且f (3)＝－53.(1)求α的值； (2)求函数f (x )的零点；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性，并给予证明．解：(1)由f (3)＝－53，得1＋13－3α＝－53，解得α＝1.(2)由(1)，得f (x )＝1＋1x －x .令f (x )＝0，即1＋1x －x ＝0，也就是x 2－x －1x ＝0，解得x ＝1±52.经检验，x ＝1±52是1＋1x －x ＝0的根，所以函数f (x )的零点为1±52.(3)函数f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是减函数．证明如下：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－x 2＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x 2＋1. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是减函数．高中学业水平考试模拟测试卷(三)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}解析：x 2－x ＝0⇒x (x －1)＝0⇒N ＝{0，1}，所以M ∩N ＝{0，1}．答案：B2．已知等比数列{a n }的公比为2，则a 4a 2值为( )A.14B.12C ．2D ．4解析：a 4a 2＝q 2＝4.答案：D3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32C ．±32D ．1解析：命题“存在x 0∈R ，x 20－1＝0”的否定为“对任意的x ∈R ，x 2－1≠0”．答案：D4．直线l 过点(1，－2)，且与直线2x ＋3y －1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．2x ＋3y ＋4＝0B ．2x ＋3y －8＝0C ．3x －2y －7＝0D ．3x －2y －1＝0解析：设直线l ：3x －2y ＋c ＝0，因为(1，－2)在直线上，所以3－2×(－2)＋c ＝0，解得c ＝－7，即直线l 的方程为3x －2y －7＝0.答案：C5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为k ＝tan α＝－3，所以α＝π－π3＝2π3，故选C.答案：C6．已知复数z 满足z i ＝2＋i ，i 是虚数单位，则|z |＝( ) A.2B. 3C ．2D. 5解析：由题意得z ＝2＋ii ＝1－2i ，所以|z |＝ 5. 答案：D7．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：y ＝cos 2x →y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12.故选C.答案：C8．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：A ．一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A 正确； B ．由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B 正确； C ．由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C 正确；D ．由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 不正确．故选D.9．函数f (x )＝x 3－2的零点所在的区间是( ) A ．(－2，0) B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)解析：因为f (1)＝13－2＝－1<0，f (2)＝23－2＝6>0.所以零点所在的区间为(1，2)．答案：C10．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝6，则前4项的和S 4等于( ) A ．8B ．10C ．12D ．14解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 2＋(4－2)d ⇒d ＝6－22＝2，a 1＝a 2－d ＝2－2＝0，所以S 4＝4（a 1＋a 4）2＝2(0＋6)＝12.故选C.答案：C11．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．6B ．9C ．18D ．36解析：由题意可知，几何体是以正视图为底面的三棱柱，其底面面积S ＝12×4×52－42＝6，高是3，所以它的体积为V ＝Sh ＝18.故选C.12．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2，0)，则m 的值为( )A.12B ．1或3C.1＋22D.2－12解析：因为双曲线的焦点为(2，0)，在x 轴上且c ＝2，所以m ＋3＋m ＝c 2＝4，所以m ＝12.答案：A13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0，x －3y ＋2≤0，3x －y －2≥0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．－10B ．－6C ．－1D ．0解析：由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)，平移直线y ＝12x －z2，由图象可知，当直线y ＝12x －z 2过点B 时，直线y ＝12x －z2的截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧x ＋y －6＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，即B (2，4)．代入目标函数z ＝x －2y ，得z ＝2－8＝－6，所以目标函数z ＝x －2y 的最小值是－6.故选B. 答案：B14.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C15．小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b (a >b >0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v ，则( )A ．v ＝a ＋b 2B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．b <v <ab解析：设甲地到乙地的距离为s .则他往返甲、乙两地的平均速度为v ＝2ss a ＋s b ＝2aba ＋b ，因为a >b >0，所以2aa ＋b>1，所以v ＝2aba ＋b >b .v ＝2aba ＋b <2ab2ab ＝ab .所以b <v <ab .故选D. 答案：D二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝________．解析：S 4＝1－241－2＝15.答案：1517．若函数f (x )＝log a (x ＋m )＋1(a >0且a ≠1)恒过定点(2，n )，则m ＋n 的值为________．解析：f (x )＝log a (x ＋m )＋1过定点(2，n )，则log a (2＋m )＋1＝n 恒成立，所以⎩⎨⎧2＋m ＝1，1＝n ，⇒⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝1，所以m ＋n ＝0.答案：018．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.答案：1919．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的方程为______________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点(－5，4)代入得25a 2＋16b 2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，所以a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0.圆心到直线l 的距离为12，圆的半径为3，所以弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34.21．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 5＝8，a 6－a 3＝3. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若b n ＝1S n＋3·2n －2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 6－a 3＝3得数列{a n }的公差d ＝a 6－a 33＝1，由a 2＋a 5＝8，得2a 1＋5d ＝8，解得a 1＝32，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （n ＋2）2.(2)由(1)可得1S n ＝2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2，所以b n ＝1S n ＋3·2n －2＝1n －1n ＋2＋3·2n －2.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2＋32(1＋2＋…＋2n －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －(13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2)＋32×2n－12－1＝32－1n ＋1－1n ＋2＋32×(2n －1)＝3·2n －1－1n ＋1－1n ＋2.高中学业水平考试模拟测试卷(四)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合P ＝{1，2}，Q ＝{2，3}，全集U ＝{1，2，3}，则∁U (P ∩Q )等于( )A ．{3}B ．{2，3}C ．{2}D ．{1，3}解析：因为全集U ＝{1，2，3}，集合P ＝{1，2}，Q ＝{2，3}，所以P ∩Q ＝{2}，所以∁U (P ∩Q )＝{1，3}，故选D. 答案：D2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋11＝0的圆心和半径分别是( ) A ．(2，－3)； 2 B ．(2，－3)；2 C ．(－2，3)；1D ．(－2，3)； 2解析：圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋11＝0的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝2，据此可知圆心坐标为(2，－3)，圆的半径为2，故选A.答案：A3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32C ．±32D ．1解析：因为3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，所以(3a ＋2b )·(ka －b )＝0，所以3ka 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0，因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以12k －18＝0，k ＝32.答案：B4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝( )A.13 B.223C ．－13D ．－223解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝x ＋1＋1x －2，则f (x )的定义域是( )A ．[－1，2)B ．[－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[－1，2)∪(2，＋∞)解析：根据题意得⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －2≠0，解得x ≥－1且x ≠2，故f (x )的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)，故选D.答案：D6．若双曲线x 2a －y 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，则正实数a 的值为( )A ．9B ．3C.13D.19解析：双曲线x 2a －y 2＝1的渐近线方程为y ＝±xa ，由题意可得1a ＝3，解得a ＝19，故选D.答案：D7．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程为( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y ＋1＝0D ．2x －3y －1＝0解析：因为2x －3y ＋4＝0的斜率k ＝23，所以直线l 的斜率k ′＝－32，由点斜式可得l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0，故选A.答案：A8．已知AB →＝(1，－1，0)，C (0，1，－2)，若CD →＝2AB →，则点D 的坐标为( )A ．(－2，3，－2)B ．(2，－3，2)C ．(－2，1，2)D ．(2，－1，－2)解析：设点D 的坐标为(x ，y ，z )，又C (0，1，－2)，所以CD→＝(x ，y －1，z ＋2)，因为AB→＝(1，－1，0)，CD →＝2AB →，所以(x ，y －1，z ＋2)＝(2，－2，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，z ＝－2，则点D 的坐标为(2，－1，－2)．故选D.答案：D9．已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由α⊥β，m ∥β，可得m ⊥α或m ∥α或m 与α既不垂直也不平行，故充分性不成立；由α⊥β，m ⊥α可得m ∥β，故必要性成立，故选B.答案：B10．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经怎样平移后，所得的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移φ个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π3的图象，因为该图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称，所以2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋2φ＋π3＝k π(k ∈Z)，则φ＝k π2－π12(k ∈Z)，当k ＝0时，φ＝－π12，故应将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π12个单位，选B. 答案：B11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若C ＝π3，c＝7，b ＝3a ，则△ABC 的面积为( )A.2－34B.334C. 2D.2＋34解析：已知C ＝π3，c ＝7，b ＝3a ，所以由余弦定理可得7＝a 2＋b 2－ab ＝a 2＋9a 2－3a 2＝7a 2，解得a ＝1，则b ＝3，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.故选B.答案：B12．函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：因为y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，所以排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝32>0，故排除选项B ；当x →＋∞时，y →0，故排除选项D ，故选C.答案：C13．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则z ＝x 2＋y 2的最大值是( )A.10B ．4C ．9D ．10解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，的可行域，如图中阴影部分所示，因为A (0，－3)，C (0，2)，所以|OA |>|OC |.联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得B (3，－1)．因为x 2＋y 2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，且|OB |2＝9＋1＝10，所以z ＝x 2＋y 2的最大值是10.故选D.答案：D14．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，公差d 不等于零，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 3>0B ．a 1d >0，dS 3<0C ．a 1d <0，dS 3>0D ．a 1d <0，dS 3<0解析：由a 2，a 3，a 6成等比数列，可得a 23＝a 2a 6，则(a 1＋2d )2＝(a 1＋d)(a1＋5d)，即2a1d＋d2＝0，因为公差d不等于零，所以a1d<0，2a1＋d＝0，所以dS3＝d(3a1＋3d)＝32d2>0.故选C.答案：C15．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为()A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，点A，B，C 重合为点M，得到三棱锥M-DEF，如图．因为I、J分别为BE、DE 的中点，所以IJ∥侧棱MD，故GH与IJ所成的角等于侧棱MD与GH 所成的角．因为∠AHG＝60°，即∠MHG＝60°，所以GH与IJ所成的角的度数为60°，故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则公比q ＝______，数列{a n }的前4项的和为_______．