高中数学必修一 第五章 三角函数 单元训练题 (12)0812(含答案解析)
高中数学必修一 第五章 三角函数 单元测试 (12)(含答案解析)
高中数学必修一第五章三角函数单元测试 (12)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知函数f(x)=√3sinπxm，若存在f(x)的极值点x0，满足x02+f2(x0)<m2，则实数m的取值范围是()A. m<−2或m>2B. −2<m<2C. m>2D. m<22.若角α的终边经过点P(1,√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √323.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(5π6)的值为()A. 2B. −2C. √3D. −√34.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为π，x=π3为函数g(x)的一条对称轴，则函数g(x)的一个单调递增区间为()A. [0,π6] B. [π2,π] C. [π3,5π6] D. [π6,π3]5.已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③6.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在x=θ处取得最大值，则f(2θ)−f(3θ)的值为()A. 1B. 0C. −1D. √37.同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是π2；②在[−π6,π3]上是增函数的一个函数为()A. y =sin(x 2+π6) B. y =cos(2x +π3) C. y =sin(2x −π6)D. y =cos(x2−π6)8. 若sin2θ=cos2θ+1，则cos2θ=( )A. 0B. −1C. 1或0D. 0或−19. 为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x 的图象( )A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位 C. 向右平移π8个单位D. 向左平移π8个单位10. 将函数y =2cos(π6−x)cos(x +π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为( )A. π3B. π4C. π6D. π12二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 11. 已知函数f(x)=sin 2ωx 2+√32sinωx −12(ω>0)，x ∈R ，若f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是______．12. 已知α为第二象限角，cosα=−35，则sin2α=______． 13. 已知α∈(π2,3π4)，α=sinα，b =cosα，c =tanα，则a ，b ，c 的大小关系为______．14. 已知sinβ=45，β∈(π2,π)，且sin(α+β)=cosα，则cosβ=______，tan(α+β)=______．15. 已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sinβ=______．16. 若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为______． 17. 若sinθ−cosθ=75，且sinθ+cosθ<0，则tan2θ=______． 三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）18. 已知向量a ⃗ =(3sinx,cos2x)，b ⃗ =(cosx,12)，x ∈R ，设函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值．19.已知数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)出的单递增区间；(2)若f(x0)=35，x0∈[π4,π2]，求cos2x0的值．20.设向量a⃗=(−3cosθ,2sinθ)．(1)当θ=43π时，求|a⃗|的值；(2)若b⃗ =(3,−1)，且a⃗//b⃗ ，求2cos2θ2−1√2sin(θ+π4)的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：函数f(x)=√3sin πxm ，若存在f(x)的极值点x 0，可得πx 0m =kπ+π2，k ∈Z ，可得x 0=m(12+k)，k ∈Z ， f 2(x 0)=3．所以x 02+f 2(x 0)<m 2， 化为：m 2(12+k)2+3<m 2， 即：[1−(12+k)2]m 2>3，因为存在f(x)的极值点x 0，满足x 02+f 2(x 0)<m 2，所以k =−1，1−(12+k)2=34>0， ∴34m 2>3，解得：m <−2或m >2． 故选：A ．利用函数的极值点，推出x 0，然后化简所求不等式，求解m 的范围即可．本题考查不等式恒成立条件的应用，存在性问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力． 2.答案：D解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果． 【解答】解：∵角α的终边经过点P(1,√3)，则sinα=√3√1+3=√32， 故选：D ． 3.答案：D解析：解：根据函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象， 可得ω×(−π12)+φ=−π2 ①，且ω×π6+φ=0 ②， 由①②联立方程组，求得ω=2，φ=−π3， 故f(x)=2sin(2x −π3)，故f(5π6)=2sin4π3=−2sinπ3=−√3，故选：D．由题意利用五点法作图求得ω和φ，可得函数的解析式，可得f(5π6)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，五点法作图，属于基础题．4.答案：C解析：解：由题意知，f(x)=√2sin(ωx+φ−π4)，所以g(x)=f(x−π3)=√2sin(ωx−ωπ3+φ−π4)，因为g(x)的最小正周期为π，所以2πω=π，解得ω=2，所以g(x)=√2sin(2x−2π3+φ−π4)，由x=π3为g(x)的一条对称轴，则φ−π4=π2+kπ(k∈Z)，即φ=3π4+kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，可得φ=−π4，所以函数g(x)=√2sin(2x−7π6)，令−π2+2kπ≤2x−7π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，(k∈Z)，当k=0时，π3≤x≤5π6．故选：C．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：B解析：【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．6.答案：A解析：解：∵函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在x=θ处取得最大值，∴ωθ+π6=π2+2kπ，即ωθ=π3+2kπ,k∈Z，不妨取k=0，则ωθ=π3，∴f(2θ)−f(3θ)=sin(2ωθ+π6)−sin(3ωθ+π6)=sin(2π3+π6)−sin(π+π6)=12−(−12)=1．故选：A．由题可知，sin(ωθ+π6)=1，所以ωθ+π6=π2+2kπ，不妨取k=0，则ωθ=π3，所以f(2θ)−f(3θ)=sin(2ωθ+π6)−sin(3ωθ+π6)，代入已求的结论进行运算即可得解．本题考查正弦函数的最值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：由图象的相邻两条对称轴间的距离是π2，可知T2=π2，T=π，选项B、C满足．由x∈[−π6,π3]，得2x+π3∈[0,π]，函数y=cos(2x+π3)为减函数，不合题意．由x∈[−π6,π3]，得2x−π6∈[π2,π2]，函数y=sin(2x−π6)为增函数，符合合题意．故选：C．由题意求出函数周期，可知满足条件的函数是选项B或C，再由在[−π6,π3]上是增函数进一步判断只有C符合．本题考查三角函数的周期性及其求法，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，是基础题．8.答案：D解析：解：∵sin2θ=cos2θ+1，∴2sinθcosθ=2cos2θ，∴cosθ=0，或sinθ=cosθ，∴当cosθ=0时，cos2θ=2cos 2θ−1=0−1=−1； 当sinθ=cosθ时，cos2θ=cos 2θ−sin 2θ=0． 综上，cos2θ=0或−1． 故选：D ．由已知利用二倍角公式可求2sinθcosθ=2cos 2θ，可得cosθ=0，或sinθ=cosθ，分类讨论利用二倍角公式即可求解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属于基础题． 9.答案：D解析：解：为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x =sin(2x +π2)的图象向左平移π8个单位，sin(2(x +π8)+π2)=sin(2x +3π4).故选：D ．由题意利用诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 10.答案：D解析：解：由题意可得y =2cos(π6−x)cos(x +π3)=2sin(x +π3)cos(x +π3)=sin(2x +2π3)，向右平移φ(φ>0)个单位后可得y =sin[2(x −φ)+2π3]=sin(2x −2φ+2π3)的图象，因为平移后函数为偶函数，所以，−2φ+2π3=π2+kπ，∴φ=π12−kπ2.k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值是π12，故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的奇偶性，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：(0,112]∪[16,712]解析：解：函数f(x)=sin 2ωx 2+√32sinωx −12=√32sinωx −cosωx 2=sin(ωx −π6)，由f(x)=0，可得sin(ωx −π6)=0，解得x =kπ+π6ω∉(π,2π)，∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点， ∴T2≥π⇒ω≤1； 因为ω>0；分别取k =0，1，2，3…∴ω∉(112,16)∪(712,76)∪(1312,136)∪…=(112,16)∪(712,+∞)，∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点，∴ω∈(0,112]∪[16,712].故答案为：(0,112]∪[16,712].先整理解析式，由f(x)=0，可得sin(ωx −π6)=0，解得x =kπ+π6ω∉(π,2π)，即可得出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：−2425解析：解：∵已知α为第二象限角，cosα=−35，∴sinα=√1−cos 2α=45， 则sin2α=2sinαcosα=−2425， 故答案为：−2425．利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式，求出结果． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题． 13.答案：tanα<cosα<sinα解析：解：由于α∈(π2,3π4)，则sinα>0，cosα<0，tanα<0， y =cosα在(π2,3π4)递减，则−√22<cosα<0， y =tanα在(π2,3π4)递增，则tanα<−1，则有tanα<cosα<sinα．故答案为：tanα<cosα<sinα．先考虑函数值的符号，再运用正切函数、余弦函数的单调性，即可比较． 本题考查三角函数的单调性和运用：比较大小，考查余弦函数和正切函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．14.答案：−35 −3解析：解：∵sinβ=45，β∈(π2,π)， ∴cosβ=−√1−sin 2β=−√1−(45)2=−35， ∴tanβ=sinβcosβ=−43，∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=−35sinα+45cosα=cosα，可得−35sinα=15cosα，可得tanα=−13， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−13+(−43)1−(−13)×(−43)=−3．故答案为：−35，−3．由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解cosβ的值，进而可求tanβ的值，利用两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式进而可求tanα的值，根据两角和的正切函数公式即可求解tan(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.答案：√22解析：【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cos(β−α)的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sinβ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 【解答】解：∵cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=2√55，∴β−α∈(−π2,π2)，∴cos(β−α)=√1−sin 2(β−α)=3√1010， ∴sinβ=[(β−α)+α]=sin(β−α)cosα+cos(β−α)sinα=(−√1010)×√55+3√1010×2√55=√22． 故答案为：√22．16.答案：π2(答案不唯一)解析：【分析】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题． 由两角和差公式，及辅助角公式化简得f(x)=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=22，sinθ=22，结合题意可得√cos 2φ+(1+sinφ)2=2，解得φ，即可得出答案． 【解答】解：f(x)=sin(x +φ)+cosx=sinxcosφ+cosxsinφ+cosx=sinxcosφ+(1+sinφ)cosx=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2，sinθ=22， 所以f(x)最大值为√cos 2φ+(1+sinφ)2=2， 所以cos 2φ+(1+sinφ)2=4， 即2+2sinφ=4， 所以sinφ=1，所以φ=π2+2kπ，k ∈Z ， 当k =0时，φ=π2． 故答案为：π2(答案不唯一)．17.答案：−247解析：解：∵sinθ−cosθ=75，①∴两边平方，可得1−2sinθcosθ=4925，可得2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθ1+tan 2θ=−2425， 又∵sinθ+cosθ<0，∴sinθ+cosθ=−√1+2sinθcosθ=−√1−2425=−15，② ∴由①②可得sinθ=35，cosθ=−45，可得tanθ=sinθcosθ=−34， ∴tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=−247．故答案为：−247．将sinθ−cosθ=75两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，结合sinθ+cosθ<0，可求sinθ+cosθ=15，即可解得sinθ，cosθ，tanθ的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解：(1)∵a⃗ =(3sinx,cos2x)，b ⃗ =(cosx,12)，x ∈R ， ∴函数f(x)=a⃗ ⋅b ⃗ =(3sinx,cos2x)⋅(cosx,12)=3sinxcosx +12cos2x =32sin2x +12cos2x =√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π；(2)由(1)得f(x)=√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∵x∈[0,π2]，∴2x+φ∈[φ,π+φ]．则当2x+φ=π+φ时，f(x)取得最小值为√102sin(π+φ)=−√102sinφ=−√102×√1010=−12；当2x+φ=π2时，f(x)取得最大值为√102sinπ2=√102．∴函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值分别为√102，−12．解析：(Ⅰ)利用平面向量的数量积的坐标运算可得f(x)的解析式，利用周期公式求周期；(Ⅱ)由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．本题考查平面向量数量积的坐标运算，训练了三角函数最值的求法，是中档题．19.答案：解：(1)由图象可知T2=2π3−π6=π2，得T=π=2πω，即ω=2．当x=π6时，f(x)=1，可得sin(2×π6+φ)=1．∵|φ|<π2，∴φ=π6．故f(x)=sin(2x+π6).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z；由图象可得f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；(2)∵x0∈[π4,π2 ]，∴可得2x0+π6∈[2π3,7π6]，∵f(x0)=sin(2x0+π6)=35，∴cos(2x0+π6)=−45，∴cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=(−45)×√32+35×12=3−4√310．解析：本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数解析式，考查了已知三角函数值求角，训练了两角和的正弦公式，是中档题．(1)由函数图象得到半周期，进一步求得周期，再利用周期公式求ω的值，再由f(π6)=1结合φ的范围求得φ值，则函数解析式可求，再由函数图象得到函数的单递增区间；(2)由已知可求范围2x0+π6∈[2π3,7π6]，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2x0+π6)的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．20.答案：解：(1)根据题意，向量a⃗=(−3cosθ,2sinθ)，若θ=4π3，则cosθ=−12，sinθ=−√32，则a⃗=(32,−√3)；则|a⃗|=√212；(2)根据题意，若b⃗ =(3,−1)，且a⃗//b⃗ ，则有(−1)×(−3cosθ)=3×2sinθ，变形可得cosθ=2sinθ，2cos2θ2−12sin(θ+π4)=cosθsinθ+cosθ=2sinθsinθ+2sinθ=23．解析：(1)根据题意，由θ的值可得a⃗的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案；(2)根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得(−1)×(−3cosθ)=3×2sinθ，变形可得cosθ=2sinθ，结合三角恒等变形公式可得2cos2θ2−12sin(θ+π4)=cosθsinθ+cosθ，将cosθ=2sinθ代入计算可得答案．本题考查向量平行的坐标表示以及向量模的计算，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．。
高中数学 第五章 三角函数单元测试卷精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学
第五章单元测试卷一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．电流I(A )随时间t(s )变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A .150B ．50C .1100D ．100 2．若sin 2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A .32B ．－32 C .34D ．－343．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 大小关系( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b4．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－75．已知函数y ＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 6．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (6π－α)的值为( )A ．－23m B ．－32m C .23m D .32m7．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4(x∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( )A.π2 B.3π8 C.π4 D.5π88．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为5－12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3－5)π B．(5－1)π C ．(5＋1)π D．(5－2)π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若角α是第二象限角，则α2是( )四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α.(1)若α＝－13π3，求f (α)的值；(2)若α为第二象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝35，求f (α)的值．18.(本小题满分12分)在已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)求f (x )的定义域与单调区间．(2)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8的大小．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．第五章单元测试卷1．解析：T ＝2π100π＝150.答案：A2．解析：(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－14＝34.又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B3．解析：由题意知，a ＝sin 14°＋cos 14°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 14°＋22cos 14°＝2sin59°，同理可得，b ＝sin 16°＋cos 16°＝2sin 61°，c ＝62＝2sin 60°， ∵y ＝sin x 在(0°，90°)是增函数，∴sin 59°＜sin 60°＜sin 61°，∴a ＜c ＜b ， 故选D. 答案：D4．解析：由α为锐角，cos α＝55，∴sin α＝255故tan α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43 ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4tan 2α＝1－431＋43＝－17. 答案：B5．解析：由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4＝T 4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 答案：C6．解析：∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：B7．解析：由函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为T ＝2πω，可得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度， 得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋|φ|＋π4的图象， ∵平移后图象关于y 轴对称，∴2|φ|＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴|φ|＝k π2＋π8(k ∈Z )，k ＝1⇒φ＝±5π8，故选D. 答案：D8．解析：S 1与S 2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设S 1与S 2所在扇形圆心角分别为α，β， 则αβ＝5－12，又α＋β＝2π，解得α＝(3－5)π. 答案：A9．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，可知A ，C 正确． 答案：AC10．解析：对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为π3弧度，命题错误；对于B ，若tan α≥0，则k π≤α<π2＋k π(k ∈Z )，命题错误；对于C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝±45，命题错误；对于D ，当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α，命题正确．故选ABC.答案：ABC11．解析：由f ()x ＝cos 2x －3sin 2x 可得：f ()x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3所以f ()x 的周期为T ＝2π2＝π，所以A 正确；将x ＝π3代入f ()x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3可得： f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝－2 此时f ()x 取得最小值－2，所以x ＝π3是f ()x 的一条对称轴，所以B 正确；令t ＝2x ＋π3，则f ()x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由y ＝2cos t ，t ＝2x ＋π3复合而成； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，t ＝2x ＋π3在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6递增，y ＝2cos t在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3不单调，由复合函数的单调性规律可得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6不是f ()x 的一个递增区间；所以C 错误．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，t ∈[]0，π，t ＝2x ＋π3在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3递增，y ＝2cos t 在t ∈[]0，π单调递减，由复合函数的单调性规律可得：f ()x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3递减，所以D 正确；故选ABD.答案：ABD12．解析：f (－x )＝sin|－x |＋|sin (－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，故A 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin |x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ，则f (x )＝sin x＋sin x ＝2sin x 为减函数，故B 错误；当0≤x ≤π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，由f (x )＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f (x )是偶函数，得在[－π，0)上还有一个零点x ＝－π，即函数f (x )在[－π，π]有3个零点，故C 错误；当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f (x )取得最大值2，故D 正确，故选AD.答案：AD13．解析：cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)]＝－cos(45°＋α)＝－513.答案：－51314．解析：sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)，∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos(π4＋α)<0.∴cos(π4＋α)＝－1－342＝－74. cos(α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34.答案：－743415．解析：1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2，因为α是第三象限角，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos α2－sin α2<0，所以上式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2cos α2－sin α22＝－1＋sin α1－sin α＝－1－451＋45＝－13. 答案：－1316．解析：对于①，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π， 则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75， 所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos (2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③17．解析：(1)∵f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝sin αcos αsin α－sin α－sin α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝cos π3＝12.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝35，∴sin α＝35.∵α为第二象限角，∴f (α)＝cos α＝－1－sin 2α＝－45. 18．解析：(1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上， 得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1， 故f (x )的值域为[－1,2]．19．解析：(1)要使函数有意义，需满足2x －π3≠k π＋π2，即x ≠k π2＋π2，k ∈Z ，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋5π12，k ∈Z由k π－π2<2x －π3<k π＋π2解得k π2－π12<x <k π2＋5π12， 故函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12，k ∈Z . (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝3tan 2π3＝－33， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－π3＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝－3×tan π4＋tan π31－tan π4·ta n π3＝－3×1＋31－3＝6＋33，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8. 20．解析：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. 21．解析：(1)f (x )min ＝－2，此时2x －π3＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π12，k ∈Z ， 即此时自变量x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π－π12，k ∈Z . (2)把函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象；最后再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． (3)如图，因为当x ∈[0，m ]时，y ＝f (x )取到最大值2，所以m ≥5π12. 又函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12上是减函数， 故m 的最大值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12内使函数值为－3的值， 令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－3，得x ＝5π6， 所以m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π6. 22．解析：(1)以月份x 为横轴，气温t 为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线．由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 来描述．由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃，则A ＝17.9－9.52＝4.2，k ＝17.9＋9.52＝13.7.显然2πω＝12，故ω＝π6. 又x ＝2时t 取最大值，取ωx ＋φ＝0，得φ＝－ωx ＝－π6×2＝－π3. 所以t ＝4.2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3＋13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式． (2)如图所示，作直线t ＝13.7与函数图象交于两点，(5,13.7)，(11,13.7)．这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间．。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．5-B ．19-C ．5 D ．193．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（ ）米．A ．10B ．2C ．15D ．1524．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43- C ．53- D ．45-5．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ） A ．2425- B ．725 C ．2425D ．725-6．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）.A ．3B ．12-C ．32D ．127．2cos 232cos()4θθθ=-，则sin 2θ=（ ）A ．13B ．23C ．23-D ．13-8．设31cos 29sin 2922a =-，1cos662b -=、22tan161tan 16c =+，则有（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（ ） A ．19B ．459C ．19-D ．459-10．已知()1sin 2=-f x x x ，则()f x 的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．310-B ．310 C ．35D ．35二、填空题13．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 14．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______.15．角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 16．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．17．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______．18．将函数()cos 2f x x =图象上的所有的点向左平移4π个单位长度后，得到函数g (x )的图象，如果g (x )在区间[0]a ，上单调递减，那么实数a 的最大值为_________. 19．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 20．对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数)(cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.22．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min7x x π-=，求ϕ的值.23．若函数223sin cos 2cos y x x x =+. （1）求这个函数的单调递增区间.（2）求这个函数的最值及取得最值时的x 集合. 24．已知()()3sin f x x a ωϕ=++0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象的相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 25．已知函数()sin (sin 3cos )1f x x x x =+-. （1）若(0,)2πα∈，且1sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.26．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．D解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算．【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 3．C解析：C 【分析】由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ． 【详解】由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠=∴30PE DE PD CD ==== ∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE 中，AE =15PA =．