有限体积法讲义
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设
t t
t
0 TP dt fTP 1 f TP dt
f 0,1 权系数
则
a PTP a E fTE 1 f
0 aP
1 f a E
a fT 1 f a T
0 TE W W 0 P
W
1 f
q wds
j j 1 j
n
引入记号
w n ds j H ij w ds c i n j
j i j i
Gij
j
wds
则
H u G q
ij j ij j 1 j 1
n
n
j
或写成矩阵形式
a.常数单元（1节点）
取单元中点为节点,则
u const q const
b.线性单元（2节点） 取单元两端点为节点,则
j 1 1 j1
2 j 1 1 j2 2 u j u1j1 u 2j 2
q j q1j1 q 2j 2
令
Ke Kw aE , aW x E x w a P a E aW , b S x
则
a PTP a E TE aW TW b d
或
aPTP
a
nbT
b d
足标nb表示相邻节点.
d 或d 标准形式
将分成j 1,2,..., n个直线段称为单元。 u 设待求函数u及导数q 的逼近函数为 n
u q x y
j j
ji ui
j j j
CFD2013-第7讲-有限体积法1
x
y
Qij[1
t x
*A
t y
*B
]
[
t x
A Q i1, j i1, j
t y
B i,
j
1Q
i
,
j
1
]
[
t x
A Q i1, j i1, j
t y
B Q ] i, j 1 i, j 1
tRHS
D U L (D L )D1(D U ) LD 1U
[j,j+1]区间内
U A~ U 0 t x
常系数方程的 Riemann解
f j1/2
1 2
[f(UR
)
f(UL
)]
1 2
S 1
S(UR
UL)
~ A(U R , U L
)
应当具有的性质
~
f(UR ) f(UL ) A(UR , UL )(UR UL )
~ A(U R , U L )
2） f j1/ 2 f (u j1/ 2 )
j-1/2
j+1/2
f j1/ 2 （称为数值流通量） 的含义
u j1/ 2 u(x j1/ 2 ) u在xj+1/2点的值！
关键： 是用 u j 计算 u j1/2（称为重构） ，而不是用 u j 计算u j1/2
F n 垂直于n方向的单位面积的质量、动量和
能量
u u
F
n F1nx
F2ny
u2 uv
p
nx
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限元法与有限体积法
C1h2 ≤ SQ ≤ h2,
∀Q ∈ Ω∗h
(15)
C2h2 ≤ SP∗0 ≤ C3h2,
∀P0 ∈ Ω¯ h.
(16)
取试探函数空间 Uh 为相应于 Th 的一次有限元空间,即 Uh = {uh | uh ∈ C(Ω), uh |K∈ P1(K), ∀K ∈ Th, uh |∂Ω= 0} ⊂ H01(Ω). (17)
P0 ∈ Ω˙ h.
(34)
7
据定理2.1和上式有
uh − Πhu
2 1
=
1 C
a(uh
−
Πhu, Π∗h(uh
−
Πhu))
=
1 C
a(u
−
Πhu, Π∗h(uh
−
Πhu)),
从而
uh − Πhu 1
≤
1 C
sup
u¯h∈Uh
|
a(u
−
Πhu, Π∗hu¯h) u¯h 1
|
(35)
其中
| a(u − Πhu, Π∗hu¯h) |≤ Ch | u |2 u¯h 1 .
(26) (27)
(28)
=
f dxdy
KP∗ij
(29)
5
三、误差估计
命题 2.1 对于求解问题(1)-(2)的有限体积法的双线性形式 a(·, ·) 有:
a(uh, Π∗hu¯h) =
∇uh · ∇u¯hdxdy = a(uh, u¯h), ∀uh ∈ Uh. (30)
K∈Th K
其中 a(uh, u¯h) 表示有限元法中的双线性形式 a(·, ·).
