空间分析Voronoi图构建方法与应用.ppt
浅析平面Voronoi图的构造及应用.ppt
编写容易 分治法构造Delaunay三角剖分法 易于理解
Voronoi图的构造
用分治法构造角最优三角剖分，首先要对点集依照X坐 标排序。如果点集内点的个数小于等于三，那么可以直接构 造，否则将点集拆分成为两个含点数目近似的点集进行构造， 最后合并这两个点集。
点集内含点 个数为2的
情况
点集内含点 个数为3的
新增点
Voronoi图拓宽解题思路 原来障碍点
接下来，由于人还可以从走廊边与障碍物之间通过，那么对于每一个障 碍点(x,y)我们可以在走廊壁上增加障碍点(x,0),(x,W),一共增加2n个障碍 点 。 另外 在走 廊开 始和尽 头增 加四个 障碍 点（ -W,0），（-W,W）， （L+W,0），（L+W,W）这四个点与其它点之间距离不小与W，这样就 不影响结果。然后对于这3n+4个点求Voronoi图。
Ta
c
a
Tb b
Voronoi图与平面MST问题
根据这个条件，我们可以得到一个新的方案，构造角 最优三角剖分，然后计算最小生成树，总的时间复杂度是 O(n log n)。
可能大家会问这样一个问题：
除了距离问题,Voronoi图还有什么用呢?
我想告诉大家！Voronoi图不仅能快速解决距离问题
Voronoi图还可以扩宽我们的解题思路
的
交
点
D C
B
所求点
A
Voronoi图的在信息学中的应用
根据刚才分析的两种情况，我们可以构造两种方 案。第一种方案针对所求点为过三个点的圆的圆心的 状态，我们枚举三个点，求出它们组成的三角形的外 心和半径，然后枚举其它的点，看它们是不是在这个 圆中。第二种方案是枚举两个点的中垂线，求出中垂 线与矩形的交点，然后根据这三个点来计算最远位置， 进行判断。
Voronoi图
对于光滑、不光滑组合曲线及相应组合成的封闭面域，尽 管可用折线逼近，但折线毕竟不是曲线，在曲线光滑处， 每一点都是转折点，而化为折线，折线交接处的点就成为 唯一转折点，性质突变处。
义G的Voronoi图V（G）为
V（G）={V(g1)，V(g2)，…，V(gn)} 一般V图特性在广义V图中类似存在。
5.2 V图生成方法
V图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应 用范围广。
生成V图的方法很多，一般分为两种： 矢量方法 栅格方法
一、生成V图的矢量方法
矢量方法生成V图大多是对点实体。 方法分为：对偶生成法
义G的Voronoi图V（G）为
V（G）={V（g1），V（g2），…，V（gn）}
V图是与距离紧密相关的，而距离值是由尺度所 基本定义的。不同尺度，距离的概念不一样， 数值往往也不一样，因此不同的尺度空间，有 不同的V图。上述定义同样可推广到3维。
（二）广义Voronoi图
拓展Voronoi图为广义Voronoi图具有广泛意义。
（二）性质
假设平面上有n个离散点，其对应的Voronoi多边
形分别为V1，V2…Vn， Voronoi多边形之间除边
界外，其交集为空集，所有Voronoi多边形的并集 为二维平面R2，即
Vi Vj
PV1 V2 ...Vn R2 （假定到Pi为0的点不算在Vi内）
V1 V2 ...Vn R2
V图、障碍V图、广义V图的多边形边界提供了点、 线、面全形态，障碍、非障碍完备空间，广义加 权距离的等距线、等比线、等势线等，是具有严 密数学意义且极广泛使用价值的轨迹线。
基于Voronoi图的奥林匹克森林公园风景游憩林空间结构分析
基于Voronoi图的奥林匹克森林公园风景游憩林空间结构分析朱俐娜;彭祚登;俞琳锋【摘要】探究林匹克森林公园的林木竞争指数的空间格局,为合理经营森林提供依据.利用GIS的Voronoi图空间分析功能,确定空间结构单元;运用地统计学分析了林木竞争指数分布的空间变异特征,计算了竞争指数的变异函数,并用Kriging方法对竞争指数进行了插值.结果表明:在试验区内,林分存在7种空间结构单元,其中以1株对象木和5株最近邻木的空间结构单元最为常见;竞争指数的半方差函数可拟合成线性模型,呈随机分布;竞争指数的空间异质性较大.建议采取间伐和补植措施,以优化林分空间结构.【期刊名称】《中南林业科技大学学报》【年(卷),期】2015(035)007【总页数】5页(P57-61)【关键词】竞争指数;地统计学;Voronoi图;空间分布格局图;奥林匹克森林公园【作者】朱俐娜;彭祚登;俞琳锋【作者单位】北京林业大学省部共建森林培育与保护教育部重点实验室,北京100083;北京林业大学省部共建森林培育与保护教育部重点实验室,北京100083;北京林业大学省部共建森林培育与保护教育部重点实验室,北京100083【正文语种】中文【中图分类】S727.5竞争，是指两个或多个植物体对同一环境资源和能量的争夺中所发生的相互作用[1]。
竞争指数反映的林木所承受的竞争压力，取决于林木本身的状态(如胸径、树高、冠幅等)和林木所处的局部环境(邻近树木的状态)。
研究林木间的竞争关系，选择合适的指数十分重要，不同的竞争指数具有不同的生态意义和功能[2]。
研究林木个体之间的竞争是研究森林生态系统的基础，同时林木个体的特点又是确定营林措施的重要基础[3]。
地统计学主要是以区域化变量理论为基础，可以定量描述生命有机体(个体、种群和群落)在同环境中的空间相关性和依赖性；还可以利用半变异函数结合样点的空间位置和方向，对样点中稀疏的或无规律的数据进行最优估值，有利于深刻了解生命有机体的空间分布情况和空间异质的机制[4-5]。