故选：C ．4．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．5．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.6．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒2=. 故选：C.7．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin2cos()cos cos sin sin444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin2cos sinθθθθθθ+-==-，()2cos sin2θθθ∴-=，两边平方得()241sin23sin2θθ-=，解得sin22θ=-（舍去）或2sin23θ=.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin2θθθ-=，再平方求解.8．B解析：B【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,ab c，然后由正弦函数的单调性得出结论．【详解】129si sin(6029)si3n29122na =︒-︒=︒=-，b=sin33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin161tan161ccos16sin32os16c===︒︒︒︒=︒︒︒++，显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b<<．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．9．C解析：C【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．10．B解析：B 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项. 【详解】()()1sin 2f x x x f x -=-+=-，()f x ∴为奇函数，∴图象关于原点对称，故排除A ，D ；当π2x =时，ππ1024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C ． 故选：B. 【点睛】根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手： （1）判断函数的定义域；（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项； （3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B二、填空题13．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 14．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为： 解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1215．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】 由题意3sin 2θ=-，1cos 2θ=，所以，31sin sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-16．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.17．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为 解析：35【分析】利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可 【详解】由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 18．【分析】求出的平移后的解析式再利用函数在区间上是单调递减函数从而得到的最大值【详解】由题意将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象因为函数在区间上是单调递减所以解得所以实数的最大值为故答案为：解析：4π【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到a 的最大值.【详解】由题意，将函数()cos 2f x x =的图象向左平移4x个单位长度，得到函数()cos 2+n 4si 2g x x x π⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为函数()g x 在区间[0]a ，上是单调递减，所以022a π<≤，解得04a π<≤，所以实数a 的最大值为4π. 故答案为：4π. 19．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】 由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：120．【分析】讨论的范围得出的表达式求出的值域即可【详解】①当时由得所以此时即则即；②当时由得此时即；③当时由得所以此时则即；④当时则由得不成立此时不存在；⑤当时由得所以此时则即；⑥当时由得综上实数的取值解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】讨论a 的范围得出k 的表达式，求出()k f a =的值域即可. 【详解】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=，此时cos 12a ≤≤2cos 2a ≤≤，则1122cos a ≤≤12k ⎡∈⎢⎣⎦；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =，此时sin 12a ≤≤，即2k ⎤∈⎥⎣⎦； ③当,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=， 此时0sin 1a <<，则11sin a>，即()1,k ∈+∞； ④当a π=时，22a π=，则[0,][,2]1,0a a a M M ==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得10=不成立，此时k 不存在； ⑤当5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， 此时0sin 21a <<，则11sin 2a>，即()1,k ∈+∞； ⑥当5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =， 综上，实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论a 的范围，根据a 的不同取值范围得出k 的表达式，再利用三角函数的性质求解.三、解答题21．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝， 所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈， 所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 22．（1）37π；（2）14π. 【分析】（1）题意说明周期6T π≥，4x π=是最小值点，由最小值点得ω表达式，由6T π≥得ω的范围，从而得ω的值；（2）()()122f x g x -=∣∣说明()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值.对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π，由此可得． 【详解】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤.又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，解题关键是由足()()122f x g x -=得出12,x x 是函数的最值点，一个是最大值点，一个是最小值点，由此分析其其差的最小值与周期结合可得结论． 23．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换法求函数的单调递增区间即可；（2）根据三角函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）2cos 2cos 2cos 212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 因为函数sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数2cos 2cos y x x x =+的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以函数的最大值为max 3y =，当且仅当22,62x k k Z πππ+=+∈，即：,6x k k Z ππ=+∈时取得；函数的最小值为min 1y =-，当且仅当22,62x k k Z πππ+=-+∈，即：,3x k k Z ππ=-+∈时取得；所以函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据题意，结合二倍角公式和辅助角公式将已知三角函数表达式化简整理得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，考查运算求解能力，是中档题. 24．（1）单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34. 【分析】（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为2π可知周期为π，可确定2ω=，然后将点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解出ϕ的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可. （2）由（1）中的结果可知()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，确定出()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，得到关于a 的方程求解即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为2π， 得函数()f x 的最小正周期T π=， ∴22πωπ==.又函数()f x 的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，∴21212f a a ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin 2012πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，6k πϕπ+=.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，则()26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63x k πππ-≤≤+，()k ∈Z ，3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得536k x k ππππ+≤≤+，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）知，函数()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又3122f a π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，3f a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为32a a -++=∴34a =. 【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数()sin y A ωx φ=+的最值转化为求sin y A t =的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可. 25．（1）12；（2）T π=；调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈. 【分析】先把函数()f x 化简，（1）根据条件即可求出角α的大小，代入解析式即可求解.（2）根据周期定义即可求出周期，再利用整体代换思想代入正弦函数的递增区间求出x 的范围即可求解. 【详解】21()sin (sin )1sin cos 1sin(2)62f x x x x x x x x π=-=-=--，（1）由(0,)2πα∈，1sin 2α=，可得6πα=，所以1()sin(2)sin 66662f ππππ=⨯-==，（2）函数周期为22T ππ==， 令2[2,2]622x k k πππππ-∈-+，k Z ∈， 解得[,]63x k k ππππ∈-+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈.26．（1）2+（千米）；（2）. 【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 2AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为 【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭3．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ） A ．2425-B ．725C ．2425D ．725-4．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为22cm ，则该扇形的周长为（ ） A ．6cmB ．3cmC ．12cmD ．8cm5．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．D ．6．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 图象的一条对称轴是（ ） A ．6x π=B ．56x π=C ．512x π=D ．712x π=7．已知函数()()π2tan 010,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭，()0f =，π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①π6ϕ=；②2ω=；③函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④函数()f x 的最小正周期为π4．则上述说法正确的序号为（ ） A ．①④B ．③④C ．①②④D ．①③④8．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若4cos ,5αα=-是第三象限角，则sin α等于（ ）A ．35B ．35C ．34D ．34-10．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425D ．3511．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．310-B ．310C ．35D ．35二、填空题13．若1sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=____________ 14．已知3sin 2cos()sin 2παπαα⎛⎫++-=⎪⎝⎭，则2sin sin cos ααα+=__________.15．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________.16．若sin 2θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 17．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 18．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______． 19．函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1的最大值是________. 20．已知tan 2α=，则cos2=α__．三、解答题21．已知函数()sin 1f x x x =++. （Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值； （Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ[,]22x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.22．已知m ∈R ，函数2222()1sin cos (2)|sin |33f x x x m x =++-+.（1）若0m =，求()f x 的最大值； （2）若()f x 在02x π≤≤时的最小值为12，求m 的值.23．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分． 24．如图为函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的一个周期内的图象.（1）求函数()f x 的解析式及单调递减区间； （2）当1,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域. 25．设函数22()cos 2cos 32x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小值及()f x 取最小值时x 的集合； （3）求()f x 的单调递增区间. 26．已知02πα<<，4sin 5α. （1）求tan α的值； （2）求cos 2sin 2παα⎛⎫++⎪⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象； 将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．3．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.4．A解析：A 【分析】由题意利用扇形的面积公式可得2122R =，解得R 的值，即可得解扇形的周长的值．【详解】解：设扇形的半径为Rcm ，则弧长l Rcm =，又因为扇形的面积为22cm ， 所以2122R =，解得2R cm =， 故扇形的周长为6cm ． 故选：A ．5．C解析：C 【分析】先计算三角函数值得(1,P ，再根据三角函数的定义sin ,yr rα==可. 【详解】解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，所以sin y r α===. 故选：C.6．D解析：D 【分析】利用三角函数的性质，2()sin()033f A ππϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解 【详解】根据题意得，2()sin()033f A ππϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2πϕ<，进而求得，3πϕ=，所以，()sin(2)3f x A x π=+，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，所以，2,32x k k z πππ+=+∈，解得,k x k z 122ππ=+∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712x π= 故选D 【点睛】关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，进而求解，属于中档题7．D解析：D 【分析】根据()03f =，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ的值，即可判断①的正误；根据对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，代入公式，可解得ω的表达式，结合ω的范围，即可判断②的正误；根据()f x 解析式，结合x 的范围，即可验证③的正误；根据正切函数的周期公式，即可判断④的正误，即可得答案. 【详解】对于①：由()0f =知2tan ϕ=，即tan ϕ=π2ϕ<，解得π6ϕ=．故①正确；对于②：因为π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故πππ,1262k k Z ω+=∈，解得62,k k Z ω=-∈，因为010ω<<，所以4ω=，故②错误；对于③：当5ππ,243x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π3π4π,62x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故③正确；对于④：因为4ω=，所以()f x 的最小正周期π4T =，故④正确． 综上，正确的序号为①③④． 故选：D ．8．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<， 所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.9．B解析：B 【分析】运用同角的三角函数关系式直接求解即可. 【详解】4cos ,5a a =-是第三象限角，3sin 5a ∴==-，故选：B 10．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值 【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故选：C11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B二、填空题13．【分析】由题意结合诱导公式二倍角余弦公式直接运算即可得解【详解】若则故答案为：解析：12-【分析】由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解. 【详解】若π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ11cos 2sin212sin 122442θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1sin22θ=-.故答案为：12-. 14．【分析】利用诱导公式化简得出根据的代换结合齐次式化简计算得出函数值【详解】由已知得：则故答案为：解析：35【分析】利用诱导公式化简得出tan 3α=-，根据”1”的代换结合齐次式化简计算得出函数值． 【详解】由已知得：cos 2cos 3cos sin αααα--=-=，则tan 3α=-222222sin sin cos tan tan 933sin sin cos sin cos tan 1915ααααααααααα++-+====+++故答案为：3515．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为： 解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解出即可. 【详解】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==， 解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-，1x ∴=-.故答案为：1-.16．0【分析】先求出再利用差角的余弦公式求解【详解】因为所以所以故答案为：0解析：0 【分析】 先求出1cos 2θ=-，再利用差角的余弦公式求解. 【详解】因为sin 2θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以1cos 2θ=-，所以11cos 062222πθ⎛⎫-=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：0 17．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为： 解析：13- 【分析】 由tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解.【详解】 tan tan 1124tan tan 312431tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 故答案为：13- 18．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为 解析：35 【分析】 利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可【详解】 由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 19．【分析】先根据二倍角公式辅助角公式将函数化为基本三角函数再根据三角函数有界性求最值【详解】因为函数f （x ）=sin2x+sinxcosx+1所以因为所以即函数的最大值为故答案为：【分析】先根据二倍角公式、辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值.【详解】因为函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1，所以113()(1cos 2)sin 21)22242f x x x x π=-++=-+， 因为sin(2)14x π-≤，所以()f x ≤，，故答案为：32+ 20．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】 由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 三、解答题21．（Ⅰ）2=3απ或53π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【分析】（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π=++，则可得sin(+)03πα=，即可求出； （Ⅱ）由题可得2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由()sin 2sin()131f x x x x π=++=++， 由()=2sin()113f παα++=，得sin(+)03πα=， 又[0,2]απ∈， 得2=3απ或53π； （Ⅱ）由题知，2sin(23(2)1)x f x π+=+2()2sin 2++12sin 2+1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或 5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或 122x ππ≤≤， 即所求x 的集合为{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【点睛】 关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解. 22．（1）2；（2）12±. 【分析】 （1）先代入0m =，然后对sin x 正负讨论，化简出函数解析式，然后再求出最大值即可，（2）根据x 的范围即可化简函数解析式，然后再根据x 的范围即可判断函数什么时候取得最小值，进而可以求出m 的值．【详解】 解：（1）0m =，则函数222()1sin cos |sin |33f x x x x =++-， 当sin [0x ∈，1]时，2()1cos f x x =+，当cos 1x =时，max ()2f x =，当sin [1x ∈-，0)时，2244()1sin cos 1sin 1sin 33f x x x x x =++=++- 2222(sin )239x =--+， 所以当sin 0x =时，max ()2f x =，综上，函数()f x 的最大值为2；（2）当02x π时，2222()1sin cos (2)sin 33f x x x m x =++-+ 222212sin cos sin 2sin 2m x x x m x =-+=--+224(sin )2x m m =-+++，所以当sin 1x =时，2min 1()212f x m =-+=， 所以214m =，即12m =±， 故m 的值为12±． 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三角函数求最值以及含参数求最小值的问题考查了学生的运算能力，属于基础题．解题关键是对sin x 按正负分类讨论，去掉绝对值符号后利用三角函数性质求最值．23．（1）[,],36k k k Z ππππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤． 若选择②，1m ≤-． 【分析】(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求.【详解】（1）因为()()2cos cos sin f x x x x x =+-22cos s n cos i x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2).6x π=+ 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得36k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）若选择①，由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤， 故当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值，且最大值为()26f π=， 所以2m ≤.若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤, 故当7266x ππ+=，即2x π=时, ()f x 取得最小值，且最小值为()12f π=-， 所以1m ≤-【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.24．（1）()2sin()44f x x ππ=+，[]8 1.85,k k k Z ++∈；（2）(2⎤⎦. 【分析】（1）由图可求出()2sin()44f x x ππ=+，令322()2442k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈，即可求出单调递减区间；（2）由题可得5,4434x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则可求得值域. 【详解】(1)由题图，知2,7(1)8A T ==--=， 所以2284T πππω===， 所以()2sin()4f x x πφ=+.将点(－1，0)代入，得2sin()04πφ-+=.因为||2πφ<，所以4πφ=， 所以()2sin()44f x x ππ=+. 令322()2442k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈, 得8185()k x k k Z +≤≤+∈. 所以()f x 的单调递减区间为[]8 1.85,k k k Z ++∈.(2)当1,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5,4434x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时sin()1244x ππ-<+≤，则()2f x <≤，即()f x 的值域为(2⎤⎦.【点睛】方法点睛：根据三角函数()sin()f x A x ωϕ=+部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω； （3）取点代入函数可求得ϕ.25．（1）12；（2）min ()0f x =，22,3x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（3）单调递增区间为252,2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用两角和的余弦公式，二倍角公式以及两角差的正弦公式化简函数解析式可得()1sin()6f x x π=--，代入3x π=，即可计算得解. （2）由（1）利用正弦函数的性质即可求解.（3）利用正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：（1）2211()cos()2cos cos cos 1cos 11sin()32226x f x x x x x x x x ππ=++=-++=+=--， 所以1()1sin()3362f πππ=--=. （2）由于()sin()16f x x π=--+，所以当sin()16x π-=时，()0min f x =，此时2,62x k k z πππ-=+∈，所以()f x 取最小值时x 的集合为2|2,3x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭， 故()f x 的最小值为0，()f x 取最小值时x 的集合为2|2,3x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. （3）令322262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，解得252233k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为25[2,2]33k k ππππ++，()k z ∈. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式，二倍角公式、两角差的正弦公式以及正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题.26．（1）43；（2）825. 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系先得cos α的值，再得tan α的值；（2）根据诱导公式以及二倍角的余弦可得结果.【详解】（1）因为02πα<<，4sin 5α，故3cos 5α=，所以4tan 3α=. （2）23238cos 2sin 12sin cos 1225525παααα⎛⎫++=-+=-+=⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查了通过同角三角函数的基本关系以及诱导公式求三角函数的值，属于基础题.。
高中数学必修一 第五章 三角函数 单元训练题 (10)0812(含答案解析)
