中学数学教学中的向量

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中学数学教学中的向量

齐民友

(武汉大学数学与统计学院　430072)

编者按　本刊将连载齐民友先生谈中学数学课程中向量、三角函数和复数的文章。齐先生是武汉大学教授,是我国著名的数学家,曾在偏微分方程等研究领域内做出过重要贡献。齐先生为培养数学人才倾注了毕生精力,他给本科生上课,指导研究生,编写偏微分方程等方面的教材,甚至在担任武汉大学校长,行政事物繁忙的四年多时间里,他仍然坚持上课,参加讨论班。他认为培养年轻人,"共同治学,一乐事也"。近年来,齐民友先生对数学教育特别关注,经常到湖北省和武汉市的中学教研室、师院、师专、教育学院等地讲学,从“集合论的基本知识”,“向量”,“中学老师进修的几个问题”,“国内外数学教育比较”到“世纪之交话数学”,题目广泛、观点明晰、思想深刻,有独到见解。(见中国现代数学家传,第四卷)目前,世界上不少数学家参与到中小学教育中来,比如日本数学家,菲尔兹奖得主小平邦彦,日本学士院院士弥永昌吉,日本数学教育学会会长藤田宏等都编写过日本中学教科书,齐民友先生也参加了我国的中小学教材编写本刊发表的文章,就是齐先生在教材编写中的思考,相信会对老师们和数学教育工作者们有所启发。

正在推行的中学数学教学内容的改革中,增加了不少原来在高校讲授的内容,向量是一个突出的部分.这件事不少人认为是大学教学内容的‘下放’,因而有不少担忧.但是从科学发展的历史来看,‘下放’是不可避免的.例如小数,到16世纪才开始流行,现在则是小学算术的内容,谁也不说是‘博士研究课题下放’.从世界主要国家的中学数学教材来看,包含了微积分初步,概率论与统计学初步等等,已是普遍的现象.向量也是同样.考虑到教育是国力的基础,如果我国中学生的数学水平远远落在世界平均水平之下,则给我们带来的困难,将会比我们现在努力改进,充实数学内容,提高教师准备程度等等遇到的困难,大得无可比拟.

但是简单地‘下放’也会事与愿违.现在的向量是在大学课程中教.由向量而到更抽象的线性空间;或者由向量而向量场,而微分几何,这些都是通向现代科学的大道.现在大学里的教法适合于这一途径,但是不完全适合中学教学所需.所以简单地用“初步”二字,把大学教材删节简化,当然会造成中学数学课负担过重,偏深偏难,老师无法教,学生无法学.所以一方面必须对大学教的向量等等内容的处理需作很大的改变,另一方面也需要改变中学教学多年来形成的习惯.否则向量的新内容与中学教材的主体很难融合.

近年来,因为参与了中学数学教材的编写工作,与负责数学‘课标’、教材的编审的同志以及中学老师有不少接触,与近年高考命题阅卷的老师也有一些接触.各个初等数学教学刊物几乎每期都有与向量有关的文章.根据这些信息,写了下面的文章,抛砖引玉,以供切磋.

先把我处理向量这一部分教材“总结”出来的几条“原则”提出来,可能有助于读者评论作者的想法和写法.在文中来再详细解释它们.

(1)先用其“意”,慎用其“词”.把哪些是“意”,哪些是“词”各作适当处理.避免以“词”害“意”.也避免用“词”不准确引起误解.

(2)从删繁就简进到化繁为简.

(3)把“数形结合”这个笛卡儿等大师们研究数学的重大创造,转化为我们“教”数学和“学”数学的有力工具.

1　什么是向量

现在大多数教材都说:向量就是有大小有方向的量.其实不这么简单,应该说,我们在现实生活中遇到的许多量都有三个要素:

2007年　第46卷　第4期 数学通报

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11起点,或作用点,着力点等等;

21大小和方向.

