山东省泰安市2020届高二下学期学业水平测试数学(理)试卷(含答案)
2020年山东省泰安市岱岳实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析
2020年山东省泰安市岱岳实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)的图象如图所示， f ′ (x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A．0＜f ′ (2)＜f ′ (3)＜f(3)－f(2)B．0＜f ′(3)＜f(3)－f(2)＜f ′(2)C．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f(3)－f(2)D．0＜f(3)－f(2)＜f ′ (2)＜f ′ (3)参考答案：B2. 三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，则其底面一定是（）（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）锐角三角形（D）等边三角形参考答案：C3. 下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.参考答案：B略4. 某同学同时掷3枚外形相同，质地均匀的硬币，恰有2枚正面向上的概率（）A B CD参考答案：A5. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于( )A．－ 4 B．－ 6 C．－8 D．－10参考答案：B略6. 函数(其中＞0，＜)的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度参考答案：D略7. .的展开式中，常数项为()A. 420B. 512C. 626D. 672参考答案：D【分析】先求出的第项，然后对指数进行赋值，从而求出结果.【详解】解：的第项为，即为，因为求的常数项，所以当，即时，的第7项为常数项，常数项为，故选D.【点睛】本题考查了二项式定理，解题的关键是熟记二项式定理和准确的计算.8. 抛物线y=x2的焦点坐标是( )A．（0，） B.(,0) C.(1,0) D.(0,1)参考答案：D9. 一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数为x，那么x的值是()A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：D略10. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．2 B．5 C．14 D．41参考答案：D【考点】程序框图．【专题】综合题；转化思想；演绎法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：A B 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 2 是第二圈 3 5 是第三圈 4 14 是第四圈 5 41 否则输出的结果为41．故选D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x=﹣1相切，则抛物线的方程为．参考答案：y2=4x【考点】抛物线的简单性质．【分析】判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得准线方程为x=﹣2，即可求抛物线的标准方程．【解答】解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心M到准线的距离等于半径，∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切由已知得准线方程为x=﹣1，∴=1，∴p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．12. 椭圆为参数)的离心率是()A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解.【详解】椭圆的标准方程为，所以c=.所以e＝.故答案为：A【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，13. 在ABC中，，，若（O是ABC 的外心），则的值为。
2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷(附详解)
2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷1. 设集合A ={x ∈N|−1≤x ≤3}，B ={y|y =x 2,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [1,3]D. [0,3]2. 已知a 、b 都是实数，那么“a <b <0”是“1a >1b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设函数f(x)=tan x2，若a =f(log 32),b =f(log 1512)，c =f(20.2)，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c4. 已知P 为等边三角形所在平面内的一个动点，满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 2√3 B. 3C. 6D. 与λ有关的数值5. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC=√5−12.根据这些信息，可得sin234°=( )A. 1−2√54B. −3+√58C. −√5+14D. −4+√586. 已知(1+λx)n 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，(1+λx)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1+a 2+⋯+a n =242，则(x +λx )4展开式中常数项( )A. 32B. 24C. 4D. 87. 在棱长为1的正四面体A −BCD 中，E 是BD 上一点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，过E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( )A. π8B. 3π16C. π4D. 5π168. 若定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f’(x)>f(x)+9e x ，f(3)=27e 3，则不等式f(x)9>xe x 的解集是( )A. (3,+∞)B. (−∞,3)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)9. 已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设c n =a b n ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n <2019时，n 的取值可以是下面选项中的( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+bx +c 有两个极值点x 1，x 2，若f(x 1)=x 1，则关于x 的方程f 2(x)+af(x)+b =0的不同实根个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( )A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥P −QEF 的体积D. △QEF 的面积12. 函数f(x)图象上不同两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，|AB|为A ，B 两点间距离，定义φ(A,B)=|k A −k B ||AB|为曲线f(x)在点A 与点B 之间的“曲率”，其中正确命题为( )A. 