解析：公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，所以a 32＝－18，解得a 2＝－12，a 3＝－12q ，a 4＝－12q 2，又a 2，a 4，a 3成等差数列，故2a 4＝a 2＋a 3，解得q ＝－12，a 1＝1，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q可得S 4＝58.答案：－12 5817．设函数f (x )(x ∈R)满足|f (x )－x 2|≤14，|f (x )＋1－x 2|≤34，则f (1)＝________．解析：由|f (x )－x 2|≤14，得－14≤f (x )－x 2≤14.由|f (x )＋1－x 2|≤34，得－34≤f (x )－x 2＋1≤34，即－74≤f (x )－x 2≤－14，所以f (x )－x 2＝－14，则f (1)－1＝－14，故f (1)＝34.答案：3418．若半径为10的球面上有A 、B 、C 三点，且AB ＝83，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为________．解析：在△ABC 中，AB ＝83，∠ACB ＝60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为83sin 60°＝16，即半径为8，又球心在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，故球心到平面ABC 的距离、球的半径及三角形外接圆的半径构成了一个直角三角形，设球面距为d ，则有d 2＝102－82＝36，解得d ＝6.故球心O 到平面ABC 的距离为6.答案：619．已知动点P 是边长为2的正方形ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦，且MN ＝2，则PM →·PN →的取值范围是________．解析：如图，取MN 的中点H ，连接PH ，则PM →＝PH →＋12NM →＝PH →－12MN →，PN →＝PH →＋12MN →.因为MN ＝2，所以PM →·PN →＝PH →2－14MN →2＝PH →2－12≥－12，当且仅当点P ，H 重合时取到最小值．当P ，H 不重合时，连接PO ，OH ，易得OH ＝22，则PH →2＝(PO →＋OH →)2＝PO →2＋2PO →·OH→＋OH →2＝PO →2＋12－2|PO →||OH →|·cos ∠POH ＝PO →2＋12－2|PO →|·cos ∠POH ≤PO →2＋12＋2|PO →|≤32＋2，当且仅当P ，O ，H 三点共线，且P 在A ，B ，C ，D 其中某一点处时取到等号，所以PM →·PN→＝PH →2－12≤2＋1，故PM →·PN →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2＋1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2＋1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的面积为23，c ＝23，求△ABC 的周长．解：(1)由sin 2 A ＋sin 2 B －sin 2 C ＝sin A sin B 及正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3.由△ABC 的面积为23得12ab ·32＝23，解得ab ＝8，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab ×12＝(a ＋b )2－3ab ＝12，所以(a ＋b )2＝36，a ＋b ＝6，故△ABC 的周长为6＋2 3.21．如图，直线l 与椭圆C ：x 24＋y 22＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝2，点N 关于原点O 的对称点为P .(1)若直线MP 的斜率为－12，求此时直线MN 的斜率k 的值；(2)求点P 到直线MN 的距离的最大值．解：(1)设直线MP 的斜率为k ′，点M (x ，y )，N (s ，t )，则P (－s ，－t )，k ′＝－12，且x 24＋y 22＝1，s 24＋t 22＝1，所以y 2＝2－x 22，t 2＝2－s22.又k ′·k ＝y ＋t x ＋s ·y －t x －s ＝y 2－t 2x 2－s 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2－x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－s 22x 2－s 2＝－12.且k ′＝－12，所以k ＝1.(2)当直线MN 的斜率k 存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，则Δ＝8(4k 2－m 2＋2)>0， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－41＋2k2，由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·8（4k 2－m 2＋2）1＋2k2＝2，化简得m 2＝（2k 2＋1）（2k 2＋3）2k 2＋2. 设点O 到直线MN 的距离为d ，则P 到MN 的距离为2d ，又d ＝|m |1＋k2，则4d 2＝4（2k 2＋1）（2k 2＋3）（2k 2＋2）（k 2＋1）＝ 2（4k 4＋8k 2＋3）k 4＋2k 2＋1＝8－2（k 2＋1）2<8，所以0<2d <2 2.当直线MN 的斜率不存在时，则M (－2，1)，N (－2，－1)，则P (2，1)，此时点P 到直线MN 的距离为2 2. 综上，点P 到直线MN 的距离的最大值为2 2.高中学业水平考试模拟测试卷(五)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( ) A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5}解析：A ∪B ＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，故选D. 答案：D2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 2x 2>2得，x 2>4，解得x <－2或x >2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．故选A.答案：A3．角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝( )A ．－43B.43C ．－34D.34解析：因为角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35＝y16＋y 2，所以y ＝－3，则tan θ＝y4＝－34，故选C.答案：C4．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A ．8桶B ．9桶C ．10桶D ．11桶解析：易得第一层有4桶，第二层最少有3桶，第三层最少有2桶，所以至少共有9桶，故选B.答案：B5．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( )A ．45B ．75C ．180D ．360解析：由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5＝5a 5＝450，得到a 5＝90，则a 2＋a 8＝2a 5＝180.故选C.答案：C6．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则m 的值为( )A ．－8B ．0C ．2D ．10解析：因为直线2x ＋y ＋1＝0的斜率等于－2，且过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，所以k AB ＝－2，所以4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8，故选A.答案：A7．已知向量a ＝(3，0)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝( )A ．2B ．－2C.32D ．－32解析：由a ＝(3，0)，b ＝(0，－1)，得a －2b ＝(3，2)，若(a －2b )⊥c ，则(a －2b )·c ＝0，所以3k ＋23＝0，所以k ＝－2，故选B.答案：B8．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β 解析：由α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，知：在A 中，若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β或l ⊂β，故A 错误；在B 中，若l ∥α，α∥β，则l ∥β或l ⊂β，故B 错误；在C 中，若l ⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l ⊥β，故C 正确；在D 中，若l ∥α，α⊥β，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故D 错误，故选C.答案：C9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝0，a 2＋c 2－b 2－ac ＝0，c ＝2，则a ＝( )A. 3 B ．1C.12D.32解析：因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即C 为直角，因为a 2＋c 2－b 2－ac ＝0，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，B ＝π3，因此a ＝c cos π3＝1.故选B.答案：B10．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝2n ＋1＋λ，则λ的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4解析：根据题意，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝4＋λ，当n ≥2时，a n＝S n －S n －1＝2n －1.因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝1，故4＋λ2＝1，解得λ＝－2.故选C.答案：C11．若以双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点和点(1，2)为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于( )A.12B ．1C. 2D ．2解析：由题意，双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为(－c ，0)、(c ，0)，因为两焦点和点(1，2)为顶点的三角形为直角三角形，所以(1－c ，2)·(1＋c ，2)＝0，所以1－c 2＋2＝0，所以c ＝3，因为a ＝2，所以b ＝1.故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：由题意得g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，当k ＝0时，得x ＝π3，所以函数g (x )图象的一条对称轴方程为x ＝π3.故选C.答案：C13．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段BC 的中点，点M 是直线BD 1上异于B ，D 1的点，则平面DEM 可能经过下列点中的( )A ．AB ．C 1C ．A 1D ．C解析：连接A 1D ，A 1E ，因为A 1D 1∥BE ，所以A 1，D 1，B ，E 四点共面．设A 1E ∩BD 1＝M ，显然平面DEM 与平面A 1DE 重合，从而平面DEM 经过点A 1.故答案为C.答案：C14．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，则3x －y 的最小值为()A ．4B ．6C ．12D ．16解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，作出可行域如图，联立⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，解得A (2，2)，令z ＝3x －y ，化为y ＝3x －z ，由图可知，当直线y ＝3x －z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为4.故选A.答案：A15．若正数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最大值为( )A.13B.38C.37D ．1解析：由x ＋4y －xy ＝0可得x ＋4y ＝xy ，左右两边同时除以xy 得1y ＋4x ＝1，求3x ＋y的最大值，即求x ＋y 3＝x 3＋y 3的最小值，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 3×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋4x ＝x 3y ＋4y 3x ＋13＋43≥2x 3y ×4y 3x ＋13＋43＝3，当且仅当x 3y ＝4y3x 时取等号，所以3x ＋y的最大值为13.所以选A. 答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1的定义域是________．解析：要使函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，即⎩⎨⎧x ≤1，x ≥－3，解得－3≤x ≤1，故函数的定义域为[－3，1]．答案：[－3，1]17．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的半径为________，表面积为________．解析：设长方体的外接球的半径为R ，则长方体的体对角线长就等于外接球的直径，即2R ＝12＋（3）2＋22，解得R ＝2，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝8π.答案：2 8π18．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________．解析：因为圆心在y ＝－2x 上，所以可设圆心坐标为(a ，－2a )，又因为圆过A (2，－1)，且圆C 和直线x ＋y ＝1相切，所以（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2，解得a ＝1，所以圆半径r ＝|1－2－1|2＝2，圆心坐标为(1，－2)，所以圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝219．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋m ，若函数f (x )有5个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，函数f (x )是奇函数，f (x )有5个零点，其中x ＝0是1个，只需x >0时有2个零点即可，当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋m ，转化为函数y ＝－m 和f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象交点个数即可，画出函数的图象，如图所示．结合图象可知只需12<－m <1，即－1<m <－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)已知c ＝2，AC 边上的高BD ＝3217，求△ABC 的面积S 的值．解：(1)因为(2c －a )cos B －b cos A ＝0，所以由正弦定理得(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0，所以2sin C cos B －sin(A ＋B )＝0，因为A ＋B ＝π－C 且sin C ≠0，所以2sin C cos B －sin C ＝0，即cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S ＝12ac sin ∠ABC ＝12BD ·b ，代入c ，BD ＝3217，sin ∠ABC ＝32，得b ＝73a ，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos ∠ABC ＝a 2＋4－2a .代入b ＝73a ，得a 2－9a ＋18＝0，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝7，或⎩⎨⎧a ＝6，b ＝27，又因为△ABC 是锐角三角形，所以a 2<c 2＋b 2，所以a ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝12×2×3×32＝332.21．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其右顶点是A (2，0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于两点M ，N (M ，N 不同于点A )，若AM →·AN →＝0，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．(1)解：因为椭圆C 的右顶点是A (2，0)，离心率为12，所以a ＝2，c a ＝12，所以c ＝1，则b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当直线MN 斜率不存在时，设MN ：x ＝m ，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得：|y |＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24，|MN |＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24. 设直线MN 与x 轴交于点B ，则|MB |＝|AB |，即3⎝⎛⎭⎪⎫1－m 24＝2－m ，所以m ＝27或m ＝2(舍)，。

