一元函数极限与连续知识(框架)
一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质
一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质一元函数是数学中的基础概念之一，它在很多数学分支中都有广泛的应用。
了解一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质对于理解数学的发展和应用都具有重要的意义。
本文将介绍一元函数的极限以及连续性函数的局部与整体性质。
1. 一元函数的极限一元函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
在数学中，一般使用极限符号lim来表示。
一元函数的极限可以分为左极限和右极限。
当自变量趋近于特定值时，从左侧靠近时的极限为左极限，从右侧靠近时的极限为右极限。
2. 连续性函数的局部性质连续性是一元函数的重要性质之一。
函数在某一点处连续，意味着函数在该点附近的取值都非常接近。
根据连续性函数的局部性质，如果一个函数在某一点处连续，则在该点的一个小邻域范围内，函数的取值也会非常接近。
3. 连续性函数的整体性质连续性函数的整体性质是指在整个定义域范围内，函数的取值变化连贯、平滑。
如果一个函数在其定义域的每一个点处都连续，那么这个函数就是一个连续性函数。
在数学中，可以使用极限的概念来判断一个函数是否连续。
如果一个函数在其定义域的每一个点处的左极限和右极限存在且相等，那么这个函数就是一个连续性函数。
4. 极限与连续性函数的关系极限与连续性函数密切相关。
一元函数的连续性可以通过极限的存在与否来判断。
如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么该函数在该点处连续。
反之，如果一个函数在某一点的极限不存在或与该点的函数值不相等，那么该函数在该点处不连续。
总结起来，一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质是数学中重要的概念和性质。
通过研究一元函数的极限，我们可以了解到函数在自变量趋近于某个特定值时的取值情况。
而连续性函数的局部与整体性质则使我们能够判断函数在某一点处的连续性。
在实际应用中，我们可利用这些性质解决各种与数学相关的问题。
通过对一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的学习与探究，我们可以深入了解数学的基本概念与性质，为今后的数学学习打下牢固的基础。
《高等数学一课件——第二章 一元函数的极限与连续》
四则运算法则
加减乘除法则让我们能够在计 算极限时更加灵活和高效。
复合函数法则
学习如何计算由多个函数构成 的复合函数的极限。
连续函数法则
利用连续函数的性质求解极限 问题。
极限存在定理
极限存在定理是我们研究极限时常用的工具，它能够帮助我们确定函数极限的存在与计算。
夹逼定理
掌握夹逼定理的原理和应用，用于计算复杂函数的极限。
极限的定义与性质
探索极限的定义，了解极限的性质及其应用。
左极限和右极限
学习左极限和右极限的概念和计算方法。
极限的存在准则
掌握判断极限是否存在的准则和方法。
无穷小和无穷大
理解无穷小与无穷大的概念及其在极限计算中的应用。
极限的运算法则
了解极限运算法则对于处理复杂的极限计算非常有帮助。运用这些法则，可以简化极限的求解过程。
连续函数的运算法则
探索连续函数的运算法则和 推论。
介值定理和零点定理
介值定理和零点定理是函数连续性的重要应用，它们能够帮助我们更好地理解函数曲线和解决实 际问题。
1
介值定理
了解介值定理的原理和应用，解决函数连续性相关问题。
2
零点定理
掌握零点定理的思想和技巧，寻找函数方程的解。
总结与回顾
本课件回顾了一元函数的极限与连续的重要概念和性质，希望能够为学习者 提供全面和深入的理解，并进一步激发对数学的兴趣和热爱。
Stolz定理
学习Stolz定理的使用方法，解决极限问题时提供新的思路。
L'Hopital法则
探索L'Hopital法则在计算极限时的作用和适用条件。
一元函数的连续性
连续性是函数理论中非常重要的概念，它揭示了函数曲线的稳定性与变化规律。
一元函数中的极限与连续性
一元函数中的极限与连续性在学习高中数学的时候，我们曾经学过一元函数的极限和连续性。
这两个概念对于后续的学习和应用有着至关重要的作用。
在这篇文章中，我们就来深入探讨一元函数中的极限与连续性。
一、极限的定义首先我们来了解一下什么是“极限”。
在数学中，极限是一个无限逼近的过程。
通过逼近，可以得到一个数或者一个函数的极限值。
当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也将趋近于一个特定的值。
这个特定的值就是“极限”。
二、极限的性质接下来我们来看一下一元函数的极限有哪些性质。
1. 极限的唯一性在一元函数中，一个函数只能有一个极限。
如果存在两个不同的极限，那么这个函数在这个点就不存在极限。
2. 极限的局部有界性如果函数在一个点存在极限，那么这个点的邻域内函数的取值是有界的。
3. 夹逼定理夹逼定理是一元函数的极限中比较重要的一个定理。
如果函数f(x)在点x0的左侧存在一个函数g(x)，在点x0的右侧存在一个函数h(x)，并且g(x) <= f(x) <= h(x)，那么当x趋近于x0时，g(x)和h(x)的极限值都是L，那么f(x)在x0处的极限也是L。
4. 无穷小与无穷大当x趋近于无穷大或者无穷小的时候，函数f(x)的值可能趋近于0或者正无穷或者负无穷。
这些数被称为无穷小或者无穷大。
如果一个函数在x趋近于某一点时的极限是一个无穷大或者无穷小，那么这个点就被称为函数的瑕点。
三、连续性的定义接下来我们来了解一下一元函数的连续性。
在数学中，函数在某个点处连续，就是指这个点的极限存在并且等于函数在这个点的取值。
四、连续性的性质现在我们来了解一下一元函数的连续性有哪些性质。
1. 极限的连续性如果一个函数在某个点处连续，那么这个点的极限也一定存在。
反之，如果一个点的极限存在，那么这个点不一定连续。
2. 介值定理介值定理是连续性中的一个重要定理。
如果f(x)在[a,b]上连续，且f(a)和f(b)的符号不同，那么在(a,b)上一定存在一点c，使得f(c)=0。
一元函数极限与连续,可导的定义归纳
一元函数极限与连续,可导的定义归纳一、 函数在x 趋近于0x 时，单侧极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个左邻域00(,)x x ρ-有定义(0)ρ>。
如果存在实数B ，对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ-<-<时，成立()f x B ε-<则称B 是函数()y f x =在点0x 处的左极限，记为0lim ()()x x f x f x B --→==. 类似地，如果函数()y f x =在点0x 的某个右邻域00(,)x x ρ+有定义(0)ρ>.并且存在实数C ，对于任意给定的对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ<-<时，成立()f x C ε-<则称C 是函数()y f x =在点0x 处的右极限，记为0lim ()()x x f x f x C ++→==.二、 函数在x 趋近于0x 时的极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个去心邻域有定义，即存在0ρ>使00(,)\{}f U x x D ρ⊂.如果存在实数A ，对于任意的0ε>,可以找到一个δ(0)δρ<<,使得当00x x δ<-<时，成立()f x A ε-<则称A 是函数()y f x =在点0x 处的极限，记为lim ()x x f x A →=.或()f x A → 0()x x →注：在x 趋近于0x 时函数极限：0lim ()x x f x A →=的定义中，函数必须要满足自变量x 不管是从左边还是从右边趋近于0x ，函数值y 最后都趋近于A ，也就是当lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==，才有 0lim ()x x f x A →=用文字来表述：左极限与右极限同时存在并相等（等于A ），才能说函数存在极限，并且极限为A .我们把这个结论说得强一点：左右极限同时存在并相等是函数在x 趋近于0x 时有极限的充分必要条件。
(整理)《数学分析》第二章 极限与连续.
第二章 极限与连续一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点（一）重点：极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以及有界闭集上连续函数的性质.（二）难点运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性质以及一致连续性.三、本章的基本知识要点本章符号说明：:∀ 每一个或任给的；:∃ 至少有一个或存在；⇔：充分必要条件. （一）数列极限1. 数列极限定义lim 0,0,n n a a N ε→∞=⇔∀>∃>当n N >时，有.n a a ε-<注：定义中的N 可不取整数，n a a ε-<可以是.n a a ε-≤定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性.数列极限的等价定义:(1) 0,0,N ε∀>∃> 当n N >时有,n a a k ε-< 其中k 为某个正数. (2) 0,0,c N ε∀<<∃> 当n N >时有,n a a k ε-<其中c 与k 为某个正数. 2. 收敛数列的性质(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限. (2) 有界性定理：收敛的数列必定有界.(3) 保号性定理：若lim n n a a →∞=,则对任意(),r a r a <>或 ,N n N ∃∀>, 有n a r > (或n a r <).(4) 保不等式性定理：若lim ,lim n n n n a b →∞→∞都存在，且,n n N n N a b ∃∀>≤有，则lim lim .n n n n a b →∞→∞≤(5) 迫敛性定理：设lim lim .n n n n a b a →∞→∞== 数列{}n c 满足：,N n N ∃∀>有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim .n n c a →∞=(6) 四则运算法则：lim ,lim ,i)lim();ii)lim ;iii)lim,0,0.n n n n n n n n n n n n n na ab b a b a b a b a b a ab b b b →∞→∞→∞→∞→∞==±=±⋅=⋅=≠≠设则其中(7) 与子列的关系：数列{}n a 收敛⇔数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛. 3. 数列极限存在的条件 递增数列：121n n a a a a +≤≤≤≤； 递减数列：121n n a a a a +≥≥≥≥.(1) 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.(2) 柯西收敛准则：0,,,,||.n m N n m N a a εε∀>∃∃∀>-<（二）函数极限1. 函数极限和非正常极限概念 函数极限定义(通过对比加以理解)：(1) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→+∞=⇔∀>∃>>-<当时恒有(2) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→-∞=⇔∀>∃><--<当时恒有(3) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→∞=⇔∀>∃>>-<当时恒有(4) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<当时恒有(5) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε-→=⇔∀>∃>-<-<-<当时恒有 (6) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε+→=⇔∀>∃><-<-<当时恒有 上述左极限0lim ()x x f x -→和右极限0lim ()x x f x +→也可以写成0(0)f x -和0(0)f x +. 定理：000lim ()(0)(0).x x f x A f x f x A →=⇔-=+=非正常极限定义（只列出2个，其余可以类似写出）：(1) 0lim ()x x f x →=-∞00,0,0||,().M x x f x M δδ⇔∀>∃><-<<-当时恒有(2) lim ()x f x →∞=+∞0,0,||,().M k x k f x M ⇔∀>∃>>>当时恒有2. 函数极限的基本性质下面只以0lim ()x x f x →为代表来说明，其余类型极限的性质可以类似写出.(1) 唯一性定理：若0lim ()x x f x →存在,则极限唯一.(2) 局部有界性定理：若0lim ()x x f x →存在，则()f x 在0x 的某个空心邻域00()U x 内有界.(3) 局部保号性定理：若0lim (),x x f x A →=则r A ∀<(或r A >),0,δ∃>当00(,)x U x δ∈时，有()f x r >(或()f x r <).(4)保不等性定理:设0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域00(;)U x δ内有()(),f xg x ≤则0lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤(5) 迫敛性定理：设00lim ()lim (), x x x x f x g x A →→==且在某邻域00(;)U x δ内有()() ()f x h x g x ≤≤ 则0lim ().x x h x A →=(6) 四则运算法则：lim (),lim (),(1)lim(()());(2)lim ()();()(3)lim,0.()x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x A B f x g x A B f x AB g x B→→→→→==±=±⋅=⋅=≠设则其中3.函数极限存在的条件(1) 归结原则（也称为海涅定理）：设()f x 在00(;)U x δ内有定义. 0lim ()x x f x →存在⇔任意含于邻域00(;)U x δ且以0x 为极限的数列{},n x 极限lim ()n n f x →∞存在且相等.(2) 柯西准则：设函数()f x 在邻域00(;')U x δ内有定义. 0lim ()x x f x →存在⇔0,ε∀>∃正数('),δδ<00',''(;),x x U x δ∀∈有|(')('')|.f x f x ε-<4. 两个重要极限(1) 0sin lim1.x xx→=(2) 1lim(1).xx e x→∞+=由归结原则得1lim(1).nn e n→∞+=5. 无穷小量与无穷大量 (1) 无穷小量定义：i) 设函数()f x 在某邻域00(;)U x δ内有定义. 若0lim ()0x x f x →=， 则称()f x 为当0x x →时的无穷小量.ii) 设函数()g x 在某邻域00(;)U x δ内有界，则称()g x 为当0x x →时的有界量.由无穷小量的定义可知，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．(2) 定理：0lim ()()(),x x f x A f x A x α→=⇔=+其中()x α是当0x x →时的无穷小.(3) 无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢． 若无穷小量f 与g 满足()()lim0x x f x g x →=，则称当0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，g 为f 的低阶无穷小量，记作()()()f x g x ο=（0x x →）．特别，f 为当0x x →时的无穷小量，记作()()1f x ο=（0x x →）．若存在正数K 和L ，使得在某邻域()00U x 上有()()f x K Lg x ≤≤，则称无穷小量f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量．特别当()lim0()x x f x c g x →=≠时，f 与g 必为同阶无穷小量． 