河南省洛阳市2021届高三上学期期中考试数学(理科)试卷及答案
河南省2023届高三上学期第一次考试数学理科试题(解析版)
“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}223,N ,18400A x x n nB x x x ==+∈=--<∣∣，则A B 中的元素个数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A x x n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B 中的元素个数为9.故选：B 2.已知复数33i2i z =+，则z =（）A.1B.35C.355D.3【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为()()()33i 2i 3i 3i 36i 2i 2i 2i 2i 55z +====-++--+，因此，5z ==.故选：C.3.已知非零向量a 、b满足a b =r r ，且()2a b b +⊥ ，则,a b <>= （）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由已知可得出()20a b b +⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出cos ,a b <> 的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】因为()2a b b +⊥ ，则()222cos ,0a b b a b a b b +⋅=⋅<>+= ，a b = ，可得1cos ,2a b <>=- ，因为0,πa b ≤<>≤ ，因此，2π,3a b <>= .故选：C.4.某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）A.2732B.916C.2764D.932【答案】A 【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】解：因为每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，所以连续射击3次，至少命中两次的概率322333327C 144432P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.5.已知函数()2sin 3cos f x x x =+在x ϕ=处取得最大值，则cos ϕ=（）A.13 B.13C.13-D.31313-【答案】A 【解析】【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.【详解】()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+，其中θ为锐角，sin 13θ=.因为当x ϕ=处取得最大值，所以22πϕθπ+=+k ，k Z ∈，即22πϕθπ=-+k ，k Z ∈，所以313cos cos 2sin 213πϕθπθ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭k .故选：A6.已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，且当[2,2)x ∈-时，2()4f x x =-，则(2021)f =（）A.3-B.1- C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，探讨出函数()f x 的周期，再结合已知函数式求解作答.【详解】因R 上的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，即有()()()4f x f x f x -=-=--，则(8)(4)()f x f x f x -=--=-，因此，函数()f x 是周期为8的周期函数，2(2021)(25285)(5)(1)[(1)4]3f f f f =⨯+==--=---=.故选：D7.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为（）（注:1丈=10尺，π取3）A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺【答案】B 【解析】【分析】根据题意作图，再由底面周长求得底面半径，连接上下底面圆心，取中点为外接圆的圆心，根据勾股定理，可得外接圆半径，可得答案.【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则11,2·48BC AB π==，即8AB =，假设点D 为圆柱外接圆的圆心，即AD 为外接圆的半径，且112BD DC ==，在Rt ABD △中，222AB BD AD +=，解得294.25AD =，则外接球的表面积241131S AD π=⋅=，故选：B.8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A.28种B.32种C.36种D.42种【答案】C 【解析】【分析】先将甲、乙看成一个元素，然后先分组后排列可得.【详解】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C9.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,4)m -，其中0m <，若7cos 225α=-，则πtan 2m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2B.12-C.43-D.34-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求出tan α，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.【详解】依题意，4tan 0mα=->，又22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===-++，解得4tan 3α=，从而得3m =-，所以3πsin()π3πcos 132tan(tan()3π22sin tan 4cos(2m ααααααα-+=-===-=---.故选：D10.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1-的直线交C 于A 、B （其中A 在x轴上方）两点，交C 的准线于点M ，且16AB =，O 为坐标原点，则OM =（）A.2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式求出p 的值，可求得点M 的坐标，再利用平面间两点间的距离公式可求得OM 的值.【详解】抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，直线AB 的方程为2⎛⎫=--⎪⎝⎭p y x ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222p y x y px⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得22304p x px -+=，2290p p ∆=->，由韦达定理可得123x x p +=，则12416x x p A p B =++==，可得4p =，联立22p x p y x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩可得2p x y p ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点()2,4M -，因此，OM ==.故选：D.11.已知32()2(2)3f x x a x x =+--是奇函数，则过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出a ，再求出函数()f x 的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数()f x 是奇函数，则由()()0f x f x -+=得()2220a x -=恒成立，则2a =，即有3()23f x x x =-，2()63'=-f x x ，设过点(1,2)P -向曲线()y f x =所作切线与曲线()y f x =相切的切点为3000(,23)Q x x x -，而点(1,2)P -不在曲线()y f x =上，则320000232631x x x x ---=+，整理得32004610x x +-=，即2000(21)(221)0x x x ++-=，解得012x =-或0132x -±=，即符合条件的切点有3个，所以过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是3.故选：C12.设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)F c F c -，过点(2,0)P c -且斜率为12的直线与双曲线的左、右两支分别交于,M N 两点，若||3||PN PM =，且直线2F N 的斜率为3，则Γ的离心率为（）A.132B.2C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】通过题意可以得到直线PN 和直线2NF 的方程，两条方程联立可以得到N 的坐标，代入双曲线即可求出答案【详解】解：由题意可得直线PN 的方程为()122y x c =+，直线2NF 的方程为()3y x c =-，所以()()1223y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得8595c x cy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线可得2222648112525c c a b-=即()22222648112525c c a c a -=-，所以2264811125251e e -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为1,e >所以e =故选：B二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(1,0)-【解析】【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解【详解】解：由对数函数的性质，可得()f x 为单调递增函数，且函数()f x 在(2,3)上有且仅有一个零点，所以()()230f f ⋅<，即(1)0a a ⋅+<，解得10a -<<，所以实数a 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【答案】12log x （不唯一）【解析】【分析】根据对数函数性质即可做出判断.【详解】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底01a <<即可，性质③只需将自变量x 加绝对值即变成偶函数.故答案为：12log x （不唯一）15.已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，则点P 到x 轴的距离最大值为_____.【答案】【解析】【分析】设(,)P x y ，然后根据题意列方程化简可得点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，为半径的圆，从而可求得答案.【详解】设(,)P x y ，因为动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，2=，22223(2)4x y x y +=-+，2222443(44)3x y x x y +=-++，221212x y x ++=22(6)48x y ++=，所以点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，所以点P 到x 轴的距离最大值为故答案为：16.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在,A B 处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m ，甲观察无人机的仰角为45︒，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC ，则这两个角可以是_____.（写出所有符合要求的编号）①BAC ∠和ABC ∠；②BAC ∠和PAB ∠;③PAB ∠和PBA ∠；④PAB ∠和ABC ∠.【答案】①③④【解析】【分析】①：根据已知先解ABC 得AC ，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解PAB △得PA ，然后可得；④：先由最小角定理的BAC ∠，解ABC 可得AC ，然后可得.【详解】①：当已知BAC ∠和ABC ∠时，在ABC 利用内角和定理和正弦定理可得AC ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故①正确；②：当已知BAC ∠和PAB ∠时，在ABC 已知一角一边，在PAB △中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；③：当已知PAB ∠和PBA ∠时，在PAB △中已知两角一边，可解出PA ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故③正确；④：当已知PAB ∠和ABC ∠时，可先由最小角定理求得BAC ∠，然后解ABC 可得AC ，最后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故④正确.故答案为：①③④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知251,15a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若23log 2n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-（2）1(25)210n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组直接求解可得；（2）由错位相减法可得.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，由题设可得111,51015a d a d +=⎧⎨+=⎩解得112,a d =-⎧⎨=⎩所以1(1)223n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由（1）知2log 23n b n n =-，所以223nn bn =-可得(23)2nn b n =-⨯，所以231121232(25)2(23)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①23412121232(25)2(23)2n n n T n n +=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②②减①可得:341112222(23)2n n n T n ++=⨯----+-⨯ 118(12)(23)2212n n n -+⨯-=-⨯+--1(25)210n n +=-⨯+18.某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件，它们的质量指标值m 统计如下:质量指标值m [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931（1）估计该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数;（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表（表中数据单位:件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.60m <60m ≥合计甲车间乙车间合计附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k≥0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】（1）58；（2）列联表见解析，有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.【解析】【分析】（1）根据给定的数表，求出各组数据的频率，再列式计算作答.（2）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值比对作答.【小问1详解】由所给数据，各组的频率分别为0.1，0.15，0.2，0.35，0.2，所以该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数的估计值为：100.1300.15500.2700.35900.258⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】22⨯列联表如下：60m <60m ≥合计甲车间6040100乙车间3070100合计90110200所以22200(60704030)18.18210010090110K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,24,ACB AA AC BC M ︒∠====为棱1AA 上靠近1A 的三等分点，N 为棱AC 的中点，点P 在棱BC 上，且直线PN ∥平面1BMC .（1）求PC 的长;（2）求二面角1P BM C --的余弦值.【答案】（1）23PC =（2）22110【解析】【分析】(1)在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，根据面面平行判定定理证明平面PQN平面1BMC ，再根据面面平行性质定理确定CQ 的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBM ，平面1BC M 的法向量，根据二面角向量公式求二面角1P BM C --的余弦值.【小问1详解】在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，连接,PQ NQ .由已知得11CC AA CB ==，所以1CQ CPCC CB=所以1PQ BC ∥.因为PQ ⊄平面1BMC ，1BC ⊂平面1BMC ，所以PQ ∥平面1BMC .又因为PN ∥平面1,BMC PN PQ P ⋂=，,PN NQ ⊂平面PQN ，所以平面PQN 平面1BMC .平面11ACC A 平面PQN QN =，平面11ACC A 平面11BC M MC =，根据面面平行的性质可知1//MC QN .在矩形11ACC A 中，可得11CQN A MC ∽，所以11123A M CQ CN A C ==，所以2233PC CQ CN ===.【小问2详解】以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则182(0,0,0),(0,0,4),(0,4,0),2,0,,0,,033C C B M P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.114(0,4,4),2,0,3C B C M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，8102,4,,0,,033BM BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1C MB 的法向量为()111,,m x y z =r，则110,0,C B m C M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111440,420,3y z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取13z =得()2,3,3.m = 设平面PMB 的法向量为()222,,n x y z =r ，则0,0,BM n BP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 所以22228240,3100,3x y z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取23z =-，得()4,0,3.n =- 所以22cos ,110m n m n m n ⨯++⨯-⋅===-⋅结合图可知二面角1PBM C --的余弦值为110.20.过椭圆22:143x y C +=上任意一点P 作直线:l y kx p=+（1）证明:2234p k + ;（2）若0,p O ≠为坐标原点，线段OP 的中点为M ，过M 作l 的平行线,l l ''与C 交于,A B 两点，求ABP △面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）32.