7-1-Voronoi图矢量算法
第七章Voronoi图构建算法（based on Vector）2011.6GIS原理与算法Voronoi图Voronoi图是计算几何中最重要的几何结构之一（紧次于凸壳），它描述了对于一系实体集的邻近性问题。
邮局问题；观测台问题；学校（医院）问题；Voronoi图Voronoi图的概念是由Dirichlet在1850年首先提出； 俄国数学家Voronoi于1907年在文章中做了进一步阐述，并提出高次方程化简；气象学家Thiessen在1911年为了提高大面积气象预报结果，应用Voronoi图对观测站进行划分观测区域（多边形）；为了纪念这些科学家的成就，这种结构被称为Dirichlet剖分或Voronoi图或Thiessen多边形。
主要内容Definitions & Properties (定义和性质) Vector Algorithm (矢量算法)Order-k VD (多阶VD)Line and area VD (线和面的VD)Minkowski metric VD (M度量VD)Other Voronoi diagram (其他VD)Applications (应用)}iProperties（1）假设：集合S中，没有四点是共圆的。
Voronoi图是度数为三的正则图（图论），即：Voronoi图的每一个顶点恰好是图解的三条边的交点。
在S中，pi的每一个最邻近点确定一条Voronoi图多边形的一条边。
多边形V（i）是无界的当且仅当pi是集合S的凸壳的边界上的一个点。
对于S的Voronoi图的每一个顶点v，圆C（v）不包含S 的其它的点（最大空圆）。
Properties of D(p)& V(p)Each Voronoi region2、Vector Algorithm•自Shamos和Hoey[1975]把Voronoi图作为一种有效的数据结构引入计算机领域，并成为计算几何领域的主要研究热点之一。
(5)空间分析--TIN
4.1泰森多边形概念
根据上述定义可得到Thissen多边形的如下性质： (1) 在空间 E 上给定的 n 个离散点，将空间 E 分成 n 个 Thissen多边形的分法是惟一的。 (2) Thissen 多边形是凸多边形，位于 Thissen 多边 形边上的点到其两边的离散点的距离相等，Thissen 多边形内的点到相应离散点的距离最近。 (3)Thissen 多边形的每个顶点是每个三角形的外接 圆圆心。 (4)任意两个Thissen多边形不存在公共区域。 (5) 由 Thissen 多边形获得的三角形在数据点均匀分 布的情况下，可以避免产生狭长和小角度三角形。
4.3 基于栅格方式构建TIN
给定的各种点线
由离散点生成的泰森多边形
由离散点生成的Delaunay三角形
等高线补影象的骨架化
4.4 约束条件的TIN生成
1 基于矢量方式约束条件下TIN的构建 Delaunay 三角网建立起来，便可加入预先给定 的约束线段以完成带约束条件的 Delaunay 三角网 的构建。当新的约束线段加入时，通过搜索约束 线段的相交三角网及相交点，现有的 Delaunay 三 角网在局部范围内被更新与加密。
空间分析
第四章 泰森多边形分析
授课单位：天津师范大学城市与环境科学学院 授课人：崔铁军
授课内容
4.1 概念
4.2 基于矢量方式构建TIN
4.3 基于栅格方式构建TIN 4.4 约束条件的TIN生成
4.1泰森多边形概念
1. Voronoi图
给 定 一 个 二 维 Euclidean 空 间 E 和一个 n 点 mi 集 M ，那么，关 联的 Voronoi 图为覆盖的一个 凸多边形序列(V(m1)，V(m2)，…， V(mn)) ，其中， V(mi) 包括 E 中所 有以 M 为中心的 mi 为近点的点， 即 V(mi)=｛p∈E，Vj，1≤j≤n，d(p，mi)≤d(p，mj)｝
数字地面模型 第五章 不规则三角网(TIN)的生成 Voronoi图与Delaunay三角形
2.5 Delaunay三角网生成的算法
经过30多年的研究，自动生成Delaunay三角网的算法已趋于成熟：它们基本 上可分为分治算法、逐点插入法、三角网生长法等3类。其中前两类较第3类在应 用上更加广泛；但即使这两类算法也分别存在着时间和空间效率上的缺陷，使它 们的应用受到了一定的限制。 Shamos和Hoey首次提出了一个用分治算法的思想实现的生成V-图的算法。它 后来被Lewis和Robinson加以改进并应用于生成D-三角网。该算法是不断地将数 据分割为两个近似相等的子集，直至子集中的点数不大于4而生成子三角网，然 后逐级合并生成最终的三角网。分治算法是通过递归地执行同一源代码而实现的
成开放的区域外，其余每个点都形成一个凸多边 形。
2.3 Delaunay三角网
Delaunay三角网是V-图的伴生图形，它是相互邻接且互不重叠的三角形集合。 D-三角网的定义是：有公共边的V-多边形称为相邻的V-多边形。连接所有相邻 的Ｖ-多边形的生长中心所形成的三角网称为D-三角网。
D-三角网的外边界是一个凸多边形，它由连接V中的凸集形成，通常称为凸壳。 D-三角网具有两个非常重要的性质。
2.4 Delaunay三角网产生的基本准则