求解Poisson方程的有限体积法定义为:求 uh ∈ Uh,使得
a(uh, vh) = (f, vh), ∀vh ∈ Vh,
5. 有限体积法
控制方程的通用形式
• 表示通用变量
( ) ( u ) ( grad ) s t
( ) ( u ) ( v ) ( w ) t x y z ( ) ( ) ( ) s x x y y z z
其中：通用变量可以代表u、v、w、T等求解变量； 为广义扩散系数； S为广义源项。
控制方程的通用形式
( ) ( u ) ( grad ) s t
非守恒型控制方程
有限体积法入门
有限体积法主要优势： 处理复杂网格 差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
显式时间积分方案
• f=0时
• 方程稳定性条件
Crank-Nicolson 时间积分方案
• f=1/2时
全隐式时间积分方案
• f=1
有限体积法基本原则
• 1.控制体积界面上的连续性原则 通过某特定界面从一个控制体积所流出的热通量，必须等 于通过该界面进入相邻控制体积的热通量。 • 2. 正系数原则 • 3.源项的负斜率线性化原则
ˆ V ˆ f ˆ f ˆ ˆ f ˆ V ˆ V U 1 2 3 1 2 3 t
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难 差分法 优点 不足 简单、计算量小、易 于提高精度 有限体积法 本身包含几何信息， 易处理复杂网格
差分离散与几何解耦， 复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
CFD2013-第8讲-有限体积法2
U f(U) 0 t x
U U R U
L
x0 x0
u*
1） 精确 Riemann解 （Godunov方法）
v, w 按照被动标量处理
L R
u* 0 u* 0
Copyright by Li Xinliang
Copyright by Li Xinliang 1
知识回顾： 有限体积法基本流程
U IJ 1 t IJ
F nds
1 IJ
Fv nds 0
无粘项常用方法 （流过AB边的通量）： a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J) 点处的物理量；
直接利用“差分格式” b. 利用该处的物理量，计算出流过AB边的流通量 迎风型方法需利用“通量分裂技术”
9
2） Roe 近似Riemann解
Riemann 问题：
U f(U) 0 t x U f(U) 0 t x
U U ( x, tn ) R U
L
Roe平均
[( L R ) / 2]2
u ( L u L R u R ) /( L R ) H ( L H L R H R ) /( L R )
计算流体力学讲义2011
第八讲 有限体积法（2）
李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
通量分裂技术简述 加速收敛技术
讲义、课件上传至 (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 /browse.aspx/.Public
有限体积方法
第三讲 空间离散方法—有限体积法由于控制方程的复杂性，很难求出其解析解，一般采用数值方法对其进行求解。
采用数值求解方法，首先要对流场空间进行离散，即用一些基本体积单元对物理空间进行填充，要求这些体积单元既不能重叠，也不应有间隙，我们称这些体积单元为网格，或控制体积，填充的过程则称为网格生成。
对于二维流动，基本的网格单元有三角形和四边形网格，而对于三维流动，则基本的网格单元可由四面体、三棱柱、金字塔和六面体单元组成，图3.1即为机翼附近网格。
网格划分完成后，就可以应用相应的数值求解方法把每个网格单元中心点处的流动变量求解出来，也就完成了全部流场的计算。
有限体积法就是针对每个控制体积直接对积分形式的控制方程进行离散，从而把积分型方程近似为代数方程进行求解的方法。
图3.1 机翼附近网格3.1 N-S 方程的半离散形式积分形式的N-S 方程为： ∫∫Ω∂Ω=⋅−+Ω∂∂0)(dS n F F Qd t V c r （3-1） 针对空间某一控制体I Ω，首先对时间导数项进行处理，假设守恒变量Q 在控制体积内为常数分布，即等于控制体中心点处的值I Q （也即为控制体积内守恒变量的平均值），有∫Ω∂∂Ω=Ω∂∂t Q Qd t I （3-2） 式（3-1）变为 ∫Ω∂⋅−Ω−=∂∂dS n F F t Q v c I r )(1 （3-3）假设对流通量和粘性通量在控制体界面上为常值分布，且等于界面中心点（面心）处的值，则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ⋅−Ω−=∂∂∑=F N m m m v c I S F F t Q 1)(1 （3-4） 对式（3-3）右端项的近似称为空间离散，而式（3-4）时间方向暂时保留连续的形式，所以称该式为半离散控制方程。
式（3-4）中的m S Δ为第m 个界面的有向面积，即该面的外法线矢量与界面面积的乘积，为一矢量，又称面积矢量。
仔细观察半离散方程可以发现：时间导数项是由单元中心点处的守恒变量值表示的，我们称其为单元中心法；式（3-4）右端项中的通量是关于界面处流动变量的函数，需由界面处的流动变量来确定，由此可看出，流动变量I Q 与流动通量m S F Δ⋅的空间存储位置不同，要想求出流动通量，需先假设流动变量在控制体积内的分布规律，这一过程称为重构，然后确定界面处的流动变量值，再求出界面处的流动通量。
计算流体力学 有限体积法基础及其应用
一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义1.2 计算流体力学的研究对象1.3 计算流体力学的发展历史二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理2.1.2 有限体积法的数学模型2.2 有限体积法的数值求解2.2.1 离散化2.2.2 迭代求解三、有限体积法在计算流体力学中的应用3.1 有限体积法在流体流动模拟中的应用 3.1.1 管道流动模拟3.1.2 自由表面流动模拟3.2 有限体积法在传热问题中的应用3.2.1 对流传热3.2.2 辐射传热四、有限体积法在工程领域中的应用4.1 有限体积法在航空航天领域中的应用 4.2 有限体积法在汽车工程中的应用4.3 有限体积法在建筑工程中的应用五、有限体积法的发展趋势5.1 高性能计算技术对有限体积法的影响5.2 多物理场耦合对有限体积法的挑战5.3 人工智能在有限体积法中的应用六、结论一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是利用计算机模拟流体力学问题的一门学科。