若无穷小量f 与g 满足()()f x Lg x ≤，()00x U x ∈，则记作()()()0( ).f x O g x x x =→ 特别，若f 在某()00Ux 内有界，则记为()()1f x O =（0x x →）．甚至当()()()0( )f x o g x x x =→ 时，也有()()()f x O g x =（0x x →）．若无穷小量f 与g 满足()lim1()x x f x g x →=，则称f 与g 为当0x x → 时的等价无穷小量，记作()()~f x g x （0x x →）．应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当0x → 时，1sinx x和2x 都是无穷小量，但它们的比 21sinx x x =11sin x x 或 21sin x x x =1sin x x当0x → 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较． 下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用． 定理： 设函数f ，g ，h 在邻域()00Ux 内有定义，且有()()~f x g x （0x x →）．ⅰ) 若()()0lim x x f x h x A →=，则()()0lim ;x x g x h x A →= ⅱ) 若()()limx x h x B f x →=，则 ()()0lim .x x h x B g x →=(4) 无穷大量定义：对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞、+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称无穷大量．定理：ⅰ)设f 在()00U x 内有定义且不等于0．若f 为当0x x →时的无穷小量，则1f为当0x x →时的无穷大量．ⅱ)若g 为当0x x →时的无穷大量，则1g为当0x x →时的无穷小量． 由上述定理，对无穷大量的讨论可归结为无穷小量的研究．（三）一元函数的连续性1. 函数在点0x 连续的定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若()()00lim ,x x f x f x →= 则称函数()f x 在0x 点连续.若记()()00,x x x y f x f x ∆=-∆=- ，则()()00lim x x f x f x →= 的等价叙述为lim 0x y ∆→∆=，于是函数()f x 在0x 点连续的定义又可以写成:定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若0lim 0x y ∆→∆=,则称()f x 在0x 点连续.改用εσ-语言叙述，则()f x 在0x 点连续可以定义为：定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若对0ε∀>，0δ∃>使得当0x x δ-<时，都有()()0f x f x ε-<， 则称()f x 在0x 点连续.2. 函数在点0x 左、右连续的定义相应于在0x 的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：定义: 设函数()f x 在0x 的某左（右）邻域内有定义. 若()()00lim x x f x f x -→=（或()()00lim x x f x f x +→=）, 则称()f x 在0x 左（或右）连续.定理: 函数()f x 在0x 点连续⇔()f x 在0x 点既左连续又右连续. 与上述定理等价的否定叙述：定理: 函数()f x 在0x 点不连续⇔()f x 在0x 点或不左连续或不右连续. 3. 函数的间断点（不连续点）及其分类 定义：设函数f 在某领域()00Ux 内有定义. 若f 在点0x 无定义，或在点0x 有定义但不连续，则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点.由连续的定义知，函数()f x 在0x 点不连续必出现如下3种情形之一:i ）()0lim x x f x A →=，而f 在点0x 无定义，或有定义但()()00lim x x f x A f x →=≠；ii ） 左、右极限都存在，但不相等； iii ） 左、右极限至少一个不存在.据此，函数()f x 的间断点可作如下分类： i ） 可去间断点若()0lim x x f x A →=（存在），而f 在点0x 无定义，或有定义但()()00lim x x f x A f x →=≠，则称0x 为可去间断点（或可去不连续点）.ii ）跳跃间断点若0)(x x f 在点的左、右极限都存在，但不相等（即0(0)f x +与0(0)f x - 均存在，但00(0)(0)f x f x +≠-），则称0x 为()f x 的跳跃间断点.注：可去间断点与跳跃间断点统称)(x f 的第一类间断点. iii ） 第二类间断点若0(0)f x +与0(0)f x -至少有一个不存在，则称0x 为)(x f 的第二类间断点. 定义: 若函数)(x f 在区间I 上每一点都连续，则称)(x f 为I 上的连续函数. 对于区间端点上的连续性，则按左、右连续来确定.定义: 如果)(x f 在区间[],a b 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数)(x f 在区间[],a b 上按段连续.4. 连续函数的性质局部有界性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界. 局部保号性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，且()0f x α>(或()0f x β<)，则对'αα∀<(或'ββ>)，∃某邻域()0,U x 当()0x U x ∈时，有()'f x α>(或()'f x β<).四则运算性质： 若函数()(),f x g x 在区间I 上有定义，且都在0x I ∈连续，则()()()()()(),,f x g x f x g x f x g x ±（()00g x ≠）在0x 点连续.复合函数连续性定理: 若函数()f x 在0x 点连续，()g u 在0u 点连续，()00u f x =，则复合函数()()g f x 在0x 点连续.定义：设()f x 为定义在数集D 上的函数. 若∃0x D ∈，使得对∀x D ∈都有()()0f x f x ≥(或()()0f x f x ≤)，则称在D 上有最大值（或最小值），称0x 为f 在D 上的最大值点（或最小值点），并称()0f x 为f 在D 上的最大值（或最小值）.闭区间上连续函数的基本性质:最大最小值定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有最大值与最小值.有界性推论：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有界. 介值性定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠，μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<）,则在开区间(),a b 内至少存在一点0x ，使得()0.f x μ=根的存在定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则至少存在一点()0,x a b ∈ 使得()00,f x =即()0f x =在(),a b 内至少有一个实根.反函数的连续性定理: 若连续函数()f x 在闭区间[],a b 上严格递增（递减），则其反函数()1f y -在相应的定义域()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦（或()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦）上递增（递减）且连续.5. 一致连续性一致连续性定义：设函数()f x 在区间I 上有定义. 若0,ε∀>()0δδε∃=>， 当12,x x I ∈且12x x δ-<时，有()()12,f x f x ε-< 则称()f x 在区间I 上一致连续.注意：这里的δ只与0ε>有关，与(1,2)i x i =的位置无关.区间I 上的连续函数()f x ⇔1,x I ∀∈0,ε∀>()1'',0,x δδε∃=> 当2x I ∈且12'x x δ-<时，有()()12.f x f x ε-< 这就是说，连续函数里的'δ与预先取定的点1x 的位置有关，区间I 上的无穷多个点，对应无穷多个'δ，这无穷多个'δ的下确界可能为零，也可能大于零. 如果这无穷多个'δ的下确界为零，则不存在对I 上所有点都适合的公共()0δδε=>，这时()f x 在I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个'δ的下确界大于零，则必存在对I 上每一点都适用的公共()0δδε=>，如我们可取inf{'},δδ=则对I 上任意两点12,x x I ∈，当12x x δ-<时，便有()()12.f x f x ε-< 这种情况，()f x 在I 上连续就成为一致连续.一致连续性定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续. 定理：一切基本初等函数都是定义域上的连续函数.因为任何一个初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,故任何初等函数都是定义域上的连续函数.（四）多元函数的极限与连续1．点列与二元函数的极限 (1) 点列极限与二重极限设{}n x 是X 轴上的一个点列，{}n y 是Y 轴上的一个点列，则以n x ，n y 为坐标的所有点(){},nnx y 组成平面上的一个点列记作{}nP .又设0P 是平面上的一点，坐标是()00,x y .若0,ε∀>∃正整数N ，当n N >时，有()0,n P P ρε=<，就称{}n P 收敛于0P ，记作0lim .n n P P →∞= 点列收敛的柯西准则：平面点列{}n P 收敛⇔0,0,N ε∀>∃>当N n >时，对一切正整数k ，都有(),.n n k P P ρε+<定义： 设f 为定义在2D R ⊂上的二元函数，0P 为的D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若0,ε∀>∃0,δ> 使得当()D P UP oδ;0∈时，都有(),ε<-A P f 则称f在D 上当0P P →时以A 为极限，记作()0lim .P P P Df P A →∈=在对D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作()0lim .P P f P A →= 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()0lim P P f P A →=也常写作()0(,)(,)lim ,.x y x y f x y A →=定理：()0lim P P P Df P A →∈=⇔对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有()0lim P P P Ef P A →∈=.推论：i) 设1E D ⊂,0P 是1E 的聚点. 若极限()01lim P P P E f P →∈不存在,则极限()0lim P P P Df P →∈也不存在.ii) 设12,E E D ⊂, 0P 是1E 和2E 的聚点. 若存在极限()011lim P P P E f P A →∈=,()022lim P P P E f P A →∈=, 但12A A ≠, 则极限()0lim P P P Df P →∈不存在.iii) 极限()0lim P P P Df P →∈存在⇔对D 内任一点列{}n P , 0n PP →但0n P P ≠,数列(){}nf P 收敛.定义: 设D 为二元函数f 的定义域，),(000y x P 是D 的一个聚点. 若对0,M ∀>总存在0P 的一个δ邻域()00;U P δ，使得当()()0,;P x y U P D δ∈时,都有()f P M >，则称f 在D 上当0P P →时，存在非正常极限+∞，记作()()()00,,lim,.x y x y f x y →=+∞ 类似定义()()()00,,lim,x y x y f x y →=-∞和()()()00,,lim,.x y x y f x y →=∞(2) 累次极限 在前面研究的极限),(lim),(),(00y x f y x y x →中，两个自变量y x ,同时以任何方式趋于00,,x y这种极限也称为二重极限. 这一段考察x 与y 依一定的先后顺序相继趋于0x 与0y 时f 的极限，这种极限称为累次极限．定义：设,,x y E E R ⊂ 0x 是x E 的聚点，0y 是y E 的聚点，二元函数f 在集合x y D E E =⨯上有定义. 若对每一个0,y y E y y ≠∈，存在极限),,(lim 0y x f xE x x x ∈→由于此极限一般与y 有关，因此记作()),,(lim 0y x f y xE x x x ∈→=ϕ而且进一步存在极限(),lim 0y L yE y y y ϕ∈→=则称此极限为二元函数f 先对()0x x →后对()0y y →的累次极限，并记作 ),(lim lim 00y x f L xy E x x x E y y y ∈→∈→=或简记作).,(lim lim 00y x f L x x y y →→=类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限 ).,(lim lim 00y x f K x x y y →→=注：i) 两个累次极限存在时,可能不相等. 例如:设yx y x y x y x f +++-=22),(，它关于原点的两个累次极限分别为.1)1(lim lim limlim 0202200-=-=-=+++-→→→→y yyy y x y x y x y y x y 与.1)1(lim lim limlim 0202200=+=-=+++-→→→→x xxx y x y x y x x x y x ii) 两个累次极限中的一个存在时,另一个可能不存在.例如函数1(,)sin f x y x y=在点(0,0)的情形.iii) 二重极限存在时,两个累次极限可能不存在（见例题）.iV) 两个累次极限存在(甚至相等)，二重极限可能不存在（见例题）.综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系. 但有以下确定关系： 定理：若二重极限()()()00,,lim,x y x y f x y →和累次极限()00lim lim ,x x y y f x y →→ (或另一次序)都存在, 则二者必相等.推论：i) 二重极限和两个累次极限三者都存在时，三者相等. ii) 两个累次极限存在但不相等时，二重极限不存在. 3. 二元函数的连续性 (1) 连续性概念定义： 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数. 0P D ∈（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点）. 若0,0,εδ∀>∃>只要()，；D P U P δ0∈就有()()ε<-0P f P f ，则称f 关于集合D 在点0P 连续. 在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续.设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量. 和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0lim),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x 时，f 在点0P 连续.如果在全增量中取0=∆x 或0=∆y ，则相应的函数增量称为偏增量，记作 ()00,y x f x ∆()()0000,,y x f y x x f -∆+=， ()00,y x f y ∆()().,,0000y x f y y x f -∆+=一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.若一个偏增量的极限为零，例如()000lim ,0,x x f x y ∆→∆=它表示在f 的两个自变量中，当固定0y y =时，()0,y x f 作为x 的一元函数0x 在连续. 同理，若().0,lim 000=∆→∆y x f y y 则表示一元函数()y x f ,0在0y 连续.