最新运筹学多目标规划(2)
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第五章运筹学目标规划
目标约束（软约束）：引入正、负偏差变量后，对各 个目标建立的目标约束方程。
c x d d kj j k k Ek j 1 n
原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约 束(软约束)
原来的目标函数，在目标规划中只是成了问题要达到的
目标之一 ,“目标利润不低于12（百元 ）”, 可以表示 成 min{d1-}
利润（元/件）
I 5 4 6
II 10 4 8
资源限量 60 40
• 设产品I和II的产量分别为X1和X2，当用 线性规划来描述和解决这个问题时，其 数学模型为： max z 6 x1 8 x2
5 x1 10x2 60 4 x1 4 x2 40 x ,x 0 1 2
例1.某企业计划生产甲、乙两种产品，这些产品分别要在 A、B、C、D四种不同的设备上加工。各产品占用资源数 量，资源拥有量及产品利润见下表。问如何安排生产，才 能获得最大的总利润？
消耗 产品 甲 乙
设备
设备工作 台时
A
B C D 利润（百元/件）
2 1 4 0 2
2 2 0 4 3
12 8 16 12
解：设 x1， x2 分别表示甲乙产品的产量，则相应的线性 规划模型为： max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12 x1 2 x2 8 s.t . 4 x1 16 4 x2 12 x1 , x2 0
它的最优解为: x1 =4, x2 =2, z =14
ｄ＋——超出目标的差值，称正偏差变量； ｄ-——未达到目标的差值，称负偏差变量。
ｄ＋与ｄ－两者必有一个为零
（1）ｄ-＝0，ｄ＋>0 表示实际值超出规定目标值； （2）ｄ->0，ｄ＋＝0 表示实际值未达到目标值； （3）ｄ-=0，ｄ＋＝0 表示实际值同规定目标值恰好一致。
运筹学基础-目标规划(2)
设备负荷（台小时） 设备负荷（台小时） 单位产品利润 (元) 元
(1) 第1级目标是要完成或超额完成利润指标45000元； (2) 第2级目标是产品甲的生产件数不得超过200件；产品乙的生产件数不得低 于250件； (3) 第3级目标是现有钢材3600吨必须用完 试建立目标规划模型 目标规划模型。 目标规划模型
解 设A,B,C三种产品每月的产量分别为x1,x2,x3；单位工时利润分 别为1000/5=200，1440/8=180，2520/12=210。故单位工时利润比例为 20：18：21。于是得到目标规划模型为 min Z=P1d1-＋ P2(20d2- ＋18 3- ＋21 4- ) ＋ P3d5+＋ P4(20d6- ＋18 7- ＋21 8- ) (20 18d 21d (20 18d 21d
d＋——超出目标的差值，称正偏差变量； d－——未达到目标的差值，称负偏差变量；
2.绝对约束与目标约束 2.绝对约束与目标约束 绝对约束又称系统约束，是指必须严格满足的等式和不等 绝对约束 式约束。 目标约束： 目标约束：对那些不严格限定的约束，连同原线性规划 建模时的目标函数 目标函数转化为的约束，称为目标约束 目标约束。 目标函数 目标约束
每月运转时间是170小时，充分利用现有工时，必要时加班，列为第一优先级 小时，充分利用现有工时，必要时加班， 每月运转时间是 小时 A,B,C的最低产量分别为 ，5，8台，列为第二优先级 的最低产量分别为5， ， 台 的最低产量分别为 生产线的加班时每月不超过20小时， 生产线的加班时每月不超过 小时，列为第三优先级 小时 A,B,C的月销售指标分别为 ，12，10台，列为第四优先级 的月销售指标分别为10， ， 台 的月销售指标分别为
上节小结：目标规划的基本概念
运筹学多目标规划(2)
0 λ
-1/4 1/4
主元运算：第二行加上第三行（-2）倍
0 x1 -P1 0 d1d2x1 P1 P2 0 0 1 0 x2 1 2 1/2 0 d1+ -1 0 0 -P1 -5p2 0 d1- d2+ d21 0 0 0 -1 0 0 1 0 -p2 d3+ 3/2 1/2 -1/4 0 d30 -1/2 1/4 100 40 30
第二行除以2