空圆法则：任何一个 Delaunay 三角形 的外接圆的内部不能包含其他任何点， 也称狄洛尼法则。 Lawson 的“最大化最小角原则”：每 两个相邻的三角形构成的凸四边形的 对角线，在相互交换后，六个内角的 最小角不再增大。 Lawson 的“局部最优方法 (LOP)” ：交 换凸四边形的对角线，可获得等角性 较好的三角网。
• 不规则三角网是通过从不规则分布的数据点生成的连续三角面来逼 近地形表面。
1.2
不规则三角网的基本要求
TIN模型根据不规则分布于区域的离散点集P(实测高程点)，将区域 划分为相连的三角面网络，它要求：
基于 Voronoi 图的空间最近邻近查询
硕士研究生学位论文基于 Voronoi Diagram的空间最近邻近查询 Spatial Nearest-neighbor QueryBased on Voronoi Diagram硕士 研究生胡 勇指 导 教 师陈 军教授、唐治锋讲师专 业 名 称摄影测量与遥感研 究 方 向地理信息系统完成日期一九九六年四月武汉测绘科技大学一九九六年摘要本文以 GIS 邻近操作的局部化为突破点和指导思想，在 Gold 教授实现的VORDLL 基础上对基于 V.D. 的空间最近邻近查询的理论和方法进行了研究和实验，初步推出了一个特定于空间最近邻近查询操作的工具箱原型。
其主要研究和实验内容有：⑴ 按 Voronoi 准则分析相关 GIS 典型应用事例（包括立即邻近、侧向邻近和穿越邻近三个原型），收集有关 NNQ 数据库所需的元数据信息。
在此基础上，初步建立起 Voronoi 空间数据模型；⑵ 严格定义 Voronoi 邻域和立即邻近两个基本概念，提出用 V.D. 方法形式化表达立即邻近、侧向邻近和穿越邻近三种空间最近邻近关系，将 VORDLL 描述的点、半线级的最近邻近关系扩展到简单点、线、面空间数据类型。
为简化空间目标最近邻近操作符的设计，对空间目标所拥有的点、半线集的分类性质进行讨论；⑶ 以点、线、面状地理目标空间最近邻近关系的形式定义和诸性质为实现规则，经 Voronoi 邻域查询和立即邻近查询规定出一个最近邻近查询操作符集（支持空间、属性联合查询），体现了操作局部化的特色。
使应用趋向理论化；⑷ 实验程序基本能展示基于 Voronoi 图进行空间最近邻近查询的基本概念。
具有空间、属性双向查询能力。
主题词：地理信息系统、Voronoi 空间数据模型、Voronoi 图、最近邻近关系、最近邻近查询武汉测绘科技大学 硕士学位论文Spatial Nearest-neighbor QueryBased on Voronoi DiagramAbstractGeographic Information System has a nearest-neighbor operation set, and this operation set is used to be the tool relevant to spatial nearest-neighbor analyses. In this paper, we establish two fundamental concepts -- nearest-neighbor and Voronoi neighborhood, and discuss a set of technical routes, theories and methods which are applicable to spatial nearest-neighbor queries. The following is our main works:1. Following the sketching technique of designing database schema and defining data structures, we analyze several related typical instances and collect meta-data for NNQ database;2. Establish Voronoi spatial data model that regards Point, Line and Area as its entities;3. Formally express three fundamental nearest-neighbor relations among simple Point, Line and Area-like objects, and reveal a series of properties between Point, Half line model and simple Point, Line, Area model, and extend Point, Half line-level nearest neighbor relations to spatial data types;4. Based on above properties and formal definitions of nearest-neighbor relations, we develop nine nearest-neighbor query operators that fully support union queries including both spatial and attribute conditions. They form a nearest-neighbor operating set with purely local meanings;5. At last, we