李雅普诺夫稳定性分析

第六章 李雅普诺夫稳定性分析
在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。

因为它关系到系统是否能正常工作。

经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。

分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。

1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。

§6-1 外部稳定性和内部稳定性
系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。

一、外部稳定性
1、定义（外部稳定性）：
若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。

(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：
（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实
常数k ，使得对于所有的[]∞∈0
t ，恒有∞<≤k t h )(成立。

（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。

2、系统外部稳定性判据
线性定常连续系统
∑),,(C B A 的传递函数矩阵为
Cx
y Bu Ax x
=+=
BU
A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=
B A sI
C s G 1
)()(--=
当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。

【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。

解：系统为SISO 系统，传递函数为
B A sI
C s G 1
)()(--=[]⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-12116101
s s )
3)(2(2
+--=
s s s
3
1+=
s 由于传递函数的极点位于s 左平面，故系统是外部稳定的。

二、内部稳定性
对于线性定常系统 Bu Ax x
+= ， 00)(x t x =
Cx y =
如果外部输入0)(=t u ，初始条件0x 为任意，且由0x 引起的零输入响应为
00),()(x t t t x φ=
满足
0),(lim 00=∞
→x t t t φ
则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。

说 明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。

【例6.1.２】已知受控系统状态空间表达式为
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的内部稳定性。

解：该系统为线性定常系统，其特征方程为：
0)3)(2(6)1(=+-=-+=-λλλλλA I
于是系统的特征值为21=λ，32-=λ，故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。

三、内部稳定性与外部稳定性的关系
１、若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（BIBO 稳定）的。

2、若系统是外部稳定（BIBO 稳定）的，且又是可控可观测的，则系统是内部稳定（渐近稳定）的。

此时内部稳定和外部稳定是等价的。

§6-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、自治系统
没有外界输入作用的系统叫自治系统。

自治系统可用如下的显含时间t 的状态方程来描述
),(t x f x = ， 00)(x t x =，0t t ≥………………………… (6-1)
其中x 为n 维状态向量。

),(t x f 为线性或非线性、定常或时变的n 维向量函数。

假定方程的解为
),;(00t x t x ，式中0x 和0t 分别为初始状态向量和初始时刻，那么初始条件0x 必满足0000),;(x t x t x =。

如果系统为线性系统，则(6-1)方程中的),(t x f 为x 的线性向量函数，或按习惯表示为：
x t A x
)(= ， 00)(x t x =，0t t ≥………………………… (6-2)
二、平衡状态
设控制系统的齐次状态方程为：
),(t x f x = ， 00)(x t x =，0t t ≥
对于所有t ，如果存在某个状态e x ，满足：
0),(==t x f x
e e
则称e x 为系统的一个平衡点或平衡状态。

平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。

若已知系统状态方程，令0=x
所求得的解x ，便是
平衡状态。

在大多数情况下，0=e x （状态空间原点）为系统的一个平衡状态。

当然，系统也可以有非零平衡状态。

如果系统的平衡状态在状态空间中表现为彼此分隔的孤立点，则称其为孤立平衡状态。

对于
孤立平衡状态，总是可以通过移动坐标系而将其转换为状态空间的原点，所以在下面的讨论中，假定原点即0=e x 为平衡状态。

所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动，能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在平衡状态的附近。

线性定常系统
Ax x
= ，其平衡状态满足0=e Ax ，只要A 非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态；当A 为奇异矩阵时，0=e Ax 有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。

对于非线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态方程决定。

三、李雅普诺夫意义下稳定
设系统初始状态0x 位于以平衡状态e x 为球心、半径为δ的闭球域)(δS 内，即 ),(00t x x e εδ≤- 0t t =
若能使系统方程的解),;(00t x t x 在∞→t 的过程中，都位于以e x 为球心、任意规定的半径为ε的闭球域)(εS 内，即
ε≤-e x t x t x ),;(00 0t t ≥
则称该e x 是稳定的，通常称e x 为李雅普诺夫意义下稳定的平衡状态。