0 x1 -P1 0 d1x2 x1 P1 P2 0 0 1 0 0 0 x2 1 1 1/2 1 0 0 d1+ -1 0 0 -1 0 -P1 -5p2 0 d1- d2+ d21 0 0 0 0 0 0 -p2 d3+ 0 d320 30
3/2 -3/2 100
0 λ
-1/2 1/2 1/4 -1/4 0 0 -1/4 1/4 0 -5 0 0 3/2 -3/2 -1 0
0 λ
1/2 0
-1/4 1/4
主元运算：第一行加上第三行（-6）倍
0 x1 -P1 0 d1 d2 d3 P1 P2 0 2 1 0 x2 1 3 1/2 0 d1+ -1 0 0 -P1 -5p2 d1 1 0 0 0 -p2 d3 + 0 d3 -
d2 + d2 0 -1 0 0 1 0
3/2 -3/2 100 0 0 100 30
0 λ
0 x1 -P1 0 d1 d2 x1 P1 P2 0 0 1 0 0
0 x2 1 (2) 1/2 1 0
0 d1+ -1 0 0 -1 0
-P1 -5p2 d1 1 0 0 0 0
0
-p2 d3 +
0 d3 -
运筹学课件第四章 目标规划
一、目标规划的数学模型
例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台
第四章
电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小
时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元， 每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。 该厂目标：
1、充分利用装配线，避免开工不足。
2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、尽量满足市场需求。
(70,50),11000;
E(50,100),13000。
50
d+.d- =0
B O 50 100
X1 100X1+80X2 = 10000
二、目标规划的图解法
例2：用图解法求解。
第四章
min z
P d P d d P d 1 1 2 2 2 3 3
4 x1 16 4 x2 12 x x d d 1 2 1 1 0 s.t. x 2 x d d 1 2 2 2 8 2 x1 3 x2 d 3 d3 12 x , x , d , d i 1,2,3 1 2 i i 0
一、目标规划的数学模型
例3 Ⅰ Ⅱ 资源拥有量
第四章
原材料(公斤)
设备(小时) 利润(千元/件)
2
1 8
1
2 10
11
10
(1)、原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以 要严格控制。
(2)、市场情况，产品Ⅰ销售量下降，产品Ⅰ的产 量不大于产品Ⅱ的产量。 (3)、充分利用设备，不希望加班。 (4)、尽可能达到并超过利润计划指标56千元。
一、目标规划的数学模型
目标规划数学模型涉及的基本概念 1、偏差变量
多目标规划(运筹学)
09:18
3
目标规划模型的约束和目标 目标规划模型里，目标被描述成了约束条件 约束分为软约束和硬约束
硬约束：必须得到满足的条件 软约束（目标约束）：描述模型目标的约束条件
硬约束必须得到满足 目标规划模型的目标是各个目标约束满足程 度的偏差量的加权和
09:18
4
目标约束建模：
如一个管理者构建了一个劳动力工时的目标，则：
阅读材料：
书P153，例7-1 书P160-161，7-3节
09:18
13
第二节 层次分析法
多准则决策问题(multi-criterion decision making problems) 可分为:
多目标决策问题(multi-objective decision making problem)：决策变量是连续的，备选方案有无限多。如 目标规划可以解决此类问题。
主要内容
了解目标规划与线性规划的相同点与不同点 掌握建立目标规划模型的方法 可用图解法解决有两决策的目标规划 掌握用描述层次分析法解决的问题 熟悉用AHP计算每个方案的一致性比例、优 先级百分比和优先级分数方法
09:18
1
第一节 目标规划
目标规划的来源
管理层的目标通常包括下面一些内容：
▪保持稳定的利润 ▪增加市场份额 ▪多样化产品线 ▪保持价格稳定
12x1+9x2+15x3+u1-v1=125 5x1+3x2+4x3+u2-v2=40 5x1+7x2+8x3+u3-v3=55 xi0, ui 0, vi0