容易证明，当f 在其定义域的内点()00,y x 连续时，()0,y x f 在0x 和()y x f ,0在0y 都连续. 但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.(2) 连续函数的性质局部保号性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，并且存在实数A (或B )使得0()f P A >(或0()f P B <)，则存在0P 的邻域0(;)U P δ，当0(;)P U P δ∈时有()f P A >(或()f P B <).局部有界性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，则f 在0P 的某个邻域0(;)U P δ上有界.四则运算性质: 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数. 复合函数的连续性定理：设函数()y x u ,ϕ=和()y x v ,φ=在xy 平面上点()000,y x P 的某邻域内有定义，并在点0P 连续；函数()v u f ,在uv 平面上点()000,v u Q 的某邻域内有定义，并在点0Q 连续，其中()000,y x u ϕ=，()000,y x v φ=.则复合函数()[]),(),,(,y x y x f y x g φϕ=在点0P 也连续．(3) 二元初等函数及其连续性与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.4. 有界闭区域上连续函数的性质(1) 有界性与最值性定理： 若函数f 在有界闭域2R D ⊂上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.(2) 一致连续性： 若函数f 在有界闭域2R D ⊂上连续，则f 在D 上一致连续， 即0,0,εδ∀>∃>使得,,P Q D ∀∈只要(),,P Q ρδ<就有()()ε<-Q f P f .(3) 介值性与零点定理：设函数f 在区域2R D ⊂连续，若21,P P 为D 中任意两点，且()()21P f P f <，则对任何满足不等式()()21P f P f <<μ的实数μ，存在点D P ∈0，使得()μ=0P f .四、基本例题解题点击【例1】按N ε-定义证明!lim0.nn n n →∞=【提示】在用N ε-定义证明极限时,先写出定义,运用放缩法，找到合适的N 即可． 【证明】0,ε∀> 1,N ε∃=当n N >时，有!110.n n n n Nε-≤<= 因此 !lim 0.nn n n →∞= ■【例2】求极限111lim().1223(1)n n n →∞++⋅⋅+【提示】111.(1)1n n n n =-++【解】111lim()1223(1)n n n →∞++⋅⋅+11111lim[(1)()()]2231n n n →∞=-+-++-+ 1lim(1) 1.1n n →∞=-=+ ■【例3】求极限n →∞+【提示】用极限的迫敛性定理.【解21,nn<++<=+且lim1,lim11,n nn →∞→∞===由极限的迫敛性定理，得 1.n →∞+= ■【例4】应用柯西收敛准则，证明数列{}n a 收敛，其中2sin1sin 2sin .222n nna =+++【提示】利用柯西收敛准则和三角函数有界性. 【证明】0ε∀>，21log ,N ε∃=,n m N ∀>> 有()()12sin 1sin 2sin 222n m m m nm m na a ++++-=+++12111111121222212n m m m n m -+++-≤+++=⋅- 11111.122212m mN ε+<⋅=<=-故由柯西收敛准则知数列{}n a 收敛. ■【例5】计算.n nπ【提示】定义函数(),f x nπ= 再用极限四则运算、归结原则和等价无穷小量求解.【解】记函数(),f x xπ=则有sin limlim )0.x x x xxπππ→+∞==故由归结原则得 l i s i n 0.n nπ=■【例6】设()10111011m m m mn n n na x a x a x a f xb x b x b x b ----++++=++++,000,0,a b m n ≠≠≤，求()lim x f x →+∞.【提示】极限的四则运算法则和12lim lim lim 0.n x x x xx x ---→+∞→+∞→+∞====【解】因()10111011lim lim m n m n nm n n x x n na x a x a x f xb b x b x b x -------→+∞→+∞-+++=++++, 12lim lim lim 0,n x x x x x x ---→+∞→+∞→+∞====当m n ≤时,12lim lim lim 0;m n m n n x x x xx x -----→+∞→+∞→+∞====当m n =时，lim 1m nx x-→+∞=； 当m n <时，lim 0.m nx x-→+∞=故由极限的四则运算法则，有()00,;lim 0,.x a m n b f x m n →+∞⎧=⎪=⎨⎪<⎩■【例7】设()()00,lim x x f x f x A →>=.证明limx x →= 其中2n ≥为整数.【提示】当0A =时，直接利用函数极限定义证明.当0A >分子有理化，然后利用放缩法证明.【证明】因为()0f x >，故()0lim 0x x f x A →=≥.若0A =，由()0lim x x f x A →=，则0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时，有()().f x A f xε-=<=<即0lim 0x x →==.若0A >，由()0lim x x f x A →=，则0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时，有().f x A ε-<从而有2n nA-=++()1.f x A ε<-<故lim x x →=■【例8】求极限0x → 【提示】利用重要极限0sin lim1x xx→=及函数极限的运算法则.【解】 当11x -<<2.2x ==故22002lim lim 1cos 2sin 2x x x x x →→=-⎛⎫⎪⎝⎭222220sin 22lim[]11sin 22x x xx x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭ ■【例9】证明：若f在点0x 连续，则f 与2f 也在0x 连续. 又问：若f 或2f 在I 上连续，那么f 在I 上是否必连续？【提示】要证2f 连续，证2ff f =⋅即可，要证f连续，证f =f 或2f 连续不一定有f连续.【证明】由()f x 在0x x =连续，得()()00lim x x f x f x →=，从而()()()()0220lim lim lim ,x x x x x xfx f x f x f x →→→=⋅=再由例7的结论知 ()()00lim lim,x x x x f x f x →→===故f 与2f 也在0x x =连续.构造函数1(0)(),1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 则,x R ∀∈有2()1,()1,f x f x == 即2(),()f x f x 在R 上连续，但()f x 在0x =不连续，故()f x 在R 上不连续. 因此，由f 或2f 在I 上连续不能断定f在I 上连续. ■【例10】 设f 在[],a b 上连续，[]12,,,n x x x a b ∈.证明：存在[],a b ξ∈，使得()()()()121n ff x f x f x n ξ=++⎡⎤⎣⎦.【提示】f 在[],a b 上连续，则存在最大值和最小值，利用连续函数介值性定理. 【证明】设()()()(){}12max ,,,,i n f x f x f x f x =()()()(){}12min ,,.j n f x f x f x f x = 不失一般性，设.i j x x <（1）若()(),i j f x f x =则()()()12n f x f x f x ===，此时有()()()()121,k n f x f x f x f x n=+++⎡⎤⎣⎦ 1,2,,.k n =取k x ξ=即可. （2）若()()i j f x f x ≠，则()()()()()121.j n i f x f x f x f x f x n<+++<⎡⎤⎣⎦由连续函数介值性定理知，[](,),,i j x x a b ξ∃∈⊂使得 ()()()()121.n ff x f x f x n ξ=+++⎡⎤⎣⎦由此本题得证. ■五、扩展例题解题点击【例1】 设1,m a a 为m 个正数. 证明：{}12max ,,.m n a a a =【提示】运用迫敛性定理和1(0).n m =>【证明】设{}12max ,,,m a a a A = 则有A ≤≤因lim ,lim ,n n A A A →∞→∞==故由极限的迫敛性定理，得{}12max ,,.m n a a a =【延伸】：设<<1,2,...)i a M n =0(. 试证明：{}sup .n n na =【提示】：与前面方法类似（运用 1.n =） ■【例2】设数列{}n a 满足：存在正数M ,对一切n 有21321.n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛.【提示】利用单调有界原理，柯西收敛准则及绝对值不等式证明.【证明】由,n A M ≤且11n n n n A A a a +--=-≥0,知{}n A 为单调有界数列. 由单调有界原理知{}n A 收敛.因{}n A 收敛，故由柯西收敛准则知，0,0,N ε∀>∃>当n m N ≥>时有.n m A A ε-< 而 ()()()1121n m n n n n m m a a a a a a a a ---+-=-+-++-1121n n n n m m a a a a a a ---+≤-+-++-.n m A A ε=-<由柯西收敛准则知{}n a 收敛，故{}n a 与{}n A 都收敛. ■【例3】设 1.a > 证明：lim 0.an n n a→∞=【提示】令a b =+1,利用二项式定理把分母na 展开，利用放缩法和基本例题中的例6. 【证明】令[]a 表示a 的整数部分，b a =-1,显然>b 0. 故[][]()110.1a a a nn n n n n a a b ++<≤=+ 当[]2n a >+时，()[][]221.na a nbc b +++>因此，[]()[][][]1122<.1a a na a nn n c bb ++++<+0因[][][]122lim 0,a a a n nn c b+++→∞= 故由迫敛性定理知，当1a >时，lim 0.an n n a→∞= ■【例4】计算1lim .xx x +→ （上海大学2001年考研试题） 【提示】先用数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭代替x ，猜测出极限的值，然后考虑用迫敛性定理. 【解】在区间()0,1内，10,xx x << 而0lim 0,x x +→= 故由迫敛性定理知，1lim 0.xx x +→= ■【例5】已知323lim 0.1x x x ax bx c x →+∞⎛⎫++---= ⎪+⎝⎭求,a b 与c 的值.【提示】此题中2ax bx c ++实际上就是331x x x +++的整式部分.【解】因323lim 0,1x x x ax bx c x →+∞⎛⎫++---= ⎪+⎝⎭故 ()()()()()3233223lim 113lim 0213lim 031x x x x x ax bx c x x x c ax b x x x x x b c a x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎛⎫++⎪--= ⎪+⎪⎝⎭⎪⎛⎫++⎪---= ⎪⎨ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎛⎫++⎪---= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩由(3)与极限四则运算法则，得：()323lim 1.1x x x a x x →+∞++==+把1a =代入(2)，得：()()3333lim lim 1.11x x x x x x b ax x x x x x →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫++++=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭同理，把1,1a b ==-代入(1)，得c =2. ■【例6】设lim n n a A →∞=（或∞+或∞-），则()121limn n a a a A n→∞+++=（或∞+或∞-）.问：反之是否成立？【提示】利用极限定义和绝对值不等式证明.【证明】由极限定义知，1>0,,N N ε+∀∃∈当1n N >时，有,n a A ε-<故当1n N >时，有1212nn a a a a a a nAA nn++++++--=112N a A a A a An-+-++-≤1112N N n a A a A a An++-+-++-+1121.N a A a A a An N nnε-+-++--≤+⋅ 记112N a A a A a A b -+-++-=，因lim0,n bn→∞= 故2N N +∃∈, 当2n N >时有.bnε< 取{}12max ,N N N =, 当n N >时，1212.na a a n Nb A nn nεεεε+++--≤+⋅<+= 因此 ()121lim.n n a a a A n→∞+++=∞+或∞-的情形可类似进行证明.反之，若()121lim n n a a a A n→∞+++=，则不能得出lim n n a A →∞=. 例如，取(1),n n a =-则()121lim0,n n a a a n →∞+++= 而limn n a →∞不存在; 取2121,n a n -≡- 20,n a = 则()121lim ,n n a a a n →∞+++=+∞ 而lim n n a →∞不存在；∞-的情形类似. ■【例7】设函数f 定义在(),a +∞上，f 在每一个有限区间内有界，并满足()()lim 1,x f x f x A →+∞+-= 则()lim.x f x A x→+∞= 【提示】运用极限的定义，由题设条件推出结论成立.【证明】由题设()()lim 1,x f x f x A →+∞+-= 则00,,x a ε∀>∃> 使得当0x x ≥时，有()()()1.1f x f x A ε+--<∀0,x x > 记[]00,,m x x k x x m =-=-- 则1,k ≤<0 于是0,x x m k =++因而有()()()()000f x f x f x k f x k x k m A A A x x m x x -++⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭ ()()()()0002f x f x k f x k x k m A A x m x x -++⎛⎫+≤-++ ⎪⎝⎭. 由(1)式可得()()0f x f x k m A x m -+⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()00111mi f xk i f x k i mA m=≤++-++--∑()()()001111.3m i f x k i f x k i A m m mεε==++-++--<⋅⋅=∑ 又由于()f x 在()0,1a x +上有界，则()0lim 0x f x k x →+∞+=及0lim 0x x kA x→+∞+=，于是1,x a ∃> 使得当1x x >时，有()()00;.4f x k x kA x xεε++<< 取{}01max ,,X x x = 于是当x X >时，由(2)、(3)与(4)便有()3.f x A xεεεε-≤++= 故 ()lim .x f x A x→+∞= ■【例8】设f 为区间I 上的单调函数，证明：若0x I ∈为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点.【提示】利用确界与极限关系，证明f 在0x 的左右极限均存在.【证明】若f 为区间I 上的单调增函数，取()00U ,x I ⊂ 且满足()0012U ,,,x x x x I ∀∈∃∈使得12,x x x <<则f 在()00U x 上为有界函数. 由()()()000U 0inf ,x x f x f x +∈+=()()()000U 0sup ,x x f x f x -∈-= 知道f 在0x 左、右极限均存在. 