我们把这三个要素分成了两组,是因为它们对所研究对象的作用不同,研究方法也不同.现代数学中是先研究后一组:大小与方向,由此得到向量的概念和理论.所以才说向量就是有大小,有方向的量.例如人教版高中数学第二册(下B)(以下简称‘二下(B)’)的表述:“这个平移就是一个向量a‘由西向东平移4个单位长度’”(二下(B)26页)就是准确的.它得到了向量之意:方向由西向东,大小4个单位,而完全不讲平移的起点.

但是有的书上说:两个大小与方向都相等而仅有起点不同的有方向的量就‘看成’或‘当作’同样的‘量’或同样的‘向量’,这种表述会引起误解.下面举三个‘怪论’.

(1)教室南墙的天花板缝与地板缝,如果由西向东量,显然大小与方向都相同,东墙的天花板缝和地板缝也是一样的.如果把天花板缝和地板缝‘看成’同样的向量,那么东墙的天花板缝和南墙的地板缝是决定了天花板还是地板?所以必须把墙缝的起点考虑进去,它们不是只有大小与方向的向量,而是同时还有起点的有向线段.两个具有公共起点的不平行的有向线段才能决定一个平面.但是即令这一点也需解释.

(2)由北京到天津可由一个平移来完成(注意,平移按定义是沿一定方向的运动,乘火车“由北京到天津”只表示旅客的位置变动最终由一向量表示,而不表示实际的运动路径———铁道———是一直线),再由济南到南京又用一个向量来表示.两个向量可以相加,那么(北京到天津)+(济南到南京)有什么意义?所以旅行一定有起点,旅行应由有向线段来表示,绝不能忽略起点而只考虑大小和方向.两个有向线段只有首尾相连时才谈得上相‘加’.所以上面提到的‘加法’没有意义.

(3)第三个怪论更类似胡搅蛮缠:北京起了北风,风速每秒3米,这是一个向量.上海起了东风,风速也是每秒3米,这又是一个向量.两个向量可以相加,成为东北风,风速每秒32米.可是,是南京起了东北风,还是济南起了东北风?这个怪论的性质与前两个还不同.

因此,我建议在一开始就对向量作如下表述:“在物理学和几何学中有许多量要采用有向线段来描述.有向线段必有三个要素:起点,大小与方向.但是起点与另两个要素性质和处理方法都不同.所以我们暂时把起点放在一边,而称有大小和方向的量为向量”.但是如果没有起点,向量就无法表示.因此为了对向量作几何描述,我们规定把向量的起点放在原点.这样就得到:起点在原点而有一定大小、方向的量.(见图1)

图1　AB,C D是

同样的向量这种表述与现行教材

有很大的区别.例如下图中

的两个向量按现有教材说

是相同的.而按我们的说

法,则只看到两个有向线

段,其大小与方向虽相同,

起点则不同.所以我们只能说,它们包含了相同的向量v(什么叫包含下面要细说),作为自己的成份.

这样做有什么好处?首先,它避免了上面的前两个怪论.其次,由此继续讲向量的运算之几何意义最为方便.可是最重要的是:它最便于建立向量的第二种表述:坐标描述(或称R n描述.以下我们只讨论R3,即讨论三维空间中的向量,但是结果对于平面向量也成立.)因为一方面,若取基底向量i,j, k(都以原点为起点),则用平行四边形法则,一定有

三个实数v

x,v y,v z

使v=v x i+v y j+v z k,从而v=(v x,v y,v z).反过来,若给定了一组实数(v x, v y,v z),也可以通过以上作法得到v,其起点仍在原点.总之有一个一一对应.由此可见,只要把基底向量的起点放在原点,则得到的一切向量起点也必在原点.所以规定向量的起点在原点其实是最自然的选择.

图2　向量的起点

都放在原点那么,为什么现行教材

都不作这样的限制呢?作者

认为可能是由于一个考虑:

例如在把向量应用于几何

问题时,向量起点总是要变

动的.但是,作者以为,如果

明确提出:在解决几何问题

时,一方面系统地跟踪起点

的变动,另一方面对只具大

小与方向的向量按照向量理论的方法来处理———这是应用向量于几何问题时关键性的思想.这时很容易看到在向量的几何描述中规定用起点在原点的有向线段来表示向量,不但不会影响向量概念的

数学通报2007年　第46卷　第4期