它通过对流动流体的数值解，来研究流体在各种情况下的运动规律和性质。
1.2 计算流体力学的研究对象计算流体力学的研究对象包括流体的流动、传热、传质、振动等现象，以及与流体相关的各种工程问题，如飞机、汽车、建筑等的气动特性分析与设计。
1.3 计算流体力学的发展历史计算流体力学的发展可以追溯到20世纪50年代，当时计算机技术的进步为流体力学问题的数值模拟提供了可能。
随着计算机硬件和软件的不断发展，CFD的应用领域不断扩大，成为现代工程领域不可或缺的工具之一。
二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理有限体积法是求解流体动力学问题的数值方法之一，它基于质量、动量和能量守恒的控制方程，将求解域离散化为有限数量的体积单元，通过对控制方程进行积分，将方程转化为代数方程组。
计算流体力学(中科院力学所)第10讲有限体积法2精品PPT课件
5
u f (u) 0 t x
uj fˆj1/2fˆj1/2
x
x
uj fj1/2fj1/2
x
x
概念：MUSCL与 非MUSC类方法
差分 有限体积
fˆ j 1 / 2
切线 u j
uj
j-1
fˆ j 1 / 2
f j1/ 2
如何计算 fˆ j 1 / 2 或 f j 1 / 2 ？
方法1 （非MUSCL类）： 直接利用周围几个点的函数
利用积分关系计算接触间断的速度及其左右 的物理量
ZL U *L
Z* ZR U *R
根据积分关系，可知
红色区域积分可得 f* L fL Z L (U * L U L )
蓝色区域积分可得 f* R fR Z R (U * R U R )
TZ L
x TZ R
R-H关系式； 弱解定义式 含义： 控制体内质量的增加等于
求解方程组：
riemannsolversnumericalmethodsfluiddynamicsspringer2009thirdedition控制体内质量动量能量的减少等于流出控制面的通量lixinliang若控制体空间足够大或时间跨度足够小扰动波未达到控制体的边界如图未扰动把积分域分成三段
计算流体力学讲义
[ U ( x ,T ) U ( x ,0 )d ] x [ f( x L ,U t) ) f(( x U R ,t)d ) 0 ] t
x L
0
Ref.： E. F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2009 (Third Edition)
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：(2)上式中，f显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：(3)近似为方格中心点的值乘以方格的面积。
三阶精度积分：(4)四阶精度积分：(5)应该注意的是，采用不同精度的积分公式，在相应的边界点的插值时也应采用相应精度的插值函数。
积分公式的精度越高，近似公式就越复杂。
教学课件：第1章-有限体积法
在应用中，有限体积法能够处理复杂的多物理场耦合问题，如流体与结 构的相互作用、热力电化学反应等，为复杂系统设计和优化提供重要依 据。
04
有限体积法的优缺点
教学与人才培养
为了更好地推广和应用有限体积法， 需要加强教学和人才培养工作。例如 ，在高校开设相关课程，介绍有限体 积法的基本原理和应用实例；组织学 术交流活动，促进研究人员之间的合 作与交流；提供实践机会，让学生在 实际项目中锻炼和掌握有限体积法的 应用技能。
THANKS
感谢观看
在应用中，有限体积法能够处理复杂 的流动问题，如湍流、分离流和多相 流等，为工程设计和优化提供重要依 据。
通过将连续的流体离散成有限个控制 体，有限体积法能够求解流体动力学 的控制方程，如Navier-Stokes方程， 得到流场的数值解。
有限体积法在传热学中的应用
传热学是研究热量传递规律的科学，有限体积法在传热学中广泛应用于数值传热学 模拟。
通过具体的应用实例，如一维稳态对 流方程、二维非稳态对流方程等，展 示了有限体积法的计算过程和结果。 这些实例表明，有限体积法能够准确 地模拟流体流动和传热过程，为工程 实际问题提供了有效的数值解决方案 。
有限体积法的局限性 和改进方向
尽管有限体积法具有许多优点，但在 某些情况下也存在一些局限性，如处 理复杂边界条件、非均匀网格划分等 问题。为了提高计算精度和效率，未 来的研究可以针对这些局限性进行改 进，如开发更高效的数值格式、研究 自适应网格技术等。
有限体积法的优点
精度高
有限体积法在计算流体 动力学问题时，能够得 到高精度的数值结果。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限体积法()ppt课件
*1980年Patankar教授的名著“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”出版。
这本书内容精炼，说理透彻，注重物理概念的阐述，深 受全世界数值传热的研究者与使用者的欢迎。出版后 不久，被相继译成俄文、日文、波兰文及中文等，成 为数值传热学领域中的一本经典著作
19
精选ppt
非结构网格在有限体积法中的应用
●非结构网格最早用于FEM； ●但题水流使流体得（流基如动于浅是F水E高流M度动的非，非线水结性波构问运网题动格，等技而）术且计未F算E能M 上在得计对到算流重量问视较题；大为，主这的些地面问 ●八了十广年泛代的以发来展，和基应于用F；VM 的非结构网格技术在空气动力学得到 ●九十年代开始一些专家学者根据浅水流动特征，将这些算法引
4
精选ppt
发展情况
1980年，S.V.Patanker在其专著《Numericacl Heat Transfer and Fluid Flow》中对有限体积 法作了全面的阐述。
此后，该方法得到了广泛应用，是目前CFD 应用最广的一种方法。
FLUENT、PHOENIX等软件都基于有限体积 法
47
精选ppt
解:
48
精选ppt
对中间节点2,3,4:
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精选ppt
边界节点1:
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精选ppt
整理得到:
51
精选ppt
边界节点5:
整理得到:
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精选ppt
工况1
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精选ppt
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精选ppt