因此，0x 若为f 的间断点，则0x 必为f 的第一类间断点. 若f 为区间I 上的单调减函数，则令()(),g x f x =-则()g x 为I 上的单调增函数，从而()()()(){}()()000000U U 00inf sup ,x x x x f x g x f x f x ++∈∈+=-+=--= ()()()(){}()()000000U U 00supinf.x x x x f x g x f x f x --∈∈-=--=--=因此，结论也成立. ■【例9】设函数f 为区间I 上满足利谱希茨条件（Lipschitz ），即存在常数0,L >使得对于I 上的任意两点'x 与''x 都有()()''''''.f x f x L x x -≤- 证明：f 在I 上一致连续.【证明】0,ε∀> 取0,δε=> 则''',,x x I ∀∈ 且''',x x δ-< 有()()''''''.f x f x L x x L ε-≤-<故f 在I 上一致连续. ■【例10】设{}n a 是有界数列，且12,n n n a a b ++= 若lim n n b →∞存在，则lim n n a →∞也存在（北京大学2009年考研试题）.【证明】因{}n a 有界，故,M ∃ 使得,n ∀ 有.n a M ≤因lim n n b →∞存在（令其值为b ），故0,,N ε∀>∃ 当n N >时，有,n b b ε-< 即.n b b b εε<<+-因12,n n n a a b ++= 故有12.n n b a a b εε+<+<+-下面用反证法证明11.33n b a b εε<<-2+2 反设1,3n a b ε≥+2 由12n n a a b ε++<+得 1123n b a b εε+⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭+2，即113.3n a b ε+<-因()2112,,n n n a a b b b εε++++=∈+- 故有2123,3n b a b εε+⎛⎫-+> ⎪⎝⎭-即215.3n a b ε+>+依此类推，于是得()22121.3k n k a b ε+>+-因此，当k 充分大时，有2.n k a M +>（例如当21log 12M b k ε⎛+⎫+⎪⎝⎭>时） 这与{}n a 为有界数列矛盾. 于是1.3n a b ε<+2 同理可证1.3n a b ε>-2 因此，0,,N ε∀>∃当n N >时有1.3n a b ε-<2 故{}n a 收敛. ■六、本章训练题提示点评 【训练题1】证明函数()1cosxf x e x=在()01，内非一致连续.（云南大学2004年考研试题） 【提示】利用非一致连续的定义证明. 【证明】0121110,0,,,222x x k k εδπππ∃=>∀>∃==+当正整数k 充分大时有12||x x δ-<（例如当12k δπ>时），故有 12101211coscos 1.xx x e e e x x ε-=≥= 因此，命题成立. ■【训练题2】已知()112,xx x xna a a f x n ⎛⎫+++=⎪⎝⎭其中123,,,n a a a a 为n 个正数.求（1）()0lim x f x →；（2）()lim x f x →+∞与 ()lim .x f x →-∞（2004年云南大学考研试题）【解】（1）因12112200ln ln ln lim lim x x x x xxn n nx x a a a n a a a a a a nx n→→+++-+++=（洛比达法则）()12ln .n a a a n=故()12121200lim lim 1x x x n x x x n a a a nnn xx x x a a a n n x x a a a n f x n +++-+++-→→⎡⎤⎛⎫+++-⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1212120ln limlim x x xx x xn n n x a a a a a a na a a n nxnxnx eee→+++-+++-→====（2）由（1）知x =0是()f x 的可去间断点. 由初等函数在其定义域内的连续性知，()()()()lim ln lim ln lim ,lim ,x x f x f x x x f x e f x e →+∞→-∞→+∞→-∞==而 ()121lim ln lim ln,x xxnx x a a a f x x n →+∞→+∞+++=⋅()121lim ln lim ln .x xx nx x a a a f x x n→-∞→-∞+++=⋅1 若{}max 1,i ia =则当0x >时，12.x xx n a a a n <+++≤1故()lim ln 0,x f x →+∞= 即()lim 1.x f x →+∞=2 若{}min 1,i ia = 则当0x <时，12.x x xn a a a n <+++≤1故()lim ln 0,x f x →-∞= 即()lim 1.x f x →-∞=3 若{}max 1,i i a ≠则12lnx xxna a a n+++为x →+∞时的无穷大量.故由洛比达法则得，12112212ln ln ln 1lim ln lim x xxx x xnn nx x x x x na a a a a a a a a x na a a →+∞→+∞++++++⋅=+++{}()ln max .i ia =因此，(){}lim max .i x if x a →+∞=4 若{}min 1,i i a ≠则12lnx xxna a a n+++为x →-∞时的无穷大量.故由洛比达法则得，12112212ln ln ln 1lim ln lim x xxx x xnn nx x x x x na a a a a a a a a x na a a →-∞→-∞++++++⋅=+++ {}()ln min .i ia =因此，(){}lim min .i x if x a →-∞=综合,2,3,41知，(){}(){}lim max ,lim min .i i x x iif x a f x a →+∞→-∞== ■【训练题3】设()2122lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+是连续函数，求a ,b 的值.(福建师范大学2006年考研试题)【提示】利用极限的四则运算法则和连续函数的定义.【解】当1x >时，()23222111lim;1n n n n a bx x f x x x x--→∞-++==+当1x <时，()2122lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+2;ax bx =+ 当1x =-时，()()111;2f a b -=-+- 当1x =时，()()111.2f a b =++ 因()f x 在1x =处连续，故()()()111,f f f -+==即 ()111;2a b a b +==++ 因()f x 在1x =-处连续，故()()()111,f f f -+-=-=-即()111.2a b a b -=-=-+- 解方程组可得 0a =, 1.b = ■【训练题4】求α和,β 使得当x →+∞时，量.x βα（上海大学2002年考研试题）.【解】0limlim x t x βα+→+∞→+=122lim .t tβα+→-=在右领域()()0;1U δδ+<内，()211,2t t ο=++()211.2t t ο=-+当11,2αβ==-时，lim 1.x →+∞= 即当x →+∞12.x - ■【训练题5】设()f x 在(),a b 上连续，且f 是一对一（即()12,,x x a b ∀∈且12x x ≠时，有()()12f x f x ≠），证明：()f x 在(),a b 上严格单调. 【证明】反证法. 反设()f x 在(),a b 上非严格单调，即()123,,,x x x a b ∃∈且123,x x x <<有()()()()1232,.f x f x f x f x << 或()()()()1232,.f x f x f x f x >>（因f 是一对一，故不能取等号） 若()()()()1232,f x f x f x f x <<成立， 取()()(){}213max ,,2f x f x f x M +=显然()2M f x <且()()13,.M f x M f x >>在[]12,x x 上()f x 连续，由介值性定理知，()412,,x x x ∃∈ 使得()4,f x M =同理()523,,x x x ∃∈ 使得()5.f x M =于是()()45,f x f x = 这与f 在(),a b 上一对一矛盾.因此，当123x x x <<时，()()12f x f x <与()()32f x f x <不能同时成立. 同理可证，当123x x x >>时，()()12f x f x >与()()32f x f x >不能同时成立. 综上所述知，()f x 在(),a b 上严格单调. ■【训练题6】求202cos 2lim.tan sin x x x e x x x→+--（华南理工大学2004年考研试题） 【解】因()()2tan sin tan 1cos 0,2x x x x x x x -=-⋅→ 而()()22232cos 21212.2xx x e x x x x ο⎛⎫+-=++--+ ⎪⎝⎭（由泰勒公式）于是233002cos 2lim lim 2.tan sin 2x x x x e xx x xx →→+-==- ■【训练题7】设11x >>, 11nn na x x x ++=+, 1,2,n =, 试证{}n x 收敛,并求lim n n x →∞, (华南理工大学2004考研试题).【解】 因11x >>, 故2121101a xx x x --=<+, 即21x x <.因121111111a x ax x x +-==+<+=++故21x <<因 222211111a x a x x x +-==+>=++故3x >同理4x <, ,因此得21k x ->, 211,2,)k x k <<=.因213112()012a x x x a x --=<++, 故31x x <.因224222()012a x x x a x --=>++, 故42x x >.因22212121212212()112k k k k k k k a x a x x x x x a x -+---+--=-=+++且21k x ->故有21210k k x x +--<, 即2121k k x x +-<. 同理得222k k x x +>. 因此, 子列{}21k x -单调减小有下界, 故21limk k x -→∞存在, 设极限为1m . 子列{}2k x 单调增加有上界, 故2lim k k x →∞存在, 设极限为2m .对2212121212()12k k k k a x x x a x -+----=++左右两边取极限, 得21m a =. 由极限保号性知1m =. 同理得2m =. 由数学分析第一册(华东师大)第26页例题7知,lim n n x →∞=. ■【训练题8】证明极限111lim 1ln 23n n n →∞⎛⎫++++- ⎪⎝⎭存在. (哈尔滨工业大学2009考研试题). 【证明】 记1111ln 23n a n n =++++-. 则11ln11n n na a n n +-=+++. 因23ln(1)23x x x x -=----, ()[1,1)x ∈-,故2311111ln 112131n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--⋅-⋅-⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因此得10n n a a +-<, 即{}n a 为单调递减数列.由于23ln(1)23x x x x +=-+- ()(1,1]x ∀∈-,故ln(1)x x +<()(1,1]x ∀∈-. 因此得()111ln 11ln 1ln 1ln 1ln 23n a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()ln 2(ln3ln 2)(ln 4ln3)ln 1ln ln n n n =+-+-+++--1ln0n n+=>. 于是{}n a 有下界.综上所述, 知{}n a 为单调递减数列且有下界, 故{}n a 收敛. ■【训练题9】令22(,)xyf x y x y=+，讨论二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →与累次极限00limlim (,)y x f x y →→、00limlim (,)x y f x y →→是否存在.【解】当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时, 由于此时2(,)(,)1mf x y f x mx m ==+, 因而有2(,)(0,0)0lim(,)lim (,)1x y x y mxmf x y f x mx m →→===+.这说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时, 对应的极限值也不同, 因此所讨论的重极限不存在.已经知道(,)(0,0)x y →时f 的重极限不存在. 但当0y ≠时有22lim0x xyx y →=+从而有 2200lim lim0y x xyx y →→=+. 同理可得 2200lim lim0x y xyx y →→=+. ■【训练题10】设11(,)sinsin f x y x y y x=+. 讨论重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →和累次极限。
高数第一章 知识点总结
式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
第2章一元函数的连续性
第二章 一元函数的连续性一.基本内容1.函数)(x f 在点0x 处连续的定义：)1(极限形式：)()(lim 00x f x f x x =→)2(增量形式：0lim 0=∆→∆y x)3(“δε-”语言：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f )4(左右连续性：)()0()0(000x f x f x f =-=+2．函数)(x f 在区间I 上连续的定义 3．间断点及其类型间断点（不连续点）：第一类间断点（左右极限均存在）；第二类间断点（左右极限中至少有一个不存在）4．)(x f 在区间I 上一致连续：0>∀ε，0>∃δ，∀1x ,2x I ∈,当δ<-21x x 时， 总有ε<-)()(21x f x f ，则称)(x f 在I 上一致连续． 5．)(x f 在点0x 处连续的局部性质局部有界性，局部保号性，四则运算保持连续性和复合保持连续性． 6．闭区间上连续函数的整体性质)1(反函数的存在连续性：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数在以)(a f ,)(b f 为端 点的闭区间上也是严格单调并且连续．)2(有界性：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界．)3(取最值性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上能取到最大，最小值．)4(根的存在性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()(<⋅b f a f ,则),(b a c ∈∃，使0)(=c f ．)5(界值性设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，μ介于)(a f 与)(b f 之间，则),(b a c ∈∃使得μ=)(c f ．)6(若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则在[]b a ,上一致连续．7．一切初等函数在其定义区间上连续 二．难点解析与重要结果1.函数)(x f 在点0x 处连续的归结原则任一趋于0x 的数列{n x }其对应的函数值组成的数列均收敛．【注】函数极限的归结原则中要求→n x 0x ，这是由于与函数极限中)(x f 有可能没定义，而在连续的定义中要求函数)(x f 于0x 的某邻域内有定义，在0x 处必有定义，特别地{0x }即为趋于0x 的一个数列． 2. 0x 为)(x f 的间断点的正面刻画∃00>ε，∀δ0>, ∃δx , 满足δδ<-0x x ,但有)()(0x f x f -δ≥0ε．特别地,取δ=n 1,则得数列{n x }⊂)(0x U ,使n x x n 10<-,但)()(0x f x f n -≥0ε.3. 