李雅普诺夫稳定性分析

第六章 李雅普诺夫稳定性分析

在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。

经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。

1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。

§6-1 外部稳定性和内部稳定性

系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。

一、外部稳定性

1、定义（外部稳定性）：

若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。

(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：

（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实

常数k ，使得对于所有的[]∞∈0

t ，恒有∞<≤k t h )(成立。

（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。

2、系统外部稳定性判据

线性定常连续系统

∑),,(C B A 的传递函数矩阵为

Cx

y Bu Ax x

=+=

BU

A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=

B A sI

C s G 1

)()(--=

当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。

【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为

u x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。

解：系统为SISO 系统，传递函数为

B A sI

C s G 1

)()(--=[]⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-12116101

s s )

3)(2(2

+--=

s s s

3

1+=

s 由于传递函数的极点位于s 左平面，故系统是外部稳定的。

二、内部稳定性

对于线性定常系统 Bu Ax x

+= ， 00)(x t x =

Cx y =

如果外部输入0)(=t u ，初始条件0x 为任意，且由0x 引起的零输入响应为

00),()(x t t t x φ=

满足

0),(lim 00=∞

→x t t t φ

则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。

说 明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。

【例6.1.２】已知受控系统状态空间表达式为

u x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的内部稳定性。

解：该系统为线性定常系统，其特征方程为：

0)3)(2(6)1(=+-=-+=-λλλλλA I

于是系统的特征值为21=λ，32-=λ，故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。

三、内部稳定性与外部稳定性的关系

１、若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（BIBO 稳定）的。

2、若系统是外部稳定（BIBO 稳定）的，且又是可控可观测的，则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定是等价的。

§6-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念

一、自治系统

没有外界输入作用的系统叫自治系统。

自治系统可用如下的显含时间t 的状态方程来描述

),(t x f x = ， 00)(x t x =，0t t ≥………………………… (6-1)

其中x 为n 维状态向量。),(t x f 为线性或非线性、定常或时变的n 维向量函数。假定方程的解为

),;(00t x t x ，式中0x 和0t 分别为初始状态向量和初始时刻，那么初始条件0x 必满足0000),;(x t x t x =。

如果系统为线性系统，则(6-1)方程中的),(t x f 为x 的线性向量函数，或按习惯表示为：

x t A x

)(= ， 00)(x t x =，0t t ≥………………………… (6-2)

二、平衡状态

设控制系统的齐次状态方程为：

),(t x f x = ， 00)(x t x =，0t t ≥

对于所有t ，如果存在某个状态e x ，满足：

0),(==t x f x

e e

则称e x 为系统的一个平衡点或平衡状态。

平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。若已知系统状态方程，令0=x

所求得的解x ，便是

平衡状态。

在大多数情况下，0=e x （状态空间原点）为系统的一个平衡状态。当然，系统也可以有非零平衡状态。如果系统的平衡状态在状态空间中表现为彼此分隔的孤立点，则称其为孤立平衡状态。对于

孤立平衡状态，总是可以通过移动坐标系而将其转换为状态空间的原点，所以在下面的讨论中，假定原点即0=e x 为平衡状态。

所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动，能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在平衡状态的附近。

线性定常系统

Ax x

= ，其平衡状态满足0=e Ax ，只要A 非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态；当A 为奇异矩阵时，0=e Ax 有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。对于非线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态方程决定。

三、李雅普诺夫意义下稳定