【解析】【分析】（1）联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，由题意，该方程有解，则判别式大于等于零，可得答案.（2）设出题目中的两点，根据平行，设出另一条直线，根据中点，找出两直线的截距之间的关系，联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，根据三角形的等积变换，利用分割法，整理函数，根据（1），可得答案.【小问1详解】联立221,43,x y y kx p ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()2223484120k x kpx p +++-=，因为点P 在C 上，所以()()2222644412340,k p p k ∆=--+ 化简得2234p k + .【小问2详解】设:l y kx m '=+，点()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由已知得00y kx p =+，所以00222y x p k =⋅+，即点00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭满足方程2p y kx =+，所以2p m =.由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++.所以122.34x x k-==+∣所以121||2ABPABOSS m x x ==-==令2234m t k =+，因为2223444p k m += ，所以10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以32ABPS ==所以ABP △面积的最大值为32.21.设函数()()e xf x mx m m =--∈R .（1）讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点1x 和2x ，设1202x x x +=，证明：()00f x '>（()f x '为()f x 的导函数）.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分0m ≤、0m >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由函数零点的定义可得出1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得出1212e e x x m x x -=-，将所证不等式等价变形为12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，构造函数()e e 2t t g t t -=--，其中0t >，利用导数分析函数()g t 的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】解：因为()e x f x mx m =--，则()e xf x m '=-，若0m ≤，对任意的x ∈R ，则()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；若0m >，令()e 0xf x m '=-=，得ln x m =，当ln x m <时，()0f x '>，当ln x m >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当0m >时，函数()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.【小问2详解】证明：不妨令12x x >，由题设可得1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，两式相减整理可得1212e e x x m x x -=-.所以()1212121222012e e ee 2x x x x x x x xf x f m x x ++''+-⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭，要证()00f x '>，即证1212212e e e 0x x x x x x +-->-，即证12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，其中0t >，构造函数()e e 2ttg t t -=--，其中0t >，则()e e 220t t g t -'=+->=，所以，函数()g t 在()0,∞+上单调递增，所以，当0t >时，()()00g t g >=，即e e 2t t t -->，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(cos sin )(,0),(cos sin )x m m y m ϕϕϕϕϕ=-⎧≠⎨=+⎩为参数以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 504πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）写出l 的直角坐标方程;（2）若l 与C 只有一个公共点，求m 的值.【答案】（1）50x y +-=（2）102=±m 【解析】【分析】(1)利用和差化积的正弦公式把直线l 的极坐标方程展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求解.(2)先得出曲线C 的普通方程，再联立方程，利用判别式等于0即可求解.【小问1详解】由l 的极坐标方程可得sin cos 50ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可知，直角坐标方程为：50x y +-=.【小问2详解】由C 的参数方程可得2222x y m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程为222480x y m +-=.联立方程22250480x y x y m +-=⎧⎨+-=⎩得：2254010080x x m -+-=，因为直线l 与曲线C 只有一个公共点，所以()222404510081604000m m∆=-⨯⨯-=-=，解得：2=±m .[选修4-5:不等式选讲]23.已知,,a b c 均为正实数，且1abc =.（1）求124a b c++的最小值;（2）证明:222++≥+++++bc ac ab b c a c a b.【答案】（1）6（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式证明即可得到答案.【小问1详解】由基本不等式可知1246++≥==a b c ，当且仅当124a b c ==，即1,1,22a b c ===时等号成立，所以124a b c++的最小值为6.【小问2详解】因为1abc =，所以111bc ac ab a b c++=++.11242+≥=≥=++a b a b a b .同理可得114b c b c+≥+，114a c a c+≥+所以4111442⎛⎫++≥++⎪+++⎝⎭a b c b c a c a b，当且仅当a b c==时等号成立.所以111222++≥+++++a b c b c a c a b，即222. ++≥+++++ bc ac abb c a c a b。
高三试卷数学-山东省日照市2024届高三上学期期中考试数学试卷及参考答案
参照秘密级管理★启用前试卷类型：A2021级高三上学期期中校际联合考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}31A x x =-<<，{}24B x x =-<≤，则7A B = （）A.{}32x x -<<-B.{}21x x -<<C.{}14x x << D.{}34x x -<≤2.已知复数z 满足()()2i 2i 5z +-=，则z 的共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.2i-+ D.2i--3.以点(),02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（）A.sin y x =B.cos y x= C.tan y x= D.tan y x=4.在ABC △中，点M 是边AC 上靠近点A 的三等分点，点N 是BC 的中点，若MN xAB y AC =+，则x y +=（）A.1B.23C.23-D.-15.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）A. B.C. D.6.已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列，且2和8为其中的两项，则5a 的最小值为（）A.-64B.-16C.164D.1167.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 为40米，宽AB 为20米，球门长PQ 为4米且AQ BP =.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得命中率最高，则BM 大约为（）A.8米B.9米C.10米D.11米8.已知正方体每条棱所在直线与平面α所成角相等，平面α截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为S ，周长为l ，则（）A.S 不为定值，l 为定值B.S 为定值，l 不为定值C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
专题19 椭圆(客观题)(新高考地区专用)(解析版)
专题19 椭 圆（客观题）一、单选题1．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =A ．2BC ．12D 【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试 【答案】B【解析】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y a c=-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理为6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得2e =或2e =（舍）．故选B ． 2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切与椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为A ．12B ．13C ．2D ．3【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试 【答案】D【解析】不妨设()00,M x y 在第一象限，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆右焦点，则0x c =，又M 在椭圆上，则20b y a =，∴圆M 的半径2br a =，MPQ 为正三角形，c r ∴==2220ac +=220e +=，解得3e =．故选D ． 【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，求解离心率的关键是能够通过图形中的长度关系构造出关于,a c 的齐次方程，利用齐次方程配凑出离心率e ，解方程求得结果．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是A ．,12⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．,22⎣⎦D ．33⎣⎦【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期期中（理） 【答案】B【解析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形，所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，所以1e ⎤∈⎥⎣⎦，故选B. 【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．4．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】C【解析】连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由120AFB ∠=︒，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF '为平行四边形，60FAF '∠=︒，在三角形AFF '中，()22222cos 3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''=+-⋅∠=+-⋅，所以()222332AF AF AF AF FF AF AF '+⎛⎫''+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2214AF AF FF ''+≤即221444a c ⋅≤，可得1 2c e a =≥，所以椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选C ． 【名师点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的取值范围的求解问题，解题方法如下： （1）根据题意，结合椭圆的对称性，连接相应点，得到平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，得到角的大小；（3）根据余弦定理，列出相应等式，结合椭圆定义以及基本不等式求得结果．5．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为 A ．12B ．13C ．14D．2【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】A【解析】由题可设(),P x y ，()11,A x y ，11,B x y ，则2211122111PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，22221x y a b +=，2211221x y a b+=，两式相减可得222211220x x y y a b --+=，即22212221y y b x x a -=--，2234b a ∴-=-，22234a c a -∴=，12c a ∴=，故选A.【名师点睛】（1）该题来自椭圆的一个小结论：若椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，,A B是该椭圆上关于原点对称的两点，P 为椭圆上异于,A B 的任意一点，则PA PB k k ⋅为定值，为22b a-．（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知椭圆22:195x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆22:108400M x y x y +--+=上一个动点，则1PF PQ +的最大值为 A ．12 B 1+ C ．11D ．18【试题来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期阶段性抽测二 【答案】A【解析】由题意得12(2,0),(2,0)F F -，根据椭圆的定义可得1226PF PF a +==，所以126PF PF =-，又圆22:108400M x y x y +--+=，变形可得22(5)(4)1x y -+-=，即圆心(5,4)M ，半径1r =，所求1PF PQ +的最大值，即求1PF PM r ++的最大值，126PF PM PF PM +=-+，如图所示：当2,,P F M 共线时，2PM PF -有最大值，且为25F M ==， 所以126PF PM PF PM +=-+的最大值为5611+=，所以1PF PQ +的最大值，即1PF PM r ++的最大值为11+1=12，故选A7．已知A ､B 分别为椭圆C ：2214x y +=的左､右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ，PB与直线3x =交于M ，N 两点，PMN 与PAB △的外接圆的周长分别为1L ，2L ，则12L L 的最小值为 ABCD ．14【试题来源】湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考【答案】A【解析】由已知得(2,0)A -、(2,0)B ，设椭圆C 上动点(,)P x y ， 则利用两点连线的斜率公式可知02-=+PA y k x ，02-=-PA y k x ， ()()22222100142222444---∴⋅=⋅====-+-+---PA PBx y y y y k k x x x x x x 设直线PA 方程为()2y k x =+，则直线PB 方程为()124y x k=--，根据对称性设0k >， 令3x =得5M y k =，14N y k =-，即()3,5M k ，13,4-⎛⎫ ⎪⎝⎭k N ，则154MN k k =+ 设PMN 与PAB △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得1sin 2N P r M M N =∠，22sin ABr APB=∠，又180∠+∠=︒MPN APB ，sin sin ∴∠=∠MPN APB111222152424+∴====≥=k L r r MNk L r r ABππ，当且仅当154=k k ，即=k 等号成立，即12L LA 8．若点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，则点M 的轨迹是 A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．线段的中垂线．【试题来源】四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（文） 【答案】C【分析】根据M 到12,F F 的距离之和正好等于12F F ，可得M 的轨迹．【解析】()10,1-F ，()20,1F ，122F F ∴=，因为点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，M ∴的轨迹是线段12F F ，故选C ．9．已知椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，则椭圆C 的标准方程为 A ．22154x y +=B ．2212516x y +=C ．2211625x y +=D ．221259x y +=【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学2021届高三上学期第二次月考（理） 【答案】B【分析】由所给的椭圆上的点为顶点，即可求出椭圆的方程．【解析】因为椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，所以5,4a b ==，且焦点在x 轴上， 所以椭圆的方程为2212516x y +=，故选B. 10．关于x ，y 的方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为A ．12a >B ．1a >C ．12a >且1a ≠D ．12a >或0a < 【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III 理数试题 【答案】B【分析】根据椭圆的方程可得021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，求出a 的取值，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解．【解析】若方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆，则有021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，所以12a >且1a ≠，故选项A 和D 非充分条件，选项C 为充要条件，选项B 为充分不必要条件，故选B ．11．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为AB ．2 C或2D．2【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理） 【答案】A【分析】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【解析】因为1，m ，9构成一个等比数列，所以m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2xm +y 2=13；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1是双曲线，故舍去，则离心率为3．