函数)(x f 在区间I 上连续∀0x ∈I ，∀0>ε, ∃0>δ，当δ<-0x x 时， 有ε<-)()(0x f x f .函数)(x f 在区间I 上一致连续：∀0>ε, ∃0>δ, ∀0x I ∈, 当δ<-0x x 时, 有ε<-)()(0x f x f .这两者的区别在于，对同一个ε，前者对于不同的0x ，可找到不同的δ，δ既依赖于0x ，又依赖于ε.事实上，δ对0x 的依赖程度更高（为什么？），后者对同一个ε，总可找到一个δ，该δ对所有的0x 均适用. 4. 一致连续与一致收敛之间的区别与联系⇒)(x f n )(x f )(D x ∈，可看成是给定一批极限{∞→n lim )(x f n ︱D x ∈}.对每个数列极限而言，对给定的0>ε,由不同的数列可找到不一定相同的N ，当N n >时，有ε<-)()(x f x f n 是否一致收敛.就看是否有共用的N 的问题.)(x f 在I 上一致连续可看成是给了一批函数极限{)()(lim x f y f xy =→︱x ∈I}.对每一个函数的极限而言，对给定的0>ε，由不同的函数极限可找到不一定相同的δ.当δ<-x y 时，有ε<-)()(x f y f 是否一致连续，就看是否有共用的δ的问题.5.一致连续的判定与性质)1( 设)(x f 在有限开区间),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内一致连续的充分必要条件是)(lim x f ax +→与)(lim x f bx -→均存在且有限.)2( 设)(x f 在),[+∞a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.)3(设)(x f 在),[+∞a 上连续,)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-+∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续，此结论在)(x f 有斜渐近线时很有用.)4(若)(x f ，)(x g 均在有限开区间),(b a 上一致连续，则)(x f )(x g ±，⋅)(x f )(x g 均在),(b a 上一致连续,若),(b a 为无限开区间,则⋅)(x f )(x g 不一定一致连续.如=)(x f x x g =)(，在),(+∞-∞上.)5( 若)(x f 导数)(x f '在I 上有界，则)(x f 在I 上一致连续.)6(若)(x f 在],(b a 与),[c b 上均一致连续，则)(x f 在),(c a 上一致连续.)7(若)(u f y =在R 上一致连续，)(x g u =在I 上一致连续，则))((x g f y =在I 上一致连续.6. )(x f 在I 上非一致连续的肯定刻画I x x ∈'''∃>∀>∃δδδε,,0,00,且δδδ<''-'x x ，但有0)()(εδδ≥''-'x f x f ．特别地,取n1=δ,则设两点列I x x n n⊆'''}{},{,满足)(0∞→→''-'n x x n n ,但有0)()(ε≥''-'n nx f x f ． 三．基本题型与方法 1.证明连续性和一致连续性要证明一个函数在某点或某个范围内连续，绝大部分是通过连续性的定义直接证明．例1．按定义证明：)1(⎪⎩⎪⎨⎧=∈==+内的无理数和，互质)1,0(1,00),,,(,1)(x q p N q p q p x qx R 在所有的无理点处连续．在)1,0(中的有理点处不连续．)2(xx x x f 1sin 12)(⋅++=在),1[+∞上一致连续,在)1,0(上非一致连续． 证明：)1(]1,0[0∈∀x ,0>∀ε,ε≤-0)(x R . 显然当x 为)1,0(中的无理数时，不等式成立.当q p x =时,ε<=q x R 1)(,即ε1>q . 而ε1≤q 的正整数只有有限个，这些数为分母构成的]1,0[中的有理数也仅为有限个，设为n x x x ,,,21 ，取}}0{\},,min{{001x x x x n --= δ,则n x x x ,,,21 均落在),(00δx U 之外，即当δ<-<00x x 时.若x 为有理数，则将其表示成既约分数时的分母必大于ε1.此时ε>>qx R 1)(.若x 为无理数则ε<=0)(x R . 即当δ<-<00x x 时，总有ε<-0)(x R ,所以0)(lim 0=→x R x x .故)(x R 在)1,0(中的无理点处连续，有理点处不连续.)2(),1(,,0+∞∈'''∀>∀x x ε,由于 x x x x x x x f x f ''⋅+''+''-'⋅+'+'=''-'1sin 121sin 12)()(x x x x x x x x x x x x ''⋅+''+''-''⋅+'+'+''⋅+'+'-'⋅+'+'=1sin 121sin 121sin 121sin 12 12121sin 1sin 1sin 12+''+''-+'+'''+''-'+'+'≤x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ''-'≤+''+'''-'+'''''-'⋅'''''+'≤2)1)(1(2222,故可取=δ2ε，当x x ''',∈),1[+∞且δ<''-'x x 时,有ε<''-')()(x f x f ,所以)(x f 在),1[+∞上一致连续.取221ππ-='n x n,221ππ+='n x n, ,2,1=n , 显然nx 'n x '')1,0(∈,则 )(0441442222∞→→-=-=''-'n n n x x n nπππππ,但2122222)1(122222)()(>++++--+-+-=''-'ππππππππn n n n x f x f n n, 所以)(x f 在)1,0(上非一致连续.[注])1(Riemann 函数是一个重要的反例，其解法与一般的求解不等式ε<-A x f )(不同，它解的是其互补不等式ε≥-A x f )(.)2(第二小题的解法上，有一定的代表性，当遇到由两种不同的基本初等函 数一起构成的某一初等函数时，常用到此插项方法. )3(狄立克雷函数在构造反例中的作用. )4(第2小题中由于∞→A lim12++x x x1sin =0,且)(x f 在),1(+∞上连续，据前面的结论即证一致连续性.例2 设)(x f 为),(+∞-∞上的单调函数，令)(lim )(0y f x g x y +→=,证明：)(x g 在),(+∞-∞上右连续.证明：),(0+∞-∞∈∀x ，由于)0()(lim )(000+==+→x f y f x g x y ,故0>∀ε, 0>∃δ, 当δ+<<00x x x 时有ε<-)()(0x g y f .由于)(x f 在R 上单调，故在任一点处的左、右极限均存在， 所以，),(00δ+∈∀x x x ,令+→x y ,有ε≤-+→)()(lim 00x g y f x y ,即ε≤-)()(0x g x g ,所以，)()(lim 00x g x g x x =+→.故)(x g 在0x 右连续,由0x 的任意性,即)(x g 在),(+∞-∞上右连续.例3 设)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，lim ()x f x →+∞存在，则)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续.证明：由于lim ()x f x →+∞存在，故ε∀0>，∃M ，当M x x >''',时，有ε<''-')()(x f x f . 又)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，所以在]1,[+M a 上连续，故)(x f 在]1,[+M a 上一致连续.所以对上述0>ε,01>∃δ,当]1,[,+∈'''M a x x 且1δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取11min ,2δδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当],[,+∞∈'''a x x 且1δ<''-'x x 时,()i 若21+≤'M x ,则21+≤+'<''M x x δ,即]1,[,+∈'''M a x x ,且δ<''-'x x 1δ≤,故有ε<''-')()(x f x f .()ii 若21+>'Mx ,则M M x x =-+≥-'>''2121δ，即M x x >''',,故有ε<''-')()(x f x f .即当δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .所以)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续. 【注】此题的方法具有很强的代表性，望注意体会掌握，特别是将区间叠起的一段的技巧.2．连续函数性质的证明一般地，连续函数性质的证明特别是闭区间上连续函数性质的证明，与实数的完备性理论是紧密联系的.例4 试分别用闭区间套定理、聚点定理、和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性定理.证明 设)(x f 在闭区间],[b a 上连续,证明)(x f 在闭区间],[b a 上有界. (1) 用闭区间套定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,中分],[b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[11b a ;中分],[11b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[22b a ;如此下去则得一闭区间列]},{[n n b a 满足：① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n ③)(x f 在闭区间],[n n b a 上无界, ,2,1=n .由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.又)(x f 在ξ连续,故)(x f 在ξ的某邻域),(δξU 内有界.由闭区间套定理的推论知,存在N ,当N n >时,有),(],[δξU b a n n ⊂,而)(x f 在],[n n b a 上无界,故)(x f 在),(δξU 上无界,矛盾.所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(2)用聚点定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,则],[,0b a x M M ∈∃>∀,使得M x f M >)(. 取],,[,11b a x M ∈∃=使得1)(1>x f ；],,[,22b a x M ∈∃=使得2)(2>x f ；,],,[,b a x n M n ∈∃=使得n x f n >)(；如此下去则得数列}{n x ],[b a ⊆，使得 ,2,1,)(=>n n x f n .由于}{n x 有界,由致密性定理, }{n x 由收敛子列}{k n x ，设)(,0∞→→k x x k n ，由于)(x f 在0x 连续，所以)(),()(0∞→→k x f x f k n ，而由}{n x 的选取知)(,)(∞→∞→k x f k n ，矛盾. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(3) 用有限覆盖定理由于)(x f 在闭区间],[b a 上连续,即],[0b a x ∈∀,)(x f 在0x 连续,故在0x 处局部有界,即0,0],,[000>∃>∃∈∀x x M b a x δ,使得当),(00x x U x δ∈时,0|)(|x M x f <. 显然,]},[|),({b a x x U x ∈δ覆盖],[b a ,由有限覆盖定理,必可从中选出有限个它们也能覆盖],[b a ,设为),(11δx U ,,),,(22 δx U ),(n n x U δ. 取},,,m ax {21n M M M M =,则],[b a x ∈∀,有M x f <|)(|. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.3．连续函数性质的应用)1(连续性在有界和最值性方面的应用例5 设函数)(x f 在有有限或无穷区间(),a b 内连续，且lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==, (A 为有限数，+∞或-∞).证明)(x f 在(),a b 内能取到最大或最小值. 证明：若A 为有限数，且(),x a b ∀∈均有A x f =)(.则结论显然成立.若0x ∃(),a b ∈,使0()f x A ≠，若0()f x A >，由于lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==，由极限的保号性，故δ∃0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时，有)()(0x f x f <，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，所以)(x f 在[],a b δδ+-上有最大值M 存在,且≥M 0()f x ，此时最大值M 显然也是)(x f 在(),a b 上的最大值.若0()f x A <，则有最小值存在.若+∞=A ，任取0x (),a b ∈，由于lim ()lim ()x ax bf x f x +-→→==+∞，故∃δ0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时有)()(0x f x f >，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，故有最小值m 存在，且)(0x f m ≤，显然m 为)(x f 在(),a b 上的最小值.当-∞=A 时有最大值存在.当(),a b 为无穷区间，类似地可证.例6 设)(x f 在],[b a 上连续，且有唯一的最值点],[0b a x ∈.若数列],[}{b a x n ⊆且)()(lim 0x f x f n n =∞→,证明：0lim x x n n =∞→.证明：假设0lim x x n n ≠∞→．则N ∀，N n N >∃使00ε≥-x x n ．取11=N 则11>∃n 使001ε≥-x x n .取12n N =，则12n n >，使002ε≥-x x n .如此下去，则设}{n x 的子列}{i n x 使得ε≥-0x x i n .由],[}{b a x i n ⊆，由致密性定理,}{i n x ∃的收敛子列}{ki n x ,设)(∞→→k c x ki n ,则0x c ≠．又由f 的连续性，知)()(lim c f x f ki n k =∞→．而由子列的性质知，)()(lim )(lim 0x f x f x f n n n k k i ==∞→∞→.所以)()(0x f c f =为f 的最值点矛盾．)2(连续性介值方面的应用例7 设)(x f 在],[b a 上连续，且有反函数存在．证明)(x f 在],[b a 上严格单调． 证明：假设)(x f 在],[b a 上非严格单调,则321x x x <<,使得)()()(321x f x f x f ≥≤或)()(21x f x f ≥且)()(32x f x f ≤.由于)(x f 有反函数存在,故上不等式中的等号不能成立．即有)()()(321x f x f x f ><.取M 介于)(2x f 与)}(),(m ax {31x f x f 之间,由)(x f 在],[21x x 上连续,),(21x x ∈∃ξ 使M f =)(ξ.又)(x f 在],[32x x 上连续, ),(32x x ∈∃η使M f =)(η.且ηξ≠,这与)(x f 有反函数矛盾）． 【注】有反函数存在．则对应必为一对一的，反过来一对一再加上介值性，必可推出严格单调和连续性.例8 设函数],[],[:)(b a b a x f →是连续函数．证明：],[b a ∈∃ξ,使ξξ=)(f . 证明：若a a f =)(或b b f =)(,则结论成立．否则有a a f >)(，b b f <)(． 令x x f x F -=)()(,则)(x F 在],[b a 上连续,且0)(,0)(<>b F a F ,由介值性定理即得.【注】此题即为不动点定理．例9 设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)1()0(==f f ,证明：+∈∀Z n ，]1,0[∈∃ξ，有)()1(ξξf nf =+．证明： 当1=n 时，取0=ξ，则结论成立.