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)07

2021年普通高中学业水平考试科合格性考试数学仿真模拟卷07（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知234x -=，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 1．【解析】由题意，可知234x-=，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．【答案】A2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1，1} 2.【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ．【答案】C3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.【解析】本题考查函数的奇偶性．令x ＝－1可得f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C ．【答案】C4．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14.【解析】利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.【答案】B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 5.【解析】由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B ．【答案】B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．46.【解析】(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 【答案】C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b7.【解析】∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－A ． ∴－a <b <0<－b <A ．【答案】C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数8.【解析】因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．【答案】A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．149.【解析】由不等式组，作出可行域如下：在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9. 【答案】C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－710.【解析】利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 【答案】D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( ) A ．x ＋4x ≥4 B ．x ＋4x ≤4 C ．x ＋4x ≥8 D ．x ＋4x ≤8 11.【解析】由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A ．【答案】A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．312.【解析】由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D ．【答案】D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513.【解析】从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 【答案】B14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸14．【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5+a 6+a 7+a 8＝32，S 7所以解可得，a 1＝，d ＝﹣1．故a 10＝【答案】D ．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.【解析】在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D ．【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上) 16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 16.【解析】f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 【答案】－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 17.【解析】设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．【答案】2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．18.【解析】由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 【答案】97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．19.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.【答案】α2三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)S n ＝2(12)12n --＋n ×1＋(1)2n n -×2＝2n ＋1＋n 2－2. 21．(12分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ， (1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 21.证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC ．(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2.∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ． 22．(12分)如图是半径为1m 的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P ,按逆时针方向以角速度rad /s π(每秒绕圆心转动rad 3π)作圆周运动,已知点P 的初始位置为0P ,且06xOP π∠=,设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位:s )的函数,记为()y f t =.(1) 求()30,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,并写出函数()y f t =的解析式； (2) 选用恰当的方法作出函数()f t ,06t ≤≤的简图； (3) 试比较13131,,345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小(直接给出大小关系,不用说明理由). 22．解：(1)()10sin62f π==,()32sin cos 23662f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭, ()sin 36y f t t ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,0t ≥.(2)用“五点法”作图,列表得：描点画图:说明:的变化过程也可给满分.(3) 13131345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

