复变函数论试题库及答案

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )

3.若

}

{n z 收敛，则

} {Re n z 与

}

{Im n z 都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D 解析，且

0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )

6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )

7.若

)

(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C

0)(=⎰

C

dz z f .

( )

10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）

1、 =-⎰=-1||0

0)(z z n

z z dz

__________.（n 为自然数）

2.

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.

4.设

11

)(2+=

z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.

5.幂级数

n

n nz

∞

=∑的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n

n (i)

21______________.

8.=

)0,(Re n z

z e s ________，其中n 为自然数.

9. z

z sin 的孤立奇点为________ .

10.若0z 是)(z f 的极点，则___

)(lim 0

=→z f z z .

三.计算题（40分）：

1. 设

)2)(1(1

)(--=

z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.

2.

.cos 1

1||⎰=z dz z

3. 设⎰-++=C d z z f λ

λλλ1

73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +

4. 求复数

11

+-=

z z w 的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数

)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D 为常数.

2. 试证

: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并

求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.

( )

2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )

3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )

4. 有界整函数必为常数. ( )

5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在. ( )

6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )

7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰C

dz z f .

( )

8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析，则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(

=+n f 且,...2,1,21

)21(==n n

n f . ( )

二. 填空题. (20分)

1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z

2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i

z ________.

3.

=-⎰=-1||00)(z z n z z dz

_________.（n 为自然数）

4. 幂级数0

n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .

5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.

6. 函数e z 的周期为__________.

7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设2

11

)(z

z f +=

，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.

10. ____)1,1

(Res 4

=-z

z . 三. 计算题. (40分)

1. 求函数

)2sin(3

z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数

z 在

正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z

=处的值.

3. 计算积分：⎰-=i

i

z z I

d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）

的右半圆.

4. 求

dz

z z

z ⎰

=-2

2

)2

(sin π

.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f (z )在区域D 解析，试证：f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.