必修一第五章三角函数单元训练题 (10)一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边在射线y=−43x(x≤0)上，则sin2α=A. −2425B. −45C. −35D. −12252.sin(α+π6)cosα+cos(5π6−α)sinα=A. −√32B. −12C. √32D. 123.所在圆的半径为2，圆心角为π5的扇形的弧长为A. 2π5B. π3C. π4D. π54.已知▵ABC的三个内角A，B，C，向量m⃗⃗⃗ =(sinA,sinB)，n⃗=(cosB,cosA)，若m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=1+cos(A+B)，则C等于()A. π4B. π2C. 3π4D. 5π65.下列四个区间中，使函数f(x)=sin2x+√3cos2x单调递增的是A. [−π2,−π3] B. [−π3,0] C. [7π12,2π] D. [0,2π3]6.将函数y=cosωx+sinωx(ω>0)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到一个最小正周期为2π的奇函数，则m的取值可以是A. 5π4B. π2C. π3D. 3π47.设α，β∈[0,π]，且满足sinαcosβ+cosαsinβ=1，则sin(2α+β)+sin(α+2β)的取值范围为A. [−√2,1]B. [−1,√2]C. [0,1]D. [1,√2]8.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比√5−12≈0.618，该三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，可得cos36°=()A. 2√5−14B. 1+√54C. √5−14D. 4+√589.sin123°cos27°−sin33°sin27°=()A. −√32B. −12C. √32D. 1210.当x=α时，函数f(x)=3sinx−cosx取得最小值，则cosα=()A. −3√1010B. −√1010C. √1010D. 3√101011.已知θ为锐角，且满足sin(θ+π2)+cosθ=75，则cos2θ的值为()A. ±725B. 2425C. 150D. −15012. 为了得到函数y =sin x 的图象，只需把函数y =sin (2x +π3)图象上所有的点A. 横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移π3个单位 B. 横坐标伸长到原来的2倍，然后向右平移π3个单位 C. 横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移π6个单位 D. 横坐标缩短到原来的12倍，然后向右平移π6个单位13. 若tan αtan β=2，且cosαcosβ=√1010，则cos(α+β)=A. −√1010B. −√105C. √105D. 3√101014. 化简1+tan 15∘1−tan 15°等于( )A. √3B. √32C. 3D. 115. 已知sin(π3+α)=13，则cos (π3−2α)=( )A. 79B. 89C. −79D. −89二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）16. 若sinθ−cosθ=75，且sinθ+cosθ<0，则tan2θ=______．17. 将函数f (x )=sinxsin (π2+x)+√3cos (x +π)cos (π−x )−√32的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得的函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数y =g (x )的图象，则函数g (x )在[0,π4]上的取值范围为________． 三、解答题（本大题共8小题，共96.0分） 18. 已知tanβ=2，tan (α+β)=3．(Ⅰ)求tan (α−π4)的值； (Ⅱ)求sin2αsin 2α+sinαcosα−cos2α−1的值．19. 设质点M 受力F 的作用沿x 轴由点A(a,0)移动至点B(b,0)，并设F平行于x 轴．如果力F 是质点所在位置的函数F =F(x)，a ≤x ≤b ，求F 对质点M 所作的功．20. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(cosx,−1)，n ⃗ =(√3sinx,cos 2x)，设函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1． (1)求函数y =f(x)的单调递减区间，并说明由函数y =sinx 的图象如何变换可得到函数y =f(x)的图象．(2)若x ∈[0,π2]，f(x)=56，求cos2x 的值．21. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为△ABC 的面积，且2S +√3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0． (1)求A 的大小；(2)若a =√7、b =1，D 为直线BC 上一点，且AD ⊥AB ，求△ABD 的周长．22. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin C −sin B =tan Acos B ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若a =6，求△ABC 的周长l 的最大值．23.已知函数f(x)=cosx(sinx+√3cosx)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若角α∈(0,π)，f(α2)=35+√32，求sin(α+2π3)的值．24.已知tanα=43，求下列各式的值．(1)sin2α+2sinαcosα2cos2α−sin2α；(2)sinαcosα．25.已知函数f(x)=4sinxcos(x+π3)+√3．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[−π4,π6]上的值域和取得最大值时相应的x的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题考查三角函数的定义、同角三角函数关系、二倍角公式，考查了计算能力，属于基础题． 由题意，可得cosα=−35，sinα=45，从而利用二倍角公式求解即可． 【解答】解：由角α的终边在射线y =−43x(x ≤0)上可得cosα=−35，sinα=45， 所以sin2α=2sinαcosα=−2425． 故选A ． 2.答案：D解析： 【分析】本题考查了正弦函数的差角公式逆应用，应用诱导公式求三角函数值，属于基础题． 先应用诱导公式，再根据正弦的差角公式，逆用得到三角函数值，即可求解． 【解答】解：由诱导公式得：cos (5π6−α)=−cos (π6+α)，再由正弦的差角公式可得：sin (α+π6)cos α+cos (5π6−α)sin α=sin (α+π6)cos α−cos (π6+α)sin α=sin(α+π6−α)=sin π6=12故选D ．3.答案：A解析：【分析】本题考查了弧长公式，属于基础题． 利用弧长公式即可得出． 【解答】解：∵扇形的圆心角为α=π5，半径为r =2，∴扇形的弧长l =αr =π5×2=2π5．故选A ． 4.答案：B解析： 【分析】本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．由题意求得 m ⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗ =sinC ，再根据 m ⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+cos(A +B)=1−cosC ，可得sin(C + π 4 )= √2 2，再根据C 为△ABC 的内角，从而求得C 的值．【解答】解：m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =sinAcosB +cosAsinB =sin(A +B)=sin(π−C)=sinC ，而1+cos(A +B)=1+cos(π−C)=1−cosC ， ∴sinC =1−cosC ， 即sinC +cosC =1，，．∵0<C <π，， ，解得．故选B 5.答案：B解析： 【分析】本题考查了三角恒等变换和三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用辅助角公式可得f(x)=2sin(2x +π3)，从而可求出函数f(x)的增区间：kπ−5π12≤x ≤kπ+π12(k ∈Z)，由此可得答案．【解答】解：∵f (x )=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， 则2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，所以函数f(x)的增区间是[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)，只有区间[−π3,0]可以是区间[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)的一个子区间．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．函数解析式提取√2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用最小正周期为2π，求出ω，再利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的函数为奇函数得m的值即可得答案．【解答】解：y=cos ωx+sin ωx=√2sin(ωx+π4)，∵最小正周期为T=2π，，∴y=√2sin(x+π4)，∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y=√2sin[(x+m)+π4]=√2sin(x+m+π4)，∵所得的函数为奇函数，∴m+π4=kπ(k∈Z)，即m=kπ−π4，(k∈Z)由于m>0，当k=1时，得m=3π4．故选D．7.答案：D解析：【分析】本题考查两角和的正弦、辅助角公式、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用两角和的正弦，可推出，从而结合辅助角公式可得sin(2α+β)+sin(α+2β)=√2sin(α+π4)，从而由根据正弦型函数的性质可得答案．【解答】解：由sinαcosβ+cosαsinβ=1可得sin(α+β)=1，∵α，β∈[0,π]，，∴可得0≤α≤π2，∴sin(2α+β)+sin(α+2β)=sin(α+π2)+sin(π−α)=cosα+sinα=√2sin(α+π4)，∵0≤α≤π2，∴π4≤α+π4≤3π4，∴1≤√2sin(α+π4)≤√2，即取值范围是[1,√2].故选D．8.答案：B解析：解：由题意可知：把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比√5−12≈0.618，该三角形被认为是最美的三角形．cosB=12BCAB=√5−12，可得cos72°=√5−14，cos72°=2cos236°−1即2cos236°−1=√5−14，所以cos236°=2√5+642=(√5+14)2，所以cos36°=√5+14．故选：B．利用已知条件求出cos72°的值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查．9.答案：D解析：解：sin123°cos27°−sin33°sin27°=sin57°cos27°−cos57°sin27°=sin(57°−27°)=sin30°=12．故选：D．由题意利用诱导公式、两角差的正弦函数公式即可化简求解．本题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：解：f(x)=3sinx −cosx =√10(sinx 10cosx ⋅10)=√10sin(x −φ)， (其中cosφ=√10，sinφ=√10，) 可得，当x −φ=2kπ+3π2，即x =2kπ+3π2+φ，k ∈Z 时，f(x)取得最小值．此时α=2kπ+3π2+φ，所以cosα=cos(2kπ+3π2+φ)=cos(3π2+φ)=sinφ=√1010． 故选：C ．把f(x)变成辅助角的形式，利用三角函数的性质可得．本题考查了三角函数的最值，考查了转化思想，属于基础题． 11.答案：D解析：解：∵θ为锐角，且sin(θ+π2)+cosθ=75， ∴cosθ+cosθ=2cosθ=75，可得cosθ=710， ∴cos2θ=2cos 2θ−1=2×(710)2−1=−150． 故选：D ．由已知利用诱导公式可求得cosθ=710，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 12.答案：B解析： 【分析】本题考查三角函数的图象的变换，属于基础题．直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换法则求出结果即可． 【解答】解：由三角函数的图象的变换的法则可知：先把y =sin (2x +π3)上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y =sin (x +π3)的图象， 然后向右平移π3个单位，可得y =sin x 的图象． 故选B ． 13.答案：A解析： 【分析】本题考查同角三角函数基本关系，考查两角和与差的三角函数，属于基础题．由题意得到sin αsin β=2cos αcos β，进而求出sinαsinβ=√105，再利用两角和的余弦公式求解即可．【解答】解：由题意可知tan αtan β=2⇒sin αsin β=2cos αcos β， 又因为cosαcosβ=√1010，所以sinαsinβ=√105，所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√1010．故选A ．14.答案：A解析：【分析】本题考查了和角公式，属于基础题.熟练掌握和角公式是解题的关键． 由两角和的正切公式求解． 【解答】解：1+tan15∘1−tan15∘=tan45∘+tan15∘1−tan45∘tan15∘ =tan (45∘+15∘)=tan60∘=√3． 故选A ． 15.答案：C解析： 【分析】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题． 利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值． 【解答】解：∵sin(π3+α)=13=cos(π6−α)，则cos(π3−2α)=2cos 2(π6−α)−1=2×19−1=−79， 故选：C ．16.答案：−247解析：解：∵sinθ−cosθ=75，①∴两边平方，可得1−2sinθcosθ=4925，可得2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθ1+tan 2θ=−2425，又∵sinθ+cosθ<0，∴sinθ+cosθ=−√1+2sinθcosθ=−√1−2425=−15，② ∴由①②可得sinθ=35，cosθ=−45，可得tanθ=sinθcosθ=−34，∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−247．故答案为：−247．将sinθ−cosθ=75两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，结合sinθ+cosθ<0，可求sinθ+cosθ=15，即可解得sinθ，cosθ，tanθ的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.答案：[−√32,1]解析：【分析】本题考查两角和差的正弦公式，二倍角公式，三角函数图象变换，以及三角函数的值域，由图象变换得，然后得，根据正弦函数的性质求得值域．【解答】解：f(x)=sinxsin(π2+x)+√3cos(x+π)cos(π−x)−√32=sinxcosx+√3cos2x−√32=12sin2x+√3(1+cos2x)2−√32，函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到，再把所得的函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数，即，当x∈[0,π4]时，，所以当时，即x=0时，g(x)min=−√32，当时，即max=1．∴y=g(x)在区间[0,π4]上的取值范围为[−√32,1]．故答案为[−√32,1]．18.答案：解：tanβ=2，tan (α+β)=3，则tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)·tanβ=3−21+3×2=17，(Ⅰ．(Ⅱ)sin2αsin 2α+sinαcosα−cos2α−1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα+1−2cos 2α−1=2tanαtan 2α+tanα−2=2×17(17)2+17−2=−745．解析：此题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，属于基础题． 可先由tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)·tanβ求出tanα，再求解下面两问题．(Ⅰ)由条件利用两角差的正切公式，求得结果；(Ⅱ)由条件利用同角三角函数的基本关系将所求转化为与正切函数相关的分式，求得答案．19.答案：解：根据题意，F 是质点所在位置的函数F =F(x)，a ≤x ≤b ，则F 对质点M 所作的功为∫F ba (x)dx ．解析：根据题意，由定积分的几何意义分析可得答案．本题考查定积分的物理意义，注意定积分的定义，属于基础题． 20.答案：解：(1)由题可知，f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1=√3sinxcosx −cos 2x +1 =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+12．令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ，则π3+kπ≤x ≤5π6+kπ,k ∈Z ，∴y =f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k ∈Z ．由y =sinx 变换成y =f(x)的过程如下所示：y =sinx 的图象纵坐标不变，横坐标先向右平移π6个单位，再缩小为原来的12，然后横坐标不变，纵坐标向上平移12个单位．(2)令f(x)=sin(2x −π6)+12=56，则sin(2x −π6)=13， ∵x ∈[0,π2]，∴2x −π6∈[−π6,5π6]，∴cos(2x −π6)=±2√23， 而cos2x =cos[(2x −π6)+π6]=√32cos(2x −π6)−12sin(2x −π6)，∴当cos(2x −π6)=2√23时，cos2x =√32×2√23−12×13=2√6−16；当cos(2x −π6)=−2√23时，cos2x =√32×(−2√23)−12×13=−2√6−16， 综上，cos2x 的值为2√6−16或−2√6−16．解析：(1)结合平面向量数量积的坐标运算和二倍角公式、辅助角公式可将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x −π6)+12，再利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的单调递减区间；结合三角函数的平移变换与伸缩变换法则即可得解．(2)由题可知，sin(2x −π6)=13，由于x ∈[0,π2]，所以2x −π6∈[−π6,5π6]，利用平方关系可求得cos(2x −π6)=±2√23，然后结合拼凑角的方法可知cos2x =cos[(2x −π6)+π6]，利用余弦的两角和公式展开后，代入数据进行运算即可得解．本题主要考查三角恒等变换与三角函数图象的综合，还涉及平面向量数量积的坐标运算，熟练运用二倍角公式、辅助角公式等基本公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题． 21.答案：解：(1)在△ABC 中，A +B +C =π，∵2S +√3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴2×12b ⋅c ⋅sinA +√3b ⋅c ⋅cosA =0， 又b ⋅c >0，∴sinA +√3cosA =0，即tanA =−√3， 又A ∈(0,π)，∴A =2π3；(2)在△ABC 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ， 又a =√7、b =1，A =2π3，∴c 2+c −6=0， 又c >0，∴c =2，在△ABC 中，由正弦定理得sinB =√2114，又a >b ，∴B 为锐角， ∴cosB =√1−sin 2B =5√714， 在中，ABBD =cosB ，∴BD =4√75，AD =BD ⋅sinB =4√75×√2114=2√35， ∴△ABD 的周长为2+2√35+4√75=10+2√3+4√75．解析：本题考查向量数量积运算，正余弦定理的应用以及三角形面积公式和同角三角函数关系，属于中档题．(1)根据已知结合三角形面积公式结合向量数量积可得sinA +√3cosA =0然后利用同角三角函数关系可得tanA=−√3，即可求出结果；(2)利用余弦定理求出c=2，然后根据正弦定理即可求出结果．22.答案：解：(Ⅰ)由2sinC−sinB=tanAcosB，得2sinC−sinB=sinAcosAcosB，得2sinCcosA−sinBcosA=sinAcosB，得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，得2sinCcosA=sin(A+B)，所以2sinCcosA=sinC．又sinC≠0，所以cosA=12．又A∈(0,π)，故A=π3．(Ⅱ)由余弦定理及(Ⅰ)得，a2=36=b2+c2−2bccosπ3=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，所以3bc=(b+c)2−36.而bc⩽(b+c2)2，所以3bc⩽3(b+c)24.所以(b+c)2−36⩽3(b+c)24，得b+c≤12，当且仅当b=c=6时等号成立．所以△ABC的周长l的最大值为a+12=6+12=18．解析：本题考查了余弦定理、两角和与差的三角函数公式和利用基本不等式求最值，是中档题．(Ⅰ)由2sinC−sinB=tanAcosB，根据切化弦结合两角和正弦公式得cosA=12，可得角A的大小；(Ⅱ)由余弦定理得36=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，由基本不等式得bc⩽(b+c2)2，可得b+c≤12，可得△ABC的周长l的最大值．23.答案：解：(1)f(x)=cos x(sin x+√3cos x)=cos xsin x+√3cos2 x=12sin2x+√32cos2x+√32=sin(2x+π3)+√32，∴T=π，令−π2+2kπ⩽2x+π3⩽π2+2kπ,k∈Z，解得−5π12+kπ⩽x⩽π12+kπ,k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ , π12+kπ],k∈Z(2)因为f(α2)=35+√32，所以sin(α+π3)+√32=35+√32，故sin(α+π3)=35，∵α∈(0,π)，α+π3∈(π3,4π3)又sin(α+π3)=35，∴cos(α+π3)=−45，∴sin(α+2π3)=sin(α+π3+π3)=35×12−45×√32=3−4√310，即sin(α+2π3)=3−4√310．解析：本题考查三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．(1)用二倍角公式和辅助角公式化简即可；(2)直接代入求解，但要注意角的范围，同时拆角α+2π3= (α+π3)+π3是关键．24.答案：解：(1)∵tanα=43，∴sin2α+2sinαcosα2cos2α−sin2α=tan2α+2tanα2−tan2α=169+832−169=20；(2)sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=4169+1=1225．解析：本题考查同角三角函数关系以及三角函数的化简，属于基础题．(1)分子分母同时除以cos2α即可求出结果；(2)sin2α+cos2α=1然后利用sinαcosα=sinαcosαsinα+cosα分子分母同时除以cos2α即可求出结果；25.答案：解：(1)化简可得f(x)=4sinx(cosxcosπ3−sinxsinπ3)+√3=2sinxcosx−2√3sin2x+√3 =sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以T=2π2=π；由，，得：，，∴单调增区间为；(2)因为−π4≤x≤π6，所以−π6≤2x+π3≤2π3，所以−12≤sin(2x+π3)≤1，所以−1≤f(x)≤2，∴函数在区间上的值域为，当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)max=2．解析：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性、单调性和值域，属于中档题．(1)由三角函数的公式化简可得f(x)=2sin(2x+π3)，由周期公式和单调性可得答案；(2)由x的范围可得2x+π3的范围，进而可得sin(2x+π3)的范围，可得f(x)的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．。
新人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 2．若将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移3π个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦3．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π4．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=5．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ）A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．36．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-7．已知角θ终边经过点)2,P a ，若6πθ=-，则a =（ ）A 6B 6C ．6D ．6-8．cos75cos15sin75sin15︒⋅︒+︒⋅︒的值是（ ） A ．0B ．12C ．32D ．19．设31cos 29sin 2922a =-，1cos662b -=22tan161tan 16c =+，则有（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>10．若角α，β均为锐角，25sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，则cos β=（ ）A 25B 25C 2525D ．2511．若函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．212．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan απ+=（ ）A ．22-B ．2C ．24-D ．24二、填空题13．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______. 14．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且10cos 10x θ=，则x =___________. 15．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.16．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=_________． 17．已知1tan()3πα+=-，则sin 2cos 5cos sin αααα+=-______． 18．在①a 2，②S =2ccos B ，③C =3π这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，3b cos A =a cos C +c cos A ，b =1，____________，求c 的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________．20．若πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________.三、解答题21．已知函数()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.22．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5α=. （1）求sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 23．已知 3sin 5α=，12cos 13，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求sin()αβ+，cos()αβ-，tan2α的值. 24．已知sin ,2sin 212a x x π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2cos ,sin 112b x x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x a b =⋅ （1）求函数()y f x =的单调减区间和对称轴； （2）若关于x 的不等式()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求m 的取值范围. 25．已知α∈(0,)2π，tan α＝12，求tan 2α和sin ()4πα-的值． 26．已知3cos cos 5αβ+=，4sin sin 5αβ+=，求()cos αβ-的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确； D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误. 故选：D2．A解析：A 【分析】 求出()1sin 22g x x =-，令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ即可解出增区间. 【详解】 由题可知()()111sin 2sin 2sin 223322g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ，解得()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.3．B解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==， 故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B4．A解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】 将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令24,32x k k Z πππ+=+∈， 解得,424k x k Z ππ=-∈， 所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A5．C解析：C 【分析】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N .因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.6．D解析：D首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=， 故最小正周期4T π=，所以212T πω==， 所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D7．C解析：C 【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，角θ终边经过点)P a ，可得OP =，又由6πθ=-，根据三角函数的定义，可得cos()6π-=且0a <，解得3a =-. 故选：C.8．B解析：B 【分析】由两角和的余弦公式化简计算． 【详解】原式＝1cos(7515)cos 602︒-︒=︒=．9．B解析：B 【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,a b c ，然后由正弦函数的单调性得出结论． 【详解】129si sin(6029)si 3n 29122n a =︒-︒=︒=-， b =sin 33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin 161tan 161c cos16sin 32os 16c ===︒︒︒︒=︒︒︒++， 显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b <<． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．10．B解析：B 【分析】由平方关系求得cos α，sin()αβ+，然后由两角差的余弦公式计算． 【详解】α，β均为锐角，sin α=()4cos 5αβ+=-，cos α∴==，()3sin 5αβ+==， coscos[()]βαβα∴=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++4355=-=． 故选：B ．11．A解析：A先求解出sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出ω的可取值. 【详解】 因为sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭右移6π个单位后得到sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又因为sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭与cos sin 2y x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象重合，所以令2,632k k Z ωππππ-+=+∈，所以121,k k Z ω=--∈，所以ω可取1-，此时0k =， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数ω或ϕ的思路： （1）先根据诱导公式将函数名统一； （2）然后分析三角函数初相之间的关系；（3）对k 进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的ω或ϕ的值.12．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin 3α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α=所以()sin tan tan cos ααπαα+===-故选：A二、填空题13．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为： 解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1214．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为： 解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解出即可. 【详解】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==， 解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-，1x ∴=-.故答案为：1-.15．【分析】由图可得利用周期求出又函数过点解得进而得出函数的解析式【详解】由图可得：解得又函数过点则解得故答案为：解析：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式． 【详解】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭16．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【解析： 【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据其图象关于原点中心对称得,6k k Z πϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后得到的函数解析式为：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点中心对称，故,6k k Z πϕπ+=∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈所以sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为： 【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ； 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈； 函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.17．【分析】由已知条件求出再根据同角公式弦化切可解得结果【详解】故答案为：【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键 解析：516【分析】由已知条件求出1tan 3α=-，再根据同角公式弦化切可解得结果. 【详解】1tan()3πα+=-，1tan 3α∴=-，sin 2cos tan 25cos sin 5tan αααααα++∴=--123153-+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭516=． 故答案为：516【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键.18．答案见解析【分析】利用正弦定理进行边化角得到然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①②或③进行求解即可【详解】在中因为所以根据正弦定理得所以因为所以选择①由余弦定理得解得选择②所以所以解析：答案见解析. 【分析】利用正弦定理进行边化角，得到cos 3A =，然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①，②或③，进行求解即可 【详解】在ABCcos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以cos 3A = 选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c -=，解得c =选择②，1cos sin 22c S B bc A ==，所以cos sin cos()2B A A π==-所以2B A π=-，即2C π=，解得c =选择③，3C π=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A πππ=+=+ 所以由sin sin c b C B=得sin 4sin b Cc B == 【点睛】关键点睛：解题关键在于由正弦定理进行边化角，得到cos A =相关公式进行求解，难度属于中档题19．（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为再根据三角函数的性质分析即可【详解】因为的值域为故若满足则必有的值分别为故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得此时为的半个周期即故答案为解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或解析：1-或12【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得． 【详解】由πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭)22cos +sin cos sin αααα=-，即)()()cos +sin cos sin cos +sin 2αααααα=-，所以cos sin =2αα-或cos +sin 0αα=，当cos sin αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得sin 2α=12；当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4k k Z παπ=-∈所以()2+2,2k k Z παπ=-∈所以sin 21α=-，故答案为：1-或12. 三、解答题21．（1）单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；单调递减区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）⎡-⎣. 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而根据正弦函数的单调性即可求解. （2）由题意可求范围2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质即可求解其值域. 【详解】解：（1）()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122cos 24(cos sin )(cos sin )222x x x x x x ⎫=-+⨯-⨯+⎪⎪⎝⎭2cos 22cos 2x x x =-+2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，故函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，单调递减区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 226x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭，可得12sin 26x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x 的值域为⎡-⎣.22．（1）310+；（2）750+-. 【分析】（1）由cos α求出sin α，利用两角和与差的正弦公式求解即可； （2）利用二倍角公式和两角和与差公式计算出结果． 【详解】 （1）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5α=，4sin 5α∴==，1sin cos 622πααα⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭134255=⨯+=（2）由（1）可得：24sin 22sin cos 25ααα==22cos 2cos sin =-ααα223455⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭725=-，1cos 2cos 22322πααα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭1724225225⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭=. 23．1665-；3365；247- 【分析】由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出cos α，sin β，以及tan α的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解.【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α===-，因为3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12cos 13，所以5sin 13β===-， 所以3124516sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为sin 3tan cos 4ααα==-，所以22322tan 244tan 21tan 7314ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 综上所述：16sin()65αβ+=-，33cos()65αβ-=，24tan 27α=-. 24．（1）单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z ；（2）()1,+∞. 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭，依题意可得()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）()()22sin cos 2sin 11212a b x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 22cos sin 2cos 2166x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 21sin 2126x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z再令262x k πππ-=+，解得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z （2）令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭因为()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()max 13x g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以1m ，于是m 的取值范围是()1,+∞ 【点睛】本题解答的关键是三角恒等变换及三角函数的性质的应用，利用恒等变换公式及辅助角公式()sin cos a x b x x ϕ+=+，其中（tan baϕ=） 25．an 2α＝43，sin ()4πα-＝. 【分析】 先由tan α＝12可得tan 2α＝43，再由sin cos αα＝12，结合角的范围可得sin α和cos α的值，再由in ()4πα-的展开求解即可.【详解】∵tan α＝12，∴tan 2α＝22tan 1tan a a -＝122114⨯-＝43. 且sin cos αα＝12，即cos α＝2sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1.而α∈(0,)2π，∴sin α，cos α.∴sin ()4πα-＝sin αcos4π－cos αsin 4π×2×2＝－10. 26．12-【分析】根据3cos cos 5αβ+=，4sin sin 5αβ+=，分别平方两式相加，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】因为3cos cos 5αβ+=，4sin sin 5αβ+=， 所以()2229cos cos cos 2cos cos cos 25αβααββ+=+⋅+=， ()22216sin sin sin 2sin sin sin 25αβααββ+=+⋅+=， 两式相加得：()22cos 1αβ+-=， 所以()1cos 2αβ-=- 故答案为：12-。