否则令)()1()(x f nx f x F -+=,则有)1()1()0(nn F n F F -+++)1()1()1()2()0()1(nn f f n f n f f n f --++-+-=0)0()1(=-=f f .若上式中的每一项均为0，则结论成立.若不全为0，则必既有正项，又有负项出现，由介值性定理,在正负项之间0)(=ξF ,即)()1(ξξf nf =+.【注】上面的两例给出了用介值性定理或根的存在定理的一般方法.引入辅助函数，将待证的等式转化为考察辅助函数的根的存在性问题，最后，只要找到辅助函数的两个点处的函数值异号.)3(一致连续的性质的应用例10设函数)(x f 在),(+∞a 上一致连续,且无穷积分⎰∞+adx x f )(收敛.证明：0)(lim =∞→x f x .证明：假设0)(lim ≠∞→x f x ，即00>∃ε,M ∀，M x M >∃,但有0)(ε≥x f .又)(x f 在[)0,+∞上一致连续，故对上述0ε0>,∃δ0>,当12x x -≤δ时,有12()()f x f x -<2ε. 故对0ε,δ0>，M ∀，∃A '=M x ，A ''=M x +δM >,但有δεδδ0)()(≥=⎰⎰++M MM Mx x x x dx x f dx x f .由Cauchy 收敛准则知⎰∞→AaA dx x f )(lim 不存在,矛盾. 四.综合举例例11 设函数)(x f 在[],a b 上连续，],[b a x ∈∀,记)(sup )(],[t f x M x a t ∈=,证明：)(x M 在[],a b 上连续.证明：由于)(x f 在[],a b 上连续，则在[],a b 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>, 当1x ,2x ∈[],a b ,且12x x -≤δ时有12()()f x f x -<ε.所以0x ∀∈[],a b ,当δ<∆<x 0, 0x x ∆+∈[],a b 时，有)0[][]0000,,()()sup ()sup ()t a x x t a x M x x M x f t f t ∈∆+∈≤∆+-=-))()((sup )()(sup0],[0],[00x f t f x f t f x a t x x a t ---=∈+∆∈))()((sup )))()((sup )),()((sup m ax (0],[0],[0],[000x f t f x f t f x f t f x a t x x a t x a t ----=∈+∆∈∈ε<.同理，当0<∆<-x δ时，有ε-00()()M x x M x ≤∆+-,故)(x M 在[],a b 上连续. 例12 设函数)(x f 在),(b a 内每一点的左，右极限都存在，且),(,b a y x ∈∀,都有2)()()2(y f x f y x f +≤+.证明)(x f 在),(b a 内连续. 证明：),(0b a x ∈∀,则),(b a y ∈∀,有2)()()2(00y f x f y x f +≤+, 令i x y +→0,)0(21)(21)0(000++≤+x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤+. 令0x y →,有))0(21)((21)0(000-+≤-x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤-.在2)()()2(y f x f y x f +≤+中 令h x x +=0,h y y -=0,且令i h +→0, ))0()0((21)(000-++≤x f x f x f ,所以有))0()0(()(000--+≤x f x f x f ,即)(x f 连续.由0x 的任意性即有)(x f 在),(b a 内连续.【注】要证明函数的连续性，绝大部分情况下均直接从连续的定义出发. 例13 证明：非常值的连续周期函数必有最小正周期.证明：设}{的正周期为f t t S =.下证S 的下确界S T inf =属于S ，即证：T 仍为f 的周期，且0>T ，显然0T ≥.由于S T inf =,故由定义,S t n ⊆∃}{,使得T t n n =∞→lim .又由)(x f 的连续性，有R x ∈∀,)()(lim )(x f t x f T x f n n =+=+∞→,即T 为一个周期.假设S T ∉=0,则存在严格递减数列S T ∉=0,且)(0∞→→n t n .则R x ∈∀，N n ∈∀,Z k n ∈∃使n t k x n n +=0,其中n n t k <≤0,故)(0∞→→n k n .所以,))(0()()()(∞→→=+=n f n f n t k f x f n n ,即)0()(f x f =.这与)(x f 非常数矛盾.所以0≠T ,即0>T ，故S S T ∈=inf . 例14 设)(x f 对R 上一切x 均有)()(2x f x f =，且)(x f 在0=x 处连续.证明：)(x f 在R 上为常数.证明：由于)()())(()(22x f x f x f x f ==-=-,即)(x f 为偶函数，故可仅考察0≥x 这一侧.当0>x 时，由已知，有：=====)()()()(214121nx f x f x f x f ,由于)(121∞→→n xn及f 在1=x 处的连续性,故有()=x f ()1lim 21f x f nn =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→, 又()+→=0lim 0x f ()()1f x f =.即当0≥x 时,有()()1f x f =.所以,R x ∈∀,有()f x f ≡()1.例15 设)(x f 在),0[+∞上连续且有界，又设R l ∈∀方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，证明)(lim x f x ∞→存在.证明 由于)(x f 在),0[+∞上有界，设M x f M <<-)(,对0=l ,由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为1M ,则当1M x >时, )(x f 全落在],0[M 或]0,[M -中,记其为],[b a ；对2ba l +=，由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为2M ,则当2M x >时, )(x f 全落在]2,[b a a +或],2[b ba +中,记其为],[11b a ； , 如此下去，则得一闭区间列]},{[n n b a 满足： ① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n③ 0,>∃∀n M n ，当n M x >时，有 ,2,1],,[)(11=∈--n b a x f n n由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.由闭区间套定理的推论知，,,0N ∃>∀ε当N n >时，),(],[εξU b a n n ⊆.故可取1+=N M G ,当G x >时,有),(],[)(11εξU b a x f N N ⊆∈++.所以ξ=∞→)(lim x f x .例16 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,],[}{b a x n ⊆,满足 ,2,1),()(1==+n x f x g n n 证明 存在],[0b a x ∈,使得)()(00x g x f =. 证明 令)()()(x g x f x h -=,则)(x h 在],[b a 上连续.若)}({n x h 中有零项或异号的项，由根的存在性定理,0x 的存在性显然. 若若)}({n x h 中所有项均为正项或负项,不妨设0)(>n x h ,于是,,,2,1,0)()()()()(1 =>=-=-+n x h x g x f x f x f n n n n n即数列)}({n x f 为单调递减有界数列,故收敛,设)(,)(∞→→n x f n ξ,又,2,1),()(1==+n x f x g n n ,故)(,)(∞→→n x g n ξ.注意到}{n x 有界,由致密性定理}{n x 有收敛子列}{k n x ,设)(,0∞→→k x x k n ,由)(),(x g x f 在0x 的连续性知,)(),()(0∞→→k x f x f k n ,)(),()(0∞→→k x g x g k n ,而)(,)(∞→→k x f k n ξ,,由极限的唯一性有ξ==)()(00x g x f .例14 设定义在R 上的函数()x f 满足：)1(()x f 在0=x 处连续.)2(R y x ∈∀.,有()()()y f x f y x f +=+.证明：()ax x f =.证明：由f ()()()()()0000000=⇒+==+f f f f .又()x f 在0=x 处连续, 故有()()00lim 0==→f x f x .所以,R x ∈∀,有()()()()()x f x f x f x x f x x =∆+=∆+→∆→∆0lim lim ,即()x f 在R 上连续.由已知,有()()()21112⋅=+=f f f , ()()()n f f n f ⋅=+++=1111 , 又()()()0=+=+-n n f n f n f ,故有()()()n f f n f -⋅=-1. 即对一切整数x 有()()x f x f ⋅=1.又由 ()()2112121212121⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f f f f ,()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+n f n f n nf 1111, ()n f n f 111⋅=⎪⎭⎫⎝⎛,故有, ()n m f n mf n m f ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛11 , N m n ∈..所以, ()⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m f n m f n m f 1,即对一切有理数x ,有()()x f x f ⋅=1.R x ∈∀,{Q r n ⊆∃}使得()∞→→n x r n .由f 在R 上的连续性,有()()()()x f r f r f x f n n n n ⋅=⋅==∞→∞→11lim lim .例15 设()x f 在[)b a ,上连续且无上界,()[)b a d c ,,⊂∀,()x f 在()d c ,上不取最小值，证明()x f 在[)b a ,上严格递增（陕师大）.证明：由()x f 在[)b a ,上连续，且无上界，知()x f 只能在b 的左邻域内无上界. 假设[)b a x x ,,21∈∃,且<1x 2x ,但有()()21x f x f ≥.由于()x f 在b 的左邻域内无上界.故b x x x <<∃323,.使()()23x f x f >.由于()x f 在[]31,x x 上连续,故有最小值()0x f 存在.又()312,x x x ∈且()()()()3212,x f x f x f x f <≤,故最小值点()310,x x x ∈.即()x f 在()[)b a x x ,,31⊂内取到最小值()0x f .矛盾.例16 设()x f 在[]1,0上非负连续,且()()010==f f ，则[]1,0∈∀l ,[]1,00∈∃x ,使得()()l x f x f +=00.（上海交大）证明：[]1,0∈∀l 作辅助函数()()()x f l x f x F -+=.则()x F 在[]l -1,0上连续,且()()()000≥-=f l f F ,()()().0111≤--=-l f f l F由F 的连续性，知[]l x -∈∃1,00,使得()00=x F ,即()()00x f l x f =+. 例17 设() 3,2,2=+++=n x x x x f n n ,证明：)1(方程()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x ,)2(数列{}n x 有极限存在，并求n n x ∞→lim .（北师大）证明：)1(2≥∀n ,令()()[)+∞∈-+++=-=-,0,111x x x x x f x F n n n ,则(),10-=F 当1≥x 时,有()0>x F .从而在[]1,0上至少有一个实根,又()()1121++-+='-- n n x n nx x F ,当0≥x 时,有()0>'x F ,即()x F 在[)+∞,0上严格递增.所以()x F 在[)+∞,0上有且仅有一个实根n x .即()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x .)2(2≥∀n .由于n x 与1+n x 分别满足：n n n n x x x ++2=1, 1111211=+++++++++n n n n n n x x x x .若01>>+n n x x ,则1=1111+++++++n n nn n x x x >1111112>+=++++++++n n n n n n n n x x x x x ,矛盾，所以1+≤n n x x .即数列{}n x 单调递减且有下界0，所以数列{}n x 收敛，设()∞→→n l x n ,由()111=--=++nnn nnnn x x x x x ,在上式中令∞→n ,得()1101=--ee . 即,21-1=⇒=e e e . 例18 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,在()∞+，0内可导,且()A x f x ='+∞→lim .证明：当 且仅当+∞<A 时，()x f 在()∞+，0上一致连续. 证明：)1(若()0lim ,>∃='+∞<+∞→M A x f A x ，故则由，当M x >时，有()M x f ≤'，所以当M x x >2,时，有()()()121212x x M x x f x f x f -≤-'=-ξ.即()x f 在[)+∞,M 上满足李普斯基条件，故)(x f 在[)∞+，M 上一致连续,又f 在[]M ，0上连续,故()x f 在上[]M ,0一致连续,所以()x f 在[)+∞,0上一致连续.)2(设()x f 在[)+∞,0上一致连续，假设+∞=A .则对0,0>∀>δε，由()+∞=='∞→A x f x lim ,知0>∃M ，当M x >时，有()δ1>'x f ,取21,121δ++=+=M x M x ，则δδ<=-221x x ,但有()()()21211212=⋅>-⋅'=-δδξx x f x f x f .这与)(x f 在[)+∞,0上一致连续矛盾.例19：设)(x f 在),[+∞a 上连续，)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.证明：由于)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，故0>∀ε，01>∃δ，当x x ''',∈),[+∞a ，且1δ<''-'x x 时，有εϕϕ<''-')()(x x .又0))()((lim=-+∞→x x f x ϕ,故0>∃M ,当M x >时,有εϕ<-)()(x x f .所以,当M x x >''',,且1δ<''-'x x 时，有εϕϕϕϕ3)()()()()()()()(<''-''+''-'+'-'<''-'x f x x x x x f x f x f .又)(x f 在]1,[+M a 上连续，故一致连续.对上述0>ε,02>∃δ，当]1,[,+∈'''M a x x 且2δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取}21,,min{21δδδ=,则当],[,b a x x ∈'''且δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .例20设函数()[)+∞,0在x f 上一致连续，且0>∀x 有()0lim =++∞→n x f n ,证明：()0lim =+∞→x f x .证明：由于()[)+∞,0在x f 上一致连续，故0,0>∃>∀δε,[)+∞∈∀,,21a x x ,当δ<-21x x 时,有()()ε<-21x f x f .取δ1>k ,将[]k 10，等分,记分点为k i kix i ...2,1,==,则每个小区间的长度均小于δ,对每个i x ,由于()0lim =++∞→n x f i n ,故i N ∃,i N n >时,有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取{}K N N N N ,...,m ax 21=，则当N n >时，有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取1+=N M ，当M x >时，则[]N N x n >+≥=1，[)1,0∈-n x .