故选A ． 12．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =A ．1 BCD ．2【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学 【答案】C【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a ，b m =，1c ==，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m +=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =22a c ===，因此，m ．故选C ．13．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为ABC．2D．2【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题 【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，所以直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =， 因为124AF F π∠=，所以14233F M MA c b =⇒=，即2b c =， 所以2224a c c -=，即225a c =，所以2155e e =⇒=，故选A. 14．已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为 A1B1 C．12D．12【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测 【答案】A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，则1c OA ==，由21AF FD a +==可得a ，从而可得椭圆的离心率．【解析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，如图由A 、D 为椭圆W 的焦点，则在椭圆中，1c OA ==，由B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则在直角三角形ADF中，DF ===由椭圆的定义可得21AF FD a +==+a =，所以12c e a ===，故选A.15．椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为 A．2B．12CD【试题来源】2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）（文） 【答案】D【分析】根据12 F F N 为正三角形得到点N 必在x 轴上，即可求出ON ，再根据12MN F F =，即可求出M 点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率．【解析】12F F N 为正三角形，∴点N 必在x 轴上，且1260NF F ∠=︒，1tan60ON OF ∴=︒⋅=，又12MN F F =，),2Mc ∴，又点M在椭圆上，)2222(2)1c ab ∴+=，化简得424810e e -+=，解得2e ==，又01e <<，e ∴=．故选D ． 16．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是A ．0λ<或3λ>时，曲线Γ一定表示双曲线B ．03λ<<时，曲线Γ一定表示椭圆C ．当3λ=-时，曲线Γ表示等轴双曲线D ．曲线Γ不能表示抛物线【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理） 【答案】B【解析】对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误．选B ．17．已知点P 是椭圆C ：22110064x y +=上一点，M ，N 分别是圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=上的点，那么PM PN +的最小值为A ．15B ．16C ．17D ．18【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（理） 【答案】D【解析】如图，椭圆C ：22110064x y +=的108a b ==，，所以6c =，故圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，PM PN +最小， 值为12122218PF PF MF MF a +--=-=，故选D ．18．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆CB ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4D ．4a =【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考 【答案】B【分析】由离心率可求出2a =，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．【解析】由椭圆的性质可知，椭圆C 的短轴长为12e ==，则24a =，即2a =，2231c a =-=，所以椭圆C 的长轴长24a =，椭圆C 的焦距22c =，故选B ．19．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为 A ．1 B ．2 C ．4D ．5【试题来源】河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试（文） 【答案】A【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项．【解析】因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2212516x y +=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，所以1||||PM PF =，12212210,PF PF a MF PF PF +==∴=+，所以由题意得OQ 是12F F M △的中位线，所以||5OQ a ==，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离54 1.d =-=故选A ．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABCBCF S S=，则椭圆的离心率为A BC ．3D ．10【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（理） 【答案】A【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，由x c =-，代入椭圆方程得2by a =±，设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),C x y ，由23ABCBCF SS=，可得222AF F C =，即22,2(,)b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222c x c =-，22b y a -=，所以2x c =，22b y a =-，代入椭圆得，2222414c b a a+=，由222b a c =-得2153e =，解得e =，由01e <<，所以e =．故选A ．21．已知抛物线()220y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为p =A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七） 【答案】C【解析】抛物线的准线方程为2px =-，设其与椭圆相交于A ，B两点，AB = 不妨设0A y >，根据对称知A y =32A x =-或32A x =（舍去），3p =，故选C ．22．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为 A ．12B．2C ．13D．3【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考 【答案】D【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可．【解析】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，可得222b c a=，所以：)222ac a c =-，即220e +=， 因为()01e ∈，，解得3e =，故选D ． 23．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥ A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．2]C．12⎛⎤ ⎥⎝⎦D．1]【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研 【答案】C【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PF QF 为矩形，设12,PF n PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可 【解析】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <， 因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF；由113QF PF ≥1mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()2224232c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()22211e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤，故选C. 24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e = A ．12B．2 C ．14D．4【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考 【答案】D【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可．【解析】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，， 依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得 22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅，123cos 4F AF ∠=，22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得4e =．故选D ． 25．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为A ．12BC ．13D 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市道里区第三中学校2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案．【解析】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选C ．26．已知命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q：22162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是 A ．26m -<< B ．06m <<C ．06m <<且2m ≠D ．26m -<<且2m ≠【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【解析】对于命题2:2p x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题22:162x yq m m +=-+表示椭圆，所以602062m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得26m -<<且2m ≠， 因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题， 所以实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠．故选C ．27．已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系．【解析】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I MF F y F F r y S ⋅⋅===，因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =， 所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选B ． 28．已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A ．BCD ．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP367】【数学】 【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a 12()a a >，半焦距为c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ，11||PF r =，22||PF r =， 由椭圆和双曲线的定义可知，1212r r a +=，1222r r a -=±， 因为123F PF π∠=，由余弦定理得222121242cos3c r r r r π=+-221212r r r r =+-，所以22212121124()343c r r r r a r r =+-=-，且22212122124()4c r r r r a r r =-+=+，所以222212443(44)a c c a -=-，即2221234a a c +=，则2221314e e +=，由柯西不等式得22212121131(1)()(13e e e e ++≥⨯+，所以12113e e +≤=，当且仅当13e =，2e =时，等号成立．故选C 29．如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为A ．2-B ．1-C ．12-D ．1【试题来源】浙江省宁波十校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】A【解析】如下图，连接11,PF QF ，设()20QF x x =>，则14PF x =，因为122PF PF a +=，122QF QF a +=，所以224PF a x =-，12QF a x =-，在△1PF Q 中，1290F PF ︒∠=，所以22211+=PF PQ QF ，即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =， 所以121244tan 22464PF x xPF F PF a x x x∠====--，所以直线2PF 的斜率为()21tan 1802k PF F ︒=-∠=-．故选A ．30．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为 A ．12BCD 【试题来源】福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试 【答案】A【解析】如图所示，设M 是2PF 中点，则22OP OF OM +=，1||2||PF OM =， 因为212OP OF OF +=，所以1||||OM OF =，所以112||||2PF F F c ==，因为1260F PF ∠=︒，所以1122||||||2PF F F PF c ===．由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=， 所以11222,,22c c c a e a +=∴=∴=．故选A 二、多选题1．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从1F ，2F ，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为A ．3 B ．2 C ．512- D ．312- 【试题来源】湘鄂部分重点学校2020-2021学年高三上学期11月联考（理） 【答案】BC【分析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点；以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点或以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以a 、b 、c 的齐次式，化简求离心率．【解析】①如图，若以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点，则2DC CF ⊥， 由勾股定理可得，()()2222a ba a c ++=+，由222b ac =-，可得220c ac a +-=，即210e e +-=，因为01e <<，解得512e =；②如图，若以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点， 则12CF CF ⊥，故245OCF ∠=︒，则2c e a ==；③如图，若以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点， 则22CF AF ⊥，245CF O ∠=︒，则22c e a ==；故选BC ．2．已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，则A ．FPM 的面积最大时，24tan 7FPM ∠= B ．1FP 的最大值为8 C ．d 的值可以为310D ．椭圆上存在点P ，使2FPM π∠=【试题来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】ABC【解析】由椭圆2212516x y +=，当点P 为短轴顶点时，FPM ∠最大，FPM 的面积最大，此时24tan 7FPM ∠=，此时角为锐角，故A 正确、D 错误； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有128PF ≤≤，又椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，所以1FP 最大值8，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12a ≥，8n a ≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确．故选ABC【名师点睛】由椭圆性质知在椭圆上的点中，与焦点构成的三角形面积、以该点为顶点的角最大时，点在短轴端点上；且2||8FP ≤≤，进而可得d 的范围．3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为A ．12BC D ．2【试题来源】云南省楚雄州2021届高三上学期期中教学质量检测（理） 【答案】AC【解析】设()00,P x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =--， ()100,PA a x y =---，()200,PA a x y =--．因为22221212022PF PF PA PA x y a c ⋅+⋅=+--2222220222b x b x a c a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭222222022330c x a c a c a =+-≥-≥恒成立，所以离心率3c e a =≤．故选AC 【名师点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥转化为坐标的关系，进而可得到,a c 的关系，考查计算能力，属于中档题4．