几何与代数课件：习题解析第三章

第一章 向量代数 平面与直线
作业中的问题
➢作业中的问题：
• 零向量 或 0 ,希腊字母等表示向量可以不加箭头.
• 模的符号要用双竖线.点积、叉积的符号不能丢.
• 看清题目要求是求直线还是平面方程.
i jk
a1, a2 , a3 b1,b2,b3 a1
来自百度文库b1
a2 b2
a3 b3
a1 b1
习题1.3.8
解III： OA OB 1 OA OB cos 1 3cos
1. 如何求直线与平面的夹角？
s, s1
sin cos s n
sn
2. 如何求两条异面直线的距离？
d P1P2 s1s2
=
|(s1, s2, P1P2)| ||s1s2||
3. 如何求投影直线方程？
平面方程 投影平面方程
投影平 由直线的一般方程构造平面束方程求得 面方程 由直线的标准方程求法向量和点法式平面
4 7 2 7 2 30 8 2 0
2 2
2
2
所以，当 ，
注：cos 2
时，cos
1 2
2
1 2
3
当 时， , , 的夹角任意.
3
第一章 向量代数 平面与直线
习题1.3.8
解：法I: 利用等腰三角形三线合一的性质来求解
OB 1 4 4 3
存在一个向量可由另一个向量线性表示.
(但不知道是哪一个向量可由另一个向量线性表示)
第三章 几何空间
习题解析
3.证明：向量,共线 +, 共线
证明：“” 向量,共线
+, 都与,共线 +, 共线
“” 因为 +, 共线
不全为0的实数k1, k2使得
k1( +) + k2( ) = .
向量1, 2 , 3 R3共面 存在不全为零的实数k1,k2 ,k3, 使得 k11+k22+k33 =.
存在一个向量可由其余向量线性表示(.但不知是哪个向量)
x1
齐次线性方程组(1,2
,3)
x2
=
有非零解.
r(A) = r(1,2,3) < 3
x3
1,2 ,3 线性相关.
注：向量1, 2 , 3不共面 k11+k22+k33 = 只有零解，即k1= k2 = k3 =0 1,2 ,3 线性无关
AC AC 2AC AB AB AB
2
2
AC 2 AC AB cos A AB
即
2
2
2
a b c 2 b c cos A
第一章 向量代数 平面与直线
思考题3
证明I： 0, , 共面.
设 m n ,
则 m n m ，
m= 1, 同理，n= 1. .
反对称性
=
轮换对称性, 行列式的性质
性质 · =0 ⊥ × = //
2 0 ,
(, , ) =0 共面⊥
坐标 · = a1b1+
计算 a2b2+a3b3
i jk
= a1 a2 a3
b1 b2 b3
a1 a2 a3 (,,)= b1 b2 b3
c1 c2 c3
3.4 空间的平面和直线
几何与代数习题解析第三章
第三章 几何空间
1. 如何判别两个向量共线、三个向量共面？ 2. 向量的各种运算以及相应的几何意义？ 3. 如何求投影直线方程？
教学内容 §3.1 平面向量及其运算的推广 §3.2 空间坐标系 §3.3 空间向量的向量积和混合积 §3.4 平面和直线
学时数 1 1 1 2
1. 如何判别两个向量共线、三个向量共面？
取OD 3,0,0,BOD 为等腰三角形.
设BD的中点为E 1,1, 1,则 OC lOE l 1,1, 1
OC 6 l 3 6,l 2
OC 2 1,1, 1 2, 2, 2
第一章 向量代数 平面与直线
习题1.3.8
解II：设
注：OC
OC mOA nOB m n, 2n, 2n
a2 b2
a3 b3
S AB AC AB AC
V四面体
1 6
AB，AC，AD
AB，AC，AD
V平行六面体
第三章 几何空间
习题解析
3.证明：向量,共线 +, 共线
证明：“” 向量,共线
? 存在唯一的实数k使得 = k
当=, 时, ,共线但 k
向量,共线 存在不全为零的实数k1, k2使得 k1 +k2 = .
即 (k1+ k2) + (k1k2) = .
k1 k1
k2 k2
0 0
k1 k2 0
所以当 k1, k2不全为0
(k1+ k2), (k1k2)也不全为0.
从而向量,共线。
8. 用数量积证明余弦定理. C
a
证 ABC 中
A
c
B
2
2
BC AC AB ( AC AB) ( AC AB)
, , 互不平行 .
三维空间上的勾股定理：直 角四面体斜面三角形面积的 平方等于三个直角面三角形 面积的平方和.
三维空间上的勾股定理：直 角四面体斜面三角形面积的 平方等于三个直角面三角形 面积的平方和.
第一章 向量代数 平面与直线
习题1.3.7
解： 3 7 5 7 2 16 15 2 0
证明II： // . 设 k , 则 k ,
k 1, .
第一章 向量代数 平面与直线
思考题3
证明III：
同理 ，
任何一个向量都不能由其余向量线性表示.
r(A) = r(1,2,3) = 3 A 可逆.
2. 向量的数量积、向量积和混合积
数量积
向量积
混合积
定义 cos
性质 正定性,线性性, Schwartz不等式
|| ||=|||| || ||sin =S□ (, , ) = ()·
, ， , , 右手系 =V(平行六面体)
OA OB
AOC BOC m n m n 4n 4n ,
6
3 6
m 3n, OC 2n,2n, 2n
注意到AOC必为锐角，所以mn>0, 即n>0.
OC 6 4n2 4n2 4n2 6
12n2 6 n 2 2
OC 2, 2, 2
第一章 向量代数 平面与直线