故{}k i ,...2,1∈∃，使得 ()()δ<+-=--i i x n x x n x ，故有, ()()ε<+-n x f x f i .从而有, ()()()()εεε2=+<+++-≤n x f n x f x f x f i i ， 所以()0lim =+∞→x f x .例21设函数()()+∞∞-,在x f 上一致连续，则存在正数B A ,,使得x ∀有()B x A x f +≤.证明：由于()x f 在R 上一致连续，故0,0>∃>∀δε，R x x ∈'''∀,且δ≤-'''x x 时，有 ()()ε<''-'x f x f .固定δε,，则Z n R x ∈∃∈∀,，0x n x +=δ，其中()δδ,0-∈x ，由于()(]δδ,-在x f 上连续，故有界，即0>∃M ，当()δδ,-∈x 时，有()M x f ≤. 又()()()()()()()()()0000211x n f x n f x n f x n f x f +--+-++--+=δδδδ()()()000...x f x f x f +-+++δ.故有, ()()()()()M n x f x k f x k f x f nk +⋅≤++--+≤∑=εδδ01001⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+-=00x M x M x x δεδεδε ()εδε++≤M x . 取εδε+==M B A ,,则有()B x A x f R x +≤∈∀,. 练习题1． 用“δε-”定义证明()2sin x x f =在R 上连续，但不一致连续.2． 证明：xx y 1sin ⋅=在()+∞,0内一致连续.3． 设()y x f ,在[]b a ,上连续，定义()()[]{}b a y y x f x g ,|,m ax ∈=,证明()x g 在[]b a , 上连续.4.设函数()x f 在[]b a ,上单调，且值域充满区间()()[]b f a f ,或()()[]a f b f ,，则()x f 在[]b a ,上连续.5.设函数()x f 在[)+∞,a 上连续，且有斜渐近线b ax y +=，则()x f 在[)+∞,a 上一致连续.6.设()x f 在(]b a ,可导，且()x f ax '+→lim 存在，证明)1(()x f ax +→lim 存在.)2(()x f 在(]b a ,上一致连续.7.证明：设()x f 在R 上一致连续，()t g 在区间I 上一致连续，则复合函数()()t g f 在区间I 上一致连续.8.设函数()x f 在[)+∞,1上可导，且()+∞=+∞→x f x lim ，证明()x f 在[)+∞,1上非一致连续.9.设()x f 在()+∞∞-,内连续，且()+∞∞-∈∀,,y x ，都有()()22y f x f y x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()R x x f ∈+=βαβα,,.10.设()x f 在()+∞∞-,上非负连续，()+∞∞-∈∀,,y x ,都有()()()y f x f y x f ⋅=+， 求()x f .11.设()x f 在()b a ,内连续，()x f 2在()b a ,内一致连续，证明()x f 在()b a ,内一致连续.12.设()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续，()0lim 0=⋅+→δωδf iff ,其中()()()x f x f x x fx x f ''-'=<''-'∈'''',sup χδω称为f 的连续模.13.设函数()x f 在()1,0上有定义，且函数()x f e x 和()x f e -在()1,0都单调不减，证明()x f 在()1,0连续.14.设()x f 为R 上的周期函数，其周期小于任意小的正数，证明若()x f 在R 上连续，则()x f 为常值函数.15.设I 为有限区间，()x f 在其上有定义，证明()x f 在I 上一致连续的充要条件是函数()x f 把柯西列映成柯西列. 16.若函数()x f 在[)+∞,1上一致连续，求证()xx f 在[)+∞,1上有界. 17.证明()x f 在R 上连续的充要条件是任何开集的原像是开集.21 18.设函数()x f 在R 上连续，且()()x f f =x ，证明：在R 内至少存在一点0x 使()00x x f =.19.设()x f 在R 上连续，()x g 在R 一致连续且有界，证明()()x g f 在R 上一致连续.20.设()x f 在R 上连续，且()()∞=∞→x f f x lim ，证明()∞=∞→x f x lim . 21.设函数()x f ，()x g 均在[]b a ,上连续，{}[]b a x n ,⊆且对N n ∈∀有()()1+=n n x f x g ，证明至少存在一点[]b a x ,0∈，使()()00x g x f =.22.设()x f 在[)+∞,0上具有二阶连续导数，且()()()0,00,00<''<'>x f f f ，[)()+∞∈,0x ,则()()⎥⎦⎤ ⎝⎛'-∈∃00,0f f ξ,使得()0=ξf .。
极限与连续知识点总结
极限与连续知识点总结在高等数学中，极限与连续是非常重要的基础概念，它们贯穿了整个数学分析的学习过程。
下面，我们就来对极限与连续的相关知识点进行一个系统的总结。
一、极限的概念极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数。
例如，对于函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，＄f(x)＄的极限为 2。
这是因为通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，当$x$趋近于1 时，＄f(x)＄趋近于 2。
极限的定义有多种形式，常见的有$＼epsilon ＼delta$定义。
二、极限的计算1、代入法对于一些简单的函数，如果在极限点处函数有定义且连续，直接将极限点代入函数即可计算极限。
2、因式分解法当分子分母有公因式时，可以通过因式分解约去公因式来计算极限。
3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，从而计算极限。
4、利用重要极限常见的重要极限有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$。
5、洛必达法则当遇到分子分母同时趋近于 0 或无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导来计算极限。
三、无穷小与无穷大1、无穷小如果函数$f(x)＄在某个变化过程中极限为 0，那么称$f(x)＄为该变化过程中的无穷小。
例如，当$x ＼to ＼infty$时，＄＼frac{1}｛x}＄是无穷小。
2、无穷大如果在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称该函数为无穷大。
例如，当$x ＼to 0$时，＄＼frac{1}｛x^2}＄是无穷大。
无穷小与无穷大之间有着密切的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。
四、极限的性质1、唯一性极限如果存在，则一定是唯一的。
2、有界性如果函数在某个区间上有极限，那么在该区间上一定有界。
一元函数的极限与连续
例5 求 lim 2x2 3x 4 。 x1
解：lim 2x2 3x 4 lim 2x2 lim 3x lim 4
x1
x1
x1
x1
2lim x2 3lim x lim 4
x1
x1
x1
2343
例6
求
lim
x3
x x
2 2
4x 3。 5x 6
解：lim
x3
x2 x2
4x 5x
3 6
lim
x3
x 1x 3 x 2x 3
x
例如, lim 1 , 所以函数 1 是当x 1时的无穷大。
x1 x 1
x 1
注意： (1)绝对值很大的常数不是无穷大。
(2)无穷大与自变量的变化过程密切相关， 自变量的变化过程。
指明无穷大应说明
(3)无穷大借用了极限的符号， 示极限不存在。
并不表示极限存在，
而是表
无穷小与无穷大的关系：
则称y是x的函数， 记作y = f (x)。
称x为自量,
称y为因变量， 称数集D为函数的定义域，
称数集M={y|y=f(x), x∈D}为函数的值域， y之间的对应法则。
y = f (x)中的f 表示x与
函数的表示： y = F (x)，y = g(x)，y =φ(x)，··· 函数值的表示： 当x0∈D , 其对应的y值可记为f (x0)或
(2) lim f (x) lim (3x2 1) = 2
数学分析第二章极限与连续知识网络思维导图及复习
量求极限。 6、 理解函数连续的概念，会判断函数不连续点的类型。 7、 掌握用基本定理证明闭区间上连续函数的最大值、最小值、介值性定理的基本思路和方
法。 8、 理解一致连续的概念，并会应用其证明相关命题。 三、知识点梳理 1、数列极限的概念、性质与定理
不一致连续： 0
0,
xn
,xn
,
lim(
n
xn
x)
0 ，而 lim( n
f
(xn )
f
( xn)
c
0.
四、典型例题分析
基本题型 I 利用定义证明数列的极限
例
证明
lim
n
n 2n
0
证 明 ： 0, 要 使 得
n 2n
0
成立，只要
n 2n
0
n 2n
2 n
(这是因为
2n (11)n 1 n n(n 1) ... n2
(ii) 同 阶 无 穷 小 ： lim f (x) a 0 ， 则 称 f (x) 是 g(x) 的 同 阶 无 穷 小 ， 记 为 xx0 g(x)
f (x) Og(x) x x0 ，
0
特别地，如果 f (x) 在 O(x0 ) 有界，记作 f (x) O(1), (x x0 )
③ 函数的不连续点
(i)第一类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 存在，但不相等。
(ii)第二类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 中至少有一个不存在.
(iii)可移不连续点:
f (x0
0)
f
(x0
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)共13页文档
第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法 ① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ . 如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim 0111n nn xx x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx eπ≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---x y a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。
第2章一元函数的连续性
y f ( g ( x)) 在 I
上一致连续.
f ( x) 在 I
上非一致连续的肯定刻画
, x I , 虽然 x x ，但有 f ( x ) f ( x ) 0 ．特别地 , 取 0 0, 0, x
( 4) 第 2 小题中由于
论即证一致连续性. 例2 设
x2 1 x x 1 x
lim
=0,且
f ( x) 在 (1,) 上连续，据前面的结
f ( y ) ，证明： g ( x) 在 f ( x) 为 (,) 上的单调函数，令 g ( x) lim
yx
(,) 上右连续.
6．闭区间上连续函数的整体性质
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 反函数的存在连续性：
若函数
f ( x) 在 a, b 上严格单调且连续，则其反函数在以 f (a ) , f (b) 为端
点的闭区间上也是严格单调的并且连续．
( 2) 有界性：
若函数
f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，则 f ( x) 在 a, b 上有界．
1 ，但 f ( xn ) f ( x0 ) ≥ 0 . n
3. 函数
f ( x) 在区间 I
，
上连续 时， 有
x0 I
函数
0 , 0 ，当 x x0
上一致连续： ，当
f ( x) f ( x0 )
.
f ( x) 在区间 I
0 ， 0 ， x0 I
R( x) 0 ，所以 lim R( x) 0 .故 R( x) 在 (0,1) 中的无理点处连续，有理点处不连续.
一元函数的连续与极限-极限的运算法则：函数极限运算法则
一元函数的连续与极限-极限的运算法则|函数极限运算法则第一章第五节极限的运算法则一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容（一）极限的四则运算法则定理1.5若limf(x)=A,limg(x)=B,则x→x0x→x0(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Bx→x0x→x0x→x0(2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ABx→x0x→x0x→x0(3)若B≠0,则有f(x)=limx→x0g(x)x→x0limf(x)x→x0A=limg(x)B注对于数列极限及x→∞时函数极限的四则运算法则,有相应的结论.例如,对于数列极限,有以下结论:若limxn=A,limyn=B,则有n→∞n→∞(1)lim(xn±yn)=A±Bn→∞(2)limxnyn=ABn→∞xnA=(3)当B≠0时,limBn→∞yn数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1.5直接得出.推论(极限运算的线性性质)若limf(x)=A,limg(x)=B,λ和μ是常数，则x→x0x→x0x→x0lim[λf(x)±μg(x)]=λA±μB=λlimf(x)±μlimg(x)x→x0x→x0以上运算法则对有限个函数成立.于是有x→x0lim[f(x)]n=[limf(x)]nx→x0——幂的极限等于极限的幂一般地，设有分式函数P(x)R(x)=,Q(x)其中P(x),Q(x)都是多项式,若Q(x0)≠0，则P(x0)=R(x0)结论：limR(x)=Q(x0)x→x0注若Q(x0)=0,不能直接用商的运算法则.结论：a0xm+a1xm1+L+am=0,当n>mlimnn1+L+bnx→∞b0x+b1xa0,当n=mb0∞,当n(a0b0≠0,m,n为非负常数)对于∞型的极限，可以先给分子、分母同除以分∞母中自变量的最高次幂（抓大头）,然后再求极限.（二）复合函数的极限运算法则定理1.6设lim(x)=a,当0x→x0u=(x)≠a,又limf(u)=A,则有u→ax→x0limf[(x)]=limf(u)=Au→ao注1°定理1.6中的条件：(x)≠a,x∈U(x0,δ1)不可少.否则，定理1.6的结论不一定成立.2°定理1.6的其他形式若limφ(x)=∞(或limφ(x)=∞)，limf(u)=A,且x→x0x→∞u→∞则有x→x0(或x→∞)limf[φ(x)]=limf(u)=A.u→∞由定理1.6知，在求复合函数极限时,可以作变量代换：x→x0limf[(x)](x)=ulimf(u)u→alim且代换是双向的,即u→af(u)u=(x)x→x0limf[(x)].二、典型例题lim(2x2+x5).例1求x→2x→2极限运算的线性性质解lim(2x2+x5)=2lim(x2)+limxlim5x→2x→2x→2幂的极限等于极限的幂=2(limx)2+25x→2=2223=5x→x0a0x0n结论：lim(a0xn+a1xn1+L+an)=+a1x0n1+L+an例2x31lim2.x→2x3x+52x→2=limx2lim3x+lim5解Qlim(x3x+5)x→2x→2x→2=(limx)23limx+lim5 x→2x→2x→2=2232+5=3≠0,3商的极限等于极限的商2317x1=x→22=.=∴lim233x→2x3x+5lim(x3x+5) x→2lim(x31)x1.（0型）例3求lim2x→1x+2x30Qlim(x2+2x3)=0,商的极限法则不能直接用解x→1又lim(x1)=0称0x1为型极限.lim20x→1x+2x3x→1由极限定义x→1，x≠1,x1x1lim2=limx→1x+2x3x→1(x+3)(x1)11=lim=.x→1x+34约去零因子法2x3+3x2+5例4求lim.32x→∞7x+4x1∞(型)∞分析x→∞时,分子,分母都趋于无穷.