广东省高三春季高考模拟卷(2)数学含解析

�
，则 cos （ α + ） =（）
C．
10
C． 4
3
D．
10
9．已知正实数 m， n 满足 m+n= 1 ，则 �+ � 的最大值是（）
A． 2
2
B． 2
C．
B． 30

C． 20
2
D．
）
3+ 4 3
10
1
2
）
D． -4
（ e 为自然对数的底数在［ -2,2 ］的大致图象是（）
故答案为： B.
【分析】利用函数的奇偶性结合特殊点的函数值判断即可.
4．已知 � 2 � − 1 =4 � 2 +3 ，则 � � =（）．
A． � -2 �+4
B． � +2 �
2
2
【答案】D
C． � -2 �-1
D． � +2 �+4
2
2
【解析】
令 t=2x -1 ，则 x=
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 6 分，共 72 分。在每小题给出的四个选项中，只
A． ∀x＜ 0， x 2 +2x-m ＞ 0
A．
3
10
A．充分而不必要条件
的平均数为
.
1
2
18 ．在 △ ABC 中， N 是 AC 边上一点，且 �� = �� ， P 是 BN 上的一点，若 � � =m �� + �� ，

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)08

2021年广东省普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟题（08）（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，如果A ∩B ＝A ，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．41．C 解析：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ．∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，∴m ＝2．2．下列函数中，与函数y ＝1x 定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝xC ．y ＝x －2D ．y ＝ln x 解析：函数y ＝1x的定义域是(0，＋∞)，A 中的定义域是{x |x ≠0}，B 中的定义域是{x |x ≥0}，C 中的定义域是{x |x ≠0}，D 中的定义域是(0，＋∞)，故选D ．3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面3．D 解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．4． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )A ．62 B ．32C ．54D ．1＋344．C 解析：原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12 sin 30°＝54. 5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：因为k ＝tan α＝－3，α∈[0，π)，所以α＝2π3. 6．已知0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3＞b 3B ．1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜06．D 解析：由0＜a ＜b ＜1，可得a 3＜b 3，A 错误；1a ＞1b，B 错误；a b ＜1，C 错误；0＜b －a ＜1，lg(b －a )＜0，D 正确．7．已知a ＝(－2,2)，b ＝(x ，－3)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：a ·b ＝－2x －6＝0，解得x ＝－3.8．在同一直角坐标系xOy 中，函数y ＝cos x 与y ＝－cos x 的图象之间的关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x 轴对称，故选A ．9．三个数a 2，b ＝log 2c ＝2之间的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：易知0<a <1，b <0，c >1，故c >a >b .10．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1解析：S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝35，故a 4＝5，又a 23＝a 1a 7，即(5－d )2＝(5－3d )(5＋3d )，即d ＝1，故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝n ＋1.11．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－9 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5≥0x －y ≤0y ≤0表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z ＝2x ＋4y ＋1可得y ＝－12x ＋z 4－14，则z 4－14表示直线y ＝－12x ＋z 4－14在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y ＝－12x ＋z 4－14经过点A 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫－52，－52，此时z ＝－2×52－4×52＋1＝－14，故选A ． 12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5解析：r 2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.13．当x >4时，不等式x ＋4x －4≥m 恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥8B ．m >8C ．m ≤8D ．m <8解析：x ＋4x －4＝⎝⎛⎭⎫x －4＋4x －4＋4≥424)44x x -⋅+-（＝8，故m ≤8.14．已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( ) A ．－2B ．0C ．1D ．2 解析：f (1)＝12＋1＝2，f (－1)＝－f (1)＝－2.15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )C ．85,4解析：平均数x －＝84＋84＋84＋86＋875＝85，方差为15[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是________．16．43π解析：设正方体的棱长为a ，则由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2.设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π. 17．函数f (x )＝12－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是________．17．⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析：f (x )＝12－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间．∵2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． 18．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．18．25解析：基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P ＝1025＝25. 19．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为________．19．6解析：记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比21=q 的等比数列，S 6=378，S 6=211)211(61--a =378∴ a 1=192，a 6=192×521=6. 三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2a sin B cos A －b sin A ＝0，(1)求A ；(2)当sin B ＋3sin ⎝⎛⎭⎫C －π6取得最大值时，试判断△ABC 的形状．20．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B得a sin B ＝b sin A ≠0，又2a sin B cos A －b sin A ＝0，∴2cos A ＝1，即cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵A ＝π3，∴B ＝2π3－C ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3－C ＋3sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝32cos C ＋12sin C ＋3⎝⎛⎭⎫32sin C －12cos C ＝2sin C ， ∵0<C <2π3，∴当C ＝π2时，取得最大值， ∴△ABC 是直角三角形．21．(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，E 是PD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EAC ；(2)平面PDC ⊥平面P AD ．21．证明 (1)连接BD 交AC 于O ，连接EO ，则EO 是△PBD 的中位线，∴EO ∥PB ．又PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ，∴PB ∥平面EAC ．(2)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥CD ．而P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ．又CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面P AD ．22．(12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．22．.解：（1）设()v x ax b =+，当420x ≤≤时，由题意得：200a b +=，又因为42a b +=，解得18a =-，52b =，函数()v x 的表达式为2,04,()15,420,.82x x N v x x x x N **⎧≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ （2）22,04,()15,420,.82x x x N f x x vx x x x x N **⎧≤≤∈⎪=⋅=⎨-+≤≤∈⎪⎩ 当04x ≤≤时，max ()(4)8f x f ==；当420x ≤≤时，max 5252()()(10)122()8f x f f =-==⨯-. 综上所述，鱼的年生长量()f x 的最大值为252。

2021年广东省春季高考数学模拟试卷(6)(解析版)

