数学必修二垂直的判定与性质

【模块标题】垂直的判定与性质<模块综述>空间中的垂直关系有三种类型——线线，线面，面面，各垂直关系的证明相对于上节课的平行关系难度要大的多，尤其是在证明三种垂直关系时都会碰到线、面的选择性问题，这也是本节的重难点．首先来回顾一下空间中垂直关系的基础知识. 知识回顾：从图形描述三类垂直间的关系：<承接>三类垂直间有紧密的关系，通过判定或者性质定理可实现两者间的互相推导． 低维向高维推导叫判定定理，高维向低维推导叫性质应用． 提问学生4个箭头中哪几个是判定定理，哪些是性质定理．<承接>为了更加熟悉垂直的判定定理和性质定理，我们将尖头分类编号，单做讨论，线面垂直线线垂直 面面垂直线面垂直线线垂直面面垂直判定性质判定性质以下开始4轮提问，以学生理解和熟悉为目的，以老师边讲学生边整理笔记为节奏．1． 提问判定1：（线面垂直判定定理）——直线与平面内两相交直线垂直，则该直线与平面垂直．提问性质1：（线面垂直性质）——直线与平面垂直，则该直线与平面内任意直线垂直． 图示讲解： 判定1：符号语言：,a b a l l b l a b P αα⊂⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪=⎭性质1：符号语言：,l a l a αα⊥⊂⇒⊥2． 提问判定2：（面面垂直判定定理）——平面过另一平面的垂线，则两平面垂直．提问性质2：（面面垂直性质）——两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 图示讲解： 判定2：线面垂直线线垂直面面垂直判定1性质1判定2 性质2符号语言：b b ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭性质2：符号语言：a b b b aαβαβαβ⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭<要点提炼>根据上面的判定定理与性质定理，我们不难总结出下面几个初步的证明思路：1. 证明线面垂直：利用线面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）；利用面面垂直的性质（面面垂直→线面垂直）．2. 证明线线垂直：利用线面垂直性质（线面垂直→线线垂直）；除此之外，还有：勾股定理逆定理；特殊平面图形（如等腰（等边）三角形三线合一性质，正方形，直径所对圆周角为直角等）．3. 证明面面垂直：利用面面垂直的判定定理（线面垂直→面面垂直）．<承接>通过总结我们发现，线面垂直是连接线线与面面的桥梁，由线面垂直既能得到线线垂直，也能得到面面垂直，因此如果掌握好了线面垂直的证明，另外两个就不难了.【教材内容1】线面垂直问题的证明(4星)利用判定定理证明线面垂直，其本质是证明线线垂直，即证明平面上的两条相交的直线与已知直线垂直，但这两条直线题目不直接告诉我们，需要根据条件分析哪些线可能垂直，尤其注意“正方体、长方体、直棱柱、正棱柱”等常见空间几何体，它们概念中隐藏的线线垂直．<承接>面面垂直性质、特殊图形例1．如图，已知四棱锥S ABCD -中，SD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，1SD =，2CD =，SA ．求证：AC ⊥面SBD ．<承接>根据线面垂直的判定定理，若直线AC 垂直于平面SBD 内的两条相交直线，则它和平面SBD 垂直．所以我们首先要在目标平面SBD 内找两条相交直线，然后证明这两条直线分别和直线AC 垂直即可．<板书演示>目标平面SBD 内的直线有：,,SB SD BD ,优先选择SD （条件中有垂直）和BD （底面图形特殊）. 因为SD ⊥面ABCD ，所以SD AC ⊥,SD AD ⊥.于是ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥, 所以AC ⊥面SBD ．<要点提炼>通过以上的证明可知，是否能顺利证出直线和直线垂直成为解决问题的关键，比如上例中AC 和SD 垂直的证明（线面垂直的性质）、AC 和BD 垂直的证明（菱形对角线互相垂直）分别用到了不同的方法． 练1.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30o DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，FECD ∥，交PD 于点E ．证明：CF ⊥平面ADF ．<板书演示>⊥，因为PD⊥平面ABCD，所以PD AD⊥，且PD CD D⋂=，又因为CD AD所以AD⊥平面PCD，⊥，所以AD PC⊥，又因为AF PC所以PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF．-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平练2．如图，在四棱锥P ABCD面BDE．证明：BD⊥平面PAC．<板书演示>因为PA⊥平面ABCD，⊥．所以PA BD因为PC⊥平面BDE，⊥．所以PC BD，又PA PC P=所以BD⊥平面PAC．<承接>特殊图形：圆周角练3．如图，已知PA O ⊥ 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，过A 作AE PC ⊥于点E ，求证：AE ⊥平面PBC ．<板书演示>∵PA ⊥平面ABC ， ∴PA BC ⊥． ∵AB 是O 的直径， ∴BC AC ⊥． 