work out a prototyping system that shows fundamental concepts about spatial nearest-neighbor query based on Voronoi diagram.In a word, we explore a new idea of realizing spatial nearest-neighbor operations under the uniform framework of Voronoi concepts.Key Words:Geographic Information System (GIS),Voronoi Spatial Data Model, Voronoi Diagram,Nearest-neighbor Relation, Nearest-neighbor Query目录第一章 绪论 (1)§1－1问题的提出 (1)§1－2空间邻近问题研究概况 (3)§1－3研究目标和内容 (6)第二章 Voronoi 图与最近邻近的概念 (8)§2－1Voronoi 图与 Delaunay 三角网 (8)§2－2VORDLL 介绍 (9)§2－3邻域与最近邻近 (13)第三章 V.D. 用于空间最近邻近查询的理论和方法 (17)§3－1典型事例分析 (17)§3－2NNQ 空间数据模型 (20)§3－3基于 V.D. 的空间最近邻近关系表达 (24)§3－4基于 V.D. 的空间最近邻近查询 (27)§3－5用 V.D. 方法进行简单推理 (33)第四章 实验研究 (36)§4－1实验系统 (36)§4－2若干研究实例——以武测校园总平面图为例 (40)第五章 结论与问题探讨 (48)§5－1结论 (48)§5－2问题探讨 (49)附录一 VORDLL 功能一览 (51)附录二 对照表示例 (53)参考文献 (54)致谢 (56)第一章 绪论人类自产生以来就进行着各种各样的活动。
空间统计分析课件
平均数也分简单调和平均数和加权调和平均数，
其公式分别为
X t
n n1
i1 x i
n
Pi
X
tp
i1
n P i
i1 x i
几何平均数(geometric mean )：是n个数据连乘的 积开n次方根，计算公式为
n
X g n xi i 1
ห้องสมุดไป่ตู้•空间统计分析课件
(3)中位数(Median ) 一组数据按从小到大（或从大到小）的顺 序依次排列，处在中间位置的一个数（或 最中间两个数据的平均数，注意：和众数 不同，中位数不一定在这组数据中）。 中位数的定义可知，所研究的数据中有一 半小于中位数，一半大于中位数
•空间统计分析课件
9.2.2 代表数据离散程度的统计量
有时虽然两个数据集的平均数相等，但各数据分 布在平均数左右的疏密程度却不相同，也就是它 们的离散程度不一样，为了把一个数据集的离散 程度表现出来，就需要研究离散度。
离散程度越大，数据波动性越大，以小样本数据 代表数据总体的可靠性越低；离散程度越小，则 数据波动性小，以小样本数据代表数据总体的可 靠性越高。
标准差是方差的平方根，记为
1 n
n i1
(xi
x)2
•空间统计分析课件
（8）变差系数(coefficient of variation) 变差系数也称为离差系数或变异系数，是 标准差与均值的比值，以C v 表示
Cv x 10000
变差系数用来衡量数据相对变化的程度
•空间统计分析课件
9.2.3 代表数据分布形态的统计量
•空间统计分析课件
基本统计量
描述数据特征的统计量
集中趋势
平均数 中位数 众数 分位数
voronoi面积计算
voronoi面积计算Voronoi面积计算，是一种基于Voronoi图的形状和面积计算方式。
它的思想十分简单，即通过把空间中的点根据距离不同的大小关系，将整个空间划分成许多不同的区域，从而计算出每个区域的面积大小。
各个区域之间通过线段连接起来，形成了Voronoi图。
这种计算方式在地理信息系统、数学、生物学等领域中都有广泛的应用。
下面是关于Voronoi面积计算的详细步骤：第一步，准备工作。
在计算Voronoi面积之前，我们需要准备一些原始数据，包括空间中的点的坐标信息以及我们想要计算的区域的边界信息。
这些数据可以从卫星地图、GPS、遥感等多种不同的来源中获取。
第二步，生成Voronoi图。
通过使用计算机算法，在给定的点集中生成Voronoi图。
该图由一系列不同的区域组成，其中每个区域都代表了一个距离最近的点。
该算法可以通过编写程序、使用开源软件等方式实现。
第三步，计算Voronoi图每个区域的面积。
根据Voronoi图中各个区域之间的边界线段，计算出每个区域的面积大小。
这个过程可以使用数学公式求解，例如线段相交公式等等。
第四步，输出计算结果。
将计算出的Voronoi面积数据输出到指定的文件中，以便进行进一步的分析和处理。
这些数据可以用于制作地图、进行统计分析、建立模型等等。
需要注意的是，计算Voronoi面积的过程中需要考虑一些复杂的情况，例如边界线段相交、区域形状不规则、数据存在误差等等。
因此，在进行Voronoi面积计算时需要认真考虑这些问题，并采取适当的措施进行解决。
总的来说，Voronoi面积计算是一种十分有用的技术，可以为许多应用领域提供重要的数据支持。
需要注意的是，在使用这种技术时需要仔细处理数据，防止出现误差，并进行适当的校验和验证。
7-2-Voronoi图栅格算法.