2021年广东春季高考数学模拟试卷(6)解析版注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）1．已知集合{}02A x x =<<，集合{}13B x x =<<，则（）A ．{}01A B x x ⋂=<<B ．{}03A B x x ⋂=<<C ．{}12A B x x ⋃=<< D ．{}03A B x x ⋃=<<【答案】D 【解析】【分析】根据题中条件，由交集和并集的概念，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为集合{}02A x x =<<，集合{}13B x x =<<，所以{}03A B x x ⋃=<<，{}12A B x x ⋂=<<，故ABC 都错，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求集合的交集和并集，属于基础题型. 2．下列各组函数表示同一函数的是（）A ．2(),()f x g x =B ．0()1,()f x g x x ==C ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-D ．(),()f x x g x ==【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域和对应关系，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断. 【详解】对A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[)0,+∞，定义域不同；对B ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域不同；对C ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()(),11,-∞⋃+∞，定义域不同；对D ：()(),f x g x 定义域都为R ，且()()g x x f x ==，故两函数相等；故选：D . 【点睛】本题考查函数相等的判断，一般从定义域和对应关系入手考虑即可，同时要注意细节即可. 3．已知()f x 是实数集上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则(2)f -，()f π-，(3)f 的大小关系是（）A ．()(2)(3)f f f π->->B ．(3)()(2)f f f π>->-C ．(2)(3)()f f f π->>-D ．()(3)(2)f f f π->>-【答案】D 【解析】【分析】结合()f x 的奇偶性和单调性比较出三者的大小关系.因为()f x 是实数集上的偶函数，所以(2)(2)f f -=，()()f f ππ-=，又因为在区间[0,)+∞上是增函数，并且32π>>，所以()(3)(2)f f f π>>，所以()(3)(2)f f f π->>-，所以D 选项的正确的．故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 4．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数【答案】C 【解析】试题分析：原函数利用诱导公式化简为：()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A,B 正确，函数的对称轴由：()2x k k Z π=∈得到：()2k x k Z π=∈，显然，无论k 取任何整数，4x π≠，所以C 错误，答案为C.考点：1.诱导公式；2.三角函数的性质.5．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果::1:2:3A B C =，那么::a b c 等于（）A ．2B ．1:2:3C ．1:4:9D ．【解析】【分析】先根据::1:2:3A B C =可求出,,A B C ，再利用正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，即可求解. 【详解】在ABC 中，::1:2:3A B C =，,,632A B C πππ∴===，由正弦定理可得1::sin :sin :sin :22a b c A B C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.6．已知平面向量()3,1a =，(),3b x =-，且a b ⊥，则x =（） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】D 【解析】【分析】由330a b x ⋅=-=解得结果可得解. 【详解】 ∵a b ⊥，∴330a b x ⋅=-=； ∴1x =.【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，属于基础题.7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（） A ．7 B ．8C ．15D ．16【答案】C 【解析】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．8．关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()0,4B ．()(),22,-∞-+∞C ．[]22-,D ．()2,2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得出∆<0，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】不等式210x mx -+>的解集为R ，所以∆<0，即240m -<，解得22m -<<.因此，实数m 的取值范围是()2,2-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题. 9．设α、β、γ为平面，a 、b 为直线，给出下列条件：①a α⊂，b β⊂，//a β，//b α ②//αγ，//βγ③αγ⊥，βγ⊥ ④a α⊥，b β⊥，//a b 其中能推出//αβ的条件是（）. A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】【分析】由①③分别可举反例，而②是面面平行的判定，④面面平行的推论，即可知答案【详解】 ①有如下反例：故，不能推出//αβ②面面平行的判定：平行于同一个平面的两个平面平行，能推出//αβ③有如下反例：故，不能推出//αβ④面面平行的推论：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行，能推出//αβ 故选：C 【点睛】本题考查了面面平行，对“面面平行的判定与性质”等考点的理解，属于简单题 10．过点()3,4P 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有( ) A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C 【解析】【分析】过点A 且在x 、y 轴上的截距互为相反数的直线有2条，分别求出即可．【详解】设直线在x 、y 轴上的截距分别为a 和()0a a -≠，则直线l 的方程为1x ya a-=，直线过点()3,4A ，341a a∴-=，解得：1a =-，此时直线l 的方程为10x y -+=；当0a =时，直线过原点，设直线方程为y kx =，过点()3,4A ，此时直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；综上，直线l 的方程有2条．故选：C ．【点睛】本题考查了直线的截距式方程应用问题，容易疏忽过原点的情况，是基础题．11．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A ．得分在[40,60)之间的共有40人B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C ．估计得分的众数为55D ．这100名参赛者得分的中位数为65 【答案】D 【解析】【分析】根据频率和为1，求得0.005a =，根据得分在[40,60)的频率是0.40，得到A 正确；根据得分在[60,80)的频率为0.5，得到B 正确；根据最高的小矩形对应的底边中点为50260+，得到C 正确，进而得到答案．【详解】根据频率和为1，计算(0.0350.0300.0200.010)101a ++++⨯=，解得0.005a =，得分在[40,60)的频率是0.40，估计得分在[40,60)的有1000.4040⨯=人，A 正确；得分在[60,80)的频率为0.5，可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在[60,80)的概率为0.5，B 正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为5060525+=，即估计众数为55，C 正确，故选D. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.12．从1、2、3、4这4个数中一次随机地取2个数，记所取的这2个数的和为m ，则下列说法错误的是（）A ．事件“5m =”的概率为13B ．事件“5m ≥”的概率为12C ．事件“4m =”与事件“6m =”为互斥事件D ．事件“7m =”与事件“7m <”互为对立事件【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可判断A 、B 选项的正误，利用互斥事件的概念可判断C 选项的正误，利用对立事件的概念可判断D 选项的正误，综合可得出结论. 【详解】从1、2、3、4这4个数中一次随机地取2个数，所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,3、()2,4、()3,4，共6种，事件“5m =”包含的基本事件有：()1,4、()2,3，共2个，则()21563P m ===；事件“5m ≥”包含的基本事件有：()1,4、()2,3、()2,4、()3,4，则()42563P m ≥==；由互斥事件的定义可知，事件“4m =”与事件“6m =”为互斥事件；事件“7m =”包含的基本事件有：()3,4，事件“7m <”包含的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,3、()2,4，由对立事件的定义可知，事件“7m =”与事件“7m <”互为对立事件.综上所述，A 、C 、D 选项正确，B 选项错误. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也考查了互斥事件和对立事件的判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.13．已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y +的最小值为（） A ．8 B ．6C ．22D ．33【答案】C 【解析】【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解48x y +的最小值即可. 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.14．定义运算,*,m m n m n n m n≥⎧=⎨<⎩，则函数()()*01x x f x a a a -=<<的大致图象为（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】根据新定义运算将()f x 表示为分段函数的形式，由此判断出()f x 的图象.【详解】依题意，定义运算,*,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，而01a <<，所以(),0,0x x a x f x a x -⎧≤=⎨>⎩，当0x ≤时，()01x y a a =<<递减，且函数值不小于1.当0x >时()01x y a a -=<<递增，且函数值大于1.结合指数函数的图象的特点可知()f x 的图象为B 选项对应的图象，D 选项对应的图象不符合. 故选：B【点睛】本小题主要考查新定义运算，考查函数图象的识别，属于基础题.15．已知数列{a n }满足a n ＝1+2+3++n ，则122020111a a a +++=（） A ．20202021 B ．20191010 C ．20192020 D ．40402021【答案】D【解析】【分析】利用等差数列求和公式化简n a ，再利用裂项相消法求和.【详解】因为()12n n n a +=，则1112[]1n a n n =-+，所以2202011111111140402[1]223202*********a a a +++=⨯-+-++-=. 故选：D【点睛】本题考查等差数列求和公式、裂项相消法求和，属于基础题.二、填空题16．直线l ：3450x y --=被圆C ：22240x y x y +--=截得的弦AB 的长为______．【答案】2【解析】【分析】先求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求得答案【详解】解：由22240x y x y +--=，得22(1)(2)5x y -+-=，则圆心(1,2)C圆心(1,2)C 到直线3450x y --=的距离为1025d ===，所以弦AB 的长为2=故答案为：2【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题17．若函数()ln ,01,02x x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【答案】2【解析】【分析】根据分段函数解析式，由内而外逐步代入，可得1f f e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值【详解】11ln 1f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()111122f f f e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：2【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于简单题.18．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足||||a b >且a ，b 同向，则a b >；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任意向量a ，b ，必有||||||a b a b +≤+.其中正确命题的序号为________.【答案】④【解析】【分析】根据向量的基本概念对四个选项逐一判断即可.【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；只有④正确.故答案为：④【点睛】本题主要考查了向量的相关概念，属于基础题.19．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.【答案】1:47【解析】【分析】求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.【详解】设长方体长宽高分别为2a ，2b ，2c ，所以长方体体积12228V a b c abc =⨯⨯=，三棱锥体积2111326V a b c abc =⨯⨯⨯⨯=，所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：21211614786abc V V V abc ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：1:47.【点睛】本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.三、解答题20．若平面向量3,2sin 2x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, cos ,cos 2x n x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()x R ∈，函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的值域；（2）记ABC ∆的内角、、A B C 的对边长分别为c a b 、、，若()f A =2b c =，求角C 的值．【答案】（1）[]22-,（2）6C π=【解析】【分析】（1）根据向量数量积运算,代入坐标可得()f x 的表达式,进而得到值域.（2）先求得角A,再由2b c =及2222cos a b c bc A =+-求得a 、c 的关系，进而得到角C ．【详解】（1）由()f x m n =⋅代入坐标,可得 ()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得函数()f x 的值域为[]22-,（2）因为()f A =所以sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又()0,A π∈ 所以3A π=由2b c =及2222cos a b c bc A =+-得a =则sin sin A a C c==所以1sin 2C =因为a c >所以A C > 则6C π=【点睛】本题考查了向量的坐标运算，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．21．如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.(1)求证:PD 面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .【答案】（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及AC ⊥面PBD 来加以证明．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC 内找一条直线与直线PD 平行即可．设AC BD O =，连接EO ，由三角形中位线可得PD EO 即得；（2）连接PO ，由题意得PO⊥AC ，又底面为菱形，则AC⊥BD ，由面面垂直的判定定理即得．试题解析：（1）证明：设AC BD O =，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD EO 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面，所以PD 面AEC（2）连接PO ，因为PA PC =，所以AC PO ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥ 而PO ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，PO BD O =，所以AC ⊥面PBD又AC ⊂面AEC ，所以面AEC ⊥面PBD考点：1．线面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理；22．在新冠肺炎疫情的影响下，南充高中响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，高二年级的甲､乙两个班中，需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x ，y 的值，且分别求甲､乙两个班中5名学生成绩的方差2212,S S ，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．【答案】（1）答案见解析．（2）710【解析】【分析】（1）根据甲平均成绩可计算得x 的值，根据乙中位数可得y 的值;由方差公式即可求得两个班的方差,并根据平均数和方差的意义,作出选择.（2）根据古典概型概率求法,列举出所有可能,即可求解.【详解】（1）甲班的平均分为1748284(80)90835x x +++++==，解得5x =易知6y =．()()()()()22222217483828384838583908327.25S -+-+-+-+-==；又乙班的平均分为283x =，∴()()()()()22222227383758386839083918357.25S -+-+-+-+-==； ∵12x x =，2212S S <，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．（2）85分及以上甲班有2人，设为,a b ；乙班有3人，设为,,x y z ，从这5人中抽取2人的选法有：,,,,,,,,,ab ax ay az bx by bz xy xz yz ，共10种，其中甲班至少有1名学生的选法有7种，则甲班至少有1名学生被抽到的概率为710 P【点睛】本题考查了茎叶图求的简单应用,方差公式求方差值,古典概型概率的求法应用,属于基础题.。

