第二章 随机过程的概念解析

第二章 随机过程的概念
第二章 随机过程的概念与基本类型
1 随机过程的定义 2 随机过程的数字特征 3 复随机过程 4 几种重要的随机过程
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随机数学的研究对象
映射的值域
概率空间
随机变量
n
随机向量
随机过程
信息工程大学四院六教
2.1 随机过程的定义—— 引例
例2.1 生物群体的增长问题
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随机过程的分布函数
这些分布函数的全体
F {Ft1,t2, ,tn (x1, x2, , xn ) : t1,t2, , tn T, n 1}
称为 {X(t),t T} 的有限维分布函数族。
随机过程
Kolmogorov定理 定理2.1
对应关系
有限维分布 函数族
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随机过程的分类
（一）根据参数集T 及状态空间I 是离散或连 续，可把随机过程分为以下四种类型：
T 和 I 都是离散的; T 连续，I 离散； T 离散，I 连续； T 和 I 都连续。
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例
例2.1 生物群体的增长问题
在描述群体的发展或演变过程中，以 Xt 表示 在时刻 t 群体的个数，则对每个固定的t， Xt 是一个随机变量。
{Xt,t [0, )} 是随机过程。
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பைடு நூலகம்
2.1 随机过程的定义—— 引例
例2.3 某交通路口在[0, t]内通过的车辆数是一 个与 t 有关的随机变量 Xt 。对于固定的 t ，Xt 是一个取非负整值的随机变量。 而 t变动时，
{Xt,t [0, )} 是随机过程。
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2.1 随机过程的定义
❖定义1：设 ( , F, P) 是概率空间，T 是给定
的指标集，若对T 中的每个 t，有一个随机
变量X(t,e)与之对应，则称 {X(t,e),t T} 是 ( , F, P) 上的随机过程，简记为{X(t),t T}
❖我们常把 t 解释成时间，并称X(t)是过程在 时刻t的状态。
时 间上的相关性 连续性与离散性 随机过程的导数 微 分、积分、卷积、级数展开 微分方程、积分方程等。
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随机过程的研究范围
❖3. 依据随机过程的二重性的联合特征，相 应的研究内容应包括：
互相关函数 空间的遍历性 时域平均与集总平均的关系 随机抽样、滤波理论 估计与预测方法 等。
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随机过程的分布函数——例
❖例：设 X(n) 是参数为p的Bernoulli独立同
分布序列，其和过程
S (n )
n X(i)
i1
表示前n次试验中某事件发生的次数，称为
二项计数过程。
则其一维概率分布列为
P{S(n)
k}
C
k n
pk
(1
p)n k, 0
k
n
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随机过程的分布函数——例
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随机过程的研究范围
❖1. 依据随机过程单样本值为随机变量的特 点，相应的研究内容包括：
连续型随机过程 离散型随机过程
❖具体的研究对象包括：均值、方差、协方 差、有限维联合分布等。
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随机过程的研究范围
❖2. 依据随机过程的函数特性，相应的研究 内容应包括：
假设从 t =0开始每隔一天对群体的个数观察
一次，则
{Xt,t 0, 1, }
是随机过程。
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随机过程的分类
（二）根据 X(t) 之间的关系，可将随机过 程分为几个研究较多且用途较广的主要类 型：
马尔可夫过程 独立增量过程; 平稳过程； 鞅过程； ……
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T 称为参数集或指标集，每个 t 对应一个随机 变量；
X(t) 的所有可能状态（所有可能取值）所构成 的集合称为状态空间或相空间，记为I。
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2.1 随机过程的定义
➢如果参数集T是一个可数集，则称 XT 为一 个离散时间的随机过程；而如果T是一个连 续集，则称它为连续时间过程。
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2.2 随机过程的数字特征
➢称随机过程 {X(t), t T}为实值（复值） 的，如果其状态空间I是实值（复值）的。
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理解随机过程
随机过程具有二重性： (1)随机性：当t 固定时，X(t, ) 是 ( , F, P)
上之随机变量；
T中有多少元素，随机过程就含有多少个随机变量！
(2)函数特性：当e固定时，X( ,e)是定义在T上 的普通实值函数，称其为随机过程对于e的 样本函数（轨道、实现）。
Ω中有多少基本事件，随机过程就有多少个样本函数！
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理解随机过程
❖随机过程是普通函数概念的推广
普通函数 f : R R
随机过程
t f (t)
确定的实数
XT : T t
所有随机变量构成的集合
X (t )
随机变量
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理解随机过程的定义
❖随机过程是时间t的“函数” ❖在任意时刻观察，它是一个随机变量
❖其二维分布列为
P{S(n1) k1,S(n2 ) k2}
P{S(n1) k1}P{S(n2 n1) k2 k1}
C C p (1 k2 k1 n2 n1
k1 k2 n1
p)n2 k2
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第二章 随机过程的概念与基本类型
1 随机过程的定义 2 随机过程的数字特征 3 复随机过程 4 几种重要的随机过程
在描述群体的发展或演变过程中，以 Xt 表示 在时刻 t 群体的个数，则对每个固定的t， Xt 是一个随机变量。
假设从 t =0开始每隔一天对群体的个数观察
一次，则
{Xt,t 0, 1, }
是随机过程。
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2.1 随机过程的定义—— 引例
例2.2 某电话交换台在时间段[0, t ]内接到的 呼唤次数是与 t 有关的随机变量 Xt ，对于固 定的t，Xt 是一个取非负整数的随机变量。而 t变动时，
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随机过程的分布函数
如何用分布函数刻画随机过程？ ❖定义2.2 设{X(t),t T} 是随机过程，对任
意n 1 和 t1,t2, ,tn T, 随机向量 X(t1), X(t2), , X(tn ) 的分布函数为 Ft1,t2, ,tn (x1, x2, , xn ) P{X(t1) x1, X(t2 ) x2, , X(tn ) xn }