GIS原理与算法第七章Voronoi图构建算法（based on Raster）2011.6主要内容预备知识并行生长算法传统距离变换动态距离变换算法栅格算法实例球面V的生成算法原理球面格网算法实例问题讨论？？意义矢量算法对于点集十分有效，对于线集变得比较复杂，面状集则非常困难，推广到三维Voronoi图和球面Voronoi图的矢量算法则更为复杂。
算法的复杂性是Voronoi图在动态GIS模型中难以得到广泛应用的主要原因。
为解决这个矛盾，C.Gold & Yang[1992,1996]提出一个点线模型，即把复杂实体分解成点和直线，先构建点线的Voronoi图，再转换为实体的Voronoi 图。
意义•此方法的优点是结构简单，能直接建立实体的四边数据结构和容易处理区域实体的动态变化，•但是此方法缺乏数据的层次结构（即数据综合），难以从根本上解决海量数据的不同层次的综合表达。
扩展模板最简单的距离扩展模板是3×3的正方形模板，其距离扩张如图所示：扩展模板其他模版还有：菱形模版、棋盘模版、八边形模版等：只要上述a，b的取值满足1<b/a<2，那么它就是“欧氏距离”在平面栅格空间的一个整数近似。
(a) 菱形模版(b)棋盘模版(c)八边形模版不同的模板给出的栅格距离不同，如下图：对于这些距栅格VD定义栅格膨胀和腐蚀算子膨胀(dilation)和腐蚀(erosion)是数学形态学的两个基本算子。
A是原始影像，B是结构元。
定义如下：bBbbBbABAABA∈∈=Θ=⊕IU::腐蚀膨胀膨胀和腐蚀算子 膨胀和腐蚀原理：分解图（2）4、动态距离变换算法采用距离变换后，由于取整带来的误差，与欧氏距离之间的差异随距离的增大而增大，如下图：动态距离变换原理实验结果意义与研究现状由于现代测绘及相关技术的发展，人们研究的区域逐渐从局部区域发展到覆盖整个地球。
而地球本身就是一个近似的椭球体，研究球面Voronoi图的生成方法对于全球数据的动态管理和球面空间关系的推理有其重要的意义。
基于Voronoi图的空间方向关系形式化描述模型_闫浩文
收稿日期:2003202219。
项目来源:兰州交通大学青蓝人才工程基金资助项目。
第28卷第4期2003年8月武汉大学学报・信息科学版G eomatics and In formation Science of Wuhan University V ol.28N o.4Aug.2003文章编号:167128860(2003)0420468204文献标识码:A基于V oronoi 图的空间方向关系形式化描述模型闫浩文1 郭仁忠2(1 兰州交通大学土木工程学院,兰州市安宁西路22号,730070)(2 深圳市规划国土局,深圳市振兴路3号,518031)摘 要:运用认知心理学信息加工的观点,建立了基于V oronoi 图的空间方向关系形式化描述模型,并详细阐述了模型的逻辑结构、数据结构和空间方向的计算过程。
为了验证模型的正确性,列举了该模型计算空间方向的几个例子,并总结了模型的优、缺点。
关键词:目标;模型;方向关系;V oronoi 图中图法分类号:P208 空间方向关系形式化描述模型的建立是空间方向关系研究的重点[1～7]。
M BR 、C ONE 、2D String 等基于符号推理或几何运算的模型在运算结果上都存在缺陷[2,7],因此,有必要寻求新的空间方向关系描述模型。
利用V oronoi 图描述空间关系是空间关系研究的一个主要方向[8]。
运用V oronoi 图描述空间方向关系是可行的[9,10],并且这样的描述模型易于与空间关系描述的其他模型融合[8],因此,建立这种模型意义重大。
从认知心理学的观点看,空间方向判断是空间认知的一个信息加工过程,信息“过滤”贯穿该过程始终并起着主要的作用[3,4]。
因此,可以模拟空间认知学中“注意”的过滤器模型,把空间方向判断中的信息处理看作多个过滤器的合成。
1 模型建立1.1 模型框架和总体思路两个目标空间方向关系判断的过程是人的空间认知过程,符合认知心理学中信息加工的观点,可以借用认知心理学中著名的T riesman 2Broadbent过滤器模型[3,4],来设计空间认知过程的模型框架。
泰森多边形原理
泰森多边形原理泰森多边形原理，也称为Voronoi图或Dirichlet tessellation，是一种用于离散点集合的空间分割技术。
该原理可以用于识别关键的空间特征，例如网格状模式和地形分析。
下面我们来详细分步骤阐述泰森多边形原理。
第一步：构建二维离散点集泰森多边形原理需要构建一个离散点集。
这通常是通过采样空间来实现的，可以是二维图像中的像素网格，也可以是LIDAR传感器从点云数据中生成的几何点集。
第二步：用离散点集构建Voronoi图接下来，需要使用离散点集来构建Voronoi图。
Voronoi图以离散点的位置为中心，在离散空间内（通常是二维平面）形成一系列多边形，这些多边形的边缘是由离散点之间的等距线段形成的。