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】海南省2020届高三高考数学五模试题 【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '= 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6， 所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(?60BA BF ⋅=-=-<，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 5．已知椭圆22:163x y C +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ︒∠<C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ︒∠>【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二） 【答案】ABC 【解析】A 选项：根据对称性，如上图有2112,,OA OB BOF AOF OF OF =∠=∠=，所以21BOF AOF ≅，即12OAF OBF ∠=∠，则12//AF BF ，12AF BF =，所以四边形12AF BF 为平行四边形；A 正确．B 选项：由余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，12F F =，12,PF x PF x ==，由直线(0)y kx k =≠中k 存在故x ≠所以212cos F PF ∠=，令t x <=，则x t =+，所以212226cos 166t F PF t t∠==---，203t ≤<， 120cos 1F PF ≤∠<，即1290F PF ∠<︒；B 正确．C 选项：若(,)A m km ，则(,)B m km --，(m,0)E ，所以直线BE 的斜率为22km km =；C 正确．D 选项：由上可设:()2k PB y x m =-，联立椭圆方程22:163x y C +=，整理得22222(2)2120k x mk x m k +-+-=，若(,)p p P x y ，则2222p mkx m k -=+，即2222p mk x m k =++，322p mk y k =+，所以直线PA 的斜率为32221222mk km k mk k k -+=-+，故AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误．故选ABC ． 三、填空题1．点P 是椭圆22:1167x y C +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △的内切圆半径为1．当点P 在第一象限时，它的纵坐标为__________．【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理） 【答案】73【分析】椭圆的焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出12PF F S ，建立关于p y 的关系式求解．【解析】因为128PF PF +=，126F F =，所以()1212121172PF F S PF PF F F =++⨯=；因为12121372PF F p p SF F y y =⋅==，所以73p y =．故答案为73【名师点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a 等．2．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________．【试题来源】上海市奉贤区2021届高三上学期一模 【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF =.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】广西北海市北海中学2021届高三12月考试（理）【答案】5【解析】设1BF k =，则13AF k =，24BF k =，由12122BF BF AF AF a +=+=， 得25a k =，22AF k =，在2ABF 中，21cos 4BAF ∠=， 又在12F AF 中，22212(3)(2)(2)1cos 2324k k c F AF k k +-∠==⨯⨯，得2c =故离心率5c e a ==．故答案为54．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l交椭圆于A B ，两点，且A B ，的中点为112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的离心率为__________． 【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）【答案】2【解析】由题意知(),0F c -，()0,P b -，所以直线FP 的斜率为00()b bc c--=---，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，①-②得2222121222x x y y a b --=-，即()()()()1112221222x x y y y y a x x b =-+--+， 因为112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以122x x +=，121y y +=，所以()()2112222x y y a b x =---，所以2122122ABy y b k x x a-==--， 因为//AB FE ，所以222b b c a-=-，即22a bc =，所以222b c bc +=，所以b c =，所以22222a b c c =+=，所以c e a ==【名师点睛】本题的关键点是利用点差法设设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得2222121222x x y y a b --=-，112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以 122x x +=，121y y +=，可得2122122ABy y b k x x a-==--，再计算00()FP b b k c c --==---， 利用AB FP k k =结合222a b c =+即可求离心率．5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为__________．【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题【解析】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=2c a +=，所以，该椭圆的离心率为21cea====．6．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，左焦点(,0)F c-，右顶点(,0)A a，上顶点(0,)B b，满足0FB AB=，则椭圆的离心率为__________．【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）【解析】由0FB AB=可得，()(),,0c b a b⋅-=，即222ac b a c==-，则210e e+-=，解得e=（舍）7．已知椭圆1C：()222210x ya ba b+=>>和双曲线2C：22221(0,0)x ym nm n-=>>的焦点相同，1F，2F分别为左､右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，PM x⊥轴，M为垂足，若223OM OF=(O为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为__________．【试题来源】浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】32【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，根据223OM OF=，得到P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，分别利用椭圆和双曲线的定义求得,s t，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解．【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，所以22233OM OF c==，即P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，由椭圆的定义得2s t a+=，由双曲线的定义得2s t m-=，联立解得,s a m t a m=+=-，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，由椭圆的第二定义得22223pPF t ca a ax cc c==--，解得123t a e c=-，由双曲线的第二定义得22223p PF t cm m m x c c c==--，解得223t e c m =-，又t a m =-，则223a e c =，1232e e =，所以12232c e e e a ==，故答案为328．已知F 为椭圆22:143x y C +=的左焦点，定点()3,3A --，点P 为椭圆C 上的一个动点，则PA PF +的最大值为__________．【试题来源】湖南省长沙市广益实验中学2020-2021学年高三上学期第一次新高考适应性考试 【答案】9【分析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，再利用数形结合分析求解． 【解析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，111=||24||4||49PA PF PA a PF PA PF AF ++-=+-≤+==．【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法．要根据已知条件，灵活选择方法求解．9．椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率．【解析】如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，由题意可得，22221122OB OA A B OM ⋅=⋅，即a b c ⋅=，又由222a b c =+可得，()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c e a =，所以42310e e -+=，解得2e =，因为01e <<，所以12e =．故答案为12． 10．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）于A ，B 两点，过点A分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）【分析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，根据已知条件得B 、P 、M 的坐标，AB AQ ⊥、B ，M ，Q 三点共线，211211y y x x x y -=--以及1212y y x x +=+114y x ，由A ，Q 在椭圆上有2221222212y y b x x a-=--，联立所得方程即可求离心率．【解析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，则11(,)B x y --，11(,)P x y -，11,2y M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由AB AQ ⊥，则1212111212111y y y y y xx x x x x y --=-⇒=--- ①， 由B ，M ，Q 三点共线，则BQ BM k k =，即1212y y x x +=+114yx ②．因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即22221212220x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--③， 将①②代入③得2214b e a =⇒=．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__________．【试题来源】四川省眉山市仁寿第二中学2020-2021学年高三上学期第四次诊断（理） 【答案】4【解析】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得4e =，故答案为4． 【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中，由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32aPF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．12．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点M 满足：1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，则b =__________．【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试 【答案】1【分析】先根据数量积运算得124MF MF =，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得1b =． 【解析】因为1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，所以124MF MF =， 由椭圆的定义得122MF MF a +=，故222121224MF MF MF MF a++= 所以在12F MF △中，由余弦定理得1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠，代入数据得222144848288a cb ----==，解得1b =．故答案为1． 【名师点睛】解题的关键在于应用定义122MF MF a +=与余弦定理1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠列方程求解得1b =．13．已知椭圆的方程为222116x y m+=，焦点在x 轴上，m 的取值范围是__________．【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期第二次月考数学（三校生）试题。
湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考(暨入学检测)数学试题含答案
名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6,4,3,6,{3}A B x x x =--=-<∣，则A B = （）A.{}3,6 B.{}4,3- C.{}6- D.{}6【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的解法化简集合B ，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为{}36,4,3,6,{3}2A B xx x x x ⎧⎫=--=-<=>⎨⎩⎭∣，所以{}3,6A B ⋂=.故选：A.2.已知复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2z =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数的几何意义，复数的乘法运算及模的求法即得.【详解】复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则222i,(2i)34i 5z z =-=-=-=.故选：D.3.已知等差数列中，23a =，前5项和510S =，则数列的公差为（）A.−2B.52-C.1-D.4-【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可求得32a =，进而根据等差数列定义求公差d .【详解】设等差数列的公差为53,510d S a == ，322a a d ∴=+=，又23,1a d =∴=- .故选C.4.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（）A.1176π平方英寸B.294π平方英寸C.245π平方英寸D.196π平方英寸【答案】B 【解析】【分析】两个半球的表面积之和为球的表面积和两个以球半径为半径的圆面积.【详解】由题意可知球的半径7r =，则两个半球的表面积之和为224π2π294πr r +=平方英寸.故选：B.5.已知向量()()1,2,1,1a b ==-，若(),c x y = 满足()c a + ∥b ，则x y +=（）A.-3B.2C.-5D.4【答案】A 【解析】【分析】根据向量运算，即可求得正确答案.【详解】设向量(),c x y = ，则()1,2c a x y +=++，因为()c a +∥b ，所以12x y +=--，故3x y +=-.故选：A .6.已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A.3a >-B.49103a -<<-C.4933a -<<- D.103a -<<-【答案】D 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，再求出()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的a 值范围.【详解】函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+，求导得226(1)2()61x a x f x x a x x+--'=-+-=，由2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，得()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令()()()2612,020h x x a x h =+--=-<，则()h x 在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，因此2Δ(1)4620(1)6120(2)642(1)20a h a h a ⎧=-+⨯⨯>⎪=+--<⎨⎪=⨯+-->⎩，解得103a -<<-，所以实数a 的取值范围是103a -<<-.故选：D7.已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，Q 为双曲线C左支上一点，11π,23OF Q QF ∠==，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.D.13+【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的性质及余弦定理计算可得.【详解】设2F 为双曲线的右焦点，由余弦定理可得2222222121121π111132cos42234224QF F F QF F F QF c c c c c =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以22QF c =，由双曲线的定义可得212QF QF a -=，即1222c c a -=，故双曲线C 的离心率132c e a +===.故选：D.8.若5π,,2π,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos sin cos 2cos cos 02222βγβγβγβγαα+-+--=-=，则()sin αβ-=（）A.12±B.12C.32±D.2-【答案】D 【解析】【分析】观察可知22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+，因此运用角的变换及两角和的正弦、余弦公式即可化简题目所给条件，变形后再平方，两式相加即可得到()1cos 2αβ-=，再根据同角三角函数的基本关系求解即可，要注意角的范围.