可以先用x3同时去除分子和分母,然后再取极限.352++3322x+3x+5xx“抓大头”=limlim解41x→∞7x3+4x21x→∞7+3xx35lim(2++3)2xx=x→∞=.41lim(7+3)7x xx→∞例5分析121求lim3.x→2x+2x+8(∞∞型)∞∞型，先通分，再用极限法则.(x22x+4)12解原式=lim3x→2x+8(x4)(x+2)x22x8=lim=lim3x→2(x+2)(x22x+4)x→2x+8 (0)01x4=.=lim2x→2x2x+42122n2例6求lim3+3+L3.n→∞nnn无穷多项和的极限11解原式=lim3n(n+1)(2n+1)n→∞n6111=lim1+2+nn6n→∞1=.3公式求和变为有限项例7求limx→3x3.2x9x→x0limf[(x)]=limf(u)=A①x3f(u)=u解令u=(x)=2u→ax9x31x3==lim于是limu=lim26x→3x→3x9x→3(x3)(x+3) 61从而原式=limf(u)=limu==.166u→u→166从左向右用①式三、同步练习1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?(2)若limf(x)=A≠0,不存在？n1232.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnlimf(x)g(x)是否一定2x.3．求limx→4x44.已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.n2+n5.求lim4.2n→∞n3n+1f(x)2x3=2,6.设f(x)是多项式,且li m2x→∞xf(x)lim=3,求f(x).x→0x7.8.x2+1(αx+β))=0试确定常数α,β.已知lim(x→∞x+1111求lim1212L12.n→∞23n2x求lim.x→432x+19.四、同步练习解答1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?答：一定不存在．假设lim[f(x)+g(x)]存在，Qlimf(x)存在由极限运算法则可知：limg(x)=lim{[f(x)+g(x)]f(x)}必存在，这与已知矛盾，故假设错误．1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(2)若limf(x)=A≠0,不存在？limf(x)g(x)是否一定一定不存在.（可用反证法证明）答：23n12.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnn(n+1)111=lim(1+)=.解原式=lim2n→∞2nn2n→∞22x求lim.（0型）3．x→4x40解2xlimx→4x44x=limx→4(x4)(2+1=limx→42+x1=.4先有理化x)再约去无穷小４．已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.解Qlim{x2+3[A+B(x1)]}x→1x2+3[A+B(x1)]=lim(x1)=00=0x→1x1而lim{x+3[A+B(x1)]}=2(A+B0)2x→1∴2(A+B0)=0,从而A=2.于是x2+3[A+B(x1)]0=limx→1x1x2+3[2+B(x1)]x2+32=lim=lim(B)x→1x1x→1x1 =lim[x→1(x2+3)4(x1)(x2+3+2)x21(x1)(x2+3+2)x+1B]B]1∴B=.2=lim[x→11=lim[2B]=B,x→12x+3+2n2+n.5．求lim42n→∞n3n+1∞(型)∞解n→∞时,分子,分母都趋于无穷.4同时去除分子和分母,然后再取极限.可以先用n11+32n2+nlim4=limnnn→∞n3n2+1n→∞3112+4nn11lim(2+3)n→∞nn==0.31lim(12+4)n→∞nn6.设f(x)是多项式,且f(x)lim=3,求f(x).x→0xf(x)2x3lim=2,2x→∞x解根据前一极限式可令32f(x)=2x+2x+ax+b再利用后一极限式,得f(x)bb23=lim=lim(2x+2x+a+)=lim(a+)xx→0xx→0xx→0可见a=3,b=0故f(x)=2x+2x+3x327.x2+1(αx+β))=0已知lim(x→∞x+1(∞∞型)试确定常数α,β.解∵x→∞x2+1f(x)=(αxβ)x+1(1α)x2(α+β)x+(1β)=x+1limf(x)=0∴分子的次数必比分母的次数低故1α=0,α+β=0即α=1,β=1.1118.求lim1212L12.n→∞32n无穷多个因子的积解原式=的极限111111lim11+11+L11+n→∞3322nn111=lim(1+)=.n→∞22n变为有限项再求极限9.解2x0求lim.（型）分子分母同乘x→432x+102xlimx→432x+1以各自的有理化因式(2x)(2+x)(3+2x+1)=lim x→4(32x+1)(3+2x+1)(2+x)3+2x+1(4x)(3+2x+1)1=lim=lim2x→42+xx→4(82x)(2+x)3=.4约去无穷小。
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性函数是数学中的重要概念，而函数的极限和连续性则是函数理论研究中的核心内容。
本文将围绕函数的极限和连续性展开讨论，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数值的变化趋势。
数学上可以用符号“lim”来表示。
一个函数f(x)在x趋近于a时的极限可记作lim(x→a)f(x)，即当x无限接近于a时，函数f(x)的极限是多少。
1. 一元函数极限对于一元函数f(x)，当x趋近于a时的极限可以有以下几种情况：（1）左极限：当x从左侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x→a-)f(x)=L。
（2）右极限：当x从右侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值M，记作lim(x→a+)f(x)=M。
（3）函数的极限：如果左、右极限都存在且相等，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)，那么函数在x趋近于a时的极限为lim(x→a)f(x)。
2. 多元函数极限对于多元函数f(x, y)，当(x, y)趋近于点(a, b)时的极限可以有以下几种情况：（1）xy平面上的极限：当点(x, y)从xy平面上任意方向逼近点(a, b)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y)→(a, b)f(x, y)=L。
（2）z轴上的极限：如果对于任意按z方向逼近(a, b)的路径，当点(x, y, z)趋近于(a, b, c)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y, z)→(a, b, c)f(x, y, z)=L。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点上的极限和函数在该点的函数值相等。
简单来说，当自变量在某一点的极限等于该点的函数值时，函数在该点上是连续的。
1. 一元函数的连续性对于一元函数f(x)，如果函数在点a处的极限lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)，那么函数在点a上是连续的。
这意味着函数图像中不存在跳跃、断裂或奇点。
一元函数的极限与连续性分析
一元函数的极限与连续性分析一. 极限的概念与性质在数学中，极限是用来描述函数接近某一特定值的概念。
一般来说，当自变量趋于某个特定值时，函数的值也应该趋于一个特定的值。
极限可以帮助我们确定函数在某一点的性态。
数学中的极限有几个重要的性质：1. 极限值的唯一性：如果一个函数存在极限，那么它的极限值是唯一的；2. 有界性：如果一个函数在某一点存在极限，那么在该点附近，函数的值也应该是有界的；3. 保序性：如果一个函数在某一点存在极限，那么在该点附近，函数的增减性应该与极限值的正负关系一致。
二. 极限的计算方法为了计算函数的极限，我们需要了解一些常用的计算方法，如以下几种：1. 直接代入法：将自变量的值直接代入函数中，求得函数在该点的极限；2. 分式法则：对于有分式形式的函数，可以使用分子分母分别求极限的方法；3. 夹逼准则：当我们发现一个函数介于两个极限值之间时，可以利用夹逼准则求得函数的极限；4. 洛必达法则：针对某些难以直接求得极限的函数，可以使用洛必达法则来简化求解过程。
三. 连续性的概念和判断在数学中，连续性是一种重要的性质，它描述了函数在某一点附近的性态。
具体来说，如果函数在自变量的某一点处的极限与该点处的函数值相等，那么我们称该函数在该点处是连续的。
有几个常见的连续性判断方法：1. 极限定义判定连续性：函数在某一点连续的定义可以用极限的概念来描述；2. 闭区间连续性定理：如果一个函数在闭区间[a, b]上处处连续，且在开区间(a,b)内可导，则该函数在[a, b]上也可导；3. 初等函数的连续性：对于初等函数（如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等），它们在其定义域上都是连续的。
四. 极限与连续性的应用极限与连续性理论在数学中有广泛的应用，其中一些应用包括：1. 曲线的切线与法线：利用函数极限的性质，我们可以确定曲线在某一点处的切线和法线；2. 导数的定义和计算：导数是函数极限的一种特殊形式，它可以帮助我们计算函数的变化率；3. 函数的最值问题：利用函数在区间内的极限性质，我们可以确定函数的最大、最小值；4. 微积分基础：极限与连续性是微积分的基础概念，它们为我们后续学习微分和积分打下坚实的基础。
一元函数的连续与极限-闭区间上连续函数的性质
又 Q f ( x )在( ∞ ,+∞ )内连续 ∴ f ( x )在[ X , X ]上连续，从而在 [ X , X ]上有界
故存在常数 M1 > 0，使得
f ( x ) ≤ M1 , x ∈ [ X , X ]
取
M = max{ M1 , 1 + A }，则
f ( x) ≤ M .
x ∈ ( ∞ ,+∞ )，均有 即 f ( x )在( ∞ ,+∞ )上有界 .
而 F ( a ) = f ( a ) a < 0,
F (b ) = f ( b ) b > 0,
由零点定理,
ξ ∈ (a , b), 使 F (ξ ) = f (ξ ) ξ = 0,
即 f (ξ ) = ξ .
6. 设 n ∈ N + , 函数 f ( x )在区间[0, n]上连续，且
1
3 x ,1 < x ≤ 2
O
2
x
O
1
2
x
f (x)在[0, 2]上无最大值和最小值 推论 (有界性定理) 在闭区间上连续的函数在该区 间上一定有界.
（二）零点定理与介值定理
定义 如果 f ( x0 ) = 0, 则称 x0 为函数f (x) 的零点. 定理1.19 ( 零点定理 ) 若 f ( x ) ∈ C [ a , b ]，且
f ( 0) = f ( n )
证明存在点 x0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1).
证 1 当 n = 1 时， 由条件 f (0) = f (1) = f (0 + 1)
知 x0 = 0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1). 2o 当 n ≥ 2 时，令
函数极限和连续知识点总结
函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。
这种趋向的性质称为函数的极限。
在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。
例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。
这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。
现在，我们来正式介绍函数极限的定义。
定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。
那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。
1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。
这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。
1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。
一元函数的极限与连续性研究
一元函数的极限与连续性研究一、引言在数学分析中，研究一元函数的极限与连续性是非常重要的领域。
极限与连续性是分析学的基础概念，对于深入理解函数的性质以及在应用数学中的应用具有重要意义。
本文将从一元函数的极限和连续性两个方面进行探讨。
二、一元函数的极限1. 极限的定义极限是函数在某一点附近的趋势描述。
对于一元函数f(x)，当x无限接近某一点a时，如果f(x)的值无限接近于一个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限的性质极限具有唯一性、保序性以及四则运算的性质。
即极限存在且唯一，存在极限的函数也一定有界。
此外，极限也满足加法、减法、乘法和除法等基本运算法则。
3. 极限的计算方法通过利用极限的性质，我们可以通过分解、合并、换元等方法来求解一元函数的极限。
常见的极限计算方法包括直接代入法、夹逼定理、反函数法等。
三、一元函数的连续性1. 连续性的定义连续性是指函数在某一点处无间断的性质。
对于一元函数f(x)，如果在某一点a的邻域中，函数值f(x)无限接近于f(a)，那么我们称函数在点a处连续。
2. 连续性的性质连续函数具有保持运算和复合运算的性质。
即连续函数的和、差、积、商以及复合函数仍然是连续函数。
此外，常见的连续函数还包括初等函数、多项式函数等。
3. 连续性的判定连续性的判定可以通过使用极限的概念来进行。
如果一个函数在其定义域上的每一点处都有极限存在，并且该极限值等于函数在该点的函数值，那么该函数就是连续函数。
四、极限与连续性的应用极限与连续性在数学中的应用非常广泛。
例如，在微积分中，极限和连续性是计算导数和积分的基础概念。
此外，极限还可以用于解决数列极限、级数收敛性等问题，在物理学、工程学、经济学等领域也有广泛的应用。
五、结论一元函数的极限和连续性是数学分析中一项重要且基础的研究内容。
通过对极限和连续性的研究，可以深入理解函数的性质，并且应用于解决实际问题。
高等数学第1章 一元函数的极限与连续
值域为: Rf og = R.
第一节 一元函数
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
第一章
一、主要内容
（一）函数的概念及图形
1. 函数的概念
定义1 设数集 D ⊆ R , 则称映射 f : D → R 为定义在
D 上的一元函数 , 记为 y = f ( x), x ∈ D .
9. 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类 型。
10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函 数的介值定理与最大值、最小值定理。
预备知识
一、主要内容 二、典型例题
一、主要内容 (一) 平面点集
1. 集合的概念 定义 1 具有某种特定性质的事物所组成的总体称为集合. 集合中的每个事物称为该集合的元素. 不含任何元素的集合称为空集 ,记作 ∅ . 元素 a 属于集合 M , 记作 a∈ M .
称由映射g和f 构成的映射为复合映射 , 记作 f o g,
二、典型例题
例1 f : R → R1 = { y y ≥ 0 }, f ( x ) = x2 .
Q f ( X ) = R f = R1
y
∴ 映射 f 是满射 . 不是单射.
y
y = x2
例2 f : R → R, f ( x ) = x2 .
第一章 一元函数的极限 与连续
本章基本要求
1. 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数 概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性 和有界性）的了解。
2. 理解复合函数的概念,了解反函数的概念。 3. 会建立简单实际问题中的函数关系式。
4. 理解极限的概念，了解极限的定义（不要
求学生做给出ε求δ或N 的习题）。