09:18
8
LINDO中数据输入为
Min 5u1+2v2+4u2+3v3 St 12x1+9x2+15x3+u1-v1=125 5x1+3x2+ 4x3+u2-v2=40 5x1+ 7x2+ 8x3 +u3-v3=55 end
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
高等教育运筹学课程多目标规划
每月销售唱机不少于80台 X2 + d3 d3+=100
每月销售录音机为100台 2X1+ X2+ d4 d4+=180
不使A车间停工 X1+ 3X2+ d5 d5+=200
不使B车间停工 d4++ d41 d41+=20
A车间加班时间限制在20小时内 X1;X2;d ; d + ;d41;d41+ 0i=1;2;3;4;5
6X1+4X2+ d1 d1+=280 2X1+3X2+ d2 d2+=100 4X1+2X2+ d3 d3+=120
X1;X2;di; di+ 0i=1;2;3
练习1
某车间有A B两条设备相同的生产线;它们 生产同一种产品 A生产线每小时可制造2件 产品;B生产线每小时可制造1 5件产品 如果 每周正常工作时数为45小时;要求制定完成 下列目标的生产计划：
产品 /资源
甲
原材料钢 （吨）
2
加工时间（小时）
4
单位利润（百元）
6
可利用
乙
的资源
总量
3
100
2
120
4
解：设生产甲产品X1件;乙产品X2件;则应用线性规划;建立模 型如下：
MAX Z=6X1+4X2 2X1+3X2<100 4X1+2X2<120 X1 X2 > 0
用单纯形法求得最优解=20;20；最优值=200百元
0 0 1/2 5/4
最终单纯形表为：
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
每月销售录音机为100台 2X1+ X2+ d4 d4+=180
不使A车间停工 X1+ 3X2+ d5 d5+=200
不使B车间停工 d4++ d41 d41+=20
A车间加班时间限制在20小时内 X1;X2;d ; d + ;d41;d41+ 0i=1;2;3;4;5
6X1+4X2+ d1 d1+=280 2X1+3X2+ d2 d2+=100 4X1+2X2+ d3 d3+=120
X1;X2;di; di+ 0i=1;2;3
练习1
某车间有A B两条设备相同的生产线;它们 生产同一种产品 A生产线每小时可制造2件 产品;B生产线每小时可制造1 5件产品 如果 每周正常工作时数为45小时;要求制定完成 下列目标的生产计划：
产品 /资源
甲
原材料钢 （吨）
2
加工时间（小时）
4
单位利润（百元）
6
可利用
乙
的资源
总量
3
100
2
120
4
解：设生产甲产品X1件;乙产品X2件;则应用线性规划;建立模 型如下：
MAX Z=6X1+4X2 2X1+3X2<100 4X1+2X2<120 X1 X2 > 0
用单纯形法求得最优解=20;20；最优值=200百元
0 0 1/2 5/4
最终单纯形表为：
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
目标规划运筹学讲义
•黑 白 ••B.••A.
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
•满意解 （优先 彩电•不） •彩能
•黑 •满意解
白
（优先 ••B.••A.黑白）
•彩
•
•第四章：目标规划及其图解法（1）
•总结本节课：目标规划难点三个 •难点1.建立模型中：目标函数偏差是正或者负 •难点2.图解方法中：方向偏差是正或者负 •难点3.图解方法中：判断解
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
•
•第四章：目标规划单纯形法和灵敏度（2
）
•P106 例
目标规划单纯形法
•Min z=p1d1++p2(d2-+d2+)+ p3d3-
• 2x1+ x2+ Xs
x1－ x2
+ d1- -d1+
x1 + 2x2
+d2_－d2+
=11 =0 =10
• 8x1 + 10x2
d CB XB X1 X2 Xs
1
d1+
d2-
d2+ d3-
d3+
B-1
b
0 XS
0 d1-
0 X2 1/2 1
1/2 1/2
5 5/1.