在二维平面内，可以使用Delaunay三角剖分算法，将每个离散点与其最近邻的点相连成三角形。
通过这种方式，可以构建出按距离分割空间的形态各异的Voronoi图。
第三步：构建泰森多边形通过Voronoi图的边缘，可以创建泰森多边形。
泰森多边形是每个Voronoi多边形的外接圆的闭合环。
这些多边形由离散点之间的等距线段形成，并且每个泰森多边形都是由两个或更多离散点共享的。
第四步：解决边界问题在具有边界的空间中，需要解决泰森多边形的边缘问题。
当点集合包含网格或模糊的边缘时，需要处理泰森多边形的边缘，以确保它们正确地限制了空间。
另外，在处理非点集边界时，需要使用预处理和/或后处理算法来确保边缘条包括在内，并且生成的泰森多边形具有正确的形状。
总结泰森多边形原理是一个十分重要的空间分析技术，可以用于地形分析、网格图形生成等很多领域。
通过四步骤的分解，我们可以大致了解使用泰森多边形原理所需要的基本流程。
当然，在实际应用中，还需要面对许多技术难题，需要不断进行改进和优化才能得到更好的结果。
数字地面模型 第五章 不规则三角网(TIN)的生成 Voronoi图与Delaunay三角形
对于点集P存在着多种三角网剖分方式，其中，Delaunay三角网在地 形拟合方面表现最为出色，因此，常被用作TIN的生成。
1.3 TIN 的数据存储方式
TIN的数据存储方式比格网DEM复杂，它不仅要存储每个点的高程， 还要存储其平面坐标、节点连接的拓扑关系、三角形编号及其邻接三角 形编号等内容。
1 3 II 4 2 III I Ⅵ Ⅳ 5 Ⅶ
生成三角形网
⑤ 置K＝K＋1； ⑥ 从K号三角形的第一条边(IB1(K) ,IB2(K) )向外扩展：首先，建立直线判别正负区法 的判别式，确保包含顶点IB3(K)一侧的离散点必须被排除，具体方法是：先将K号三角
形的第三个顶点 IB3(K) 的坐标代入F（X，Y），记录所得值的符号，送入M单元，将所
成开放的区域外，其余每个点都形成一个凸多边 形。
2.3 Delaunay三角网
Delaunay三角网是V-图的伴生图形，它是相互邻接且互不重叠的三角形集合。 D-三角网的定义是：有公共边的V-多边形称为相邻的V-多边形。连接所有相邻 的Ｖ-多边形的生长中心所形成的三角网称为D-三角网。
D-三角网的外边界是一个凸多边形，它由连接V中的凸集形成，通常称为凸壳。 D-三角网具有两个非常重要的性质。
8
Ⅷ
7 V 6
1.4 TIN模型的优缺点
TIN模型是一种表示数字高程模型的有效数据模型，相对于规则格网 DEM而言，它的优点包括：
大大减少了数据冗余，同时有效保持了地面的特征地形； 有利于表达特征地貌、地面细节的表达精度一般较高； 它的精度与地面实测数据的获取方法、密度以及分布特征相关； 可以方便地进行一些地形分析，如坡度坡向分析、地形通视分析、等高线自动生 成与三维显示等；
空间分析-voronoi图构建方法与应用
空间数据库查询技术
空间数据库
空间数据库是存储和管理空 间数据的数据库系统，通过 空间数据库查询技术可以快 速获取构建Voronoi图所需的
空间数据。
查询优化
空间数据库查询技术通常采 用查询优化技术，以提高查 询效率，减少构建Voronoi图
所需的时间。
数据存储
空间数据库的数据存储方式 对构建Voronoi图的速度和效 率也有影响，合理的数据存 储方式可以提高构建效率。
详细描述
利用Voronoi图对城市商业设施进行空间分析，可以识别出 商业设施的密集区域和稀疏区域，了解各区域商业设施的竞 争状况和服务范围，有助于优化商业布局，提高城市整体商 业发展水平。
地震灾害影响范围评估
总结词
Voronoi图可用于评估地震灾害的影 响范围，通过对受灾区域进行空间分 析，可以快速识别出受灾严重的区域， 为抢险救灾和灾后重建提供决策支持。
计算几何方法
计算几何
计算几何是构建Voronoi图的重要方法之一，通过计算几何 中的几何对象和算法，能够高效地生成Voronoi图。
常用算法
计算几何中常用的算法包括凸包算法、几何扫描算法等， 这些算法能够提高Voronoi图的构建效率。
精度控制
计算几何方法通常需要精度控制，以确保生成的Voronoi图 满足精度要求。
种群密度估计
通过Voronoi图，可以估计动物种群的密度，了解种群分布和数 量。
移动路径分析
Voronoi图可以用于分析动物的移动路径和活动范围，了解动物 的迁徙和行为模式。
04
Voronoi图的实际案例分 析
城市商业设施分布分析
总结词
通过Voronoi图分析城市中商业设施的分布情况，可以发现 商业设施在空间上的聚集程度和分布规律，为城市规划和商 业布局提供决策依据。
Voronoi图及其应用研究