人教A版(2019)必修第一册 第五章 三角函数 单元练习(Word版含答案)
人教A 版（2019）必修第一册 第五章 三角函数一、单选题1．设角 α=−356π ，则 2sin(π+α)cos(π−α)−cos(π+α)1+sin 2α+sin(π−α)−cos 2(π+α)的值等于（ ）.A ．√3B ．－ √33C ．√33D ．－ √32．若 tanθ=2 ，则 2sin 2θ−3sinθcosθ= （ ）．A ．10B ．±25C ．2D ．253．在 ΔABC 中， ∠C 是直角，则 sin 2A +2sinB （ ）A ．无最大值，也无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．有最大值，而无最小值D ．有最小值，而无最大值4．若角α的终边过点（2sin30°，2cos30°），则sinα的值等于（ ）A ．12B ．﹣ 12C ．√32D ．√335．为了得到函数 y =sin(2x −π6) 的图象，可以将函数 y =cos2x 的图象（ ）A ．向右平移 π6 个单位长度 B ．向右平移 π3 个单位长度 C ．向左平移 π6 个单位长度D ．向左平移 π3 个单位长度6．直线l ： y =−12x +2 绕点M （2，1）逆时针旋转 π4 至直线l ′，则直线l ′的斜率为（ ）A ．13B ．3C ．−13D ．－37．已知 tanα=3 ，则 sinα+cosα−2sinα−cosα的值为（ ）A ．2−√10B ．2−√1010C ．2±√10D ．2±√10108．√22cos15∘−√22sin195∘ 的值为（ ）A ．√32B ．12C ．−√32D ．−129．已知函数 f(x)=sinωx +√3cosωx(ω∈N ∗) 在（0，π）上恰有两个不同的零点，则ω的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R 上的偶函数f(x)=π23+4∑(−1)nn2cosnx+∞n=1满足f(2π−x)=f(x)，且当x∈[0,π]时，有f(x)=x2，已知函数g(x)= f(x)−a(x+π)有且仅有三个零点，则a的取值范围是（）A．(−π2,−π4)∪(π4,π2)B．(−π4,π4)C．(−π3,−π6)∪(π6,π3)D．(−π6,π6)11．已知函数f（x）=sin（cosx）﹣x与函数g（x）=cos（sinx）﹣x在区间(0，π2)内都为减函数，设x1，x2，x3∈(0，π2)，且cosx1=x1，sin（cosx2）=x2，cos（sinx3）=x3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x112．将函数f(x)=2sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间是（）A．[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)B．[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)C．[−π4+kπ,π4+kπ](k∈Z)D．[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)13．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的图象关于直线x=2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的个数为（）①将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sinωx的图象；②f(x)的图象过点(0，1)；③f(x)的图象的一个对称中心是(5π12,0)；④f(x)在[π12,2π3]上是减函数A．1B．2C．3D．414．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A．√33sinθB．√33cosθC．12sinθD．12cosθ二、填空题15．若扇形的圆心角为2弧度，弧长为4cm，则这个扇形的面积是cm2．16．已知θ为第二象限角，且tan(θ−π4)=3，则sinθ+cosθ=.17．已知sin α2−cosα2=15，则sinα=.18．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=√x+3和y=√1−x的交点，则cos2α+cot（3π2+α）=19．已知cos4α−sin4α=23，且α∈(0,π2)，则cos(2α+π3)=.20．将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移ϕ个单位（ϕ>0），可得函数g(x)= sin2x−cos2x的图象，则ϕ的最小值为。
人教A版高中数学必修第一册《第五章三角函数》复习参考题及答案
人教A版高中数学必修第一册《第五章三角函数》复习参考题及答案复习巩固1. 写出与下列各角终边相同的角的集合S,并且把S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β写出来:(1) π4; (2) −23π1(3) 125π; (4) 0 .2. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5, 求这个扇形中心角的度数(精确到1 %).3. (1) 已知cosφ=14,求sinφ,tanφ.(2) 已知sinx=2cosx,求角x的三个三角函数值.4. 已知tanα=−13,计算:(1) sinα+2cosα5cosα−sinα; (2) 12sinαcosα+cos2α4(3) sinαcosα; (4) (sinα+cosα)2.5. 计算(可用计算工具, 第(2)(3)题精确到0.0001 ):(1) sin256π+cos253π+tan(−254π);(2) sin2+cos3+tan4;(3) cos(sin2).6. 设π<x<2π,填表:7. 求下列函数的最大值、最小值,并求使函数取得最大、最小值的x的集合:(1) y=√2+sinxπ; (2) y=3−2cosx.8. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,并指出分别由函数y=sinx,x∈ℝ的图象经过怎样的变换得到:(1) y=12sin(3x−π3); (2) y=−2sin(x+π4);(3) y=1−sin(2x−π5); (4) y=3sin(π6−x3).9. (1) 用描点法画出函数y=sinx,x∈[0,π2]的图象.(2) 如何根据第(1) 小题并运用正弦函数的性质,得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象?(3) 如何根据第(2) 小题并通过平行移动坐标轴,得到函数y=sin(x+φ)+k,x∈[0,2π] ( φ,k都是常数)的图象?10. 不通过画图, 写出下列函数的振幅、周期、初相, 并说明如何由正弦曲线得到它们的图象:(1) y=sin(5x+π6); (2) y=2sin16x.11. (I) 已知α⋅β都是锐角, sinα=45,cos(α+β)=513,求sinβ的值;(2) 已知cos(π4−a)=35,sin(5π4+β)=−1213,α∈(π4,3π4),β∈(0,π4),求sin(α+β)的值;(3) 已知α,β都是锐角, tanα=17,sinβ=√1010. 求tan(α+2β)的值.12. (1) 证明tanα+tanβ=tan(α+β)−tanαtanβtan(α+β);(2) 求tan20∘+tan40∘+√3tan20∘tan40∘的值;(3) 若α+β=3π4,求(1−tanα)(1−tanβ)的值;(4) 求tan20∘+tan40∘+tan120∘tan20∘tan40∘的值.13. 化简:(1) 1sin10∘−√3cos10∘; (2) sin40∘(tan10∘−√3)1(3) tan70∘cos10∘(√3tan20∘−1); (4) sin50∘(1+√3tan10∘).14. (1) 已知cosθ=−35,π<θ<3π2,求(sinθ2−cosθ2)2的值;(2) 已知sinα2−cosα2=15,求sinα的值;(3) 已知sin4θ+cos4θ=59,求sin2θ的值;(4) 已知cos2θ=35,求sin4θ+cos4θ的值.15. (1) 已知cos(α+β)=15,cos(α−β)=35,求tanαtanβ的值;(2) 已知cosα+cosβ=12,sinα+sinβ=13,求cos(α−β)的值.综合运用16. 证明:(1) cos4α+4cos2α+3=8cos4α; (2) 1+sin2α2cos2α+sin2α=12tanα+12;(3) sin(2α+β)sinα−2cos(α+β)=sinβsinα; (4) 3−4cos2A+cos4A3+4cos2A+cos4A=tan4A.17. 已知sinα−cosα=15,0≤α≤π,求sin(2α−π4)的值.18. 已知cos(π4+x)=35,17π12<x<7π4,求sin2x+2sin2x1−tanx的值.19. 已知sinθ+cosθ=2sinα,sinθcosθ=sin2β,求证4cos22α=cos22β.20. 已知函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x,(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 当x∈[0,π2]时,求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合.21. 已知函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+cosx+a的最大值为1,(1) 求常数a的值;(2) 求函数f(x)的单调递减区间;(3) 求使f(x)≥0成立的x的取值集合.22. 已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x+m在区间[0,π2]上的最大值为6 ,(第23 题)(1) 求常数m的值;(2) 当x∈R时,求函数f(x)的最小值,以及相应x的集合.23. 如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,DA上的点. 当△APQ的周长为2 时,求∠PCQ的大小.拓广探索24. 已知sinβ+cosβ=15,β∈(0,π),(1) 求tanβ的值;(2)你能根据所给的条件, 自己构造出一些求值问题吗?25. 如图,已知直线l1//l2,A是l1,l2之间的一定点,并且点A到l1,l2的距离分别为ℎ1,ℎ2. B是直线l2上一动点,作AC⊥AB,且使AC与直线l1交于点C. 设∠ABD=α.(第25 题)(1) 写出△ABC面积S关于角α的函数解析式S(α);(2) 画出上述函数的图象:(3) 由(2) 中的图象求S(α)的最小值.26. 英国数学家泰勒发现了如下公式:sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯,cosx=1−x22!+x44!−x66!+⋯,其中n!=1×2×3×4×⋯×n.这些公式被编入计算工具, 计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性. 比如、用前三项计算 cos0.3 . 就得到 cos0.3≈1−0.322!+0.344!=0.9553375 .试用你的计算工具计算 cos0.3 ,并与上述结果比较.27. 在地球公转过程中, 太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.(第 27 题)(1) 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为 0,δ 为此时太阳直射点的纬度, φ 为当地的纬度值,那么这三个量满足 θ=90∘−|φ−δ| .某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间) 为初始时间, 统计了连续 400 天太阳直射点的纬度平均值 (太阳直射北半球时取正值, 太阳直射南半球时取负值). 下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第 45 天测得的当地太阳高度角数据:请根据数据完成上面的表格 (计算结果精确到 0.0001);(2) 设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y. 该科技小组通过对数据的整理和分析,推断y与x近似满足函数y=Asinwx,其中A为北回归线的纬度值,约为23.4392911,试利用(1) 中的数据,估计w的值(精确到10−8);(3) 定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年, 求一个回归年对应的天数(精确到0.0001 );(4) 利用(3) 的结果, 估计每400 年中, 应设定多少个闰年, 可使这400 年与400 个回归年所含的天数最为接近(精确到1).答案：1. (1) {β∣β=π4+2kπ,k∈Z},−7π4,π4,9π4.(2) {β∣β=−23π+2kπ,k∈Z},−23π,43π,103π.(3) {β∣β=125π+2kπ,k∈Z},−85π,25π,125π.(4) {β∣β=2kπ,k∈Z},−2π,0,2π.2. 约143∘.3. (1) 当φ为第一象限角时, sinφ=√154,tanφ=√15;当φ为第四象限角时, sinφ=−√154,tanφ=−√15.(2) 当x为第一象限角时, tanx=2,cosx=√55,sinx=2√55;当x为第三象限角时, tanx=2,cosx=−√55,sinx=−2√55.4. (1) 516. (2) 103. (3) −310. (4) 25.5. (1) 0 . (2) 1.077 1 . (3) 0.6143 .6.7. (1) 最大值为√2+1π,此时x的集合为{x| x=π2+2kπ,k∈Z};最小值为√2−1π,此时x的集合为{x∣x=−π2+2kπ,k∈Z}.(2) 最大值为5,此时x的集合为{x∣x=(2k+1)π,k∈Z}; 最小值为1,此时x的集合为{x∣x=2kπ,k∈Z}.8. 表及图象变换略, 图象如图所示:(第8 题)9. (1) 列表:描点画图如下:(第9 (1) 题)(2) 由sin(π−x)=sinx,可知函数y=sinx,x∈[0,π]的图象关于直线x=π2对称,据此可得函数y=sinx,x∈[π2,π]的图象; 又由sin(2π−x)=−sinx,可知函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象关于点(π,0)对称,据此可得到函数y=sinx,x∈[π,2π]的图象. (3) 先把y轴向右(当φ>0时) 或向左(当φ<0时) 平行移动|φ|个单位长度,再把x轴向下(当k>0时) 或向上(当k<0时) 平行移动|k|个单位长度,将图象向左或向右延伸,并擦去[0,2π]之外的部分,便得到函数y=sin(x+φ)+k,x∈[0,2π]的图象.10. (1) 振幅是1,周期是2π5,初相是π6.把正弦曲线向左平行移动π6个单位长度,可以得函数y=sin(x+π6),x∈R的图象; 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍(纵坐标不变),就可得出函数y=sin(5x+π6), x∈R的图象.(2) 振幅是2,周期是12π,初相是0 .把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的 6 倍(纵坐标不变),得到函数y=sin16x,x∈R的图象; 再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变),就可得到函数y=2sin16x,x∈R的图象.11. (1) 1665. (2) 5665. (3) 1 .12. (1) 提示: 利用公式tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ(2) √3. (3) 2 . (4) −√3.13. (1) 原式=cos10∘−√3sin10∘sin10∘cos10∘=4sin(30∘−10∘)sin20∘=4.(2) 原式=sin40∘(sin10∘cos10∘−√3)=sin40∘⋅sin10∘−√3cos10∘cos10∘=−sin80∘cos10∘=−1;(3) 原式=tan70∘cos10∘(√3sin20∘cos20∘−1)=sin70∘cos70∘⋅cos10∘⋅−2sin10∘cos20∘=−sin20∘cos70∘=−1;(4) 原式:sin50∘(1+√3sin10∘cos10∘)=sin50∘⋅cos10∘+√3sin10∘cos10∘=sin100∘cos10∘=1,14. (1) 95. (2) 2425. (3) ±2√23. (4) 1725.15. (1) 由已知可求得cosαcosβ=25,sinαsinβ=15. 于是有tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12.(2) 把cosα+cosβ=12两边分别平方,得cos2α+cos2β+2cosαcosβ=14. 把sinα+sinβ=13两边分别平方,得sin2α+sin2β+2sinαsinβ=19. 把所得两式相加,得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1336,即2+2cos(α−β)=1336. 所以cos(α−β)=−5972.16. (1) 左式=2cos22a−1+4cos2a+3=2(cos2a+1)2=2(2cos2a)2=8cos4a=右式.(2) 左式=sin2α+cos2α+2sinαcosα2cos2α+2sinαcosα=(sinα+cosα)22cosα(cosα+sinα)=12tanα+12=右式.(3) 左式=sin(2α+β)2cos(α+β)sinαsinα=sinβsinα=右式.(4) 左式=3−4cos2A+2cos22A−13+4cos2A+2cos∗2A−1=(1−cos2A)2(1+cos2A)2(2sin2A)2(2cos2A)2=tan4A=右式.17. sin(2α−π4)=31√250.18. sin2x+2sin2x1−tanx =2sinxcosx+2sin2x1−sinxcosx=sin2x⋅1+tanx1−tanx=sin2x⋅tan(π4+x).由17π12<x<7π4,得5π3<x+π4<2π. 又cos(π4+x)=35,所以sin(π4+x)=−45,tan(π4+x)=−43. 又cosx=cos[(π4+x)−π4]=−√210,所以sinx=−7√210,sin2x=725. 所以sin2x+2sin2x 1−tanx =−2875.19. 把已知代入sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2−2sinθcosθ=1中,得(2sinα)2−2sin2β=1. 变形得2(1−cos2α)−(1−cos2β)=1,即2cos2α=cos2β,4cos22α= 4cos22β.20. f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x−sin2x)−2sinxcosx=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4).(1) 最小正周期是π.(2) 由x∈[0,π2],得2x+π4∈[π4,5π4],所以当2x+π4=π,即x=3π8时, f(x)的最小值为−√2,f(x)取最小值时x的集合为{3π8}.21. f(x)=√3sinx+cosx+a=2sin(x+π6)+a.(1) 由2+a=1,得a=−1.(2) 单调递减区间为[π3+2kπ,4π3+2kπ],k∈Z.(3) {x ∣2kπ≤x ≤2π3+2kπ,k ∈Z} .22. f (x )=√3sin2x +1+cos2x +m =2sin (2x +π6)+m +1 .(1) 由 x ∈[0,π2] ,得 2x +π6∈[π6,7π6] ,于是有 2+m +1=6 . 解得 m =3 . (2) f (x )=2sin (2x +π6)+4(x ∈R ) 的最小值为 −2+4=2 ,此时 x 的取值集合由2x +π6 =3π2+2kπ(k ∈Z ) 求得,所求集合为 {x ∣x =2π3+kπ,k ∈Z} .23. 设 AP =x,AQ =y,∠BCP =α,∠DCQ =β ,则 tanα=1−x,tanβ=1−y . 于是 tan (α+β)=2−(x+y )(x+y )−xy . 又 △APQ 的周长为 2,即 x +y +√x 2+y 2=2 ,变形可得 xy = 2(x +y )−2 . 于是 tan (α+β)=2−(x+y )(x+y )−[2(x+y )−2]=1 . 又 0<α+β<π2 ,所以 α+β=π4,∠PCQ =π2−(α+β)=π4. 24. (1) 由 {sinβ+cosβ=15,sin 2β+cos 2β=1,可得 25sin 2β−5sinβ−12=0 . 解得 sinβ=45 或 sinβ=−35 (由 β∈(0,π) ,舍去). 所以 cosβ=15−sinβ=−35 . 于是 tanβ=−43 .(2) 根据所给条件,可求出仅由 sinβ,cosβ,tanβ 表示的三角函数式的值. 例如, sin (β+π3) , cos2β+2,sinβ+cosβ2tanβ,sinβ−cosβ3sinβ+2cosβ ,等等.25. 因为 ∠ABD =α ,所以 ∠CAE =α,AB =ℎ2sinα,AC =ℎ1cosα . 所以 S △ABC =12⋅AB ⋅AC =ℎ1ℎ2sin2α,0<α<π2. (1) 所求函数解析式为 S (α)=ℎ1ℎ2sin2α,0<α<π2 . (2) 略 (可借助信息技术).(3) 当 2α=π2 ,即 α=π4 时, S (α) 的最小值为 ℎ1ℎ2 .26. 略.27. (1)(2) 由16.3862=23.4392911⋅sin(45ω),解得ω=0.01720279.=365.2422.(3) T=2πω(4) 400(T−365)=96.88,故应在400 年中设定97 个闰年.。
2023最新人教版高中数学必修一第五章《三角函数》单元测试(附答案解析)
试卷第 4 页，共 4 页
1．C
参考答案：
【解析】运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．
【详解】 cos
150
cos150 cos(1800 300 ) cos 300
3， 2
故选：C．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应 用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值. 2．A
答案第 2 页，共 12 页
【详解】 f (x) sin x cos
2
sin( x
π 4
)
，因为
x
a
,
b
，所以
x
π 4
a
π 4
,
b
π 4
，因
为 1
2
sin( x
π 4
)
2 ，所以
2 2
sin( x
π 4
)
1.
正弦函数
y
sin
x
在一个周期
π 2
,
3π 2
内，要满足上式，则
x
π 4
π 4
f
x
sin x
的图象过点
1 3
,1
，若
f
x 在2, a 内有
5
个
零点，则 a 的取值范围为______.
四、解答题
17．在① sin
6 3
，②
tan 2
2 tan 4 0 这两个条件中任选一个，补充到下面的
问题中，并解答.
已知角 a 是第一象限角，且___________.
(1)求 tan 的值；
S1 S2
2
1 2
可求得
高中数学必修一 第五章 三角函数 单元训练题 (2)0812(含答案解析)
必修一第五章三角函数单元训练题 (2)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，再把所得图象上的所有点向右平移π4个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在x=π3处取得最大值，则函数f(x)的图象()A. 关于点(−5π12,0)对称 B. 关于点(π6,0)对称C. 关于直线x=−5π12对称 D. 关于直线x=π6对称2.已知(0,)，且3cos2α−8cosα=5，则=()A. B. C. D.3.设函数f(x)=(x+)在[−，]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.4.已知三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，CC1=AB=AC=BC，则AB1与平面B1BCC1所成角的正弦值为()A. 12B. √64C. √22D. √1045.为得到函数f(x)=sin2x的图象，可将函数g(x)=sin(2x−π4)的图象()A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度C. 向左平移π8个单位长度 D. 向右平移π8个单位长度6.若关于x的不等式1−23cos2x+acosx≥0在R上恒成立，则实数a的最大值为()A. −13B. 13C. 23D. 17.如图，角α的终边与单位圆交于点M，M的纵坐标为45，则tanα=()A. 34B. −34C. −43D. 438.tan(−675°)的值为()A. 1B. −√22C. √22D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知cos(α+π8)=√210，α为锐角，则cos(2α−π4)=________．10.若三角式等式cos2x=a+bcosx+ccos2x(a,b,c为常数)，对于任意x∈R都成立，则a−b+c=____________．11.若cos2α=2cos(α+π4)，α∈(0,π)，则sin2α=，tanα=．12.化简求值：tan(arccos13)=____________．三、解答题（本大题共9小题，共108.0分）13.化简：(1)sin3(−α)cos(5π+α)tan(2π+α)cos3(−α−2π)sin(−α−3π)tan3(α−4π)；(2)√1−2sin10°cos10°sin170°−√1−sin2170°．14.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150∘．(1)若a=√3c，b=2√7，求▵ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√22，求C．15.已知函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x+32．(1)当x∈[−π6,π3]时，求函数y=f(x)的值域；(2)已知ω>0，函数g(x)=f(ωx2+π12)，若函数g(x)在区间[−2π3,π6]上是增函数，求ω的最大值．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E，F分别是线段DC，BC的中点，分别将△DAE沿AE折起，△CEF沿EF折起，使得D，C重合于点G，连接AF．(1)求证：平面GEF ⊥平面GAF;(2)求直线GF 与平面GAE 所成角的正弦值．17. 借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题。
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题(含答案)人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练题（含答案）一、单选题1.已知函数$f(x)=\cos 2x+3\sin 2x+1$，则下列判断错误的是（）A。
$f(x)$的最小正周期为$\pi$B。
$f(x)$的值域为$[-1,3]$C。
$f(x)$的图象关于直线$x=\dfrac{\pi}{6}$对称D。
$f(x)$的图象关于点$\left(-\dfrac{\pi}{4},0\right)$对称2.已知函数$y=\sin(\omega x+\dfrac{\pi}{2})$在区间$\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$上单调递增，则$\omega$的取值范围是A。
$\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$B。
$\left[\dfrac{1}{2},1\right]$C。
$\left[\dfrac{1}{3},2\right]$D。
$\left[\dfrac{2}{3},3\right]$3.若角$\alpha$的终边过点$P(2,2)$，则$\sin\alpha=$（）A。
1B。
-1C。
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}$D。
$-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$4.若$x$是三角形的最小内角，则函数$y=\sin x+\cos x+\sin x\cos x$的值域是（）A。
$[-1,+\infty)$B。
$[1,2]$C。
$[0,2]$D。
$\left[1,\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right]$5.下列说法正确的个数是（）①大于等于，小于等于90的角是锐角；②钝角一定大于第一象限的角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始边与终边重合的角的度数为$360^\circ$。
A。
1B。
2C。
3D。
46.角$\alpha$的终边经过点$(2,-1)$，则$2\sin\alpha+3\cos\alpha$的值为（）A。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．点P 从(2,0)出发，逆时针方向旋转43π到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．1,2⎛- ⎝⎭B ．(1)-C ．(1,-D ．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2．角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．24253．已知函数1log a y x =和()22y k x =-的图象如图所示，则不等式120y y ≥的解集是（ ）A ．(]1,2B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,24．已知(0,2)απ∈，sin 0α<和cos 0α>，则角α的取值范围是（ ） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．已知α是第二象限角，则（ ） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角6．已知直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2，则19log x ＝（ ） A ．3B ．12C ．2D ．12-7．已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=与0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭和0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭8．已知点()tan ,sin P αα在第四象限，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角二、解答题9．设α是第一象限角,作α的正弦线､余弦线和正切线,由图证明下列各等式. (1)22sin cos 1αα+=; (2)sin tan cos ααα=. 如果α是第二､三､四象限角,以上等式仍然成立吗? 10．已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin 5απ-=，求()f α的值.11．已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，试判断()()sin cos θcos sin θ的符号.12．不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)37sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭与49sin 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)sin194︒与()cos 160︒.13．（1）已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求()()()πsin tan π2sin πcos 3παααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭+⋅-的值； （2）已知0πx <<，1sin cos 5x x +=求tan x 的值． 14．已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭． (1)求tan θ的值；(2)求()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++的值．15．在平面直角坐标系xOy 中角θ的始边为x 轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点P ，点P 的横坐标为35. (1)求cos 3sin 3sin cos θθθθ+-的值；(2)若将射线OP 绕点O 逆时针旋转2π，得到角α，求22sin sin cos cos αααα--的值.三、多选题16．给出下列各三角函数值：①()sin 100-；②()cos 220-；③tan 2；④cos1.其中符号为负的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④四、双空题17．已知55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______. 参考答案与解析1．C【分析】结合已知点坐标，根据终边旋转的角度和方向，求Q 点坐标即可.【详解】由题意知，442cos ,2sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(1,Q -. 故选：C. 2．B【分析】化简得2sin 22cos 12παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的坐标定义求出cos α即得解.【详解】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B 3．B【分析】可将12,y y 图象合并至一个图，由12,y y 同号或10y =结合图象可直接求解.【详解】将12,y y 图象合并至一个图，如图：若满足120y y ≥，则等价于120y y ⋅>或10y =，当()1,2x ∈时，则120y y ⋅>，当1x =时，则10y =，故120y y ≥的解集是[)1,2故选：B 4．D【分析】根据三角函数值的符号确定角的终边的位置，从而可得α的取值范围.【详解】因为sin 0α<，cos 0α>故α为第四象限角，故3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭故选：D. 5．C∴2α是第三象限，第四象限角或终边在y 轴非正半轴，sin20α<，故C 正确，D 错误. 故选：C ． 6．D【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出x ，然后结合对数的运算性质可求．【详解】解：因为直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2 所以6221x +=+，解得3x =所以2113991log log 3log 32x -===-故选：D ． 7．B【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解.()0,απ∴∈又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=< ,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭故选：B 8．C【分析】由点的位置可确定tan ,sin αα的符号，根据符号可确定角α终边的位置.【详解】()tan ,sin P αα在第四象限tan 0sin 0αα>⎧∴⎨<⎩，α位于第三象限.故选：C. 9．见解析【解析】作出α的正弦线､余弦线和正切线 （1）由勾股定理证明；（2）由三角形相似PMO TAO ∆∆∽证明．若α是第二､三､四象限角,以上等式仍成立.【点睛】本题考查三角函数线的应用，考查用几何方法证明同角间的三角函数关系．掌握三角函数线定义是解题基础．10．(1)()cos f αα=-.【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由()1sin 5απ-=,可以利用诱导公式计算出sin α,再根据角所在象限确定cos α,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin sin sin ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-所以()cos f αα=-;(2)由诱导公式可知()sin sin απα-=-,即1sin 5α=-又α是第三象限角 所以cos α==所以()=cos f αα-=【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆. 11．符号为负.【分析】由|cosθ|=﹣cosθ，且tanθ＜0，可得θ在第二象限，即可判断出．【详解】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y 轴上或x 轴的负半轴上;又tanθ<0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-1<cosθ<0，0<sinθ<1，视cosθ、sinθ为弧度数，显然cosθ是第四象限的角，sinθ为第一象限的角，所以cos(sinθ)>0，sin(cosθ)<0，故()()sin cos θcos sin θ<0故答案为符号为负.【点睛】本题考查了三角函数值与所在象限的符号问题，考查了推理能力，属于基础题． 12．(1)3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)sin194cos160︒>︒【分析】根据诱导公式及函数的单调性比较大小. (1)由37sin sin 6sin 666ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭49sin sin 16sin 333ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增所以sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)由()sin194sin 18014sin14︒=︒+︒=-︒()cos160cos 9070sin70︒=︒+︒=-︒又0147090︒<︒<︒<︒所以sin14sin70︒<︒，即sin14sin70-︒>-︒ 所以sin194cos160︒>︒.13．（1）54；（2）4tan 3x =- ．【分析】（1）由三角函数定义易得4cos 5α=，再利用诱导公式和基本关系式化简为()()()πsin tan π12sin πcos 3πcos ααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+-求解； （2）将1sin cos 5x x +=两边平方得到242sin cos 025x x =-<，进而求得7sin cos 5x x -=，与1sin cos 5x x +=联立求解.【详解】解：（1）P 点到原点O的距离1r =由三角函数定义有4cos 5x r α== ()()()πsin tan πcos tan 152sin πcos 3πsin cos cos 4ααααααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=⨯==+---； （2）∵0πx <<，将1sin cos 5x x +=两边平方得112sin cos 25x x +=∴242sin cos 025x x =-<，可得ππ2x << ∴sin 0x > cos 0x < ∴sin cos 0x x ->∵()()22sin cos sin cos 2x x x x -++= ∴7sin cos 5x x -=，联立1sin cos 5x x +=∴4sin 5x = 3cos 5x =-∴4tan 3x =-． 14．(1)(2)2.【分析】（1）根据三角函数的定义tan yxθ=，代值计算即可； （2）利用诱导公式化简原式为齐次式，再结合同角三角函数关系和（1）中所求，代值计算即可. （1）因为角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭故可得tan yxθ==（2）原式=()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++ sin cos sin cos θθθθ+=-tan 1tan 1θθ+=-由（1）可得：tan θ=tan 12tan 1θθ+==-. 15．(1)35(2)1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得3tan 4α=，再将22sin sin cos cos αααα--化为22tan tan 1tan 1ααα--+，即可求得答案． (1)P 在单位圆上，且点P 在第二象限，P 的横坐标为35，可求得纵坐标为45所以434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-，则cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--． (2)由题知2παθ=+，则3sin()cos 5sin 2παθθ=+==-，24cos cos()sin 5παθθ=+=-=-则sin 3tan cos 4ααα== 故22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++ 2233()443()1241951--==-+.16．ABC【分析】首先判断角所在象限，然后根据三角函数在各个象限函数值的符号即可求解. 【详解】解：对①：因为100-为第三象限角，所以()sin 1000-<； 对②：因为220-为第二象限角，所以()cos 2200-<； 对③：因为2弧度角为第二象限角，所以tan20<； 对④：因为1弧度角为第一象限角，所以cos10>； 故选：ABC. 17．125π3【解析】根据三角函数的定义，求得cos α的值，进而确定角α的最小正值. 【详解】由于55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α的终边上一点，所以cos α=5πsin 5π1sin62==.由于5π15πsin0,cos 0626=>=<，所以P 在第四象限，也即α是第四象限角，所以π2π3k α=-，当1k =时，则α取得最小正值为5π3.故答案为：（1）12；（2）5π3【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.。