2021年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷(解析版)

132021 年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一.选择题：本大题共 15 题，每小题 6 分，共 90 分。

在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1 设全集 U={2,3,4,5}，A={2}，则C UA = ()A. {2,3,4,5}B.{2,3,4,5}C.{3,4,5}D.{3,4}答案：C2. 已知cos （π2-α）=1 ，则sin α 的值为（）21 B -1C D - A. 22 22解：答案：A ， cos （π2-α）= sin α = 123. 下列函数为偶函数的是（）1+ x 2A. f (x ) = x +1 B f (x ) = C x 2f (x ) = x 3D f (x ) = sin x答案：B解：A 选项既不是奇函数也不是偶函数，C 和D 选项是奇函数4.已知a = 0.23， b = 0.32 , c = 0.33 ，则 a , b , c 的大小关系（）A. a < c < bB. b < a < cC. c < a < bD. a < b < c答案：A解： a = 0.23 = 0.008， b = 0.32= 0.09, c = 0.33= 0.027 ，所以a < c <b 3211 5.经过点 A （-1,6），B （0,2）的直线方程是（）A. x - 4y - 2 = 0 B. 4x - y - 2 = 0 C. x + 4y + 2 = 0 D. 4x + y - 2 = 0答案：D解：由题意知k= AB 2 - 6 0 - (-1)= -4 ,所以 y - 2 = -4(x - 0)，即4x + y - 2 = 06. 同时抛掷两粒均匀的骰子，则向上的点数之和是6 的概率是（）1 1 51A. 12B. 11C. 36D. 6答案：C解：同时抛掷两粒均匀的骰子一共有 36 种结果，其中点数之和为 6 的有 5 种结果，所以向上的点数之和5 是6 的概率 P =367. 下列函数在其定义域内为减函数的是（）11 A. y = x 3 B. y = x +1 C. y = log 23 x D. y = ( )x3 答案：D解：A y = x 3在定义域内为增函数，B y = 2 x +1在定义域为增函数，C. y = log x 在（0，+ ∞）为增函数，3D.y = ( )x 3 在定义域为减函数。

广东省2021年普通高中学业水平考试模拟试卷(五)数学试题及答案解析

绝密★启用前广东省2021年普通高中学业水平考试模拟试卷(五)数学试题(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{-1,0,2}D.{0,1}2.点(√3,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°3.已知a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,则y的值为()A.-12B.-3C.3D.124.若a<b<0,则下列不等式:①|a|>|b|;②1a >1b;③ab+ba>2;④a2<b2中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=()A.-513B.-1213C.513D.12136.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2-2D.y=lo g12x7.不等式组{x-3y+6≥0,x-y+2<0表示的平面区域是()8.一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下,则样本在(10,50]上的频率为 ( )A .120B .14C .12D .7109.cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°= ( )A .12B .-√32C .cos 50°D .√3210.函数y=log 2(x 2-3x+2)的递减区间是 ( )A .(-∞,1)B .(2,+∞)C .(-∞,32)D .(32,+∞)11.从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,其和为奇数的概率为 ( )A.15B.25C.35D.4512.将函数y=sin (x -π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是 ( )A .y=sin 12xB .y=sin (12x -π2)C .y=sin (12x -π6) D .y=sin (2x -π6)13.已知l ,m ,n 为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列判断正确的是( )A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB .若m ⊥α,n ∥β,α⊥β,则m ⊥nC .若α∩β=l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD .若α∩β=m ，α∩γ=n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α 14.函数f (x )=log 2x+x-2的零点所在的区间是 ( ) A.(0，1)B.(1，2)。