接下来，对有限元模型进行网格划分，并根据材料的晶体结构和物理性质设 置相应的本构模型。最后，通过有限元求解器解算方程，得到材料的塑性变形行 为和应力应变曲线。
通过对比不同案例的分析结果，可以得出以下结论： (1)基于Voronoi图的 晶体塑性有限元多晶几何建模能够准确描述材料的塑性变形行为和应力应变曲线。 (2)不同的晶粒尺寸和形状分布会对材料的塑性变形产生影响。较小的晶粒尺寸 和更复杂的晶粒形状会导致材料具有更高的屈服强度和塑性变形能力。
基于图论的图像分割嵌入式应用
基于图论的图像分割技术在许多嵌入式应用中都发挥着重要的作用。下面我 们列举几个典型的例子：
1、无人驾驶汽车
无人驾驶汽车是近年来研究的热点之一。在无人驾驶汽车中，基于图论的图 像分割技术可以用于识别和区分道路上的各种对象，如车辆、行人、交通标志等。 此外，还可以利用图论中的路径规划算法来制定行驶路径，确保车辆的安全行驶。
1、图像处理：在图像处理中，Voronoi图可用于图像分割、特征提取和图像 增强等方面。例如，将图像中的像素点作为输入点集，通过计算距离和插值，生 成Voronoi图，进而实现图像分割和特征提取。
2、数据挖掘：在数据挖掘中，Voronoi图可用于聚类分析、关联规则挖掘和 频繁项集挖掘等方面。通过将数据点作为输入点集，生成Voronoi图，可以更好 地理解数据分布和结构，从而发现隐藏在数据中的有用信息。
2、简化模型建立：无需手动创建复杂的几何模型，而是通过自动生成的多 晶几何模型进行模拟和分析。
3、优化计算效率：通过使用高效的有限元算法和计算机集群，可以大幅缩 短计算时间。
案例分析
以一个多晶铜材料的晶体塑性有限元分析为例，详细介绍如何基于Voronoi 图的晶体塑性有限元多晶几何建模。首先，根据实验测量的晶粒尺寸和形状分布， 创建代表晶粒的点集合，并生成Voronoi图。然后，将Voronoi图导入有限元分析 软件中，建立有限元模型。在设置边界条件时，需考虑材料的固定约束和加载条 件。
基于Voronoi图的无线传感器网络栅栏覆盖算法设计
基于Voronoi图的无线传感器网络栅栏覆盖算法设计随着无线传感器网络在各个领域的应用不断扩大，对无线传感器网络覆盖问题的研究也越来越受到关注。
无线传感器网络覆盖问题是指在给定区域内部署有限数量的传感器节点，使得整个区域能够被传感器节点覆盖到，从而实现对区域内目标的监测和检测。
栅栏覆盖是覆盖问题中的一个重要问题，它要求对给定的区域进行栅栏式的覆盖，以确保区域的边界得到充分覆盖。
Voronoi图是一种用来描述空间分割的方法，它将空间分割成多个区域，并且保证每个区域都是最近邻传感器节点的覆盖范围。
利用Voronoi图对无线传感器网络进行栅栏覆盖的算法设计是当前研究的一个热点问题。
本文将重点介绍基于Voronoi图的无线传感器网络栅栏覆盖算法设计，并对该算法进行详细分析和讨论。
1. 算法思想基于Voronoi图的无线传感器网络栅栏覆盖算法的基本思想是利用Voronoi图的特性，将区域分割成多个小区域，并在每个小区域内部署一个传感器节点，使得整个区域得到完整的覆盖。
在覆盖的过程中，要确保每个小区域都至少有一个传感器节点位于其边界上，从而保证整个区域的边界得到充分覆盖。
2. 算法步骤（1）构建Voronoi图：在给定区域内罗列出所有的传感器节点，并根据传感器节点的位置信息构建Voronoi图，将整个区域分割成多个小区域，每个小区域对应一个传感器节点。
（3）部署传感器节点：确定好传感器节点的位置之后，就可以将传感器节点部署到每个小区域内，以实现整个区域的栅栏覆盖。
3. 算法优势（1）高效性：Voronoi图能够将区域自然地分割成多个小区域，且保证每个小区域都是最近邻传感器节点的覆盖范围，因此能够有效地实现区域的栅栏覆盖。
（2）灵活性：基于Voronoi图的算法可以适应不同形状和大小的区域，无需对算法进行调整和修改，因此具有很高的灵活性。
【插入图1：传感器节点的部署位置】根据传感器节点的部署位置，可以构建以下Voronoi图，并在每个小区域内部署一个传感器节点，如图2所示。
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湖北大学资源环境学院 王新生 2019/3/23
Voronoi图应用
点集密度分析 点集分布分析 地理实体的影响区域分析
湖北大学资源环境学院
王新生 2019/3/23
点集密度分析
如果我们已经产生了点集的Voronoi 图，每个Voronoi多边形的面积用表示， 那么可以将Voronoi多边形面积的倒数作 为一个评价点局部密度的一个指标。
湖北大学资源环境学院 王新生 2019/3/23
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王新生 2019/3/23