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-含答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-含答案1.已知cos θ·tan θ＜0,那么角θ是第 3,4 象限角.2.已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是 3 （填序号）. ①-3 ②3或31③-31 ④-3或-313.设θ为第三象限角，试判断2cos2sin θθ的符号为 负号 .4.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值： （1）sin α-cos α=34; （2）)2(cos )2(sin 33a a ++-ππ= 2722-5. 已知函数f (x )=1cos 21cos 3cos 2224-+-x x x 的定义域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ值域为 ]0,1[- ，奇偶性为 偶 .6.函数f (x )=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y =4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 0 .7.为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍.8.函数y =2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 ]65,3[ππ .10.给出下列命题：①函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin +cos =;③若、是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形. 其中命题正确的是 1，4 （填序号）.11 如图为y =A sin （ωx +ϕ）的图象的一段，求其解析式为 .12.方程x e ＋x=2的根所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,2)13.设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ,若对任意的),0(+∞∈x ,都有11)log )((21=+x x f f ,则方程xx f 2)(=解的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．014.已知函数()x f 为R 上的奇函数，当时αα23αβ)322sin(3π-=x y 0>x )cos 3cos 2cos (21)(ααα++++=x x x f(),若对任意实数,则实数的取值范围是（ ）A ．B ．5π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．15.已知函数y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y =sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.16、已知定义域R 的函数的奇函数.（1）求；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值范围.ππα-≤≤,(()x f x f x ∈-R 都有≤恒成立α2ππ,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦abx f x x ++-=+122)(的值b a ,R t ∈0)2()2(22<-+-k t f t t f参考答案1.已知cos θ·tan θ＜0,那么角θ是第 象限角. 答案 三或四2.已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是 （填序号）. ①-3 ②3或31③-31④-3或-31答案 ③3.设θ为第三象限角，试判断2cos2sin θθ的符号为 . 解 ∵θ为第三象限角∴2k π+π＜θ＜2k π+(k ∈Z )k +(k ∈Z ). 当k -2n (n ∈Z )时，2n +ππθπ43222+<<n此时在第二象限. ∴sin2θ＞0,kos 2θ＜0. 因此＜0. 当k =2n +1(n ∈Z )时(2n +1)π+2π＜2θ＜(2n +1)π+43π(n ∈Z ) 即2n π+23π＜2θ＜2n π+47π(n ∈Z )此时2θ在第四象限. ∴sin2θ＜0,cos2θ＞0,因此2cos2sin θθ＜0 综上可知：2cos2sin θθ＜0. 4.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值： （1）sin α-cos α= ;（2）)2(cos )2(sin 33a a ++-ππ=5.已知函数f (x )=1cos 21cos 3cos 2224-+-x x x ,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k π+2π解得x ≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以f (x ）的定义域为2cos2sin θθ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈k k x x x ,42ππ且,. 又f （x )= x x x 2cos 1cos 3cos 224+-=xx x 2cos 1cos )1cos 2(22--=cos 2x -1=-sin 2x .又定义域关于原点对称，∴f （x ）是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x ≠42ππ+k ,k ∈Z . ∴-sin 2x ≠-21. 所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.6.函数f (x )=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y =4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 . 答案 07.为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍. 答案 左6π3 8.函数y =2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ 9.函数f (x )=lg(sin2x +3cos2x -1)的定义域是 . 答案 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+<<-k k x k x ,412|ππππ 10.给出下列命题：①函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin α+cos α=23;③若α、β是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形. 其中命题正确的是 （填序号）. 答案 ①④11 如图为y =A sin （ωx +ϕ）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N 为第一个零点Z R则A=-3，T =2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ=π ∴ω=2，此时解析式为y =-3sin （2x +ϕ）.∵点N ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π，∴-6π×2+ϕ=0，∴ϕ=3π所求解析式为y =-3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx .①方法二 由图象知A =3以M ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π为第一个零点，P ⎪⎭⎫⎝⎛0,65π为第二个零点. 列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+•=+•πϕπωϕπω6503 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==322πϕω. ∴所求解析式为y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx .15.已知函数y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y =sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y =sin x 的图象上所有点向右平移4π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πx 的图象；再把y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin 21x 的图象；再把y =sin21x 图象上所有的点向右平移2π个单位 得到y =sin 21(x -2π)=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-421πx 的图象.（3）周期T =ωπ2=212π=4π，振幅A =3，初相是-. (4)令=+k (k ∈Z ) 得x =2k +(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令x -=k (k ∈Z )得x =+2k (k ∈Z ). 对称中心为(k ∈Z ).4π421π-x 2πππ23π214ππ2ππ⎪⎭⎫⎝⎛+0,22ππk。
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限.3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = .4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .5.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2) [][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .9.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜ 2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 .10. 某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .12.函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008).参考答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.答案 一或三2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限. 答案 二3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = . 解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=<-<+-=<0113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.又∵sin 2θ+cos 2θ=1∴11131122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为91.4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .答案 25.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .答案562 6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2)[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=21又∵α是第四象限角，∴sin α=-23cos 12-=-α. （1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］ =sin(-α)=-sin α=23. （2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++=)2cos()2sin()2sin()2sin(απαπαππαππ+-•++--+++n n n n=αααπαπcos sin )sin()sin(•+-++=αααπαcos sin )sin(sin •---=αααcos sin sin 2•-=αcos 2-=-4.7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+•αααααα. 方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .答案 239.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 . 答案 y =-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48ππx10.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .答案 y =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .答案 -2或212.求函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .解 方法一 y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π化成y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .1分∵y =sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ) ∴函数y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π（k ∈Z ) 即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z ) 2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π（k ∈Z )即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ).∴函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ).方法二 y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π可看作是由y =2sin u 与u =x -4π复合而成的.又∵u =x -4π为减函数∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ) -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π (k ∈Z ). 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π(k ∈Z ) 即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π (k ∈Z )得 -2k π-45π≤x ≤-2k π-4π(k ∈Z ) 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间.综上可知：y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）； 递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）.13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.解 由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sin x ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0; 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.Z14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的振幅A =2,周期T =22π=π 初相ϕ=3π. （2）令X =2x +3π,则y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sin X .列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，再把y =sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，最后把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象. 方法二 将y =sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y =sin2x 的图象； 再将y =sin2x 的图象向左平移6π个单位； 得到y =sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008). 解 （1）∵y =2A - 2Acos(2ωx +2ϕ) 且y =f (x )的最大值为2，A ＞0 ∴2A +2A=2,A =2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0 ∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ22=2, ω=4π.∴f (x )= 22-22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ22x =1-cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22x .∵y =f (x )过(1,2)点，∴cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22=-1.ϕπ22+=2k π+π,k ∈Z .∴ϕ=k π+4π,k ∈Z . 又∵0＜ϕ＜2π，∴ϕ=4π.(2)∵ϕ=4π,∴f (x )=1-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22ππx =1+sin x 2π.∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.又∵y =f (x )的周期为4，2 008=4×502∴f （1）+f （2）+…+f （2 008）=4×502=2 008.。
最新人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．若将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移3π个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦2．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=3．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ） A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．34．已知()3sin 5πα+=，则sin()cos()sin 2απαπα--=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45 C ．35D ．355．将函数()22sin cos f x x x x =+的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心是（ ）A ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭B．(πC ．π,06⎛⎫-⎪⎝⎭D．π6⎛-⎝ 6．已知角θ终边经过点)P a ，若6πθ=-，则a =（ ）ABC．D．7．cos75cos15sin75sin15︒⋅︒+︒⋅︒的值是（ ） A ．0B ．12C ．32D ．18．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ） A ．12B ．12-C ．32-D ．33-9．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭11．函数cos 2y x =的单调减区间是（ ） A ．ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．π3π2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．[]2π,π2π,Z k k k +∈ D ．πππ,π,Z44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦12．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π二、填空题13．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭成立，则a =_______.14．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 15．已知函数sin cos y x x =-，其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为x =________.16．已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________.17．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________. ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点. 18．若1sin cos (0)5x x x π+=-≤<，则cos2x =___________.19．已知α为第二象限角，且sin 3α=sin()πα+___________. 20．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．三、解答题21．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中0ab ≠．（1）若1b =，是否存在实数a 使得函数()f x 为偶函数，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； （2）若34x π=为函数()f x 的对称轴，求函数()f x 的单调增区间． 22．已知()()1sin 2cos 3παπα+--=(2παπ<<)，求： （1）sin cos αα⋅； （2）sin cos αα-.23．已知m =(b sin x ，a cos x )，n =(cos x ，﹣cos x )，()f x m n a =⋅+，其中a ，b ，x ∈R .且满足()26f π=，(0)f '=.（1）求a 和b 的值；（2）若关于x 的方程3()log 0f x k +=在区间[0，23π]上总有实数解，求实数k 的取值范围.24．如图为函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的一个周期内的图象.（1）求函数()f x 的解析式及单调递减区间；（2）当1,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域. 25．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.（1）若6πθ=，求观光通道l 的长度；（2）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 26．已知()cos2cos 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若323f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 求出()1sin 22g x x =-，令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ即可解出增区间. 【详解】由题可知()()111sin 2sin 2sin 223322g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ，解得()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.2．A解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】 将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令24,32x k k Z πππ+=+∈， 解得,424k x k Z ππ=-∈， 所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A3．C解析：C 【分析】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N .因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.4．C解析：C 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. 【详解】 ∵3sin()sin 5παα+==-，∴3sin 5α=-， 则sin()cos()sin (cos )3sin cos 5sin 2απααααπαα---⋅-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：C5．B解析：B 【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数()f x 化简 ，再根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；【详解】解：()22sin cos f x x x x =+())sin 2cos21f x x x ∴=+ ()sin 2f x x x ∴=()π2sin 23f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭将()f x 向右平移π6个单位长度得到()g x ， ()ππ2sin 263g x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin 2g x x ∴=∴()g x 的对称中心为()π2k k ⎛∈ ⎝Z ，当2k =时为(π. 故选：B.6．C解析：C 【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，角θ终边经过点)P a ，可得OP =，又由6πθ=-，根据三角函数的定义，可得cos()6π-=且0a <，解得3a =-. 故选：C.7．B解析：B 【分析】由两角和的余弦公式化简计算． 【详解】原式＝1cos(7515)cos 602︒-︒=︒=． 故选：B ．8．C解析：C 【分析】先计算三角函数值得(1,P ，再根据三角函数的定义sin ,yr rα==可. 【详解】解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，所以sin 22y r α===-. 故选：C.9．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 10．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===，又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据余弦函数的性质，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈求解. 【详解】令222,k x k k Z πππ≤≤+∈， 解得2,2k x k k Z πππ≤≤+∈，所以函数cos 2y x =的单调减区间是ππ,π,Z2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 故选：A12．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 二、填空题13．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数解析：1 【分析】利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+的形式：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π8x =是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+， 其中sin tan a ϕϕϕ===.∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立， ∴π8x =是f(x)的图象的对称轴，即π2,82k k Z πϕπ⨯+=+∈, ∴,4k k Z πϕπ=+∈，tan 1a ϕ==，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.14．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 15．【分析】函数令求解【详解】已知函数令解得所以其图象的对称轴中距离轴最近的一条对称轴方程为故答案为：解析：4π-【分析】函数4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令42x k πππ-=+求解.【详解】已知函数sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令,42x k k Z πππ-=+∈，解得 3,4x k k Z ππ=+∈， 所以其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为x =4π-. 故答案为：4π-16．【分析】根据可得的值而再将分子分母同除以化成关于的分式即可解【详解】由得则有；故答案为：【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式： 解析：35【分析】根据2sin cos 0αα-=，可得tan α的值，而2222sin 2sin cos sin 2sin cos 1sin cos αααααααα--=+， 再将222sin 2sin cos sin cos ααααα-+分子分母同除以2cos α化成关于tan α的分式即可解. 【详解】由2sin cos 0αα-=， 得1tan 2α=， 则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++ 221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，sin tan cos θθθ=，tan cot 1θθ⋅=. 17．①②③【分析】对①根据即可判断①正确对②根据函数和的最小正周期即可判断②正确对③首先得到再利用二次函数的性质即可判断③正确对④令解方程即可判断④错误【详解】对①因为函数的定义域为所以是偶函数故①正确解析：①②③ 【分析】对①，根据()()f x f x -=即可判断①正确，对②，根据函数cos 2y x =和sin y x=的最小正周期即可判断②正确，对③，首先得到()2192sin 48f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，再利用二次函数的性质即可判断③正确，对④，令()cos 2sin 0f x x x =+=，解方程即可判断④错误. 【详解】对①，因为函数()f x 的定义域为R ，()()()cos 2sin =cos 2sin f x x x x x f x -=-+-+=，所以()f x 是偶函数，故①正确；对②，因为cos 2cos2y x x ==，最小正周期为π，sin y x =的最小正周期为π，所以函数()cos 2sin f x x x =+的最小正周期为π，故②正确； 对③，()2cos 2sin cos2sin 12sin sin f x x x x x x x =+=+=-+2192sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.因为0sin 1x ≤≤，当sin 1x =时，()f x 取得最小值为0，故③正确. 对④，令()cos 2sin 0f x x x =+=，即212sin sin 0x x -+=，解得sin 1x =或1sin 2x =-（舍去）. 当[]0,2x π∈时，sin 1x =，解得2x π=或32x π=，所以()f x 在[]0,2π上有2个零点.故④错误. 故选：①②③18．【分析】将已知等式两边平方可得结合已知的范围可得从而可求进而利用二倍角公式平方差公式即可求解【详解】解：因为两边平方可得可得所以可得所以故答案为： 解析：725【分析】将已知等式两边平方，可得242sin cos 025x x =-<，结合已知x 的范围可得sin 0x ≥，cos 0x <，从而可求7cos sin 5x x -==-，进而利用二倍角公式，平方差公式即可求解. 【详解】解：因为1sin cos (0)5x x x π+=-≤<，两边平方，可得112sin cos 25x x +=，可得242sin cos 025x x =-<，所以sin 0x ≥，cos 0x <，可得7cos sin 5x x -===-，所以22177cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )()5525x x x x x x x =-=+-=-⨯-=. 故答案为：725. 19．【分析】由条件依次算出然后代入即可算出答案【详解】因为为第二象限角且所以所以所以故答案为：解析：34-【分析】由条件依次算出cos α、sin 2α、cos2α，然后代入即可算出答案. 