而PA AC A = ， ∴BC ⊥平面PAC ． ∵AE ⊂平面PAC ， ∴BC AE ⊥．∵PC AE ⊥且PC BC C = ， ∴AE ⊥平面ABC ．<承接>勾股定理逆定理例2．在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，若AC BD a ==，EF =，90BDC ∠= ，求证：BD ⊥平面ACD ．题目中多次出现了线段的长度，考虑到可能根据计算得出垂直关系，又多次出现了中点信息，因此想到取EFABCD中点做辅助线，与EF 建立联系.<板书演示>取CD 中点G ，连接,EG FG ，所以222EF EG FG =+从而90EGF ∠= ，即EG FG ⊥， 又因为AC EG ，BD FG ， 从而BD AC ⊥．因此90BDC ∠= ，即BD DC ⊥， 又AC DC C = ， 所以BD ⊥平面ACD ．练4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形，3,5AB BC ==， 求证：AC ⊥平面11AA BB ．<板书演示>第一步：要证AC ⊥平面11AA BB ，需证AC 垂直于平面11AA BB 中的两条相交直线； 第二步：由正方形11AAC C 可得：1AC AA ⊥，4AC =，3,5AB BC ==，则222AC AB BC += ， 则AC AB ⊥ ，第三步：由线面垂直的判定定理：AC ⊥平面11AA BB ．<承接>在具体的证明中，我们也常常将原直线平移，通过证明平移后的直线和平面垂直来完成证明． 例3．如图，三棱锥P ABC -中，PA AB =，PC BC =，,,E F G 分别为,,PA AB PB 的中点，（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：EF ⊥平面ACG ．<板书演示>（1）略（2）∵PA AB =，PC BC =，G 为PB 的中点， ∴PB AG ⊥，PB CG ⊥， 又∵AG CG G = ， ∴PB ⊥面ACG ，又∵,E F 分别为,PA AB 的中点， ∴EF ⊥平面ACG ．<要点提炼>在具体考试中，平行和垂直一般都是一起考察的，解题时不要忽视每小问之间的练习，很可能前面的小问都是为后面的小问做铺垫的.练5．已知棱锥S ABCD -中，SD ⊥面ABCD ，底面ABCD 是正方形，,M N 分别是AB BC 、 中点．求证：MN ⊥面SBD ．由于MNAC ∥，所以此题证明AC ⊥面SBD 即可．详细证明过程略． 【教材内容2】线线垂直问题的证明 (4星)根据线面垂直的性质可知，若一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线．于是我们可以通过证明一条直线和另一条直线所在的平面垂直来证明这两条直线垂直． 例4．已知四棱锥S ABCD -中，SD ⊥面ABCD ，ABCD 为菱形，求证：AC SB ⊥．<板书演示>因为SD ⊥面ABCD ，所以SD AC ⊥. 因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥, 又SD BD D = ，所以AC ⊥面SBD . 于是AC SB ⊥．<要点提炼>1.用线面垂直的性质来证线线垂直的关键在于目标面的正确选择，比如上面的例题，经过SB 的平面有无数个，而我们通过对几何体中线面位置关系的全面分析得出，面SBD 就是我们要找的平面，继而通过证明SD 和BD 分别与AC 垂直得到结果．2.利用线面垂直的性质不仅可以证明异面直线垂直，有些共面直线垂直也往往利用它解决．练6.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，15,4,3,4AB AC BC AA ====，D 为AB 的中点， 求证：1AC B C ⊥．利用勾股定理逆定理可得AC 垂直于BC ,由直三棱柱的性质可得1CC 垂直于AC , 从而得到AC 垂直于平面11BB C C ,进而得到AC 垂直于1B C ．<承接>等腰中的垂直，三线合一例5.如图所示，在棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，2PA AD DC ===，4AB =且ABCD ∥，90BAD ∠= ，求证：BC PC ⊥．<板书演示>练7.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90,ACB AC BC a ︒∠===，D 为棱AB 的中点， 求证：111A B C D ⊥．连接1AC ，1BC ，（图略）易证11AC BC =D 是AB 中点，所以根据三线合一证得1C D 垂直于AB ，又11A B 平行于AB ，得证． <承接>反复运用线面垂直，线线垂直. 练8．已知ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，过A 作AE SB ⊥于E ，过E 作EF SC ⊥于F ，如图所示．（1）求证：AF SC ⊥；（2）若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG SD ⊥．<板书演示>（1）因为SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SA BC ⊥，又BC AB ⊥，且SA AB A = ，因此BC ⊥平面SAB ，又AE ⊂平面SAB ．所以BC AE ⊥．又AE SB ⊥，BC SB B = ，所以AE ⊥平面SBC ．又SC ⊂平面SBC ，所以AE SC ⊥．