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王新生 2019/3/23
点集分布分析
点集的泊松分布是指点集的随机分布，不同于泊 松分布的两种情况是空间规则分布和集群分布。 Voronoi分割可以帮助我们判断点集的空间分布属 于那一种形式。当点集在平面上呈现泊松分布时， Voronoi多边形面积是有变化的，有些是面积大的 Voronoi多边形，有些是面积小的Voronoi多边形。 Voronoi多边形面积的变化性是很容易通过其方差来估 计的。变异系数（the coefficient of variation, CV）是 Voronoi多边形面积的标准差与平均值的比值，它可以 衡量现象在空间上的相对变化程度。 n 标准差计算公式： 2
( si s ) n s
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i 1
王新生 2019/3/23
点集分布的判别标准
当某个点集的空间分布为规则分布时，CV是 低的。当为集群分布时，在集群（“类”）内的 Voronoi多边形面积较小，而在集群间的面积较大， CV是高的。但是，应该注意的是，规则的周期结 构也会导致较高的CV值；周期性重复出现的集群 分布也会形成高的CV值。 Duyckaerts and Godefroy （2000）提出了三 个建议值，当点集为随机分布时，CV值为57% （包括从33%到64%）；当点集为集群分布时， CV值为92%（包括大于64%）；当点集为规则分 布时，CV值为29%（包括小于33%）
建立一个图层，图层中要素即是要生成Voronoi图的 原始发生元，可以包括点、线、面或者它们的组合； 采用DENSIFYARC命令给图层中各要素的弧段上增 加顶点(vertex) 。顶点的间隔设置得越小，增加顶点 的数量越多。间隔大小可以根据实际对Voronoi图精 度的需要来确定； 对已增加顶点的图层进行CLEAN或BUILD以形成正 确的弧段—节点拓扑关系； 使用ARCPOINT命令将图层中弧段上的点(顶点、节 点)转换到另一个仅含有点的图层中，有时还需要复 制原图层中的点目标；
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王新生 2019/3/23
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王新生 2019/3/23
任意形状发生元Voronoi图构建的栅格方法
1 d ( p ,p d ( p ,p w , w i) i) i 2 w i 1
wi1>0、wi2是加权Voronoi图的权重。 当 wi2=0 时 产 生 倍 增 的 加 权 Voronoi 图
湖北大学资源环境学院 王新生 2019/3/23
Hale Waihona Puke 对点层中的点的用户标识码进行修改，使其 与原发生元的用户标识码保持一致； 使用 THIESSEN 命令构建点目标的 Voronoi 图； 用 DISSOLVE 命令对形成的 Voronoi 图进行 溶合，溶合项(dissolve_item)是点目标的用户 标识码，溶合完的图层即是我们需要的任意 形状发生元的未加权的Voronoi图，完毕。
湖北大学资源环境学院 王新生 2019/3/23
加权Voronoi图的栅格构建方法
用gridpoint命令将包含有空间点位坐标的矢量图层 数据转换为栅格数据，并把栅格数据放置在一个文 本文件中。 利用方程计算每一个栅格单元与各发生点的加权距 离，以距离最短的发生点栅格的代码作为该栅格单 元的隶属代码，如此下去，直至所有栅格单元的归 属都被确定为止。 把新的栅格单元代码数据写入到一个新的文本文件 中，再用gridpoly命令将该代码数据转变为一个点的 加权Voronoi图图层（在该方法的实现中，注意数据 转换中所需要的文件头的内容） ，完毕。
（multiplicatively weighted Voronoi diagram）， 是在发生点集的扩散速度与权重成比例情况下 形成的； 当 wi1=1 时 产 生 相 加 的 加 权 Voronoi 图 （additively weighted Voronoi diagram）； 当 wi1≠1, wi2 ≠ 0 时产生复合的加权 Voronoi 图（compoundly weighted Voronoi diagram）。
Voronoi图构建及应用
Voronoi图构建方法 Voronoi图应用
湖北大学资源环境学院
王新生 2019/3/23
Voronoi图构建
Voronoi图的构建方法 矢量方法（基于GIS软件） 栅格方法（基于GIS软件和编程）
湖北大学资源环境学院
王新生 2019/3/23
基于GIS的任意发生元Voronoi图矢量 逼近方法