【详解】因为α为第二象限角，且sin 3α=，所以1cos 3α=-所以1sin 22sin cos 2339ααα⎛⎫==⨯-=-⎪⎝⎭，27cos 22cos 19αα=-=-111sin()34πα+-⨯-===-故答案为：34-20．【分析】根据图象关于对称分析得到为函数最值由此分析计算出的值并化简根据条件表示出然后分析出的最小值【详解】因为的图象关于对称所以所以解得所以又因为所以所以又因为所以所以所以所以显然当时有最小值所以故解析：23π【分析】根据图象关于6xπ=对称，分析得到6fπ⎛⎫⎪⎝⎭为函数最值，由此分析计算出a的值并化简()f x，根据条件表示出12,x x，然后分析出12x x+的最小值.【详解】因为()f x的图象关于6xπ=对称，所以1622f aπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以解得a=()sin2sin3f x x x xπ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又因为()112sin23f x xπ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以1112,32x k k Zπππ+=+∈，所以1112,6x k k Zππ=+∈，又因为()222sin23f x xπ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以2222,32x k k Zπππ+=-+∈所以22252,6x k k Zππ=-+∈，所以121212522,,66x x k k k Z k Zππππ+=+-+∈∈，所以()12121222,,3x x k k k Z k Zππ+=-++∈∈，显然当12k k+=时有最小值，所以12min2233x xππ+=-=，故答案为：23π.【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数的一条对称轴求解参数的两种思路：（1）根据对称轴对应的是正、余弦型函数的最值，代入计算出函数值等于对应的最值，由此计算出参数值；（2）已知对称轴为x a =，则根据()()2f a x f x -=，代入具体x 的值求解出a 的值.三、解答题21．（1）不存在，理由见解析；（2）0a >时，单调增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，0a <时，单调增区间是372,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得答案；（2）由条件结合辅助角公式可得22a -=，化简可得=-b a ，()()sin cos sin 4f x a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，然后分0a >、0a <两种情况讨论.【详解】（1）当1b =时，()sin cos f x a x x =+若存在实数a 使得函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立， 即()()sin cos sin cos a x x a x x -+-=+恒成立， 整理得sin 0a x =恒成立，所以0a =，与0ab ≠矛盾， 故不存在；（2）结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，又由辅助角公式知()f x 的最值为所以3422f a π⎛⎫=-=⎪⎝⎭两边平方，得22221122a b ab a b +-=+，所以2211022a b ab ++=， 即()2102a b +=，所以=-b a ，所以()()sin cos sin 4f x a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0a >时，令22242k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得32244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，所以单调增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 当0a <时，令322242k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈， 解得372244k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以单调增区间是372,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．22．（1）49-；（2. 【分析】（1）用诱导公式化简已知式为1sin cos 3αα+=，已知式平方后可求得sin cos αα； （2）已知式平方后减去4sin cos αα，再考虑到sin cos αα>就可求得sin cos αα-. 【详解】（1）由()()1sin 2cos 3παπα+--=可得1sin cos 3αα+=，所以()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 9αααααααα+=++=+=， 所以4sin cos 9αα=-； （2）()()221417sin cos sin cos 4sin cos 4999αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭， 又因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin 0cos αα>>，sin cos 0αα->，所以sin cos 3αα-=. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟记诱导公式，以及sin cos αα+，sin cos αα，sin cos αα-之间的联系即()2sin cos 12sin cos αααα+=+，()2sin cos 12sin cos αααα-=-.23．（1）2a =，b =2）1[,1]27. 【分析】（1）化简函数()sin 2cos 2222b a a f x x x =-+，由()26f π=，解得8a =，再由(0)f '=，进而求得,a b 的值；（2）由（1）化简得()2sin(2)16f x x π=-+，根据2[0,]3x π∈，得到0()3f x ≤≤，结合方程3()log 0f x k +=在区间2[0,]3π上总有实数解，转化为3()log f x k =-在区间2[0,]3π上成立，列出不等式，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数2()sin cos cos f x m n a b x x a x a =⋅+=-+1cos 2sin 222b x x a a +=-+sin 2cos 2222b a a x x =-+，由()26f π=得，8a =，因为()cos 2sin 2f x b x a x '=+，又(0)f '=，所以b =2a =.（2）由（1）得()2cos 212sin(2)16f x x x x π=-+=-+，因为2[0,]3x π∈，所以72[,]666x πππ-∈-， 所以1sin(2)126x π-≤-≤，所以02sin(2)136x π≤-+≤，即0()3f x ≤≤，又因为方程3()log 0f x k +=在区间2[0,]3π上总有实数解， 所以3()log f x k =-在区间2[0,]3π上成立， 所以30log 3k ≤-≤，33log 0k -≤≤，3333log 3log log 1k -≤≤所以1127k ≤≤，所以实数k 的取值范围为1[,1]27. 【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程()0f x =的根就是函数()f x 与x 轴的交点的横坐标，方程()()f x g x =的根据就是函数()f x 和()g x 图象的交点的横坐标；利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.24．（1）()2sin()44f x x ππ=+，[]8 1.85,k k k Z ++∈；（2）(2⎤⎦. 【分析】（1）由图可求出()2sin()44f x x ππ=+，令322()2442k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈，即可求出单调递减区间； （2）由题可得5,4434x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则可求得值域. 【详解】(1)由题图，知2,7(1)8A T ==--=， 所以2284T πππω===， 所以()2sin()4f x x πφ=+.将点(－1，0)代入，得2sin()04πφ-+=.因为||2πφ<，所以4πφ=，所以()2sin()44f x x ππ=+.令322()2442k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈, 得8185()k x k k Z +≤≤+∈.所以()f x 的单调递减区间为[]8 1.85,k k k Z ++∈. (2)当1,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5,4434x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时sin()1244x ππ-<+≤，则()2f x <≤，即()f x 的值域为(2⎤⎦. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()sin()f x A x ωϕ=+部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ； （2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ.25．（1）观光通道长(2km ；（2）当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【分析】 （1）由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD 的长，从而可得结果；（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】 （1）因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以3CD =， 同理62232BC AD -==-=所以观光通道长2362l km =++-（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==， 即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5，即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围 26．（1）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）73. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再整体代入求单调递增区间；（2）由已知得23f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用倍角公式求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； 【详解】（1）1()cos2cos 2cos2cos22322f x x x x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭3cos222223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的单调递增区间5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由已知得233f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2221263f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin 39πα⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎥⎝⎭⎦．【点睛】求正弦型三角函数的单调区间，常用整体代入法，但要注意保证x 的系数为正，才比较不容易出错；求三角函数值时，要注意整体观察角.。
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题（含答案）一、单选题1．将函数()y f x =的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的12，②向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象（如图所示），其中点2,03D π⎛⎫- ⎪⎝⎭，点,03E π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()f x y f x ='在区间[]0,2π上的对称中心为（ ）A ．(),0π，()2,0πB ．(),0πC ．()0,0，(),0πD ．()0,0，(),0π，()2,0π2．已知函数()|sin |cos f x x x =+.有下列四个结论：①函数的值域为2,2⎡-⎣； ②函数的最小正周期为2π；③函数在[],2ππ上单调递增； ④函数的图像的一条对称轴为x π=. 其中正确的结论是（ ） A ．②③B ．②④C ．①④D ．①②3．设函数()sin3sin3,f x x x =+则()f x 为（ ） A ．周期函数，最小正周期为3πB ．周期函数，最小正周期为23π C ．周期函数，最小正周期为2π D ．非周期函数4．函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B ．π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．2πππ,π36k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．πππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 5．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=（ ）．A ．35B ．35C ．45D ．45-， 6．将函数cos 21y x =+的图象向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为()f x =（ ） A ．cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 2xD ．sin 2x -7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0）满足f （3π）＝2，f （π）＝0，且f （x ）在区间（5,312ππ）单调，则ω的取值个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．108．若对于任意x ∈R 都有()2()3cos sin f x f x x x +-=-，则函数(2)cos 2y f x x =-的图象的对称中心为（ ） A ．,0,4k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．(),0,k k π∈ZC ．,0,24k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,0,2k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z 9．在(0,2π)上使cos sin x x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．π5π(0,)(,2π)44B ．ππ5π(,)(π,)424C ．π5π(,)44D ．3ππ(,)44-10．下列函数中偶函数是（ ）A ．y 11x x e e -=+B ．y ＝sinx +2|sinx |C ．y ＝ln （x ）D ．y ＝e x +e ﹣x11．化简cos()cos sin()sin αββαββ---的结果为( ) A ．sin(2)αβ+B ．cos(2)αβ-C ．cos αD ．cos β12．函数3sin 2y x =-+的最小值为（ ） A ．2 B ．－1C ．－2D ．5第II 卷（非选择题）二、填空题13．满足tan （x+3πx 的集合是 ． 14．已知4cos 5α=-，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于_______． 15．已知α是第三象限的角，若4cos 5α=-，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ .16．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ取最大值时，tan θ=________.三、解答题17．已知向量m =sin,12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，n =,2cos 2x x ⎛⎫⎪⎝⎭，设函数()f x =m ·n . （1）求函数()f x 的解析式.（2）求函数()f x ，[],x ππ∈-的单调递增区间.18．在ABC ∆中，已知14,,tan422B b A π===，求三角形ABC ∆面积19．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，cos β=，且tan(2)3αβ+=. （1）求tan2α的值；（2）求αβ+的值.20．如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，OC 两两成120︒，1OC =，AB OB OC =+，且OA OB >，现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为(k k 为正常数）：在AOC ∆区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与AOC ∆的面积成正比，比例系数为43k ，设OA x =，OB y =．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求N M -的最大值及相应的x 的值．21．如图，已知AB 是一幢6层的写字楼，每层高均为3m ，在AB 正前方36m 处有一建筑物CD ，从楼顶A 处测得建筑物CD 的张角为45．()1求建筑物CD 的高度；()2一摄影爱好者欲在写字楼AB 的某层拍摄建筑物.CD 已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)？22．（1）已知4cos 5α=-，且α为第三象限角，求sin α，tan α的值 （2）已知tan 3α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+ 的值.23．已知函数()sin 232f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（Ⅱ）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边,,a b c ，若4,52A f a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积．24．已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出取最值时x 的值； （3）求不等式()2f x 的解集. 25．已知函数2()122cos f x x x =-+． (Ⅰ)求()f x 的最大值及取得最大值时的x 集合；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1,()0a f A ==,求b c +的取值范围参考答案1．D2．B3．B4．A5．D6．C7．B8．D9．A10．D11．C12．B 13．2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦14．7. 15．7 16．117．（1）()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 18．7 19．（1）43.（2）4π20．（1）212x y x -=-，⎛ ⎝⎭；（2）22x =-时，N M -的最大值是(10k =-． 21．(1)30米;(2) 当6n =时，张角CMD ∠最大，拍摄效果最佳. 22．（1）35，34；（2）5723．（Ⅰ）⎡⎣；（Ⅱ） ABC S =△. 24．（1）5,,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （2）12x π=时，()f x 取最大值3；4πx =-时，()f x 取得最小值0（3）,,124k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z25．（Ⅰ）4,|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）(]1,2.。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的应用》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的应用》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h （厘米）由如下关系式确定2sin 6h t πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞和(),φππ∈-.已知当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在0=t 秒时h 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．D 2．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计），已知入口高度AB 和出口处高度CD 均为H ，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为（ ）A ．3H B ．4H C ．5H D ．6H 3．如图为函数()sin ,()f x x x αα=⋅∈R 的部分图象，则α的值可能是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120140mmHg ～和6090mmHg ～．心脏跳动时，则血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式()sin (0)p t a b t ωω=+>，其中()p t 为血压(mmHg)t ，为时间(min)，其函数图像如上图所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．收缩压为120mmHgB ．80ωπ=C ．舒张压为70mmHgD ．95a =5．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin 26t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，s 2＝5cos 23t π⎛⎫- ⎪⎝⎭．则在时间t ＝23π时，则s 1与s 2的大小关系是（ ） A ．s 1＞s 2 B ．s 1＜s 2 C ．s 1＝s 2D ．不能确定6．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O 距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．1137．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动， 0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位： s ）之间的函数关系式的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P距离地面的高度为（ ）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、双空题9．函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期T =______，函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像向左平移t 个单位（()0,t π∈）得到函数()f x 图像，则实数t =______.三、填空题10．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．11．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()(0,0)y A x b A ωϕω=++>>，则8时的温度大约为________C （精确到1C ）．12．已知某海浴场的海浪高度(m)y 是时间t （其中024t ≤≤，单位：时）的函数，记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，曲线()y f t =可近似地看成是函数cos (0,0)A t b A y ωω+>>=的图象，根据以上数据，函数的解析式为________．13．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y （单位：m ）在某天24小时内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．14．已知函数()sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则()2021f =______.四、解答题15．如图所示，摩天轮的直径为100m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min ．(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中H 关于t 的函数解析式；(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P 、Q 两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，则在运行一周的过程中求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求出25≥h 时t 的取值范围．16．在ABC 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()tan cos cos B c A a C +. (1)求角B 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且b =ABC 面积的取值范围.五、多选题17．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案与解析1．D【分析】根据当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得φ，进而求得h 的解析式，再代入0=t 求解即可【详解】因为当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动，故()22,Z 6k k πφππ⨯+=+∈，即()22,Z 3k k πφπ=+∈，又(),φππ∈-，故23πφ=，故22sin 63h t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故当0=t 时，则22sin3h π==故选：D 2．C【分析】根据正弦曲线振幅的意义及雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23建立不等式可求解.【详解】雨棚横截面正弦曲线振幅为A ，则雨棚的最低点到地面的距离为H A -,雨棚的最高点到地面的距离为H A +，由题意有2()3H A H A -≥+，解得5HA ≤，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为5H . 故选：C 3．D【分析】根据图象判断函数的奇偶性，代入特殊值，判断函数值的大小，利用排除法求解即可.【详解】解析：由图可知()f x 为偶函数，因为sin x 为奇函数，所以x α也为奇函数，排除A 和C ，如果3α=，即3()sin f x x x =⋅，则3222f ππ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与图不符，所以不能取3，故排除B 项.故选：D ． 4．B【分析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出,a b ，T ，利用周期公式求出ω得解． 【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为120mmHg ，舒张压为70mmHg ，所以选项AC 正确； 周期121,8080T πω==由，知160ωπ=，所以选项B 错误； 由题得12070a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以95,25.a b ==所以选项D 正确.故选：B【点睛】方法点睛：求三角函数sin()+y A x B ωϕ=+的解析式，常用待定系数法，一般根据函数的最值求出,A B 的值，根据周期求出ω的值，根据特殊点求出ϕ的值.5．C【解析】将t ＝23π代入求值，可得s 1＝s2 【详解】当t ＝23π时，则s 1＝5sin 2236ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭－5，s 2＝5cos 2233ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭－5，∴s 1＝s2 故选：C 6．C【分析】先设出高度h 与时间t 的函数解析式为()sin h A t b ωϕ=++，利用三角函数的性质及特殊点求出解析式，通过解三角函数不等式得到答案.. 【详解】设点P 距离地面高度h 与时间t 的函数 解析式为()sin h A t b ωϕ=++ 由题意得20A =，25b =和10T =所以2ππ5T ω== 又因为()05f =，所以π2ϕ=-所以()πππ20sin 252520cos 0525h t t t ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭令35010h t ≥⎧⎨≤≤⎩，即π1cos 52010t t ⎧≤-⎪⎨⎪≤≤⎩ 故102033t ≤≤，即在摩天轮转动的一圈内 有201010333-=分钟会有这种最佳视觉效果. 故选：C. 7．D【解析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断.【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ= ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，则max 426H =+=当sin 1306t ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，则max 422H =-+=-对A ，B ，由图像易知max min H H =-故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-故C 错误； 对D ，max min H H >-故D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式. 8．B【解析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2.【详解】如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟 经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=所以，在转动的过程中点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.9． π 12π【分析】第一空直接用2||T πω=求得，第二空则由()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭变换得()2sin 212f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故向左平移12π个单位. 【详解】由2|2|T ππ==-，又()2sin 212f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由()g x 变换到()f x ，则()()12612πππ---=，故向左平移12π个单位，即12t π=.故答案为：π12π【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期的求法，三角函数图象的相位变换，属于容易题. 10．0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【分析】利用周期计算公式求出ω，由最高亮度距离平均亮度0.2星等可求出A ，由平均亮度可求出b ，即可写出三角函数模型.【详解】设所求函数为sin()y A t b ωϕ=++，由题意得10T =，即5πω=，0.2A =和 3.8b =，故0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故答案为： 0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查()sin y A x b ωϕ=++模型在实际问题中的应用，属于基础题. 11．13【分析】由图像可得最大值为30，最小值为10，从而可求出A ，b 的值，最高点和最低点的横坐标的差为半个周期，从而可求出 ω的值，再代入一个点的坐标可求出ϕ的值，从而可求出函数关系式，再把8x =代入函数中可得结果.【详解】解：由图像可得20b =，10A =和114682T =-=∴2168T ππωω==⇒= 10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ∵最低点坐标为(6,10)∴l0sin 620108πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，得3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 于是332()42k k Z πϕππ+=+∈，∴32()4k k Z ϕππ=+∈，取34ϕπ= ∴310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当8x =时，则310sin 2020134y ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭．故答案为：13【点睛】此题考查三角函数模型的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.12．1cos 126y t π=+ 【分析】由表中的数据可知，函数的最大值为1.5，最小值为0.5，从而可求出A b ，的值，再由表中的数据可得其最小正周期为12，从而可求出ω的值.【详解】解：由题意得， 1.5A b +=和0.5A b -+= ∴12A =和1b =．又12T =，∴26T ππω==． 从而1cos 126y t π=+． 故答案为：1cos 126y t π=+ 【点睛】此题考查了三角函数模型的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.13．6sin (024)6y x x π=-≤≤【分析】由图设sin()y A x ωϕ=+(024)x ≤≤，由图象可知6A =和12T =，再求出6π=ω，将(9,6)代入函数的解析式得ϕπ=，即得解.【详解】由图设sin()y A x ωϕ=+(024)x ≤≤．由图象可知6A =，12T =所以26T ππω== 所以6sin()(024)6y x x πϕ=+≤≤ 将(9,6)代入函数的解析式得366sin()2πϕ=+ 所以3sin()1cos 12πϕϕ+=∴=-， 所以ϕπ=． 所以函数关系式为6sin 6sin (024)66y x x x πππ⎛⎫=+=-≤≤ ⎪⎝⎭． 故答案为：6sin (024)6y x x π=-≤≤ 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【分析】由(0)f =,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得ϕ的值，将点3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 的表达式可得ω的值，即可得()f x 的解析式，将2021x =代入解析式利用诱导公式即可求解.【详解】由图知：(0)sin f ϕ==因为,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以34ϕπ= 所以3()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为333sin 1444f πω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()3332442k k Z ππωπ+=+∈ 所以()83k k Z πωπ=+∈ 由图知：344T >，所以23T πω=<，可得23πω> 所以取0k =和 ωπ=，所以3()sin 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3(2021)sin 2021sin 442f πππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：15．(1)π50cos 60,0126H t t =-+≤≤ (2)ππ50sin 66h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ [0,4][6,10]∈⋃t【分析】（1）建立合适的坐标系，求出H 关于t 的函数解析式；（2）在第一问的基础上，列出不等关系，用三角恒等变换化简，解出解集.(1)如图以摩天轮中心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系．由题意摩天轮的角速度2ππrad /min 126ω== 所以甲所在的位置的纵坐标ππ50sin 62y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭甲 则πππ50sin 6050cos 60,012626H t t t ⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭ (2)令甲、乙两位游客距离地面的高度为1H 和2H ，则12πππ50cos 6050cos 60636h H H t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ1π50cos 50cos cos 636626t t t t ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭ ππ50sin 66t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ [0,12]t ∈ 令ππ50sin 2566t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得ππ1sin 662t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭或ππ1sin 662t ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭ 解得：[0,4][6,10]∈⋃t ．