【详解】因为22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+所以sin sin sin cos cos sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭①，sin sin sin cos cos sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即sin sincos cos sin 2222γββγγββγγ+-+-=-②，①-②得2cos sin sin sin 22βγβγβγ+-=-，所以sin 2cos sin sin sin sin 022βγβγααβγ+--=-+=，同理cos cos cos cos sin sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=-⎪⎝⎭③，cos cos cos cos sin sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即cos cos cos cos sin sin 222222γββγγββγγββγγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭④，③+④得2coscos cos cos 22γββγβγ+-=+所以cos 2cos cos cos cos cos 022βγβγααβγ+--=--=，所以sin sin sin ,cos cos cos αβγαβγ-=--=，两式平方相加得()22cos 1αβ--=，所以()1cos 2αβ-=，因为sin sin sin 0αβγ-=-<，且sin y x =在5π2π,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以5ππ2π,022αβαβ<<<-<-<，所以()sin 2αβ-=-.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，下表为2014年—2023年中国茶叶产量（单位：万吨），根据该表，则（）年份2014201520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于10%B.2014年—2023年中国茶叶产量的极差是150.1C.2014年—2023年中国茶叶产量的60%分位数是277.7D.2019年—2023年中国茶叶产量的平均数大于310【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，计算出增长率或极差后可求判断AB 的正误，对于C ，计算出60%分位数后可判断其正误，对于D ，计算出平均数后可判断其正误.【详解】对于A ，2015年中国茶叶产量年增长率为227.7204.922.811.1%10%204.9204.9-=≈>，故A 正确；对于B ，2014年—2023年中国茶叶产量的极差是355.0204.9150.1-=，B 正确；对于C ,1060%6⨯=，所以60%分位数是2019年与2020年茶叶产量的平均数，即277.7293.2285.452+=，C 错误；对于D ，2019年-2023年中国茶叶产量的平均数为：277.7293.2318.0335.0355.0315.783105++++=>，D 正确.故选：ABD.10.已知2m n >，且222log ,log 1,2log 2m x m y n z n ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，则（）A.若x y =，则12n >B.若x y =，则m n +C.若x y z ==，则422410m m m +-+=D.若x y z ==，则23204n n -+>【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，根据条件得到()22log log 2m n =，利用2log y x =的性质，即可求解；选项B ，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项C ，根据条件，得到2log 02m n ⎛⎫+>⎪⎝⎭，从而有22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解；选项D ，利用y z =，得22221322424m m n n n n ⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】对于选项A ，由x y =得，()222log log 1log 2m n n =+=，又2m n <，可得21m n ⋅=，所以12n m =，又01m <<，所以12n >，故选项A 正确；对于选项B ，易知，0,0m n >>，所以m n +≥=2m n ==时取等号，所以选项B 错误；对于选项C ，由选项A 知1122n m =>，所以11222m m n m +=+>，得到2log 02m n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得422410m m m +-+=，所以选项C 正确；对于选项D ，由y z =得到，22221322424m m n n n n⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，得23204n n -+>，所以选项D 正确.故选：ACD.11.已知首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130n n S S +-=，设数列{}n n S a -的前n 项和为n T ，则（）A.{}n S 为等比数列B.19n n a -=C.1819n n T -+= D.()182n n a S n -= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用等差等比数列的性质，即可求得答案.【详解】由题意可得130n n S S +-=，即0===，0==，则1n n S S +=，则10n a +=，这与0n a >矛盾，所以不成立；=，则1119,1n n S S S a +===，所以数列{}n S 是首项为1，公比为9的等比数列，即19n n S -=，故A 正确；由19n n S S +=，可得()192n n S S n -=≥，两式相减得，19n n a a +=，且1n =时，219S S =，即1219a a a +=，得28a =，那么2189a a =≠，故21,1,89,2,n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩故B 错误；当1n =时，110S a -=，当2n ≥时，()()()()()11221212n n n n n T S a S a S a S S S a a a =-+-++-=+++-+++ ()118191991119198n n n --⎡⎤⨯---⎢⎥=-+=--⎢⎥⎣⎦，当1n =时，10T =符合上式，故1918n n T --=，即1819n n T -+=，故C 正确；易得2n ≥时，18n n a S -=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.7()x y -的展开式中52x y 的系数为__________.【答案】21【解析】【分析】根据二项式7()x y -的展开式的通项717C (1)r r rr r T x y -+=-，求解问题.【详解】二项式7()x y -的展开式的通项77177C ()C (1),0,1,2,,7rrr rr r r r T xy x y r --+=⋅⋅-=-= ，所以7()x y -的展开式中52x y 项的系数为227C (1)21⨯-=.故答案为：21.13.设抛物线212y x =的焦点为F ，经过点()4,1P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF +=__________.【答案】14【解析】【分析】设1,1,2,2，根据抛物线的定义，得123,3AF x BF x =+=+，又根据中点坐标公式，可得128x x +=，代入即可得到()126AF BF x x +=++的值．【详解】由题意可得()3,0F ，设1,1,2,2，抛物线的准线：3x =-，过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,C D ，根据抛物线的定义，得123,3AF AC x BF BD x ==+==+，故()126AF BF x x +=++，因为AB 的中点为()4,1P ，所以()12142x x +=，可得128x x +=，所以()12614AF BF x x +=++=.故答案为：14.14.在三棱锥P ABC -中，2,AB BC CA PA PB ====，二面角P AB C --的大小为π3，则222PA PB PC ++最小时，三棱锥P ABC -的体积为__________.【答案】12【解析】【分析】本题主要利用余弦定理、二面角以及直角三角形的性质，即可求得一元二次函数的最小值，进而求得三棱锥P ABC -的体积.【详解】如图，取AB 的中点D ，连接,PD CD ，设PD a =，则2221PA PB a ==+，CD =PDC ∠是二面角P AB C --的平面角，所以π3PDC ∠=，在PDC △中，由余弦定理可得223PC a =+-，所以2222231919353644PA PB PC a a ⎛++=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当36a =时取等号，此时三棱锥P ABC -的体积1π1sin 3336212ABC V PD S =⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：12.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()::5:7:6a b b c c a +++=.（1）求cos A ；（2）若点D 为AB 的中点，且CD =ABC V 的面积.【答案】（1）78（2）【解析】【分析】（1）根据比例，设出5(0)a b t t +=>，联立解得,,a b c 关于t 的表达式，再利用余弦定理求值即可；（2）结合已知条件与（1）中结论，在ACD 中利用余弦定理可得t 的值以及sin A 的值，进而可知ABC V 中边,b c 的值，再由三角形面积公式求值即可.【小问1详解】因为()()()::5:7:6a b b c c a +++=，设5(0)a b t t +=>，则7b c t +=，6c a t +=，联立解得2a t =，3b t =，4c t =，所以由余弦定理得222222291647cos 2248b c a t t t A bc t +-+-===.【小问2详解】在ACD 中，7cos 8A =，CD =，3AC b t ==，122AD c t ==，由余弦定理得22710942328t t t t =+-⨯⋅⋅，解得2t =（负值舍去），所以36b t ==，48c t ==，因为0πA <<，所以sin 8A ==，所以11sin 68228ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()2P k χ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.841 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100【小问2详解】零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，()2100251525356040505025<10.8286χ⨯-⨯=⨯=⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X 的可能取值为0，1，2，3，3(3,).5X B 3213283236(0),(1)C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23233254327(2)C ,(3)551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列为X 0123P 812536125541252712539()355E X =⨯=.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，且C 的离心率为2.（1）求C 的标准方程；（2）若()30A -,，直线:1(0)l x ty t =+>交椭圆C 于,E F 两点，且AEF △，求t 的值.【答案】（1）22142x y +=（2）t=【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解；（2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解.【小问1详解】由题意得：22cc ea===，即2c a==，则2222b a c=-=，所以C的标准方程为：22142x y+=.【小问2详解】由题意设()()1122,,,E x yF x y，联立221142x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得：()222230t y ty++-=，则()222Δ412216240t t t=++=+>，则12122223,22ty y y yt t+=-=-++，可得1222y yt-=+，设直线l与x轴的交点为()1,0D，且()3,0A-，则()134AD=--=，故1221246222AEFS AD y yt=⋅-=⨯=+t=.18.已知正四棱柱1111ABCD A B C D-底面ABCD为边长为3的正方形，16AA=，点,,E F G分别在线段11111,,A D AAB C上，且1122A F A E==，132C G=，点H在线段1BB上且EF GH∥.（1）求锐二面角1A FH E --的余弦值；（2）求平面EFHG 将四棱柱分割成两个多面体的体积比.【答案】（1）34623（2）111119719D EFAD C GHBCA EFB GHV V --=【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，利用EF GH ∥可求得点()3,3,3H ，再求出平面11A B HF 与平面EFHG 的法向量，利用向量夹角的坐标表示求出二面角1A FH E --的余弦值；（2）利用1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，可求得11A EF B GH V -的体积，再利用正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积可求得剩余部分的体积，作比即可.【小问1详解】如图，以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，依题意可得，()13,0,6A ，()13,3,6B ，()3,0,4F ，()2,0,6E ，3,3,62G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()3,3,H a ，则()1,0,2EF =- ，3,0,62GH a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，EF GH ∥，∴EF GH ∥，∴36212a -=-，解得3a =，即()3,3,3H ，易知平面11A B HF 的一个法向量()11,0,0n = ，且()0,3,1FH =- ，设平面EFHG 的一个法向量2 =s s ，由2200n FH n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得3020b c a c -=⎧⎨-=⎩，令1b =，可得6a =，3c =，则()26,1,3n = ，∴121212cos ,23n n n n n n ⋅== ，故锐二面角1A FH E --的余弦值为34623.【小问2详解】易知1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，则()1111111113A EF B GH K B GH K A EF B GH A EF V V V S B K S A K ---=-=⋅-⋅ ，111123A A K K EB B G == ，16A K ∴=，19B K =，∴111131193912632224A EFB GH V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，111111111919733644ABCD A BCD A EF B G D EFA H D C GHBC V V V ---=-=⨯⨯-=，体积比111119719D EFAD C GHB A EF B CGH V V --==.19.若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，使得对任意x ∈R ，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，则称()f x 是类周期为T 的“类周期函数”.（1）若函数()f x 是类周期为1的“类周期函数”，证明：()f x 是周期函数；（2）已知()2sin (0)f x x x ωω=->是“类周期函数”，求ω的值及()f x 的类周期；（3）若奇函数()f x 是类周期为(0)T T >的“类周期函数”，且()()31f T f T =，求T 的值，并给出符合条件的一个()f x .【答案】（1）证明见解析（2）()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2（3）T =()2πsin 8=f x x 【解析】【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明；（2）利用已知条件()()2sin 0f x x x ωω=->是“类周期函数”以及奇函数的性质，即可证明；（3）利用已知条件，求出()()3,f T f T 的关系，进而求出T 的值，进行作答.【小问1详解】证明：因为()f x 是类周期为1的“类周期函数”，所以()()()11f x f x f x -++=，①用1x +代换x 得()()()21f x f x f x ++=+，②①+②得()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为6的周期函数.【小问2详解】因为()f x 是“类周期函数”，所以存在非零常数T ，使得对任意x R ∈，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，即()()()()2sin 2sin 2sin x T x T x T x T Tx T x ωωωωω---++-+=-，整理得42sin cos 2sin x x T Tx T x ωωω-=-，所以42,2cos T T Tω=⎧⎨=⎩所以2,cos21T ω==，所以()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2.【小问3详解】因为奇函数()f x 是类周期为T 的“类周期函数”，所以()00f =，且()()()f x T f x T Tf x -++=，取x T =，得()()()02f f T Tf T +=，所以()()2f T Tf T =，取2x T =，得()()()()232f T f T Tf T T f T +==，所以()()()231f T T f T =-，因为()()()31,0f T f T f T =≠，所以211,T T -==，所以((()f x f x x -++=，设()sin f x ax =，则()()sin sin ax ax ax ++=，整理得2sin ax ax =，所以2=，取(),sin 88a f x x ==.【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题.。
第6讲 利用函数性质解决抽象函数不等式(解析版)
7.【2018年普通高校招生全国卷一】已知函数 ，任取两个不相等的正数 ， ，总有
，对于任意的 ，总有 ，若 有两个不同的零点，则正实数 的取值范围为__________．
3．已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，任意 满足 ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
【来源】（全国1卷）2021届高三5月卫冕联考数学（理）试题
【答案】D
【分析】
由 是偶函数，得函数图像关于直线 对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.
【详解】
因为 是偶函数，所以 的图像关于直线 对称，
【详解】
令 ， ，
则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 在 上为单调递减函数，
当 时，由 可知 ，不满足 ；
当 时， ，所以 可化为 ，即 ，
因为 在 上为单调递减函数，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
【变式演练3】定义在非零实数集上的函数 满足 ，且 是区间 上的递增函数．
（1）求 的值；
（2）求证： ；
【详解】
令 ，则 可得
所以 是 上的奇函数，
，
当 时， ，所以 ，
是 上单调递增，
所以 是 上单调递增，
因为 ，
由 可得 即 ，
由 是 上单调递增，可得 解得： ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数 ，根据已知条件判断 的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式.