2021年10月广东省普通高中2022届高三上学期10月阶段性质量检测数学试卷及答案

2021年10月广东省普通高中2022届高三上学期10月阶段性质量检测数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形,解答题高考范围。

一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U ＝{x|－1≤x ≤5,x ∈Z},集合A ＝{0,1,2,3,4},B ＝{－1,0,1,2},则A ∩(∁U B)＝A.{0,1,2}B.{1,2}C.{3,4}D.{3,4,5}2.设命题p ：∃n ∈N *,n 2＋2n>3,则命题p 的否定是A.∃n ∉N *,n 2＋2n>3B.∃n ∈N *,n 2＋2n ≤3C.∀n ∈N *,n 2＋2n ≤3D.∀n ∈N *,n 2＋2n>33.函数f(x)＝1x＋4x 在[1,2)上的值域是 A.[5,172) B[4,172) C.(0,172) D.[5,＋∞) 4.已知sinθ－2cosθ＝0,θ∈(0,2π),则cos sin 2sin2θθθ--5.若1和2是函数f(x)＝4lnx ＋ax 2＋bx 的两个极值点,则log 2(2a －b)＝A.－3B.－2C.2D.36.已知函数f(x)＝lnx ＋ax 在函数g(x)＝x 2－2x ＋b 的递增区间上也单调递增,则实数a 的取值范围是A.(－∞,－1]B.[0,＋∞)C.(－∞,－1]∪[0,＋∞)D.(－1,0]7.在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,则“acosA ＝bcosB ”是“△ABC 是以A 、B 为底角的等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若对任意的x 2,x 2∈(m,＋∞),且x 1<x 2,都有122121x lnx x lnx x x --<2,则m 的最小值是(注：e ＝2.71828…为自然对数的底数) A.1e B.e C.1 D.3e二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

广东省广州市重点高中2021-2022学年高二下学期期末考试数学模拟卷(一)含答案

种 C.20种A. B. C.D．C．234，空间中的动点P 满足22PB PC += ，则2⎤⎦C．4⎡⎣与抛物线x y 42=相交于B A ,两点，设直线C.2分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求），若()()30,20E X D X ==，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，若()1P p ξ>=，则(10P ξ-<≤次射击中，击中目标的次数为X ，且()10,0.9X B ~，则当项，则下列说法中正确的有（）B．所有项的系数和为123项D．有理项共5项11.如图，点M 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A．有无数个点M 满足1CM AD ⊥B．当点M 在棱1DD 上运动时，1MA MB +的最小值为31+C．若12MB =，则动点M 的轨迹长度为π4D．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1MB 与CD 所成的角是3012.已知P 为双曲线22221x y a b-=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左，右焦点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 做2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A．I 在定直线上B．1212PF F IF F S S △△为定值C．OA 为定值D．AP 为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ABC 的外心为O，2AO AB AC =+ ，||||1AO AB == ，则AO AC ⋅=________．14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，写出{}n a 的一个通项公式n a =________，满足下面两个条件：①{}n a 是单调递减数列；②{}n S 是单调递增数列.15.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12F F ､，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的第一象限的交点，且123F PF π∠=，则1212e e e e +的取值范围是________．16.某市公租房的房源位于A ,B ,C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.在ABC △中，5,cos 43B C π∠==．（1）求cos A 的值；（2）点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围．18.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足*21()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若数列{}n b 满足|15|n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项的和n T .19.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC ；（2）若2PC AB ==，点C 是 AB 的中点，求二面角E l C --的正弦值.20.为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数（结果保留两位小数）；（通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A 指标的值X 服从正态分布()27.4,2.63.N （i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液A 指标的值不超过10.03的家禽数量（结果保留整数）；（ii）在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A 指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.参考数据：①3170.022750.00001,0.977250.7≈≈；②若()2,X N μσ ，则;9545.0)22(;6827.0)(≈+≤≤-≈+≤≤-σμσμσμσμX P X P 21.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 短轴长为2，F 是C 的左焦点，B A ，是C 上关于x 轴对称的两点，ABF ∆周长的最大值为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，若直线ON OM ,的斜率分别为21,k k ，且212k k k =，求直线l 的斜率，并判断22||||ON OM +的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．22.已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()f x '．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x '有两个零点()1212,x x x x <，且不等式()12f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．绝密★启用前2022年广州市重点高中高二下数学期末考试模拟卷（一）数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）D （2）B （3）D （4）A （5）B （6）A（7）D （8）A二．多选题（9）BCD （10）BD （11）AC （12）ABC三．填空题（13）32（14）12n⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）（15）3,1,42⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭（16）271416解析：解析：总可能事件数：8134=，当其中一个人分到一个片区，其他三人分在另一个片区：24121314=C C C ，也可以：相当于031--不定项分配：2433003314=A C C C ，当其中二个人分到一个片区，其他二人分在另一个片区：相当于2-2-0分配到三个地方去：183322002224=A A C C C ，所以2714811824=+四、解答题：17.解：（1）在ABC △，5cos 3C =，所以22sin 1cos 3C C =-=.……………………………………………1分所以cos cos cos sin sin cos cos 4444A C C C C πππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2225221023236-=⨯-⨯=（2）由（1）可知2210cos 06A -=<，所以2A π>．因为sin sin AD DC C DAC =∠，所以sin 2sin 3sin AD C DC DAC DACλ===∠∠．因为0DAC BAC <∠∠≤，所以sin (0,1]DAC ∠∈．…………10分所以2,3λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．…………………………………………………………………………………………………12分18.解析：（1）由21n n S a =-得：1121S a =-，即11a =，由21n n S a =-得：1121n n S a ++=-，两式相减得:1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，即数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12n n a -=，则122112n n n S -==--.…………………………………………………………………………………………………6分（2）由（1）知：|216|nn b =-，则162(14)216(4)n n n n b n ⎧-≤≤=⎨->⎩，则当14n ≤≤时，12(162)(162)(162)nn T =-+-++- 122(12)16(222)1612n nn n -=-+++=-- 11622n n +=-+；当4n >时，124567(162)(162)(162)(216)(216)(216)(216)nn T =-+-++-+-+-+-++- 1242(222)16nT n =++++- 12(12)234162166612n n n n +-=⨯+-=-+-则111622(14)21666(4)n n n n n T n n ++⎧-+≤≤=⎨-+>⎩.…………………………………………………………………………………12分19.解析：（1）因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面PAC（2）如图，因为AB 是圆O 的直径，点C 是 AB 的中点，2AB =所以CA CB ⊥，2CA CB ==因为直线PC ⊥平面ABC 所以,PC CA PC CB ⊥⊥所以以C 为原点，直线CA ，CB ，CP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，2(,0,1)2E 所以(0,2,1)BF =-uu u r ，2(,2,1)2BE =- 设平面EFB 的法向量(,,)n x y z = ，则·0·0BF n BE n ⎧=⎨=⎩，即202202y z x y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则0,2x z ==得(0,1,2)n = 因为直线PC ⊥平面ABC 所以(0,0,1)CP =为平面ABC 的法向量所以26cos ,3||||3CP nCP n CP n <>===，所以二面角E l C --的正弦值为3320.解析：（1）由()()20.020.060.140.44,20.020.060.140.180.8⨯++=⨯+++=可得中位数在区间(]7,9内，设中位数为x ，则()20.020.060.14(7)20.5x ⨯+++-⨯=，解得7.03x =；（2）（i）由()27.4,2.63.X N 可得6827.0)03.1077.4()63.24.763.24.7(≈≤≤=+≤≤-X P X P ，则84135.05.02)03.1077.4()03.10(≈+≤≤=≤X P X P ，10000.84135841.35841⨯=≈只；（ii）9545.0)66.1214.2()63.224.763.224.7(≈≤≤=⨯+≤≤⨯-X P X P ，()10.954512.660.022752P X ->≈=，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，设恰有3只血液中A 指标的值大于12.66为事件B ，则()173320()C 0.0227510.022750.007981%P B =⨯⨯-≈<，所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.21.解：(1)设AB 与x 轴的交点为H ，右交点为2F .由题意||||2AF AH ≤，则a AF AF AH AF 2||||||||211=+≤+，当AB 过右焦点2F 时，ABF ∆周长取最大值2,84=∴=a a ，且1=b ，∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ，(2)设直线l 的方程为)0(=/+=m m kx y ，),(11y x M ，),(22y x N ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1422，得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，221418k km x x +-=+∴，222141)1(4k m x x +-=.由题知21221221212121212)())((x x m x x km k xx m kx m kx x x y y k k k +++=++===，0)(221=++∴m x x km ，04182222=++-∴m k m k ..41,02=∴=/k m 此时2222214)418()(m k km x x =+-=+，)1(241)1(422221-=+-=m km x x ，则4141||||222221212222212122x x x x y x y x ON OM -++-+=+++=+52)]1(44[432]2)[(432)(4322212212221=+--=+-+=++=m m x x x x x x ，故直线l 的斜率为21±=k ，5||||22=+ON OM .22.【解析】方法一：（1）由2()4ln f x x x a x =-+得，函数的定义域为(0,)+∞，且224()24a x x af x x x x-=-='++，令()0f x '>，即2240x x a -+>，①当Δ1680a =-≤，即2a ≥时，2240x x a -+≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；②当Δ0>，即2a <时，令12242242,22a ax x --+-==，当02a <<时，120x x <<，所()f x 在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减；当0a ≤时，120x x <<，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增．（2）由（1）可得，()f x '有两个零点()1212,x x x x <，则02a <<，且122x x +=，因为12x x <，所以1201,12x x <<<<，由不等式()12f x mx ≥，恒成立得()12f x m x ≤，只需()12minf x m x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又()()222111111111211442ln 4ln 22x x x x x f x x x a x x x x -+--+==--1111422ln 2x x x x =-++-，设11114()22ln (01)2h x x x x x x =-++<<-，2(4)()2ln (2)x x h x x x +-'-=，由01x <<可得，()0h x '<，即()h x 在(0,1)单调递减，所以()(1)3h x h >=-，所以3m ≤-．方法二：（1）2224()240240,Δ168a x x af x x x x a ax x-+=-+==⇒-='+=-①当Δ0≤，即2a ≥时，()0,()f x f x ≥'在(0,)+∞上 ②当Δ0>，即2a <时（ⅰ）若0a ≤时，由22422402ax x a x +--+=⇒=当24202a x +-<<时，()0,()f x f x '< ；当2422ax +->时，()0,()f x f x '> （ⅱ）若02a <<时，由22422402ax x a x ±--+>⇒=当24202ax --<<时，()0,()f x f x '> ；当24224222a a x --+-<<时，()0,()f x f x '< ；当2422ax +->时，()0,()f x f x '> ．（2）()f x '有两个零点，由（1）知02a <<此时12,x x 是一元二次方程2240x ax a -+=的两个不等实根且122x x +=，12012x x <<<<，211240x x a -+=由()()1122minf x f x mx m x ⎡⎤≥⇒≤⎢⎥⎣⎦()()2221111111111112111442ln 4ln 422ln 222x x x x x f x x x a x x x x x x x x -+--+===--+---令4()22ln ,(0,1)2g x x x x x x =--+∈-，224(4)()12ln 22ln 0(2)(2)x x g x x x x x -=--++=+-'<-∴()g x 在(0,1)上，∴()(1)3g x g >=-即()123f x x >-∴3m ≤-．。