工况2
改进办法:需要增加网格数
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精选ppt
工况3
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精选ppt
差分格式问题
有限体积法
q
n j
t
An j
q
n j
A q n n j1 j 1
x
RHS
n j
多对角方程组，不好解 （多维情况）
q
n j
(RHS
n j
Anj1q
n
j1
)
/(1
Anj
),
t / x
如果能单侧差分 就好解了！
单侧离散，可推进求解，免受 解方程组之苦。真简单
3 Copyright by Li Xinliang
空间平均 时间平均
u
n 1 j
u
n j
fˆ n j 1/ 2
fˆ n j 1/ 2
0
t
x
精确推导，不含误差
Copyright by Li Xinliang
提示：
u
n j
fˆ n j1/ 2
为区间内的空间及时 间平均值，如果把它 们理解为某点的值， 会产生误差
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u f (u) 0 t x
积分（精确）
n
LF分裂： A 1 (A *) A A * 2
q
n j
(1
* )
A q n j 1 j 1
A q n j 1 j 1
RHS
n j
近似LU分解
还是个三对 角的
奇思妙想：如果分成 两个子步，各自用单
侧值，就简单多了
Step 1:
q
n j
(1
*
)
A q n j 1 j 1
RHS
n j
离散化
u
n j
1 x
x
j1
/
2
u
n
(
x)dx
第五章 有限体积法
一般采用加权余量法推导。加权余量法的思想很简单，设某些物理问题的控制微
分方程及其边界条件分别为 f () 0 (在域内） g() 0 (在域边界上）
为待求函数。首先选定一个试探函数
（5.1.2a） （5.1.2b）
n
= cii i 1
（5.1.3）
其中， ci 为待定常数，i 为试探函数项。
5.1 求解流体流动问题的常用数值计算方法
数值计算是将描述物理现象的偏微分方程在一定的网格系统中离散，用网格
节点处的场变量值近似描述微分方程方程中各项所表示的数学关系，按照一定的
物理定律或数学原理构造与微分方程相关的离散代数方程组。引入边界条件后求
解离散的代数方程组，得到各网格节点处的场变量分布，用这一离散的场变量分
将试探函数代入式（5.1.2a）和（5.1.2b），一般来讲不可能正好满足，在域
Ω内和边界 S 上会产生误差，即
f () R g() Rb
(5.1.4a) (5.1.4b)
式中，R 和 Rb 称为余量。加权余量法的基本思想是在域Ω和边界 S 上寻找
n 个线性无关的函数Wi (i=1,2,… ,n)，使余量 R 和 Rb在加权平均的意义上等于零，
（5.1.2a）和式（5.1.2b）。当 n 足够大时， 就趋近于真解 。
例如前述一维稳态对流扩散方程式，按照加权余量法的思想，其解函数 在
有限元网格系统中的每个单元内应满足
e
d dx
(
u
)
d dx
(
d dx
)
Wdx
=0
(5.1.6)
也就是说解函数 在积分意义上满足原微分方程。在选定权函数Wi 后（有
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第8章 有限体积法
有限差分方法是从描述各种物理现象的基本微分方程出发构造离散方程的，前文已经对 其作了翔实、周密的论述。该部分将从基础算法入手分析介绍在计算流体力学界广为应用的 有限体积法。基于有限体积法的实用算法在计算流体力学、计算传热学等领域得到了飞速发 展 [1-3]。在水力学诸多问题，如水流物质输运模拟，水工水力学模拟以及溃坝洪水波演进等 水流模拟中也得到了广泛应用。
起来就和网格线一致了，但是要注意这不是同一个概念)，图中用小写字母 e、n、w、s 表示。通 常定义 e、n、w、s 几何位置位于交界面的形心点，二维则认为在公共边的中心点。
8.1.2 控制体积的选择
当你开始用有限体积法模拟流体流动时，而且划分好网格后，你必须选定控制体积的形 成方式。目前，常用的有两种方法：单元中心方式（cell-centered）和顶点中心方式 （vertex-centered）。另外一些学者还发展了由两种方式综合形成的混合方式。根据问题 的特点和要求，不同的变量可以采用不同的控制体积，因此又产生了交错网格和同位网格的 称谓，这里不再深入介绍，读者根据需要可以参考相关文献[1-3]。
§8.3 非结构网格上的有限体积法........................................................................................23 8.3.1 基本方程...............................................................................................................23 8.3.2 离散基本思路........................................................................................................24 8.3.3 数值通量近似.......................................................................................................25
目录
目录 ..................................................................................................................................................1 第 8 章 有限体积法.........................................................................................................................2