【答案】A
河南省九师联盟2022届高三上学期9月质量检测 数学Word版含答案(理)
河南省九师联盟2022届高三上学期9月质量检测理科数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本试卷主要命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题p ：∀x>0，x 2>0，则¬p 为A.∃x 0≤0，x 02≤0B.∀x ≤0，x 2>0C.∀x>0，x 2≤0D.∃x 0>0，x 02≤02.已知集合A ＝{x|x 2－x －6<0}，B ＝{x|0<x<1}，则A ∩(∁R B)＝A.{x|－2<x ≤0}B.{x|－2<x<0，或1≤x<3}C.{x|1≤x<3}D.{x|－2<x<0，或1<x<<3}3.若函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数g(x)f 2x 1-的定义域为A.(1，2]B.(1，5]C.[1，2]D.[1，5]4.我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系。
声音的强度常用I(单位：瓦/米2，即W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L(单位：分贝)表示，它们满足换算公式：L ＝10lg 0I I (L ≥0，其中I 0＝1×10－12W/m 2是人们能听到的最小声音的强度，是听觉的开端)。
若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的A.15B.1100C.110D.120 5.已知命题p ：∃x 0>0，lnx 0<0；命题q ：∀x ∈R ，e x >1，则下列命题为真命题的是A.¬p ∨qB.p ∧¬qC.p ∧qD.¬(p ∨q)6.甲、乙、丙、丁四位学生中，其中有一位做了一件好事，但不知道是哪一位学生。
百师联盟2021届高三上学期一轮复习联考(三)-全国卷Ⅰ理科数学试卷及参考答案
百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I理科数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P ＝{x|x 2－1>0}，Q ＝{x|x －2≥0}，则P ∪Q 为（ ）A.{x|x ≥2}B.{x|x<－1或x ≥2}C.{x|x<－1或x>1}D.R2.已知复数z ＝21i i，则z ·z 的值（ ） A.0 B.2i C.2 D.13.cos50°cos10°－sin50°sin170°＝（ ）A.cos40°B.sin40°C.12D.24.已知m 2≥3，则直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为（ ）A.相切B.相离C.相交或相切D.相交5.函数f(x)＝xe x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为（ ） A.y ＝x ＋e －1 B.y ＝e C.y ＝x －e －1 D.x ＝e6.将函数f(x)＝sinx 的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ） A.g(x)＝sin(12x ＋3π) B.g(x)＝sin(12x ＋23π) C.g(x)＝sin(2x ＋3π) D.g(x)＝sin(2x ＋23π) 7.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则(3＋1a )(1＋2b)的最小值为（ ） A.14＋46 B.25 C.24 D.1238.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝52，S 4＝14，则当S n 取得最大值时n 的值为（ ） A.4或5 B.3或4 C.4 D.39.已知α∈(2π，π)，且cos(α－4π)＝35，则tan α＝（ ） A.－7 B.－17 C.－7或－17 D.－7或17 10.如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身高忽略不计)（ ）2 B.22C.1D.32 11.设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝12n s s s n++⋅⋅⋅+，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“凯森和”，已知数列a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为4042，那么数列－1，a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为（ ）A.4036B.4037C.4038D.403912.已知a，b满足0<a<b<e，则a b＋ln aa与b a＋ln bb的大小关系为（）A.a b＋ln aa>b a＋ln bbB.a b＋ln aa＝b a＋ln bbC.a b＋ln aa<b a＋ln bbD.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省洛阳市强基联盟2023届新高三摸底大联考数学(理科)试题含答案
强基联盟23届新高三摸底大联考数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A ，B 两个元件，零件（2）含有C ，D ，E 三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（）A.9B.8C.6D.52.若复数：()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（）A.23i-+ B.23i+ C.32i+ D.32i-3.下面几种推理是类比推理的是（）A.由“周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”，推测“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积最大”B.三角形中大角对大边，若ABC 中，ABC BAC ∠>∠，则AC BC >C.由332123+=，33321236++=，…，得到333333212345621+++++=D.一切偶数都能被2整除，20222是偶数，所以20222能被2整除4.已知随机变量()2~5,X N σ，若()80.36P X ≥=，则()2P X >=（）A.0.36B.0.18C.0.64D.0.825.“1133a b <”是“ln ln a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1cos 4A =-，sin 2sinBC =，则c =（）A.1B.2C.3D.47.已如实数x ，y 满足约束条件1,2,30.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最小值是（）A.72B.3C.73D.28.3nx ⎛⎝的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A.-540B.135C.18D.12159.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A 表示选出的三种药方中至少有一药，事件B 表示选出的三种药方中至少有一方，则()|P A B =（）A.1920B.910C.919 D.181910.对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和：311=，3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，根据上述规律，325的分解式中等号右边的所有数中最大的数为（）A.325B.323C.649D.64711.随机变量ξ的概率分布列为()2cP k k kξ==+，k ＝1，2，3，其中c 是常数，则()93D ξ-的值为（）A.10B.117C.38D.3512.已知函数()32183833f x x x x =-+-，()ln g x x x =-，若()120,3x x ∀∈，，()()12g x k f x +≥恒成立，则实数k 的取值范围是（）A.[)2ln 2,++∞ B.[)3,∞-+C.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线e 22x y x x =+-在0x =处的切线方程是________．14.奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y 与当天的平均气温/℃x 进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为ˆ452=-yx .气温/℃x 10622-售出热饮的杯数y243448表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为___________.15.已知随机变量()~4,X B p ，若()65181P X ≥=，则DX =______．16.已知F 是椭圆1C ：22221x ya b+=（0a b >>）的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C ：22221x y m n-=（0m >，0n >）与椭圆1C 共焦点，若直线AF 与双曲线2C 的一条渐近线平行，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e +的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD CD ⊥，12AD CD DD ===，1AB =．（1）求证：111AD B C ⊥；（2）求二面角11D AC B --的余弦值．19.司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X 为开车时不使用手机的男性司机人数，求X 的分布列和数学期望．参考数据：()2P k χ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．20.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，且抛物线C 经过点(2,1)P ．（1）求抛物线C 的方程；（2）A ，B 是抛物线C 上异于点P 的两个动点，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若12112k k +=，求证：直线AB 过定点．21.已知函数()()e ln 0xa x ax a x xf =+-<．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式()()e 1e xx f x x b x x≥+--在[)1,x ∞∈+上恒成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 的普通方程；（2）已知点P 的直角坐标为()1,2-，过点P 作C 的切线，求切线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23.已知函数())f x x a x a =++-∈R ．（1）若2a =，求不等式()9f x ≥的解集；（2）若x ∀∈R ，不等式()22f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．强基联盟23届新高三摸底大联考数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A ，B 两个元件，零件（2）含有C ，D ，E 三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（）A.9B.8C.6D.5【答案】C 【解析】【分析】根据分步乘法计数原理即可求得【详解】由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为236⨯=条．故选：C ．2.若复数：()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（）A.23i-+ B.23i + C.32i + D.32i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法，可直接得出结果.【详解】()2i 32i 3i 2i 23iz =-=-=+故选：B3.下面几种推理是类比推理的是（）A.由“周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”，推测“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积最大”B.三角形中大角对大边，若ABC 中，ABC BAC ∠>∠，则AC BC >C.由332123+=，33321236++=，…，得到333333212345621+++++=D.一切偶数都能被2整除，20222是偶数，所以20222能被2整除【答案】A【解析】【分析】由类比推理、演绎推理、归纳推理的定义依次判断即可.【详解】对于A ，由平面图形的性质推测出空间几何体的性质，为类比推理，A 正确；对于B ，为演绎推理，B 错误；对于C ，为归纳推理，C 错误；对于D ，为演绎推理，D 错误．故选：A .4.已知随机变量()2~5,X N σ，若()80.36P X ≥=，则()2P X >=（）A.0.36 B.0.18C.0.64D.0.82【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为()2~5,X N σ，所以()()280.36P X P X ≤=≥=，所以()20.64P X >=．故选:C ．5.“1133a b <”是“ln ln a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】.【详解】解：由ln ln a b <，可得0a b <<，所以1133a b <时，所以必要性成立；当1133a b <时，在0a b <<的情况下，ln ln a b <不成立，所以充分性不成立．故“1133a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件．故选：B ．6.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1cos 4A =-，sin 2sinBC =，则c =（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由sin 2sin B C =，利用正弦定理得2b c =，然后结合已知条件利用余弦定理可求出c【详解】sin 2sin B C =．由正弦定理可得2b c =．又∵a =1cos 4A =-，∴由余弦定理2222cos a c b cb A =+-，可得22222112424242c b cb c c c ⎛⎫=+-⋅-=++⨯ ⎪⎝⎭，解得2c =或2c =-（舍去）．故选：B ．7.已如实数x ，y 满足约束条件1,2,30.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最小值是（）A.72B.3C.73D.2【答案】C 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】作出满足约束条件1,2,30x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图阴影部分所示：联立301x y x -=⎧⎨=⎩，解得11,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令2z x y =+，得2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过11,3A ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线在y 轴上的截距最大，z 有有最小值，所以1722133z x y =+=⨯+=，故选C .8.3nx ⎛⎝的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A.-540B.135C.18D.1215【答案】B 【解析】【分析】由题意得264n =，求出6n =，从而可求出二项展开式的通项公式，然后令x 的次数为零，求出r ，从而可求出结果【详解】由题意得264n =，所以6n =，所以63x ⎛- ⎝展开式的通项()()36662166C 31C 3rr rr rr r r T x x---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，得4r =，所以展开式中的常数项为()44261C 3135-⋅⋅=．故选：B ．9.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A 表示选出的三种药方中至少有一药，事件B 表示选出的三种药方中至少有一方，则()|P A B =（）A.1920B.910C.919D.1819【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型公式求出()P B 和()P AB ，再利用条件概率公式计算即可得到本题答案.【详解】由题可得，333619()120C P B C =-=，12213333369()10C C C C P AB C +==，所以()()()1819P AB P AB P B ==｜．故选：D10.