以二维系统为例，上述定义的平面几何表示如图6-1所示。

式中∙称为向量的范数，其几何意义是空间距离的尺度。

如e x x -0表示状态空间中0x 至e x 点之间的距离的尺度，其数学表达式为
2
021100)()(ne n e e x x x x x x -++-=-
在上述稳定性的定义中，如果δ只依赖于ε而和初始时刻0t 的选取无关，则称平衡状态e x 是一致稳定的。

对于定常系统，e x 的稳定等价于一致稳定。

但对于时变系统，e x 的稳定并不意味着其为一致稳定。

要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超过)(εS ，则认为稳定，这同经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。

四、渐近稳定
设e x 是系统),(t x f x
= ， 00)(x t x =，0t t ≥的一个孤立平衡状态，如果 （1）e x 是李雅普诺夫意义下稳定的；
0x - 初始状态
e x - 平衡状态
图6-1 二维空间李雅普诺夫意义下稳定性的几何解释示意图
（2）0),;(lim
00→-∞
→e t x t x t x
则称此平衡状态是渐近稳定的。

实际上，渐近稳定即为工程意义下的稳定，也就是经典控制理论中所讨论的稳定性。

当δ与0t 无关时，称平衡状态e x 是一致渐近稳定的。

五、大范围（全局）渐近稳定
当初始条件扩展到整个状态空间，且具有渐近稳定性时，称此平衡状态e x 是大范围渐近稳定的。

对于严格线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围渐近稳定性，这是因为线性系统稳定性与初始条件的大小无关。

一般非线性系统的稳定性与初始条件的大小密切相关，其δ总是有限的，故通常只能在小范围内渐近稳定。

当δ与0t 无关时，称平衡状态e x 是大范围一致渐近稳定。

六、不稳定
不管把域)(δS 取得多么小，也不管把域)(εS 取得如何的大，只要在)(δS 内存在一个非零初始状态0x ，使得有0x 出发的运动轨迹超出域)(εS 以外，则称平衡状态e x 是不稳定的。

线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定。

非线性系统的平衡状态不稳定，只说明存在局部发散的轨迹，至于是否趋于无穷远，要看)(εS 域外是否存在其它平衡状态，若存在，如有极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下稳定的。

下面介绍李雅普诺夫理论中判断系统稳定性的方法。

§6-3 李雅普诺夫稳定性判别方法
一、李雅普诺夫第一法（间接法）
这是利用状态方程解的特性来判别系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变以及非线性函数可线性化的情况。

由于本章主要研究线性定常系统，所以在此仅介绍线性定常系统的特征值判据。

0x - 初始状态
e x - 平衡状态
图6-2 二维空间渐近稳定性的几何解释示意图
线性定常系统的特征值判据：
对于线性定常系统
Ax x
= ，0)0(x x =，0≥t 有 （1）系统的平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是，
A 的所有特征值均具有非正
（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A 的最小多项式的单根。

（2）系统的惟一平衡状态0=e x 是渐近稳定的充分必要条件是，A 的所有特征值均具有负实部。

二、李雅普诺夫第二法（直接法）
根据古典力学中的振动现象，若系统能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早回到达平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。

李雅普诺夫提出，可虚构一个能量函数（后来被称为李雅普诺夫函数），一般它与n x x x ,,,21 及t 有关，记为),(t x V 。

若不显含t ，则记为)(x V 。

它是一个标量函数，考虑到能量函数总是大于零，故为正定函数。

能量衰减特性用),(t x V
或)(x V 表示。

李雅普诺夫第二法利用V 及V
的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法。

用此方法解决了一些用其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，遗憾的是对一般非线性系统仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法。