存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数B. 函数f(x)=x 3−x 2+1图象上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率”φ(A,B)>√3C. 函数f(x)=ax2+b(a>0,b∈R)图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ(A,B)≤2aD. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线f(x)=e x上不同两点，且x1−x2=1，若t⋅φ(A,B)<1恒成立，则实数t的取值范围是(−∞,1)13.已知复数z=1+3i1−i，则复数z−的虚部为______．14.函数f(x)=alnxx 的图象在点(e2,f(e2))处的切线与直线y=−1e4x平行，则f(x)的极值点是______．15.设x>0，y>0，若xln2，ln√2，yln2成等差数列，则1x +9y的最小值为______．16.过点M(0,1)的直线l交椭圆x28+y24=1于A，B两点，F为椭圆的右焦点，△ABF的周长最大为______，此时△ABF的面积为______．17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a+b+c)(a+b−c)=3ab．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2a n−2(n∈N∗),{b n}是等差数列，且a3=b4−2b1，b6=a4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式：(2)求数列{(−1)n b n2}的前2n项和T2n⋅19. 在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD =2BC =2AD =4，∠DAB =60°，AE =BE ，△PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ． (1)求二面角P −EC −D 的余弦值；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为√68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)左顶点M(−2,0)，离心率为√22． (1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1,0)的直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，当MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，求△MAB 面积．21.设函数f(x)=x2−alnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，,e]上的最大值和最小值；①求函数f(x)在[1e,e]，使得f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n−1)≤f(x n)成立，②若存在x1，x2，…，x n∈[1e求n的最大值．22.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K20.010.050.0250.0100.0050.001≥k0)k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A={x∈N|−1≤x≤3}={0,1,2,3}，B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={0,1,2,3}，故选：A．对集合A用列举法进行表示，对集合B用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出A∩B．本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法．本题易错的地方是认为自然数集不包括零．解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题目．根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，若a<b<0，则1a >1b成立，当a>0，b<0时，满足1a >1b，但a<b<0不成立，故“a<b<0”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选A．3.【答案】D【解析】解：f(x)在(0,π)上单调递增； log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且log 25>log 23>1；∴0<1log25<1log 23<1；∴0<log 1512<log 32<1； 又1<20.2<2；∴0<log 1512<log 32<20.2<π；∴b <a <c ． 故选：D ．容易看出f(x)在(0,π)上单调递增，且可得出log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且1<20.2<2，从而得出0<log 1512<log 32<20.2<π，这样根据f(x)的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．考查正切函数的单调性，增函数的定义，对数函数的单调性，对数的换底公式．4.【答案】C【解析】解：由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)， 即点P 在直线BC 上， 取BC 的中点为D ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6， 故选：C ．由向量的投影的几何意义得：点P 在直线BC 上，取BC 的中点为D ，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6，得解： 本题考查了向量的投影的几何意义，属中档题．5.【答案】C【解析】【分析】由已知求得∠ACB=72°，可得cos72°的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题．【解答】解：由图可知，∠ACB=72°，且cos72°=12BCAC=√5−14．∴cos144°=2cos272°−1=−√5+14．则sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=−√5+14．故选：C．6.【答案】B【解析】解：(1+λx)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，则C n2=C n3，求得n=5，令x=0，则a0=1令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a n=(1+λ)5=242+1=243，解得λ=2，则(x+2x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r2r x4−2r，令4−2r=0，解得r=2，故(x+2x)4的展开式中的常数项为C4222=24故选：B．先求出n的值，再求出λ的值，写出展开式的通项公式即可求出．本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键．7.【答案】B【解析】解：将四面体ABCD 放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球， ∵正四面体ABCD 的棱长为1，∴正方体的棱长为√22，可得外接球半径R 满足2R =√12+12+12=√62，R =√64．E 是BD 上一点，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值， 此时球心O 到截面的距离等于OE ， ∵cos∠ODB =1√62=√63，OD=√64，DE =14， ∴OE 2=(√64)2+(14)2−2×√64×14×√63=316，则所得截面半径最小值为√616−316=√316．