16．(1)3π；(2)【分析】（1）先由正弦定理及和角公式得sin()A C B +=，进而求得tan B =（2）由正弦定理得2sin sin a c A C ==，结合三角恒等变换得2sin(2)16ac A π=-+，由角A 的范围求出ac 的范围，再由面积公式即可求得面积的范围.(1)由正弦定理得：cos sin tan (sin )cos in A A C B B C +=，所以sin()A C B +=又因为A C B π+=-，所以sin B B =和tan B =0B π<<，所以3B π=. (2)由（1）知3B π=，又ABC 是锐角三角形，所以62A ππ<<，由正弦定理得sin sin sin 2a c b A C B ====得sin sin s 244i sin()3n A C A ac A π==-21422sin 2sin sin A A A A A ⎤⎥+⎦=⎣=+2cos 212sin(2)16A A A π=-+=-+因为62A ππ<<，所以52666A πππ<-<，所以ac 的取值范围为(]2,3，因为1sin 4ABC S ac B ==△所以ABC 面积的取值范围为. 17．ABD 【解析】根据a 的取值分类讨论，估计函数的周期，确定正确选项．【详解】0a =时，则()1f x =，图象为B若0a <，则()1()sin()f x a ax =+--，此时0a ->．因此不妨设0a >，1a >则22T a ππ=<，max ()2f x >图象可能为D 若01a <<，则22T aππ=>，max ()2f x <图象可能为A ． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题时可通过确定函数的周期，最值，对称性，单调性确定图象的可能性．如果是单选题，则利用排除法得出结论．。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．为了得到函数()()5sin 212f x x π=-的图象，可以将函数()sin 2g x x =图象上所有的点（ ） A ．向右平移512π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度 C ．向右平移524π个单位长度 D ．向左平移524π个单位长度 2．下列图像中，符合函数sin 2()1cos xf x x=-的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()()πcos 2sin 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位长度后得到函数()y g x =的图像，则（ ）A ．()g x xB ．()g x x =C ．()π26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2g x x4．函数sin y x =-在[0,2]π上的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．要想得到正弦曲线，只需将余弦曲线（ ） A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移π个单位 D ．向左平移π个单位6．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（ ）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===7．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M 3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23和π4 B ．2和π3 C ．2和π2 D ．103和π28．已知函数()π()cos 002f x A x A ωϕωϕ=+>><（，，）的部分图象如图所示，若先将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象；再把()g x 图象上所有点向左平行移动2π3个单位长度，得到函数()h x 的图象，则当2π[π,]3x ∈-时，则函数()h x 的值域为（ ）A ．[-2，0]B ．[-1，0]C ．[0，1]D ．[0，2]9．已知函数()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 的图像关于直线π4x =对称10．将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．32B ．2C ．3D ． 11．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C A π=-，则ba的取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．D ．4)12．已知函数()4sin sin ,(0)33f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，将其图象沿x 轴向左平移(0)m m >个单位，所得图象关于直线3x π=对称，则实数m 的最小值为（ ）A ．6πB ．3π C ．34π D ．4π 13．已知函数3()2sin 242f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数52cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度14．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈()()cos f x A x B ωϕ=++的模型波动（()f x 的单位：千元，x 为月份，112x ≤≤且*x ∈N ）．已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则()f x 的解析式为（ ） A ．()ππ2sin 744f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()9si 44πn πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()πn 74f x x =+D ．()π2sin 744πf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭15．函数()sin cos f x x x =+的图象可以由函数()sin cos g x x x =-的图象（ ）A ．向右平移π4单位得到B ．向左平移π4单位得到C ．向右平移π2单位得到D ．向左平移π2单位得到16．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于()g x 的说法正确的是（ ） A ．图象关于直线3x π=-对称 B ．图象关于6x π=对称 C ．图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称17．将偶函数()()()2cos 2(0π)f x x x ϕϕϕ=+-+<<的图象向右平移π6个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调递减区间为（ ） A ．ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π7π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、解答题18．已知函数()()3sin 2f x x πϕϕ=+∈-，（，2π）函数关于4x π=对称.(1)求()f x ϕ的值及的解析式；(2)用五点法在下列直角坐标系中画出()f x 在744ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象；(3)写出()f x 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量x 的取值集合． 19．不画图，说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得出： （1）1π8sin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1πsin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.20．已知函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之(1)求()f x 的解析式；(2)若已知三点坐标1,0A ，1,12B f πα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭和()1,2C f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭．若//AB AC ，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin cos αα+的值．21．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4，且满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)求方程()102f x +=在区间[]22-,上所有解的和.22．已知函数1cos 2y x x =+，说明此函数是由sin y x =如何变换而来的. 23．已知函数()2sin f x x ω=，其中常数0>ω． (1)若函数()y f x =的最小正周期为2π，求ω的值；(2)若()y f x =是2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的严格增函数，求ω的取值范围；(3)当2ω=时，则将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[],(,?R,)a b a b a b ∈<且满足：()y g x =在[],a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[],a b中，求b a -的最小值．三、填空题24．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______．（填序号）①方程()()3π0,2f x g x x ⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为7π12；②不等式()()g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ k ∈Z③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称． 25．将函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与函数()f x 的图象重合，则ω的最小值为______.26．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个取值为_________．27．已知数列{}n a 满足()1111n n a n N a *+=-∈+，11a =.若从四个条件：①A =；②2ωπ=；③3πϕ=；④12B =中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{}n a 的通项n a 表示为sin()0,||2A n B πωϕωϕ⎛⎫++>< ⎪⎝⎭的形式，则n a =___________.四、多选题28．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+-（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=-，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称B ．函数()g x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将函数()1y f x =+的图象向左平移12π个单位长度可得到函数()g x 的图象 D ．函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦29．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图像向左平移6π个单位后，得到函数()g x 的图像，则下列结论中正确的是（ ）A ．()2sin 2g x x =B ．()g x 的图象关于点(,0)12π-中心对称C ．()g x 的图象关于3x π=-对称D ．()g x 在区间[,]66ππ-上单调递增参考答案与解析1．C【分析】由条件根据函数 y ＝A sin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【详解】因为()()()55sin 2sin 21224f x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦所以应将函数()sin 2g x x =的图象上所有的点向右平移524π个单位长度. 故选：C. 2．A【分析】根据函数的奇偶性及函数值验证选项即可得出答案. 【详解】由()sin 21cos x f x x =-知 ()()sin 21cos xf x f x x--==-- ()f x ∴是奇函数，选项B 错误；()sin 2101cos1f =>-， ()()()sin 2ππ01cos πf --==--所以选项C 和选项D 错误，选项A 正确. 故选：A. 3．A【分析】先将()f x )6x πω+，根据最小正周期求出ω，再根据正弦函数的图像平移得到答案.【详解】因为()ππcos 2sin 66f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，所以2ω=．将()π26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位长度后得到函数()ππ2266y g x x x⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像． 故选：A. 4．D【解析】利用五点法找到特殊点3(0,0),,1,(,0),1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由此判断选项即可【详解】根据五点法找出五个特殊点,分别为3(0,0),,1,(,0),1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,然后描点并用光滑的曲线连接 故选:D【点睛】本题考查正弦型函数的图像,考查五点法作图的应用 5．A【分析】由诱导公式及函数图象平移规则即得.【详解】因为cos sin()2y x x π==+所以将余弦曲线向右移2π个单位可得sin()sin 22y x x ππ=-+=．故选：A ． 6．D【分析】由图象求得()f x 的表达式，然后由图象变换得结论．【详解】设()()sin (0,0,)f x A x A ωαωαπ=+>><，由函数图象，知52,212122T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===.所以()()2sin 2f x x α=+. 又函数图象过点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πα⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭.所以532,62k k ππαπ+=+∈Z ，解得22,3k k παπ=+∈Z . 因为απ<，所以23πα=.所以()22sin 22sin233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以1,2,23m n πϕ===.故选：D. 7．C【分析】由f （x ）是偶函数及0≤φ≤π可得φπ2=.由图象关于点M 3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，结合ω＞1及余弦函数的图象与性质可求ω. 【详解】解：由f （x ）是偶函数 φ＝k ππ2+ k ∈Z ∵0≤φ≤π，∴当k ＝0时，则φπ2=. ∴f （x ）＝sin （ωx π2+）＝cos ωx ∵f （x ）图象上的点关于3π,04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称∴3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3πcos 04ω=，故3π4ω=k ππ2+ k ∈Z即()2213k ω=+ k ∈Z . ∵f （x ）在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，可得π12ππ22ωω≤⋅=，即ω≤2. 又∵()2213k ω=+ k ∈Z ω＞1∴当k ＝1时可得ω＝2． 故选：C ． 8．D【分析】由图可求出函数的周期πT =，从而可求出2ω=，由图可得2A =，然后将点13,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数中可求出ϕ的值，进而可求得函数解析式，根据三角函数图象变换规律求出()h x ，再由2ππ,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出3262πππx -≤+≤，再由余弦函数的性质可求得()h x 的值域. 【详解】由题意得313341234T πππ=-=，∴πT = 2π2T ω== 当13π12x =时，则ππ132212x k ωϕϕ+=⨯+= ()Z k ∈ ∴()132ππZ 6k k ϕ=-∈π2ϕ<，，令1k =可得π6ϕ=-又易知2A =，故()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由三角函数图象的变换可得1π1π()2cos(2)2cos()4626g x x x =⨯-=-所以()1212cos 2cos 23626πππh x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵2ππ3x -≤≤，∴3262πππx -≤+≤ ∴1π10cos 26x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故函数()g x 的值域为[]0,2.故选：D 9．C【分析】根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可．【详解】由()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对A 项()f x 的最小正周期为2π，故A 错；对B 项()f x ，故B 错；对C.项当3π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则有πππ442x -<-<，因为sin y x =在ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增所以()f x 在区间3π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；对D.项，当π4x =时，则有πππ0444f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =不是()f x 的对称轴，故D 错．故选：C 10．B【分析】先求出()g x ，又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数，则ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，即可求出ω最大值.【详解】函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数 所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤解得2ω≤，故ω的最大值为2.11．C【分析】根据题意可得2B A =，由锐角三角形可求出A 的范围，再由正弦定理及余弦函数的值域即可求解. 【详解】3C A =-π sin sin 22cos ,sin sin b B A A a A A∴=== 2(0,),2B A =∈π3(0,)2C A =-∈ππ(,)64A ∴∈ππcos A ∴∈ba∴∈. 故选：C 12．A【分析】由已知，先对函数()f x 进行化简，根据最小正周期为π，求解出ω，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线π3x =对称，建立等量关系即可求解出实数m 最小值.【详解】解：()ππ114sin sin 4sin sin 3322f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111cos 231cos 24sin 42cos 2124242x x x x x ωωωωω⎡⎤⎫-+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=⋅-⋅=--⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即()2cos21f x x ω=--，由其最小正周期为π，即22ππω=，解得1ω= 所以()2cos21f x x =--将其图象沿x 轴向左平移m （0m >）个单位，所得图象对应函数为()()2cos212cos 221y x m x m =-+-=-+- 其图象关于3x π=对称，所以2π2π,Z 3m k k +=∈，所以 ππ,Z 32k m k =-+∈ 由0m >，实数m 的最小值为π6.故选：A. 13．D【分析】根据()f x 是奇函数可求得4πϕ=-，利用诱导公式得52cos 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得【详解】因为()f x 是奇函数，所以3,Z 4k k πϕπ-=∈，即3,Z 4k k πϕπ=+∈ 因为2πϕ<，所以4πϕ=-，所以()()2sin 22sin 2f x x x π=-=-因为52cos 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可把函数52cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度.故选：D. 14．D【分析】先根据最值，求出,A B ，求出最小正周期，进而求出2ππ4T ω==，代入特殊点坐标求出π4ϕ=-，求出正确答案.【详解】解：由题意得95A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得27A B =⎧⎨=⎩，又最小正周期为()2738⨯-=所以2ππ4T ω==，所以()π2sin 74f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将()3,9代入，解得3π2sin 794ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则3ππ242πk ϕ+=+ Z k ∈π2π,Z 4k k ϕ=-+∈因为π2ϕ<，所以当0k =时，则π4ϕ=-符合题意 综上：()π2sin 744πf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：D 15．D【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图像变换的性质进行求解即可.【详解】因为()sin cos )4g x x x x π=--，()sin cos ))442f x x x x x πππ=+=+=-+所以函数()sin cos g x x x=-向左平移2π单位得到函数()sin cos f x x x =+的图像 故选：D 16．C【分析】根据三角函数图象的平移变换可得()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数对称轴、对称中心的定义与验证法依次判断选项即可.【详解】由题意得，()sin 2sin 2366g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴132g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭和13g π⎛⎫= ⎪⎝⎭故A ，B ，D 错误，又5012g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴()g x 图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称．故选：C ． 17．C【分析】根据辅助角公式，结合偶函数的性质求出ϕ值，再根据余弦函数图象的变换规律求出函数()g x 的解析式，最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】()()()π2cos 22sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫+-+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x 是偶函数，所以()()ππ2ππ623k k k k ϕπϕ-=+∈⇒=+∈Z Z 因为0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()2ππ2sin 22cos 236f x x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 因为函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到()y g x =的图象所以()ππ2cos 22cos 263y g x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()π2π22ππ3k x k k ≤-≤+∈Z 时，则函数()g x 单调递减 即当()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z 时，则函数()g x 单调递减 当0k =时，则函数()g x 在π2π63x ≤≤时单调递减. 故选：C 18．(1)4πϕ=()3sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)详见解析(3)单调递增区间是,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈最小值为3-，取得最小值的x 的集合52,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据函数的对称轴，列式,42k k Z ππϕπ+=+∈，求ϕ；（2）利用“五点法”列表，画图；（3）根据三角函数的性质，即可求解. (1)因为函数关于直线4x π=对称，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,4k k Z πϕπ=+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4πϕ=所以()3sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)首先根据“五点法”，列表如下：(3) 令22242k x k πππππ-≤+≤+解得32244k x k ππππ-≤≤+ k Z ∈ 所以函数的单调递增区间是,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈ 最小值为3-令3242x k πππ+=+，得524x k ππ=+ k Z ∈ 函数取得最小值的x 的集合52,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 19．（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】（1）根据先平移，再进行横坐标伸缩变换，最后进行纵坐标伸缩变换求解即可； （2）根据先平移，再进行横坐标伸缩变换，最后进行纵坐标伸缩变换求解即可； 【详解】解：（1）将正弦曲线sin y x =上的所有点向右平移8π个单位长度得到函数sin 8y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将它图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数1πsin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将它的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的8倍，横坐标不变得到函数1π8sin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.（2）将正弦曲线sin y x =上的所有点向左平移7π个单位长度得到函数sin 7y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将它图象上所有点的横坐标缩短为原来的13倍，纵坐标不变，得到函数πsin 37y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将它的图象上所有点的纵坐标缩小为原来的13倍，横坐标不变得到函数1πsin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.20．(1)()sin f x x =-【分析】（1）由题意设最高点为()1,1x ，相邻最低点为()2,1x -，则12||2Tx x -=，由三角函数的图象及已知可得222()22T+=，解得T ，利用周期公式可求ω，由(0)cos 0f ϕ==，结合范围0ϕπ<<，可求ϕ的值，即可得解()f x 的解析式．（2）由（1）利用诱导公式化简三点坐标，利用向量平行的坐标表示可得1cos sin 2αα=，进而利用三角函数恒等变换即可求解sin cos αα+的值． （1）解：设最高点为()1,1x ，相邻最低点为()2,1x -，则122T x x -=由三角函数的图象及已知，可得2242T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22444T π+=+，解得2T π=，由2T πω=，可得1ω=所以()cos()f x x ϕ=+因为函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为奇函数 所以(0)cos 0f ϕ==，得2k πϕπ=+Z k ∈又0ϕπ<<，所以2ϕπ=于是()cos()sin 2f x x x π=+=-（2）21．(1)()cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1-【分析】（1）由()f x 的最小正周期为4求得ω，由1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 的图象的对称中心，并结合02πϕ<<，求出ϕ的值及()f x 的解析式（2）由()102f x +=，得1cos 242x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得546x k =+或1146x k =-和k ∈Z ，再由[]2,2x ∈-，可求出x 的值，从而可求得它们的和. （1）因为()f x 的最小正周期为4，所以242ππω==.因为()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称所以1cos 022πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即()4k k πϕπ=+∈Z又02πϕ<<，所以4πϕ=.()f x 的解析式为()cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2） 由()11cos 02242f x x ππ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭ 得1cos 242x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以22243x k ππππ+=+或22243x k ππππ+=-k ∈Z 解得546x k =+或1146x k =- k ∈Z因为[]2,2x ∈-，所以方程的解集为115,66⎧⎫-⎨⎬⎩⎭所以所有解的和为511166-=-.22．sin y x =向左平移6π个单位【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，然后根据左右平移变换即可求出结果.【详解】因为1cos sin 26y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 根据三角函数的图象变换，将函数sin y x =向左平移6π个单位，即可得到sin()6y x π=+的图象.23．(1)1 (2)304ω<≤ (3)433π【分析】(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最小正周期为2πω；(2)依题意可得42232ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解之即可；(3)由条件根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得()g x 的解析式，令()0g x =，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，*]()m a m N π+∈恰有21m +个零点，所以在区间[a ，14]a π+是恰有29个零点，从而在区间(14a π+，]b 至少有一个零点，即可得到a ，b 满足的条件．进一步即可得出b a -的最小值．(1) 解：22ππω=，∴1ω＝(2)解：由0ω＞，根据题意有42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，，解得304ω≤＜(3)另一方面，在区间5[12π，514]312πππ++恰有30个零点因此b a -的最小值为431433πππ+=． 24．③【分析】根据图象分别确定,A T ，结合五点作图法可最终求得()f x 解析式，再根据三角函数平移变换求得()g x ；对于①，直接代入()f x ，()g x解析式，结合三角恒等变换化简方程为sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合x 范围求得方程的根即可；对于②，()()ππ2sin 2sin 2π33tan 2ππ32sin 2cos 263x x g x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-≥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ2π332k x k +≤-<+和k ∈Z ，解得ππ5ππ,32122k k x ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z 故②错误； 对于③，因为()7π7ππ4ππ2sin 22sin 22sin 2126633f x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()y f x =与()y g x =图象关于7π24x =对称，故③正确． 故答案为：③ 25．12【分析】由题意，利用图像平移变换法则得到π6为函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个周期，从而得到12kω=()*N k ∈，可得ω的最小值.【详解】将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后所得图象与()f x 的图象重合，故π6为函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个周期即2ππ6k ω=()*N k ∈，则12k ω=()*N k ∈，故当1k =时，则ω取得最小值12. 故答案为：12 26．4π 【分析】根据平移后的可得函数()cos(22)g x x ϕ=+，根据题意可得(0)0g =可得22k πϕπ=+，取一值即可得解.【详解】将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度 可得()cos(22)g x x ϕ=+，由函数()g x 的图象关于原点对称 可得(0)cos(2)0g ϕ== 所以22k πϕπ=+ 42k ππϕ=+当0k =时，则4πϕ=.故答案为：4π 27134n ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭或134n ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 【分析】由递推关系推出n a 的通项公式，发现n a 周期为2，求出w π=，则排除②，再根据，1a ，2a 的取值，求出14B =，排除④，分别讨论①和③作为条件时是否成立，得到最终的表达式. 所以数列{}n a 周期为2，即22T wπ==，解得w π=，则②不能作为条件，此时sin()n a A n B πϕ=++ 有sin()11sin(2)2A B A B πϕπϕ++=⎧⎪⎨++=-⎪⎩ 解得14B =，则④不能作为条件，此时1sin()4n a A n πϕ=++当①作为条件时，则1)4n a n πϕ=++，11)14a πϕ++=此时sin ϕ=3πϕ=-代入n a 成立，故①可作为条件，此时1)34n a n ππ=-+ 当③作为条件时，则1sin()34n a A n ππ=++，则11sin()134a A n ππ=++=，此时A =n a 成立，故③可作为条件，此时1)34n a n ππ=++. 故答案为：1)34n a n ππ=-+或1)34n a n ππ=++.【点睛】思路点睛：（1）本题在求出数列{}n a 的通项公式后，先根据周期性和特殊值确定ω和B 的值，排除部分选项，然后逐一讨论其他选项是否成立； （2）三角函数中解析式的确定，一般由周期确定ω，由特殊值确定ϕ，由最值确定A ，由对称中心确定B .28．ABD【分析】根据三角函数的图象求得,A ϕ的值，得出函数()f x ，进而求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】根据函数()y f x =的图象，可知2A =当0x =时，则满足()02f =-，则2cos 12ϕ-=-，即1cos 2ϕ=- 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，可得()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 对于A 中，当12x π=-时，则112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，可得函数()g x 的图象不关于直线12x π=-对称，所以A 项错误；对于B 中，当12x π=时，则12g π⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 的图象不关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以B 项错误； 对于C 中，因为()212cos 23y f x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232sin 232x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦52sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将其图象向左平移12π个单位，可得函数522sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，所以C 项正确； 对于D 中，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以223323,x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦-，所以当222,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，即[0,]12x π∈时，则()g x 单调递减，所以D 项错误．