5
P3 d3-
P1
1
检 P2
验 数
P3
－1 －2 －8 －10
2 1
•把这一行所有数乘以（2P2+10P3）加到检验数这一行：
•（- P2 - 8P3）+ (1/2) （2P2+10P3）= - 3P3
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
•要点2 检验数的计算 •
运筹学第四章多目标规划
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
di+= fi(X)-fi(0) fi(X)>fi(0)
0
fi(X)fi(0)
负偏差变量（di-）：
实际决策值低于第i个目标值的数量
di-= 0
fi(X)fi(0)
fi(0) -fi(X) fi(X)<fi(0)
di+0 说明实际值超过目标值 则di-=0
di-0 说明实际值低于目标值 则di+=0
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21 .7.221. 7.2Frid ay , July 02, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。23:46:4423 :46:442 3:467/2 /2021 11:46:44 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 7.223:4 6:4423:46Jul-2 12-Jul- 21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。23:46:4423:4 6:4423:46Friday , July 02, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.7.221.7.22 3:46:44 23:46:4 4July 2, 2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年7月 2日星 期五下 午11时4 6分44 秒23:46:4421.7. 2 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年7月下 午11时 46分21 .7.223:46July 2, 2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021 年7月2 日星期 五11时4 6分44 秒23:46:442 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午11时4 6分44 秒下午1 1时46 分23:46:4421.7. 2
运筹学课件 第五章多目标规划
目标3 ：应尽可能利用现有设备，但不希望加班； 目标4 ：应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
运筹学多目标规划
4-4 多目标规划的单纯形算法
多目标规划问题与线性规划问 题相似，可用单纯形算法求解。
注意：在比较检验数大小时，要 先比较较高级别的系数，再比较 较低级别的系数。
例4-9（例4-5）
目标函数：Min Z=P1d1+P2(5d2++d3+) 约束方程：
6X1+4X2+ d1-- d1+=280 2X1+3X2+ d2-- d2+=100 4X1+2X2+ d3-- d3+=120
1 120
P1 6 4 -1 0 0 0 0 0
λ P2 0 0 0
0
-5 0 -1
0
主元运算：第三行除以4
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-P1- d1- 6 4 -1 1 0 0 0 0 280 0 d2- 2 3 0 0 -1 1 0 0 100
0 x1 1 0 0 0 1/4 -1/4 -3/8 3/8 20
P1
λ P2
计算检验数
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-
-P1 d1- 0 0 -1 1 1/2 -1/2 (5/4) -5/4 80
0 x2 0 1 0
0 x1 1 0 0
0 x1 1 1/2 0 0 0 0 -1/4 1/4 30
P1 0 1 -1 0 0 0 3/2 -3/2
λ P2 0 0 0 0 -5 0 -1 0
第一行加上第二行（-1）
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-P1 d1- 0 0 -1 1 1/2 -1/2 5/4 -5/4 80 0 x2 0 1 0 0 -1/2 1/2 1/4 -1/4 20
多目标规划问题与线性规划问 题相似，可用单纯形算法求解。
注意：在比较检验数大小时，要 先比较较高级别的系数，再比较 较低级别的系数。
例4-9（例4-5）
目标函数：Min Z=P1d1+P2(5d2++d3+) 约束方程：
6X1+4X2+ d1-- d1+=280 2X1+3X2+ d2-- d2+=100 4X1+2X2+ d3-- d3+=120
1 120
P1 6 4 -1 0 0 0 0 0
λ P2 0 0 0
0
-5 0 -1
0
主元运算：第三行除以4
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-P1- d1- 6 4 -1 1 0 0 0 0 280 0 d2- 2 3 0 0 -1 1 0 0 100
0 x1 1 0 0 0 1/4 -1/4 -3/8 3/8 20
P1
λ P2
计算检验数
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-
-P1 d1- 0 0 -1 1 1/2 -1/2 (5/4) -5/4 80
0 x2 0 1 0
0 x1 1 0 0
0 x1 1 1/2 0 0 0 0 -1/4 1/4 30
P1 0 1 -1 0 0 0 3/2 -3/2
λ P2 0 0 0 0 -5 0 -1 0
第一行加上第二行（-1）
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-P1 d1- 0 0 -1 1 1/2 -1/2 5/4 -5/4 80 0 x2 0 1 0 0 -1/2 1/2 1/4 -1/4 20
运筹学目标规划
单目标规划 例5-2:某工厂生产A，B两种产品，有关数据如下。实现目标利润为140万元的最优生产方案
设备(台时) 原材料(KG) 利润(万元)
A
B
4
2
2
4
8
6
可用量 60 48
从决策者的角度看，他希望超过利润目标值，若达不到，也希望尽可能接近，即负偏差最 小
min Z d -
8 x 6 x - d d - 140
第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
• 线性规划的局限性 ▪ 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题
• 实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 ▪ 生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 ▪ 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
• 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小的；有定量的，有定性的；有互相补 充的，有互相对立的，LP则无能为力
例：甲乙产品的最优生产计划。
资源
产品
甲
乙
设备A
2
0
设备B
0
2
设备C
3
4
单位利润
3
5
现有资源 16 10 32
• 根据市场需求/合同规定： ▪ 希望尽量扩大甲产品 ▪ 减少乙产品产量。
• 又增加二个目标：
maxZ1=3x1+5x2 maxZ2=x1 minZ3=x2
2x1 ≤16 2x2 ≤10
3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
根据市场预测：
maxZ1=70 x1 + 120x2 minZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0