∴所得截面面积的最小值为π×(√316)2=3π16．故选：B ．根据题意，将四面体ABCD 放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵f′(x)>f(x)+9e x ， ∴f′(x)−f(x)e x −9>0，∴[f(x)e x−9x]′>0，令g(x)=f(x)e x−9x ，则g(x)在R 上单调增函数，∵f(3)=27e 3，g(3)=f(3)e 3−27=0，∴f(x)9>xe x 等价于f(x)e x−9x >0，即g(x)>g(3)，其解集为：(3,+∞)．故选：A．构造函数g(x)，通过研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．9.【答案】AB【解析】解：由题意，a n=1+2(n−1)=2n−1，b n=2n−1，c n=a bn=2⋅2n−1−1=2n−1，则数列{c n}为递增数列，其前n项和T n=(21−1)+(22−1)+(23−1)+⋯+(2n−1)=(21+22+⋯+2n)−n=2(1−2n)1−2−n=2n+1−2−n．当n=9时，T n=1013<2019；当n=10时，T n=2036>2019．∴n的取值可以是8，9．故选：AB．由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n}的通项公式，利用数列的分组求和可得数列{c n}的前n项和T n，验证得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和，考查数列的函数特性，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=13x3+12ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨假设x1<x2，∴f′(x)=x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，∴Δ=a2−4b>0．由于方程f2(x)+af(x)+b=0的判别式△′=Δ=a2−4b>0，故此方程有两解为f(x)=x1或f(x)=x2．由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数即为方程f(x)=x1的解个数；由于函数y=f(x)的图象和直线y=x2的交点个数，即为方程f(x)=x2的解个数．根据f(x1)=x1，画出图形，如图所示：由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数为2，函数y=f(x)的图象和直线y= x2的交点个数为1，可得关于x的方程f(x)=x1或f(x)=x2共有3个不同的实数根，即关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0的不同实根个数为3．故选：B．由题意可得x1、x2是f′(x)=x2+ax+b=0的两个不相等的实数根，可得Δ=a2−4b>0，从而得到关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有2个不等实数根，数形结合可得答案．本题综合考查了函数零点的概念，函数的极值及方程解得个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．11.【答案】B【解析】解：A.∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即×√2a为定值；到对角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF|为定D.∵点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=12值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．A.由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对×√2a为定值；角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF| D.由于点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=12为定值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.用排除法即可得出．本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．12.【答案】AC【解析】解：对于A，当函数f(x)=kx+b(k≠0)时，f′(x)=k，φ(A,B)=|k A−k B||AB|=|k−k||AB|=0，故A正确；对于B，由题意得A(1,1)，B(2,5)，f′(x)=3x2−2x，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=√1+16=√17<√3，故B错误；对于C，f′(x)=2ax，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=12√(x1−x2)2+(ax1−ax1)2=√1+a2(x1+x2)2≤2a，故C正确；对于D，由f(x)=e x，得f′(x)=e x，由A(x1,y1)，B(x2,y2)为曲线y=e x上两点，且x1−x2=1，可得φ(A,B)=|k A−k B||AB|=x1x2√(x1−x2)2+(e x1−e x2)2，由√1(e x1−e x2)2+1>1，可得t≤1，故D错误．故选：AC．考虑一次函数，求出导数，可得φ(A,B)=0，即可判断A；求出A，B的坐标，求得φ(A,B)，即可判断B；求出f(x)的导数，运用不等式的性质，可得φ(A,B)≤2a，即可判断C；求出函数的导数，运用新定义求得φ(A,B)，由恒成立思想，即可得t的范围，即可判断D．本题考查命题真假的判断，考查新定义的理角与运用，考查导数的运用、切线的斜率、不等式恒成立等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−2【解析】解：由z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，得z−=−1−2i，∴复数z−的虚部为−2．故答案为：−2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】x =e【解析】解：f′(x)=a(1−lnx)x 2，故f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，解得：a =1， 故f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)=0，解得：x =e ， 经检验x =e 是函数的极值点， 故答案为：x =e ．求出函数的导数，根据f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，求出a 的值，从而求出f(x)的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可． 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．15.【答案】16【解析】解：由题意可得2ln √2=(x +y)ln2， 所以x +y =1，则1x +9y =(1x +9y )(x +y)=10+yx +9x y≥10+6=16，当且仅当yx =9xy且x +y =1即x =14，y =34时取等号，此时取得最小值16． 故答案为：16结合等比数列的性质可得x +y =1，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】8√2 4√103【解析】解：设椭圆x 28+y 24=1右焦点为F(2,0)，F 1(−2,0)，则AF =4√2−AF 1，BF 1=4√2−BF 1，所以AF +BF +AB =8√2+AB −(AF 1+BF 1)， 显然AF 1+BF 1≥AB ，当且仅当A ，B ，F 1共线时等号成立， 所以当直线l 过点F 1时，△ABF 的周长取最大值8√2，此时直线方程为y −1=12x ，即x −2y −2=0．