§8.2 有限体积法构造..............................................................................................................7 8.9-1 方程离散及基本格式 ............................................................................................7 8.9-2 物理特性要求 .......................................................................................................11 8.9-3 迎风型通量格式 ..................................................................................................14 8.9-3 TVD 格式 ..............................................................................................................18
第 9 章 在水力学问题中的应用...................................................................................................29 §9.1 渗流问题中的应用.........................................................................................................29 9.1.1 饱和—非饱和地下水运动基本控制方程 ............................................................29 9.1.2 方程的离散............................................................................................................31 9.1.3 算例【陈扬 硕士论文】......................................................................................33 §9.2 二维明渠非恒定流计算.................................................................................................38 9.2.1 水流基本方程........................................................................................................38 9.2.2 控制方程的离散....................................................................................................39 9.2.3 计算实例...............................................................................................................53 §9.3 三维紊动分层流计算.....................................................................................................64 9.3.1 紊动分层流基本方程............................................................................................64 9.3.2 紊流模型及控制方程离散...................................................................................65 9.3.3 压力校正法............................................................................................................66 9.3.3 边界条件................................................................................................................69 9.3.4 盐度引起的负浮力流动........................................................................................71
§8.1 有限体积法的基本概念...................................................................................................2 8.1.1 几个术语..................................................................................................................2 8.1.2 控制体积的选择.....................................................................................................3 8.1.3 结构与非结构网格.................................................................................................5
该方法适用于任意类型的单元网格，便于应用来模拟具有复杂边界形状区域的流体运 动；只要单元边上相邻单元估计的通量是一致的，就能保证方法的守恒性；有限体积法各项 近似都含有明确的物理意义；同时，它可以吸收有限元分片近似的思想以及有限差分方法的 思想来发展高精度算法。由于物理概念清晰，容易编程；有限体积法成为了工程界最流行的 数值计算手段。
8.1.1 几个术语
在进行数值计算时，要把计算区域划分成一系列互不重叠的离散小区域，然后在该小区 域上离散控制方程求解待求物理量。在有限差分法中只涉及到网格节点的概念，而有限体积 法因为物理解释需要，形成了以下几个常用几何要素的相关名词。
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