对于线性系统，通常用二次型函数
Px x T 作为李雅普诺夫函数。

1、标量函数)(x V 符号性质的几个定义
（1）正定性
标量函数)(x V 在域s 中对所有非零状态（0≠x ）有0)(>x V 且0)0(=V ，则称)(x V 在域s 内
正定。

如2
221)(x x x V +=是正定的。

（2）负定性
标量函数)(x V 在域s 中对所有非零状态（0≠x ）有0)(<x V 且0)0(=V ，则称)(x V 在域s 内负定。

如)()(2
22
1x x x V +-=是正定的。

（3）正半定性
0x - 初始状态
图6-3 二维空间不稳定的几何解释示意图
0)0(=V ，且标量函数)(x V 在域s 内某些非零状态处有0)(=x V ，而在其它非零状态处有
0)(>x V 且，则称)(x V 在域s 内正半定。

如221)2()(x x x V +=，当212x x -=时有0)(=x V ；当212x x -≠时有0)(>x V ，故)(x V 为正半定。

（4）负半定性
0)0(=V ，且标量函数)(x V 在域s 内某些状态处有0)(=x V ，而在其它状态处有0)(<x V 且，则称)(x V 在域s 内负半定。

如2
21)2()(x x x V +-=是负半定的。

（5）不定性
标量函数)(x V 在域s 内可正可负，则称)(x V 不定。

如21)(x x x V =是不定的。

2、标量函数)(x V 取二次型时的符号
Px x x V T
=)([]⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n nn n n n n n x x x p p p p p p
p p p x x x
212
1
22221
112112
1
式中P 为对称矩阵，有ji ij p p =。

显然满足0)0(=V 。

当P 阵的每一个元都为实数时，称作实二次型。

实二次型)(x V 是正定的充要条件是矩阵P 的各顺序主子行列式均大于零（赛尔维斯特准则），即
011>p ，
022
21
1211>p p p p ，…，01111>nn
n n
p p p p
则)(x V 正定，且称P 为正定矩阵。

当矩阵P 的各顺序主子行列式负、正相间时，即 011<p ，
022
21
1211>p p p p ，…，0)1(1111>-nn
n n
n p p p p
则)(x V 负定，且称P 为负定矩阵。

若矩阵P 的各顺序主子行列式含有等于零的情况，则)(x V 为正半定或负半定。

不属于以上所有情况的，)(x V 为不定。

【例6.3.1】证明下列的二次型是正定的 3132212
32221422410)
(x x x x x x x x x x V --+++=
证明：上式用矩阵形式表示为
Px
x x V T
=)([]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=32132
1
1121412110x x x x x x
由于01011>=p
0394
1
11022
21
1211>==
p p p p
0171
1
214
1
2
110
33
32
31
232221131211
>=----=p p p p p p p p p 所以，)(x V 是正定的。

3、李雅普诺夫第二法
定理1 设系统的状态方程为
)(x f x = 0)0(=f
如果存在一个标量函数)(x V ，它有连续的一阶偏导数，而且满足：（1）)(x V 是正定的；（2）)(x V
是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。

【例6.3.2】设系统的状态方程是
)(2
221121x x x x x
+-= )(2
22
1212x x x x x
+--= 试分析系统在原点处的平衡状态是否为渐近稳定的。

解：令01=x
及02=x ，解得01=x ，02=x ，故原点为平衡状态，且只有一个平衡状态。

设2
22
1)(x x x V +=，则221122)(x x x
x x V
+=2
2221)(2x x +-= 显然，对于0≠x 存在0)(<x V
以及0)0(=V ，故)(x V 是负定的。

又由于)(x V 是正定的，所以该系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。

因为只有一个平衡状态，故该系统是渐进稳定的。

【例6.3.4】设系统的状态方程是
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎢⎣
⎡⎥⎦⎤--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211110x x x x
试分析系统在原点处的平衡状态是否为渐近稳定的。