对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和：311=，3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，根据上述规律，325的分解式中等号右边的所有数中最大的数为（）A.325 B.323C.649D.647【答案】C【解析】【分析】直接由题目所给数据总结规律，按照规律即可求解.【详解】观察可知，等号右边的所有数中最大的数依次为1，5，11，19，满足22221,21,32,43+++，由规律可知，325的分解式中等号右边的所有数中最大的数为22524649+=．故选：C ．11.随机变量ξ的概率分布列为()2cP k k kξ==+，k ＝1，2，3，其中c 是常数，则()93D ξ-的值为（）A .10B.117C.38D.35【答案】C 【解析】【分析】根据分布列性质求出m ，再计算随机变量ξ的期望方差，利用方差性质计算()93D ξ-.【详解】()2cP k k kξ==+ ，k ＝1，2，3，12612c c c ∴++=，解得43c =，22113()1233999E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，22213213213138()(1(2)(3)93999981D ξ∴=-⨯+-⨯+-⨯=，()()()29398138D D D ξξξ∴-===.故选：C12.已知函数()32183833f x x x x =-+-，()ln g x x x =-，若()120,3x x ∀∈，，()()12g x k f x +≥恒成立，则实数k 的取值范围是（）A.[)2ln 2,++∞ B.[)3,∞-+C.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)3,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解.【详解】()()()26824f x x x x x '=-+=--，当()0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,3x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在()0,3上的最大值是()24f =．()111x g x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,3x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 在()0,3上的最小值是()11g =，若1x ∀，()20,3x ∈，()()12g x k f x +≥恒成立，则()()max min g x k f x +≥⎡⎤⎣⎦，即14k +≥，所以3k ≥，所以实数k 的取值范围是[)3,+∞．故选:D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线e 22xy x x =+-在0x =处的切线方程是________．【答案】320x y --=【解析】【分析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由e 22x y x x =+-，得e e 2x x y x '=++，当0x =时，2y =-，3y ¢=，所以切线方程为()23y x --=，即320x y --=．故答案为：320x y --=14.奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y 与当天的平均气温/℃x 进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为ˆ452=-yx .气温/℃x 10622-售出热饮的杯数y243448表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为___________.【答案】42【解析】【分析】由最小二乘法求得回归直线方程经过样本的中心点(),x y ，设出看不清楚的数据，表示出平均值，代入到回归直线方程即可求解.【详解】设看不清的这个数据为m ，则2434481064,44++++===m mx y ，由于回归直线必过平均值点1064,4+⎛⎫⎪⎝⎭m ，所以10645244+=-⨯m，解得42m =.故答案为：42.15.已知随机变量()~4,X B p ，若()65181P X ≥=，则DX =______．【答案】89【解析】【分析】()~4,X B p ，二项分布的性质，算出13p =，在使用()1DX np p =-即可.【详解】因为()~4,X B p ，()65181P X ≥=，所以()6516018181P X ==-=，所以()4416181C p p -=，所以213p -=，所以13p =，所以11841339DX ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．答案为：8916.已知F 是椭圆1C ：22221x ya b+=（0a b >>）的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C ：22221x y m n-=（0m >，0n >）与椭圆1C 共焦点，若直线AF 与双曲线2C 的一条渐近线平行，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e +的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据直线AF 与2C 的一条渐近线平行，得到=b nc m，再结合双曲线与椭圆共焦点得到121e e =，再利用基本不等式求解.【详解】解：设1C 的半焦距为c （0c >），则(),0F c ，又()0,A b -，所以AF bk c=，又直线AF 与2C 的一条渐近线平行，所以=b n c m ，所以2222=b n c m ，所以222222a c c m c m --=，所以2222=a c c m，所以121e e =，又212112122122e e e e e e e e ++==+≥=，当且仅当212e e =，即12e =，2e =时等号成立，即1211e e +的最小值为．故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，（n ∈+N ）.（2）221=+n nT n ，（n ∈+N ）.【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n 项和，结合已知条件联立方程可求出1a 和d ，即可求出通项公式.（2）表示出{}n b ，裂项相消求和即可.【小问1详解】解：由题可知，6236934S S a a =⎧⎨-=⎩，即112024a d a d -=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =，所以21n a n =-，（n ∈+N ）.【小问2详解】由（1）知，12211(21)(21)2121n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1211111111133523212121n n n T b b b b n n n n -=+++=-+-++-+----+ 1212121n n n =-=++，所以221=+n nT n ，（n ∈+N ）.18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD CD ⊥，12AD CD DD ===，1AB =．（1）求证：111AD B C ⊥；（2）求二面角11D AC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】【分析】（1）证明DA ，DC ，1DD 两两垂直，建立空间直角坐标系，求出11,AD B C，由110AD B C ⋅=即可证明；（2）求出平面1ACD 和平面1ACB 的法向量，由向量夹角公式求出余弦值即可.【小问1详解】因为1DD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ．所以1DD AD ⊥，1DD CD ⊥．又AD CD ⊥，所以DA ，DC ，1DD 两两垂直，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()10,0,2D ，()12,1,2B ．所以()12,0,2AD =- ，()12,1,2B C =--．所以()()()112201220AD B C ⋅=-⨯-+⨯+⨯-=，所以11AD B C ⊥．【小问2详解】()2,2,0AC =- ，设向量()111,,m x y z = 为平面1ACD 的一个法向量，则100m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1111220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令11x =，得()1,1,1m = ，设向量()222,,n x y z = 为平面1ACB 的一个法向量，则100n AC n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22222220,220,x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩令22x =，得()2,2,1n =-．所以3cos 3m n m n m n⋅⋅==．设二面角11D AC B --的大小为θ，由图可知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3θ=．所以二面角11D AC B --的余弦值为3．19.司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X 为开车时不使用手机的男性司机人数，求X 的分布列和数学期望．参考数据：()2P k χ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关（2）分布列见解析；期望为98【解析】【分析】（1）根据题意补全列联表，计算卡方并比较即可；（2）根据超几何分布相关知识即可求得X 的分布列和数学期望.【小问1详解】由已知数据可得22⨯列联表如下：开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数401555女性司机人数202545合计6040100提出假设0:H 开车时使用手机与司机的性别无关，因为()22100402515208.2497.87960405545χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关．【小问2详解】开车时不使用手机的男性司机人数为：15831525⨯=+人；开车时不使用手机的女性司机人数为：25515825=+⨯人．由题意可知：X 的所有可能取值为0，1，2，3，因为()3538C 50C 28P X ===；()123538C C 151C 28P X ===；()213538C C 152C 56P X ===；()3338C 13C 56P X ===．则X 的分布列为：X0123P52815281556156则()51515190123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，且抛物线C 经过点(2,1)P ．（1）求抛物线C 的方程；（2）A ，B 是抛物线C 上异于点P 的两个动点，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若12112k k +=，求证：直线AB 过定点．【答案】（1）24x y=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题设抛物线C 的方程为22()=∈R x py p ，代入点(2,1)P 即求；（2）由题可设直线AB 的方程为y kx b =+，利用韦达定理及条件可得1b =-，即证.【小问1详解】由题意，设抛物线C 的方程为22()=∈R x py p ．因为抛物线经过点(2,1)P ，所以222p =，解得2p =．所以抛物线C 的方程为24x y =．【小问2详解】由题意可知，直线AB 的斜率一定存在，不妨设直线AB 的方程为221212,,,,44⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x y kx b A x B x ．联立24,,x y y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440x kx b --=．其中216160k b ∆=+>，即20k b +>，∴12124,4x x k x x b +==-．∴()()1212221212121212416112244222241144++--+=+=+==+++++--x x x x x x k k x x x x x x ，即1244162244k x x k ⨯+=+⨯+，所以1244=-=x x b ，解得1b =-．所以直线AB 的方程为1y kx =-，恒过定点(0,1)-．21.已知函数()()e ln 0xa x ax a x xf =+-<．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式()()e 1e xx f x x b x x≥+--在[)1,x ∞∈+上恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求定义域，求导，求出导函数大于0和小于0的解集，求出单调性；（2）变形为()ln 1e xx b x ≤-在[)1,x ∞∈+上恒成立，构造()()ln 1e xg x x b x =--，求导，研究其单调性，对b 分类讨论，得到1eb ≥时满足题意，其他情况均不合题意，求出答案.【小问1详解】()f x 定义域为()0,∞+，()()()()()2211e e 0x x x aa a x f x ax x xx -=-+-='-<，因为e 0x ax ->恒成立，所以当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；【小问2详解】当1a =-时，()e ln xx x xf x =-+，()e e ln 1e x x x x x x b x x x-+≥+--，整理得：()ln 1e xx b x ≤-，即()ln 1e xx b x ≤-在[)1,x ∞∈+上恒成立，令()()ln 1e xg x x b x =--，[)1,x ∞∈+，若0b ≤，则()()ln 01e xg x x b x --≥=恒成立，不合题意，若0b >，则()1e x g x bx x'=-，令()1e x h x bx x=-，[)1,x ∞∈+，则()()211e 0x h x b x x'=--<+在[)1,x ∞∈+恒成立，所以()1e x h x bx x=-在[)1,x ∞∈+上单调递减，当1eb ≥时，()()11e 0h x h b ≤=-≤，即()0g x '≤所以()()ln 1e x g x x b x =--在[)1,x ∞∈+上单调递减，故()()()ln 0e 11xg x x b x g =--≤=，即()ln 1e x x b x ≤-在[)1,x ∞∈+上恒成立，满足题意；当10e b <<时，()11e 0g b '=->，11e 1e 0b g b b ⎛⎫'=-<-< ⎪⎝⎭，所以存在01x >，使()00g x '=，当()01,x x ∈时，()00gx '>，当()0,x x ∈+∞时，()00g x '<，所以()g x 在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减，所以存在()01,x x ∈使得()()10g x g >=，不合题意，综上：实数b 的取值范围是1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数的取值范围问题，要结合函数与导函数的特征，对参数进行分类讨论，结合单调性，极值和最值等进行求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy C 的参数方程为1cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 的普通方程；（2）已知点P 的直角坐标为()1,2-，过点P 作C 的切线，求切线的极坐标方程．【答案】（1）()()22121x y -+-=（2）π1cos 32ρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π1cos 32ρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）直接根据圆的参数方程求解即可得答案；（2）由题设切线方程为()21y k x -=+，进而结合直线与圆的位置关系得3k =±，再将切线的直角方程化为极坐标方程即可得答案.【小问1详解】解：曲线C 的参数方程为1cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），所以C 的普通方程是()()22121x y -+-=．【小问2详解】解：由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=，1=，解得33k =±．360y -++=360y ++-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，化简得π1cos 32ρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π1cos 32ρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．所以切线的极坐标方程为π1cos 32ρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π1cos 32ρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭选修4-5：不等式选讲23.已知函数()()f x x a x a a =++-∈R ．（1）若2a =，求不等式()9f x ≥的解集；（2）若x ∀∈R ，不等式()22f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）99,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）[]0,4【解析】【分析】（1）根据题意，分2x -≤，22x -<<，2x ≥三种情况讨论求解即可；（2）由绝对值三角不等式得222a a a ≥-恒成立，进而分0a ≥和0a <两种情况求解即可.【小问1详解】解：若2a =，()22f x x x =++-．当2x -≤时，()2229f x x x x =--+-=-≥，解得92x ≤-，所以92x ≤-；当22x -<<时，()224f x x x =++-=，无解；当2x ≥时，()2229f x x x x =++-=≥，解得92x ≥，所以92x ≥．综上，不等式()9f x ≥的解集是99,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．【小问2详解】解：因为()()()2f x x a x a x a x a a =++-≥+--=，当且仅当a x a -≤≤时等号成立，若x ∀∈R ，不等式()22f x a a ≥-恒成立，只需222a a a ≥-．当0a ≥时，222a a a ≥-，解得04a ≤≤；当0a <时，222a a a -≥-，此时满足条件的a 不存在．综上，实数a 的取值范围是[]0,4．。