又EF SC ⊥，AE EF E = ，所以SC ⊥平面AEF ，又AF ⊂平面AEF ，因此AF SC ⊥．（2）因为SC ⊥平面AEF ，AG ⊂平面AEF ，所以SC AG ⊥，又CD AD ⊥，CD SA ⊥，AD SA A = ．所以CD ⊥平面SAD ，又AG ⊂平面SAD ，所以CD AG ⊥．又SC CD C = ，所以AG ⊥平面SCD ，又SD ⊂平面SCD ，因此AG SD ⊥．【教材内容3】面面垂直的证明（4星） 面面垂直的证明本质上是线面垂直，因此找到某个面上，垂直另一平面的线，是最关键的步骤．而在找线的过程中，可以先找两个平面的交线，判断是否有直线会垂直交线；或者根据已有的线面垂直关系来找． 例6．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD ∥，且90BAP CDP ∠=∠= ,证明：平面PAB ⊥平面PAD .本题的两个平面交线为PA ，而且AB PA ⊥，因此我们要找的线面垂直中的线即为AB ，结合//AB CD ，CD PD ⊥，可得：AB PD ⊥，垂直两条交线即可得垂直平面．例7．已知棱锥S ABCD -中，SD ⊥面ABCD ，底面ABCD 是正方形．求证：面SAC ⊥面SBD .可以通过证明AC ⊥面SBD 来证得面SAC ⊥面SBD . <板书演示>因为SD ⊥面ABCD ，所以SD AC ⊥.因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥.因为SD 和BD 相交，且它们都在面SBD 内，所以AC ⊥面SBD .所以面SAC ⊥面SBD .练9．如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面，底面ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，求证：平面ACE ⊥平面PCD ．<板书演示>因为PAD 为正三角形，E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 与平面ABCD 交于AD ，DC AD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥．又因为PD CD D = ，所以AE ⊥平面PCD ．又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面PCD ．练10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,22ACB AA BC AC ∠==== ，D 为1AA 的中点， 试求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ．先证CD 垂直于1C D （勾股定理逆定理），再证直线11B C 垂直于平面11ACC A （线面垂直判定定理），由直线11B C 垂直于平面11ACC A ，知道11B C 垂直于CD ，最后证明CD 垂直于平面11B C D ，由线面垂直得到面面垂直．<承接>动点存在性问题例8．在直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 中，AB BC =，能否在侧棱1BB 上找到一点E ，使得截面侧面1A EC ⊥侧面11AAC C ？若能找到，指出点E 的位置；若不能找到，说明理由．<板书演示>假设能找到符合题意的点E ．作1EM AC ⊥于点M ． 因为截面侧面1A EC ⊥侧面11AAC C ，所以侧面EM ⊥侧面11AAC C ．取AC 的中点N ，连接,MN BN ，因为AB BC =，所以BN AC ⊥．因为1AA BN ⊥，1AC AA A = ，所以侧面BN ⊥侧面11AAC C ，所以BN EM ∥． 因为平面BEMN ∩平面11AAC C MN =,BE ∥平面11AAC C ， 所以1BEMN A A ∥∥． 因为AN NC ∥，所以1A M MC =．因为四边形BEMN 为矩形，所以当E 为1BB 的中点时，侧面1A EC ⊥侧面11AAC C ． 练11．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥，N 是棱AD 的中点．1.求证：AB ∥平面SCD ； 2.求证：SN ⊥平面ABCD ；3.在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ？若存在，求出SP PC的值；若不存在，说明理由．<板书演示>（1）略（2）因为AB SA ⊥，AB AD ⊥，SA AD A = ，所以AB ⊥平面SAD ，又因为SN ⊂平面SAD ，所以AB SN ⊥ ．因为SA SD =，且N 为AD 中点，所以SN AD ⊥．又因为AB AD A = ，所以SN ⊥平面ABCD ．（3）如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作FP SN ∥交SC 于点P ，连接,PB PD ．因为SN ⊥平面ABCD ，所以FP ⊥平面ABCD ．又因为FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ．在矩形ABCD 中，因为ND BC ∥，在SNC 中，因为FP SN ∥，【模块小结】一. 证明线线垂直：1. 利用勾股定理逆定理，2.利用特殊几何图形的性质，3.通过线面垂直证明．二．证明线面垂直：1.利用判定定理，2.利用面面垂直性质．三．证明面面垂直：利用判定定理．。