解：这个系统的平衡点是021==x x 。

（1）先猜想一个能代表系统能量的正定函数
22
212)(x x x V += 则：221124)
(x x x
x x V
+= 由原状态方程知：21x x
= ，212x x x
--= ，代入上式得 22
2122)(x x x x V -= 它是不定的，因而无法判断系统的稳定性。

（2）重新构造正定函数)(x V ：
2
221)(x x x V +=
因此：2
22211222)(x x x x x x V
-=+=
它是负半定的。

但是因为)(x V
不恒为零，所以可知该系统是渐近稳定的。

)(x V 是李亚普诺夫函数。

（3）再取函数
[]
2
2
212212)(2
1)(x x x x x V +++=
因此：)()(22
21x x x V +-= 是负定的。

且：
∞→x ，∞→)(x V ，故是大范围渐近稳定。

从上述例子可以看出，找到一个系统的李亚普诺夫函数证明系统是稳定时，则系统必定是稳定的；反之，如果用李亚普诺夫第二法不能判断系统是稳定时，并不能得出系统是不稳定的。

4.3 线性定常系统的稳定性分析
线性定常系统可以应用各种方法，诸如劳斯—霍尔维茨，奈奎斯特法来判断系统的稳定性。

李亚普诺夫直接法也提供了一种稳定性判据的方法。

在上一节的例4-3中，我们用猜想和试探、验证的方法来找李亚普诺夫函数，这是很费时的，对于高阶的系统尤其费时，有时甚至是困难的。

在本节中，采用二次型函数来判定系统稳定性，这种方法较为简捷，并且还可以利用这种方法作为基础来解参数最优问题以及某些控制系统的设计问题。

设线性定常系统为
Ax x
= (4-18)
式中x 是n 维状态向量。

如果采用二次型函数作为李亚普诺夫函数，即
()Px x x V T = （4-19）
式中 P 是正定的实对称矩阵。

那么对上式求导得
()Px x x P x x V
T T += （4-20） 将式（4-18）代入（4-20）式得
()Px
A x PAx x x V
T T T += ()
x P A PA x T T += （4-21）
令 P A PA Q T +=- （4-22）
代入式（4-21）得
()Qx x x V
T -= （4-23） 从上式可以看出，为了判定(x )V
是否负定，只需要判定Q 是否正定。

因此，判定线性定常系统的稳定性可如下进行：选定一个正定实对称矩阵P ，按式（4-22）计算Q ，
如果Q 是正定的，则式（4-19）所表达的李亚普诺夫函数证明系统是稳定的。

实际应用这个方法时，常不是先假定P ，而是先假设一个正定矩阵Q,例如取Q=I,再按式（4-22）
计算P ，应用赛尔维斯特法则检查P 是否正定。

如果P 是正定的，则系统是渐进稳定的。

这样做法，有
时要方便得多。

如果 ，()Qx x x V
T -= 沿任意一条轨迹不恒等于零，那么Q 可取正半定的，
[例4-4] 设系统的状态方程为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321x x x 10k 120010x x x
求使系统稳定的K 值。

[解] 假设
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100000000Q
由式（4-23）得
()[]23321321x x x x 100000000x ,x ,x x V -=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=
上式中()x V
不恒为零，所以这样选取Q 是合适的。

按（4-22）式计算P:
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110021K 1010K 120010p p p p p p p p p 3332
31
232221131211
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100000000p p p p p p p p p 333231
232221
131211
解出上式得 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-------+=2K 1262K 12K
02K 12K 2K 123K
2K 126K 02K 126K
2K 1212K K P 2
根据赛尔维斯法则，如果P 是正定的，需使 0K 02K -12>>
所以 6K 0<<
作业：p82: 4-2
课堂练习：
4-1判定下列二次型函数的正定性
（1）313221232221242113x x x x x x x x x Q --+---=
123112321233()(32)(211)Q x x x x x x x x x x x x =-+-+--+---，
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=1121231111P。