2021年1月广东省一般高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析

2021年1月广东省一般高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每题4分，总分值60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，那么M N =（）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，以劣等式不成立的是（）A .lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，那么()=f a （） A .2- B .1- C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，假设复数1x i+的虚部是2，那么x =（） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，那么函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（） A .1a ≤ B .1a > C .14a ≤ D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，那么以下结论正确的选项是（）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方式，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，那么应选取的男、女生人数别离是（）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如下图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，那么该几何体的体积为（） A .1 B .2 C .4 D .89、假设实数,x y 知足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，那么2z x y =-的最小值为（） A .0 B .1- C .32- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，那么以劣等式正确的选项是（）A .DA DC AC -=B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边别离为,,a b c ，假设3,2,13a b c ===C =（） A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，那么()f x 的最大值和最小正周期别离为（）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个核心，假设1243F F =，那么12PF PF +=（）A .4B .8C .42D .4714、设函数()f x 是概念在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，假设10x <，20x >，那么以下结论不正确的选项是（）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，那么22212n a a a +++=（） A .24(21)n - B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+ 二、填空题：本大题共4小题，每题4分，总分值16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，那么tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机掏出一支笔，利用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机掏出一支笔利用，那么两次利用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每题12分，总分值24分. 解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤.20、假设等差数列{}n a 知足138a a +=，且61236a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 知足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如下图，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 别离交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面；（2）证明：BD AC ⊥.2021年1月广东省一般高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每题4分，总分值60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-，，，应选B.2、B 解析：关于B 项，令1x y ==，那么lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，应选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，应选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，应选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，应选C. 6、B 解析：关于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；关于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，那么20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确；关于C 项，2,2a b ==，错误；关于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 应选B.7、A 解析：抽样比为1535010k ==，那么应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，应选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，那么体积为2214V =⨯⨯=，应选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，那么2z x y =-别离为32,0,2--，因此z 的最小值为2-，应选D.10、D 解析：关于A 项，DA DC CA -=，错误；关于B 项，2DA DC DO +=，错误；关于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误；关于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 应选D.11、A 解析：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-===，又0C π<<5=6C π∴，应选A.12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，应选A.13、B解析：122F F c c ==⇒=22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，应选B.14、D 解析：关于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；关于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；关于C 项，20x >222222211121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确；关于D 项，10x < 111111111()2x x x x x x ∴+=--+≤-=--- 111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 应选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，应选C. 二、填空题：本大题共4小题，每题4分，总分值16分.16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255ca b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17解析：2sin()cos 23πθθ-==，且0θπ<<sin 3θ∴=== sin 3tan cos 322θθθ∴===.18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为那么圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为22424211d --==+2∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每题12分，总分值24分. 解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点又F 为BC 的中点 EF ∴为BCP 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面（2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 PC BE ∴⊥ DE 垂直平分PC PC DE∴⊥又BE DE E =，,BE DE BDE ⊂平面 PC BDE ∴⊥平面又BD BDE ⊂平面 PC BD ∴⊥,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面 PA BD ∴⊥又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 BD PAC ∴⊥平面又AC PAC ⊂平面 BD AC ∴⊥。