洛阳2021-2022学年高三期中考试理科数学答案
… …８ 分
… …１０ 分 … …１１ 分 … …１２ 分
由余弦定理得 犅犇 ＝ 槡３， ∴ 犃犇２ ＋犅犇２ ＝ 犃犅２，
∴ 犅犇 ⊥ 犃犇，
… …２ 分
在直四棱柱 犃犅犆犇 －犃１犅１犆１犇１ 中，犇犇１ ⊥ 平面 犃犅犆犇 ，
∴ 犇犇１ ⊥ 犇犅，
∵ 犇犇１ ∩ 犃犇 ＝ 犇， ∴ 犅犇 ⊥ 平面 犃犇犇１犃１，
洛阳市２０２１———２０２２学年高中三年级期中考试
数学试卷参考答案（理）
一 、选 择 题
１－５ＢＤＡＣＢ ６－１０ＣＣＤＤＢ １１－１２ＢＡ 二 、填 空 题
１３．槡２ １４．－３ １５．２５π １６．２槡３
三 、解 答 题
１７．解：（１）由余弦定理得犪犪２ ＋犮２ －犫２ ２犪犮
… …６ 分 … …７ 分 … …９ 分 … …１０ 分
高 三 数 学 答 案 （理 ） 第５ 页 （共 ５ 页 ） （２０２１．１０）
… …７ 分
∴
烄槡２３狔１
烅
＝ ０，
取狕１ ＝１，则 犿珤 ＝ （２槡３，０，１）．
烆１ ２狓１ －槡３狕１ ＝０．
பைடு நூலகம்
｛ 设平面 犘犆犖
的 法 向 量 为狀珗
＝
（狓２，狔２，狕２），则
狀珗·犆犖→ 狀珗·犘犖→
＝ ０， ＝ ０．
… …９ 分
∴ 烅 烄３ ２狓２
－
槡２３狔２
＝ ０， 取狕２
＝ １，则狀珗
… …３ 分
又点 犕，犖 分别是犃犇，犃犅 的中点， ∴ 犕犖 ∥ 犅犇，
∴ 犕犖 ⊥ 平面 犃犇犇１犃１，
∵ 犕犖 平面 犘犕犖 ，
∴ 平面 犘犕犖 ⊥ 平面 犃１犃犇犇１．
河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期期中地理试题
洛阳市2021——2022学年高中三年级期中考试地理试卷第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：（每小题2分，共60分。
）下列各题的答案中，只有一个是最符合题目要求的。
2021年5月，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星预选着陆区，中国首次火星探测任务取得圆满成功。
图1为“天问一号”主要飞行阶段示意图，表1为火星和地球相关数据比较。
据此完成1—3题。
表11. “天问一号”火星探测器一旦进入火星轨道，便脱离了A.地月系B.太阳系C.银河系D.总星系2.探测器环绕火星飞行阶段，属于A.恒星B.行星C.卫星D.流星3.结合表1数据，对火星环境的推测，合理的是①火星表面的昼夜温差比地球大②火星表面的温度比地球高③火星表面气压比地球表面高④火星表面常有沙尘暴现象发生A.①②B.②③C.①④D.①③受疫情的影响，第三十二届奥运会推迟到2021年7月23日至8月8日在日本东京举行。
图2为近十届奥运会举办地点分布示意图。
据此完成4—5题。
4.近十届奥运会举办地A.均位于中纬度B.位于亚欧大陆的有6个C.多位于西半球D.位于美洲大陆的有3个5.本届奥运会举办期间A.东京正午日影变短B.北京白昼逐渐增长C.雅典地区河流处于枯水期D.北印度洋海水自东向西流向日葵被人们称为“太阳花”，白天花盘随着太阳从东向西转动，其朝向落后太阳方位约12°。
太阳下山后，向日葵的花盘又慢慢往回摆，朝向东方等待太阳升起。
据此完成6—7题。
6.当新疆乌鲁木齐附近（90°E）的向日葵花盘朝向正南时，北京时间大约为A.12∶00B.13∶48C.15∶12D.14∶487.下列城市天气晴朗的情况下，夏至日从日出到日落，向日葵花盘转动时间最长的地点位于A.北京B.洛阳C.沈阳D.哈尔滨图3为浙江省中部某地新城规划区三维地形模拟图，山脉主峰是图中区域最高点，海拔206.5米，区域内最低点为83.9米。
河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试理科数学试卷含答案
2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。
考试结束后，只收答题卷.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={∣x 2x 2-x -15≤0}，B ={-3,-1,1,3,5}，则A B =（）A ．{1,3}B ．{-3,-1,1}C ．{-1,1}D ．{-1,1,3}2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A ．172B ．183C ．191D ．2113．已知sin π2123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．59C ．59-D ．794．已知平面向量a ，b 满足3a= ，()13b = ，，211a b -= ，则a 在b上的投影为（）A ．3B ．1C ．2D ．65．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．269B ．66C ．579D ．3067．已知函数()e 2e ln e xf x x x -=-+，若e 2e 2021e 2022e 2023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（）A ．34B ．32C ．54D ．228．在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+9．已知抛物线22x py =()0p >的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且AF 的最小值为1，M 是线段AB 的中点，()2,3P 是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A ．2p =B ．若8AF BF +=，则M 到x 轴的距离为3C ．若2AF FB =，则3AB = D ．AP AF +的最小值为410．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．511．已知0x 是函数()22e e x x f x -=-的图象与函数()1ln g x x x x=++的图象交点的横坐标，则020e ln xx =（）A ．2-B ．ln 2-C ．ln 2D ．212．已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．()22204x x dx +-=⎰______________．14．在三棱锥P －ABC 中，23PA AB PB AC ====，AC ⊥平面PAB ，则三棱锥P －ABC 的外接球O 的体积为______．15．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，当4x π=-时函数()f x 能取得最小值，当4x π=时函数()y f x =能取得最大值，且()f x 在区间5,1826ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则当ω取最大值时ϕ的值为__________.16．已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________．①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2exx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求n S ，n T ．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长．19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足024t <≤，t ∈N .经测算，当1624t ≤≤时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t <<时，候车人数会减少，减少人数与(16)t t -成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()f t .(1)求()f t 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f t P t-=+，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为正方形，二面角S-AB-D 为直二面角，∠SAB =∠SBA ，点M 为线段AD 的中点.(1)证明：SD ⊥MC ；(2)若SA =AB ，点N 是线段BD 上靠近点B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数()ln ln f x x a x =-，其中0a >且1a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()1e lnf x a a≥在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．全科免费下载公众号《高中僧课堂》2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
多面体的内切球外接球问题求解策略(原卷版)
专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点，BC 的中点为F ．现将ABF沿AF 翻折，使得点B 到达B '的位置，且平面AB F '⊥平面ACF ，则四面体AB FM '的外接球的表面积为（ ）A B C ．372π D ．374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中，10AB ，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．48πD ．36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12B ．12C ．4D ．42．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC ∆的外接圆．若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考天津卷5】若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π4．（2019•新课标⊙，理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D5．（2018•新课标⊙，理10文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【反馈练习】1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成ADC '，若四面体ABC D '，则线段BC '的长度为（ ）A ．BC D2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 33．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．144π4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ）A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π 5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．366．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，且PA =，在ABC 中，1AC =，2BC =，且满足sin 2sin 2A B =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．3B ．323πCD ．83π 7．球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B ．2C ．30πD ．45π9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143π B ．283π C ．11π D ．12π12．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．3πB ．8πC ．6πD ．4π 13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝1，AC ，侧棱AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．18．在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．经研究发现，当点P 在半圆弧AD 上（不含A ，D 点）运动时，三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1均在球O 的球面上，AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ，截面BCB 1C 1是矩形，BC =2，B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题。
2021届河南省南阳市普通高中高三上期期末质量评估数学(理)试卷及答案
2021届河南省南阳市普通高中高三上期期末质量评估数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第I 卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x<2}，B ＝{x|x<1}，则集合(∁U A)∪BA.(－∞，2)B.[2，＋∞)C.(1，2)D.(－∞，1)∪[2，＋∞)2.已知复数z 满足z(1＋2i)＝|4－3i|(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为A.－2B.－2iC.1D.i3.cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝A.0B.124.若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 213，则 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a5.函数f(x)＝(x 2＋1)sin2x ，(－π≤x ≤π)的图像可能是6.已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点P(x 0，2)，若点P 到该拋物线焦点的距离为4，则|OP|等于 2357.已知球面上A 、B 、C 三点，O 是球心。
如果AB ＝BC ＝AC 3205π棱锥O －ABC 的体积为 332 D.2 8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinB ＋2sinAcosC ＝0，则cosB 的最小值为 23339.记函数g(x)＝e x －e －x ＋sinx ，若不等式g(2x ＋a)＋g(x 2－1)>0对∀x ∈[－1，1]恒成立，则a 的取值范围为A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－2，＋∞)D.[－2，＋∞)10.先将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移2π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，若方程f(x)＝g(x)有实根，则ω的值可以为 A.12B.1C.2D.4 11.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”。