数学必修二垂直的判定与性质

【模块标题】垂直的判定与性质

<模块综述>

空间中的垂直关系有三种类型——线线，线面，面面，各垂直关系的证明相对于上节课的平行关系难度要大的多，尤其是在证明三种垂直关系时都会碰到线、面的选择性问题，这也是本节的重难点．首先来回顾一下空间中垂直关系的基础知识. 知识回顾：

从图形描述三类垂直间的关系：

<承接>

三类垂直间有紧密的关系，通过判定或者性质定理可实现两者间的互相推导． 低维向高维推导叫判定定理，高维向低维推导叫性质应用． 提问学生4个箭头中哪几个是判定定理，哪些是性质定理．

<承接>

为了更加熟悉垂直的判定定理和性质定理，我们将尖头分类编号，单做讨论，

线面垂直

线线垂直 面面垂直

线面垂直

线线垂直

面面垂直

判定

性质

判定

性质

以下开始4轮提问，以学生理解和熟悉为目的，以老师边讲学生边整理笔记为节奏．

1． 提问判定1：（线面垂直判定定理）——直线与平面内两相交直线垂直，则该直线与平面垂直．

提问性质1：（线面垂直性质）——直线与平面垂直，则该直线与平面内任意直线垂直． 图示讲解： 判定1：

符号语言：,a b a l l b l a b P αα⊂⎫

⎪⊥⎪

⇒⊥⎬⊥⎪⎪=⎭

性质1：

符号语言：,l a l a αα⊥⊂⇒⊥

2． 提问判定2：（面面垂直判定定理）——平面过另一平面的垂线，则两平面垂直．

提问性质2：（面面垂直性质）——两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 图示讲解： 判定2：

线面垂直

线线垂直

面面垂直

判定1

性质1

判定2 性质2

符号语言：b b ααββ⊥

⎫

⇒⊥⎬⊂⎭

性质2：

符号语言：a b b b a

αβαβαβ⊥⎫⎪=⎪

⇒⊥⎬⊂⎪

⎪⊥⎭

<要点提炼>

根据上面的判定定理与性质定理，我们不难总结出下面几个初步的证明思路：

1. 证明线面垂直：利用线面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）；利用面面垂直的性质（面面垂直→线面垂直）．

2. 证明线线垂直：利用线面垂直性质（线面垂直→线线垂直）；

除此之外，还有：勾股定理逆定理；特殊平面图形（如等腰（等边）三角形三线合一性质，正方形，直径所对圆周角为直角等）．

3. 证明面面垂直：利用面面垂直的判定定理（线面垂直→面面垂直）．

<承接>

通过总结我们发现，线面垂直是连接线线与面面的桥梁，由线面垂直既能得到线线垂直，也能得到面面垂直，因此如果掌握好了线面垂直的证明，另外两个就不难了.

【教材内容1】线面垂直问题的证明(4星)

利用判定定理证明线面垂直，其本质是证明线线垂直，即证明平面上的两条相交的直线与已知直线垂直，但这两条直线题目不直接告诉我们，需要根据条件分析哪些线可能垂直，尤其注意“正方体、长方体、直棱

柱、正棱柱”等常见空间几何体，它们概念中隐藏的线线垂直．

<承接>

面面垂直性质、特殊图形

例1．如图，已知四棱锥S ABCD -中，SD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，1SD =，2CD =，

SA ．求证：AC ⊥面SBD ．

<承接>

根据线面垂直的判定定理，若直线AC 垂直于平面SBD 内的两条相交直线，则它和平面SBD 垂直．所以我们首先要在目标平面SBD 内找两条相交直线，然后证明这两条直线分别和直线AC 垂直即可．

<板书演示>

目标平面SBD 内的直线有：,,SB SD BD ,优先选择SD （条件中有垂直）和BD （底面图形特殊）. 因为SD ⊥面ABCD ，所以SD AC ⊥,SD AD ⊥.

于是ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥, 所以AC ⊥面SBD ．

<要点提炼>

通过以上的证明可知，是否能顺利证出直线和直线垂直成为解决问题的关键，比如上例中AC 和SD 垂直的证明（线面垂直的性质）、AC 和BD 垂直的证明（菱形对角线互相垂直）分别用到了不同的方法． 练1.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30o DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，FE

CD ∥

，交PD 于点E ．证明：CF ⊥平面ADF ．

<板书演示>

⊥，

因为PD⊥平面ABCD，所以PD AD

⊥，且PD CD D

⋂=，

又因为CD AD

所以AD⊥平面PCD，

⊥，

所以AD PC

⊥，

又因为AF PC

所以PC⊥平面ADF，

即CF⊥平面ADF．

-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平练2．如图，在四棱锥P ABCD

面BDE．证明：BD⊥平面PAC．

<板书演示>

因为PA⊥平面ABCD，

⊥．

所以PA BD

因为PC⊥平面BDE，

⊥．

所以PC BD

，

又PA PC P

=

所以BD⊥平面PAC．

<承接>

特殊图形：圆周角

练3．如图，已知PA O ⊥ 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，过A 作AE PC ⊥于点E ，求证：AE ⊥平面PBC ．

<板书演示>

∵PA ⊥平面ABC ， ∴PA BC ⊥． ∵AB 是O 的直径， ∴BC AC ⊥． 而PA AC A = ， ∴BC ⊥平面PAC ． ∵AE ⊂平面PAC ， ∴BC AE ⊥．

∵PC AE ⊥且PC BC C = ， ∴AE ⊥平面ABC ．

<承接>

勾股定理逆定理

例2．在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，若AC BD a ==

，EF =，90BDC ∠= ，求证：BD ⊥平面ACD ．

题目中多次出现了线段的长度，考虑到可能根据计算得出垂直关系，又多次出现了中点信息，因此想到取

E

F

A

B

C

D