故选：ABD29．BCD 【分析】进行平移可得()2sin(2)6g x x π=+，根据三角函数的性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】2sin 2()2sin(2)666()x g x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦，故A 错误； 令12x π=-可得()2sin 0012g π-==，故B 正确； 令3x π=-可得()2sin()232g ππ-=-=-，故C 正确； [,]66x ππ∈-，所以2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦易知sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单增，所以()g x 在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单增，故D 正确.故选：BCD。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题附答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若sin 2cos θθ=，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．35B ．25C ．25-D ．352．若θ为ABC 的一个内角，且1sin cos 8θθ⋅=-，则sin cos θθ-=（ ）A ．BC ．D3．若函数()f x 是奇函数，当0x >时，则3()log f x x =，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-二、填空题4．已知sin 3cos αα=，则13sin cos 2cos 24ααα-=+___________.5．设直线2y x =的倾斜角为α，则cos2=α___________.6．函数1()sin 2()24g x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的值域为___________.7．已知1(0,),sin()cos(2)4θππθπθ∈-+-=，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______．三、解答题8．已知,αβ为锐角，tan 2,sin()ααβ=-=． (1)求cos2α的值； (2)求tan β的值．9．已知5cos 7cos 022ββα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，求tantan 22αβα-的值． 10．已知R θ∈，设函数()()()2cos sin cos f x x x x θθ=-++．(1)若f (x )是偶函数，求θ的取值集合；(2)若方程()()()0f x f x f +-=有实数解，求sin cos θθ+的取值范围． 11．已知7sin cos 13x x +=-(0πx << )，求cos 2sin x x - 的值.12．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin ,c A B c ==． (1)求A ；(2)设D 是AB 边上靠近A 的三等分点，CD ABC 的面积．13．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的一段图像过点(0,1)，如图所示.（1）求()f x 在区间2[,]32ππ--上的最值； （2）若12(),(0)21234f ππαα-=<<,求22cos sin 2()cos sin ααπαα-+-的值.14．已知π3π044βα<<<<，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和3π5sin 413⎛⎫+= ⎪⎝⎭β，求()sin αβ+的值. 15．求证：sin cos 11sin sin cos 1cos αααααα-++=+-16．已知()1sin 2αβ-=和()1sin 3αβ+=． (1)证明：tan 5tan 0αβ+=； (2)计算：()()2tan tan tan tan tan αβαβααβ--+⋅-的值．四、双空题17．已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=__________，2sin 2cos αα+=__________．参考答案与解析1．A【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可【详解】因为sin 2cos θθ=，显然cos 0θ≠，故tan 2θ= ()()2cos 1sin 2cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθ++=++()2222cos sin cos tan 1213sin cos tan 1215θθθθθθθ+++====+++故选：A 2．D【解析】先分析得到sin θcos θ0，再求2(sin cos )θθ-再开方即得解. 【详解】因为1sin cos 0,(0,)8θθθπ⋅=-<∈所以(,)2πθπ∈所以sin 0,cos 0,sin cos 0θθθθ><∴->. 215(sin cos )12sin cos 144θθθθ-=-=+= 所以5sin θcos θ2. 故选：D【点睛】结论点睛：看到sin cos ,sin cos θθθθ±，要联想到2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±解题. 3．A【分析】由奇函数性质知，要求13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，只需求13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值即可，将13 代入函数解析式求出113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以113f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【详解】解：因为()f x 为奇函数，所以1133f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0x >时，则3()log f x x =，所以13311log log 333l f -⎛⎫== ⎪⎝=-⎭所以11133f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：A. 4．124【分析】由sin 3cos αα=，求得tan α的值，再将原式化为齐次式，即可求得结果. 【详解】因为sin 3cos αα=，所以tan 3α=则()22213sin cos sin cos 3sin cos 2cos 2422cos 14αααααααα-+-=+-+222sin cos 3sin cos 4cos 2ααααα+-=+ 222222sin cos 3sin cos tan 13tan 91912sin 6cos 2tan 629624ααααααααα+-+-+-====++⨯+.故答案为:1245．35【分析】由斜率得tan 2α=，然后由余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系转化代入计算． 【详解】解：由题意可知22222222cos sin 1tan 3tan 2,cos2cos sin cos sin 1tan 5αααααααααα--==-===-++. 故答案为：356．12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由正弦的二倍角公式、两角和的正弦公式变形后，令sin cos t x x =+换元，化为t 的二次函数，求得t 的范围后，由二次函数性质得结论．【详解】()()sin cos coscos sin )sin cos sin cos 44g x x x x x x x x x ππ=+=-+；令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则22111(1)1.222t y t t -⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7【分析】由诱导公式化简得1sin cos 4θθ+=，平方后计算得15sin cos 32θθ=-，从而计算出cos sin θθ-=再由诱导公式以及余弦的二倍角公式代入求解得答案. 【详解】1sin()cos(2)sin cos 4πθπθθθ-+-=+=，则()2115sin cos 12sin cos sin cos 3216θθθθθθ+=+=⇒=-所以()231cos sin 12sin cos 16θθθθ-=-=，因为(0,)θπ∈，所以cos 0,sin 0θθ<>，cos sin θθ-=则()()()2231sin 2cos 2cos sin cos sin cos sin 24πθθθθθθθθ⎛⎫+=-=--=--+= ⎪⎝⎭8．(1)35； (2)1.【分析】（1）由二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式法计算作答. （2）由同角公式求出tan()αβ-，再利用差角的正切公式计算作答. (1)因tan 2α=，所以22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++. (2)因,αβ为锐角，则22ππαβ-<-<，而sin()αβ-=cos()αβ-==于是得1tan()3αβ-=，所以12tan tan()3tan tan[()]111tan tan()123ααββααβααβ---=--===+-+⨯. 9．tantan622αβα-=-【分析】将原式转化为5cos 7cos 02222αβααβα--⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据两角和差的余弦公式化简，结合同角三角函数的关系求解即可.【详解】由5cos 7cos 022ββα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得5cos 7cos 02222αβααβα--⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开得5cos cos sin sin 7cos cos sin sin 022222222αβααβααβααβα----⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即12cos cos 2sinsin02222αβααβα--+=，两边同除以coscos22αβα-得122tantan022αβα-+=解得tantan622αβα-=-．10．(1)|=,Z 24k k ππθθ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭；(2)[.【分析】(1)用二倍角的正弦公式变形函数式，再利用偶函数的定义结合和差角的正弦化简即可求解作答. (2)由(1)及已知，利用三角恒等变换公式化简变形，求出sin 2θ的范围，再把sin cos θθ+用sin 2θ表示出求解作答. (1)因函数21()cos sin(22)2f x x x θ=-+是偶函数，即R x ∀∈，()()f x f x =-成立则2211cos sin(22)cos sin(22)22x x x x θθ--+=-+，化简整理得：sin 2cos20x θ=而sin 2x 不恒为0，于是得cos20θ=，解得2,Z 2k k πθπ=-∈，即=,Z 24k k ππθ-∈ 所以θ的取值集合{|=,Z}24k k ππθθ-∈ (2)由(1)及已知得：22111cos sin(22)cos sin(22)1sin 2222x x x x θθθ-++--+=-即212cos cos 2sin 21sin 22x x θθ-=-，化简整理得：2(sin 21)cos 2sin 2x θθ-=显然sin 21θ≠，则sin 2cos 22(sin 21)x θθ=- 依题意，原方程有实数解等价于sin 2112(sin 21)θθ-≤≤-，解得21sin 23θ-≤≤25)1sin 2[0,]3(sin cos θθθ+=+∈，解得sin cos θθ≤+≤所以sin cos θθ+的取值范围是[. 11．2213-【分析】将7sin cos 13x x +=-两边平方可得1202sin cos 169x x =-，判断x 的范围，并求出17sin cos 13x x -=，进而可求得5sin 13x =12cos 13x =- ，即可求得答案.【详解】∵7sin cos 13x x +=-(0πx <<) ∴cos 0sin 0x x <>， ，即sin cos 0x x -> 把7sin cos 13x x +=-两边平方得4912sin cos 169x x =＋ 即1202sin cos 169x x =-∴2289sin cos 12sin cos 169()x x x x --== 即17sin cos 13x x -=联立7sin cos ,1317sin cos ,13x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得5sin 13x =12cos 13x =-∴22cos 2sin 13x x -=- . 12．(1)π4A =； (2)92.【分析】（1）根据给定条件，再利用正弦定理边化角，借助同角公式计算作答.（2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形面积公式计算作答. （1）在ABC 中，由cos sin ,c A B c ==得：cos sin b A a B =，由正弦定理得sin cos sin sin B A A B = 而0πB <<，即sin 0B >，则tan 1B =，又0πA << 所以π4A =. （2）依题意，13AD AB ==，在ACD △中，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅即222255299b b b b =+-=，解得3b =所以ABC 的面积21π9sin sin 242ABCSbc A ===.13．(1)最小值-1，最大值1 (2)【分析】(1) 由三角函数的图象和性质求出函数解析式，根据2[,]32x ππ∈--结合正弦函数图象和性质求其值域即可 (2) 由12(),(0)21234f ππαα-=<<可求1sin 3α=利用同角三角函数关系及诱导公式即可求值.【详解】（1）由题图知，,T π=于是22Tπω== 将sin 2y A x =的图像向左平移12π个单位长度，得到sin(2)y A x φ=+的图像. 因为||2πφ<，所以2126ππφ=⨯=，将(0,1)代入sin(2)6y A x π=+，得2A = 故()2sin(2)6f x x π=+.因为232x ππ-≤≤-，所以752666x πππ-≤+≤- 所以11sin(2),262x π-≤+≤所以1()1f x -≤≤即min max ()1,()1f x f x =-=.（2）因为()2sin(2),6f x x π=+且12(),2123f πα-=所以22sin 3α=，即1sin 3α=.又因为04πα<<，所以cos α==所以222cos sin 2()2cos sin 22cos cos sin cos sin ααπααααααα-+-===--【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的图象及性质，三角函数值域的求法，同角三角函数的关系及诱导公式，属于中档题． 14．5665【分析】由于()3442πππβααβ⎛⎫⎛⎫+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则先利用两角和的余弦公式进行求解，接着再利用诱导公式即可得到答案 【详解】解：∵04πβ<<3344ππβπ∴<+<∵35sin 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴312cos 413βπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭ ∵344ππα<<，∴344ππα-<-<- ∴024ππα-<-<∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴4sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴333cos cos cos sin sin 444444ππππππβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦123545613513565⎛⎫=-⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭ ∵()()3cos cos sin 442πππβααβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+--=++=-+⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ∴()56sin 65αβ+=. 15．证明见解析【分析】从左边开始，将式子变形为(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)αααααααα-++++-++，进而将式子化简，结合同角三角函数的平方关系进行变形，最后证得答案. 【详解】左边(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)αααααααα-+++=+-++222(sin 1)cos (sin cos )1αααα+-=+- ()()2222sin 2sin 11sin sin cos 2sin cos 1ααααααα++--=++-22sin 2sin 12sin cos 1αααα+=+- 2sin (sin 1)1sin 2sin cos cos αααααα++===右边所以原等式成立. 16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）由已知可得()()2sin 3sin αβαβ-=+，然后利用两角和与差的正弦公式化简后，整理，再根据同角三角函数的关系化为正切即可得结论，或对已知式子利用两角和与差的正弦公式展开，可求出5sin cos 12αβ=，1cos sin 12αβ=-两式相除可得结论（2）结合两角差的正切公式的变形公式化简，再将（1）中的结论代入可求得结果 （1） 方法一：由条件()1sin 2αβ-=()1sin 3αβ+= 则()()2sin 3sin αβαβ-=+即2sin cos 2cos sin 3sin cos 3cos sin αβαβαβαβ-=+ 整理得sin cos 5cos sin αβαβ=-也即tan 5tan αβ=-，tan 5tan 0αβ+=得证． 方法二：由条件()1sin 2αβ-=()1sin 3αβ+= 即1sin cos cos sin 2αβαβ-= 1sin cos cos sin 3αβαβ+= 得5sin cos 12αβ=1cos sin 12αβ=-从而可得tan 5tan αβ=- tan 5tan 0αβ+=得证．（2）由于()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ⇒-=-+所以原式()()2tan tan tan tan tan αβαβααβ--+=-()()()()2tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβααβ---+=-()()2tan tan tan tan 1tan tan tan 5αβαββααβα--⋅==-=- 17．13 32【分析】首先根据两角和的正切公式求解1tan 3α=，接着利用三角恒等变换将2sin 2cos αα+转化成22tan 1tan 1αα++，代入计算即可.【详解】因为tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以1tan 21tan αα+=- 解得1tan 3α=；又2222222sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin cos ααααααααααα+++==++ 分子分母同除以cos α得2221212tan 133sin 2cos 1tan 12()13αααα⨯+++===++. 故答案为：13 32【点睛】熟练应用三角恒等变换公式及变换技巧，是三角恒等变换中必须要掌握的本领.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修一第五章三角函数单元训练题 (12)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则函数的解析式为()A. f(x)=2sin(2x+π6)B. f(x)=2sin(12x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π3)D. f(x)=2sin(12x−π6)2.在△ABC中，SΔABC=2，AB=5，AC=1，则BC=()A. 2√5B. 2√3C. 2√3或√34D. 2√5或4√23.函数f(x)=sin(12x+π3)的最小正周期是()A. 2πB. π2C. 4πD. 6π4.在ΔABC中，sin C2=√33，BC=1，AC=3，则AB=()A. √7B. 2√2C. 3D. 2√35.若将函数f(x)=sin(x+π6)的图象沿x轴向右平移2π3个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(π2)=()A. 0B. 12C. √32D. 16.已知α的终边过点(√5,−2)，则sinα=A. −√53B. −23C. 2√55D. 237.所在圆的半径为2，圆心角为π5的扇形的弧长为()A. 2π5B. π3C. π4D. π58.已知tanα=2，则sinαsin(π2−α)=( )A. 25B. √25C. 23D. √23二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）9.ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若−2ccosB=bcosA+acosB，则B=______．10. 已知O 是△ABC 外接圆的圆心，若4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则cosC =__________． 11. 已知tanθ=3√3，则cosθsin(θ−60∘)=__________． 三、解答题（本大题共9小题，共108.0分） 12. (1)已知tanα=2，求sinα+2cosα2cosα−3sinα的值；(2)已知sinα+cosα=75，求sin2α的值．13. 如图，某社区要在一块半径为100m ，圆心角为π4的扇形草地AOB 上设计出一个平行四边形MNPQ 的公共活动区域，点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP =θ，平行四边形MNPQ 的面积为S ．(Ⅰ)求S 关于θ的函数关系式； (Ⅱ)求Ｓ的最大值及相应的θ角．14. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx(1)求函数f(x)的对称轴方程及最大值； (2)求函数f(x)的单调递增区间．15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cosC =√225，c =25a ． (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若c =2，求△ABC 的面积．16. 已知函数f(x)=cos(2x −π3)−2√3sinxcosx(1)求函数f(x)的对称轴方程及最大值；(2)将函数f(x)的图像向右平移π4个单位，得到y =g(x)的图像，求g(x)的单调递增区间。
17. 在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且acos C +ccos A =2bcos A ．(1)求角A 的大小；(2)若b+c=√10，a=2，求△ABC的面积S．18.在如图所示的四边形ACBD中，a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足b=c，2b a =2−cosB−cosCcosA，设∠ADB=α，DA=2DB=2．(1)证明三角形ABC为正三角形；(2)求四边形ACBD面积的最大值．19.已知函数f(x)=sin(2ωx−π6)+2cos2ωx(ω>0)，其图象与x轴相邻两个交点间的距离为π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(−π3,0)，求m的最小值．(3)在(2)的条件下，当m取得最小值时，对于函数g(x)，不等式|k−g(x)|≤2在x∈[−π6,π3]上恒成立，求实数k的取值范围．c，D 20.如图，在△ABC中，∠A，∠ABC，∠C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA=13为AC边上一点．(1)若c=2b=4，S▵BCD=5，求DC的长；3(2)若D是AC的中点，且cos∠ABC=2√5，BD=√26，求△ABC的最短边的边长．5-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：略2.答案：D解析：【分析】本题考查解三角形，三角形面积公式和余弦定理的运用，考查推理能力和计算能力，属于基础题．由三角形的面积得，则，利用余弦定理即可解答．【解答】解：由，得，解得，则，由，得，解得或4√2，故选D.3.答案：C解析：略4.答案：B解析：略5.答案：A解析：【分析】本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数求值，属于基础题．利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：将函数f(x)=sin(x+π6)图象上所有的点向右平移2π3个单位长度后，得到函数g(x)=sin[(x−2π3)+π6]=sin(x−π2)=−cosx的图象，则g(π2)=−cosπ2=0．故选A．6.答案：B【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sinα即可．本题主要考查三角函数的定义，比较基础．【解答】解：∵角α的终边过点P(√5,−2)，∴r=|OP|=3，∴sinα=−23，故选B．7.答案：A解析：【分析】本题考查扇形弧长的求法，考查弧长公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用弧长公式直接求解．【解答】解：由已知条件可得扇形的半径为2，圆心角为π5，∴扇形弧长．故选：A．8.答案：A解析：【分析】本题考查三角函数的化简求值，诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简所求式sinαsin(π2−α)=sinα⋅cosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1，代入tanα的值即得解．【解答】解：∵tanα=2，∴sinαsin(π2−α)=sinα⋅cosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=25，故选A．9.答案：解析：【分析】本题考查了正弦定理，以及两角和的正弦公式，以及诱导公式的应用，是一般题．由正弦定理和两角和的正弦公式得cos B=−12，根据角的范围即可解答．解：由−2ccosB =bcosA +acosB 及正弦定理得： −2sin Ccos B =sin Bcos A +sin Acos B ， 则−2sin Ccos B =sin (A +B)，又，故−2sin Ccos B =sin C ，在△ABC 中，∵sin C >0，∴cos B =−12， 又∵B ∈(0,π)，∴B =2π3．故答案为．10.答案：√74解析： 【分析】本题考查了向量的加法、减法、数乘运算，向量的几何运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设外接圆的半径为R ，由题意可得4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可推出，根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍，进而利用二倍角公式求得cos C ． 【解答】解：设外接圆的半径为R ，∵4OA⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴4OA⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−6OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，则16R 2+25R 2+40R 2cos∠AOB =36R 2， 即，∵∠AOB =2∠C ，则C 为锐角， ∴，解得cosC =√74．故答案为√74．11.答案：√33解析： 【分析】本题考查三角恒等变换化简求值，根据正切值求三角函数值，关键在于熟练掌握两角差的正弦公式，结合齐次式求解，属于基础题．根据两角差的正弦公式展开得cosθsin (θ−60°)=12sinθ−√32cosθ，结合齐次式求解．【解答】解：由题cosθsin (θ−60°)=12sinθ−√32cosθ=12tanθ−√32=3√32−√32=√33．故答案为√33．12.答案：、解：(1)sinα+2cosα2cosα−3sinα=tanα+22−3tanα=−1(2)sinα+cosα=75(sinα+cosα)2=49251+2sinαcosα=4925sin2α=2425解析：本题考查了同角三角函数基本关系和二倍角公式，是基础题．(1)分子分母同乘以1cosα，整体构造出tanα，代入数值求解即可．(2)将已知平方，根据倍角公式可以得出答案．13.答案：解：(Ⅰ)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形，由扇形半径为100m，得PD=100sinθ，OD=100cosθ，∵∠AOB=π4，∴在Rt△OEQ中，OE=QE=PD=100sinθ，∴MN=QP=DE=OD−OE=100(cosθ−sinθ)，∴S=MN⋅PD=100(cosθ−sinθ)⋅100sinθ=10000(sinθcosθ−sin2θ)，θ∈(0,π4).(Ⅱ)由(Ⅰ)得S=5000sin2θ−5000(1−cos2θ)=5000(sin2θ+cos2θ−1)=5000√2sin(2θ+π4)−5000，∵θ∈(0,π4)，∴2θ+π4∈(π4,3π4)，sin(2θ+π4)∈(√22,1]，∴S的最大值为5000(√2−1)，此时2θ+π4=π2，即θ=π8．解析：本题考查三角函数模型的应用及三角恒等变换、三角函数的图象和性质，属于中档题．(Ⅰ)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为100m，得PD，OD，在Rt△OEQ中，求得OE，则MN可得，代入面积公式即可求解；(Ⅱ)由(Ⅰ)得S=5000sin2θ−5000(1−cos2θ)=5000√2sin(2θ+π4)−5000，由θ的范围求出最值即可．14.答案：解：(1)f(x)=2cos2x+2√3sinxcos=1+cos 2x+√3sin 2x=2sin (2x+π6)+1，对称轴方程为x=π6+kπ2,k∈Z，当时，函数取得最大值为3．(2)由−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ得到−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ,k∈Z，故函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z．解析：本题考查二倍角公式和辅助角公式的应用以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数式得到f(x)=2sin (2x+π6)+1，结合正弦函数的性质即可得到函数f(x)的对称轴方程及最大值；(2)由−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ得到−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ,k∈Z，即可得到函数f(x)的单调递增区间．15.答案：解：(1)因为，且，所以，由c=25a，得，得．所以A=60°或A=120°．(2)由c=2，c=25a，得a=5，当A=60°时，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√32×√225+12×√35=√66+√310，故=12×5×2×√66+√310=√66+√32；当A=120°时，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√32×√225+(−12)×√35=√66−√310，故=12×5×2×√66−√310=√66−√32．解析：本题考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、正弦定理以及三角形的面积公式，同时考查分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)由，可得，由c=25a，可得，进而求得，问题得解．(2)由c=2，可得a=5，然后据A角的值分两种情况讨论求解即可．16.答案：解：f(x)=cos (2x−π3)−2√3sin xcos x=12cos2x+√32sin2x−√3sin2x=12cos2x−√32sin2x=cos (2x+π3)，(1)令，可得对称轴方程x=−π6+kπ2,k∈Z，由−1≤f(x)=cos (2x+π3)≤1，可得f(x)max=1；(2)将函数f(x)的图像向右平移π4个单位，得到，由−π+2kπ⩽2x−π2⩽2kπ,k∈Z得单调递增区间[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)，故g(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)．解析：本题考查了三角函数的最值，函数的单调性和单调区间，函数图象的平移变换，涉及了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式和辅助角公式的应用，属于中档题．(1)化简函数得f(x)=cos (2x+π3)，可得出f(x)的最大值，令，可得出函数f(x)的对称轴方程；(2)根据函数图象的平移变换规律，可得出g(x)的解析式，进而得出g(x)的单调递增区间．17.答案：解：因为acos C+ccos A=2bcos A，由正弦定理得，sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，即sin(A+C)=2sinBcosA，则sinB=2sinBcosA，因为(2)∵a2=b2+c2−2bccosA,∴4=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=10−3bc,∴bc=2．∴S=12bcsinA=12×2×√32=√32．解析：本题考查解三角形和三角恒等变换，考查推理能力和计算能力，属于一般题．(1)由正弦定理和三角变换公式得sinB=2sinBcosA，由sinB>0，得cosA=12，由A的范围即可求解；(2)由余弦定理求出bc=2，再利用三角形的面积公式即可求解．18.答案：解：(1)因为b=c，由正弦定理得2ba =b+ca=sinB+sinCsinA=2−cosB−cosCcosA，即sinBcosA+sinCcosA=2sinA−sinAcosB−sinAcosC，化简可得sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA，所以sinC+sinB=2sinA，所以b+c=2a．又因为b=c，所以△ABC为等边三角形．(2)S ACBD=S△ABC+S△ABD=12·DA·DB·sinα+√34AB2=sinα+√34(DA2+DB2−2DA·DB·cosα)，因为，所以，当且仅当，即时，四边形ACBD的面积取得最大值，且最大值为2+5√34．解析：本题考查正弦定理和余弦定理，三角恒等变换，三角形面积公式，正弦型函数的性质，属于中档题．(1)根据正弦定理及三角恒等变换可判断△ABC为等边三角形;(2)S ACBD=S△ABC+S△ABD=2sin(α−π3)+5√34，从而根据正弦函数的图象与性质即可求出答案．19.答案：解：(1)f(x)=sin(2ωx−π6)+2cos2ωx=√32sin2ωx−12cos2ωx+2cos2ωx=√32sin2ωx+32cos2ωx=√3sin(2ωx+π3)，由已知得函数f(x)的周期T=π，则2π2ω=π，得ω=1，故f(x)=√3sin(2x+π3)．(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象，∴g(x)=√3sin(2x+2m+π3)，∵g(x)的图象过点(−π3,0)，∴√3sin[2(−π3)+2m+π3]=0，则sin(2m−π3)=0，∴2m−π3=kπ(k∈Z)，m=kπ2+π6，因为m>0，所以当k=0时，m取得最小值为π6．(3)∵不等式|k−g(x)|≤2在x∈[−π6,π3]上恒成立，∴−2≤k−g(x)≤2，即−2+g(x)≤k≤2+g(x)在x∈[−π6,π3]上恒成立，∴−2+g(x)max≤k≤2+g(x)min，在(2)的条件下，当m取得最小值时，g(x)=√3sin(2x+2π3)，∵x∈[−π6,π3]，∴2x+2π3∈[π3,4π3]，则sin(2x +2π3)∈[−√32,1]， 故g(x)min =−32，g(x)max =√3， ∴实数k 的取值范围为[−2+√3,12]．解析：本题主要考查了函数的解析式、三角函数的图象与性质、函数图象的平移变换、不等式的恒成立问题以及两角和与差的三角函数公式等内容，属于中档题．(1)由两角和与差的三角函数公式可得f (x )=√3sin(2ωx +π3)，由已知得函数f(x)的周期T =π，求得ω，即得到函数f(x)的解析式；(2)根据函数图象的平移变换可得g(x)=√3sin(2x +2m +π3)，将坐标(−π3,0)代入得到m =kπ2+π6，由此即可求得m 的最小值；(3)原不等式转化为−2+g(x)≤k ≤2+g(x)在x ∈[−π6,π3]上恒成立，在(2)的条件下，当m 取得最小值时，g(x)=√3sin(2x +2π3)，根据三角函数的定义域和值域可求得g(x)min =−32，g(x)max =√3，由此即可得到实数k 的取值范围．20.答案：解：∵asinAcosC +csinAcosA =13c ，∴sinAsinAcosC +sinCsinAcosA =13sinC ， 即sinAsinB =13sinC ，(1)∵c =2b ，∴sinC =2sinB ，则sinA =23， ∴S △ABC =12bcsinA =83，∵AC =2,S △BCD =53,CD AC =S △BCD S △ABC=58，∴CD =54．(2)由cosB =2√55，得sinB =√55，∵C =π−(A +B)，∴3sinA =√5sin(A +B)，则sinA =cosA ，得tanA =1， 在△ABC 中，∴A =π4，在△ABD 中，c 2+14b 2−√22bc =26，∵sinA×√55=13sinC，且sinB×√22=13sinC，∴c=3√55a,b=√23c=√105a，∴95a2+110a2−35a2=26，解得：a=2√5，∴b=2√2,c=6，∴△ABC的最短边的边长2√2．解析：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=13sinC，结合已知可求sin A，利用三角形面积公式可求ABC的面积，进而可求CD的值．(2)由同角三角函数基本关系式可求sin B，结合已知可求A，利用正弦定理，余弦定理可求三边长，即可得解．。