{x −2y −2=0x 2+2y 2=8，可得：3y 2+4y −2=0，设A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)，y 1+y 2=43，y 1y 2=−23，|y 1−y 2|=√(43)2+4×23=2√103．△ABF 的面积为：12×4×2√103=4√103， 故答案为：8√2；4√103．根据椭圆的定义和性质可得右焦点为F(2,0)，当且仅当A ，B ，F 1共线，周长最长，再根据两点式即可求出直线方程．Q 求和求解AB 的纵坐标，转化求解三角形的面积即可． 本题考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭圆的几何性质，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)△ABC 中，(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，∴a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=12；又∵C ∈(0,π)， ∴C =π3；(Ⅱ)由c =2，C =π3，根据正弦定理得， asinA=bsinB =csinC =2sin π3=4√33， ∴a +b =4√33(sinA +sinB) =4√33[sinA +sin(2π3−A)] =2√3sinA +2cosA=4sin(A +π6)；又∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0<A <π20<2π3−A <π2， 解得π6<A <π2； ∴π3<A +π6<2π3，∴2√3<4sin(A +π6)≤4， 综上，a +b 的取值范围是(2√3,4]．【解析】(Ⅰ)化简(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，利用余弦定理求得C 的值；(Ⅱ)由正弦定理求出a +b 的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A 的取值范围，从而求出a +b 的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.【答案】解：(1)S n =2a n −2，当n =1时，得a 1=2， 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2， 作差得a n =2a n−1，(n ≥2)所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3=b 4−2b 1，b 6=a 4， 所以8=3d −b 1，16=5d +b 1， 所以3=d ，b 1=1， 所以b n =3n −2．(2)T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )，=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n ) 又因为b n =3n −2， 所以T 2n =3×2n(b 1+b 2n )2=3n[1+3×(2n)−2]=18n 2−3n ．【解析】(1)根据由S n 求a n 的方法可求{a n }的通项公式，由题意可得{b n }为等差数列，由条件求其公差d ，可得结果；(2)由T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n )，即可求出答案．本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力和转化能力，考查了转化与化归能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又AD =AE =2，∠DAB =60°， ∴△ADE 为正三角形，OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,√3)，E(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，设平面PEC 法向量为n⃗ =(x,y,z)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,−√3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)， 则{n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +√3y −√3z =0n ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y −√3z =0，取y =1，得n⃗ =(0,1,1)， 平面EDC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)， cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n|⃗⃗⃗⃗⃗ =√22， ∴二面角P −EC −D 的余弦值为√22．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,√3λ,−√3λ)， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,√3λ,√3−√3λ)，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，所以|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗|DM|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PE|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√6√10λ2−10λ+4=√68， 所以λ=13或λ=23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点．【解析】本题考查了二面角的余弦值的求法和满足条件的点是否存在的判断与求法，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力和空间想象力，考查了数形结合思想与方程思想，属于难题．(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，PO ⊥平面ABCD ，推导出OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −EC −D 的余弦值．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√68，求出λ即可判断M 的位置．20.【答案】解：(1)由已知a =2，c a =√22可得c =√2，∴a 2−b 2=2，即4−b 2=2， ∴b 2=2， ∴椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)当直线AB 与点x 轴重合时，点M 与点A 重合，此时MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =ty +1x 24+y 22=1得(t 2+2)y 2+2ty −3=0，显然△>0，∴y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−3t 2+2， ∴MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2=(ty 1+3)(ty 2+3)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9，=(t 2+1)−3t 2+2+3t ⋅−2tt 2+2+9，=−9t 2−3t 2+2+9 =15t 2+2≤152，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152， 此时t =0，直线l 为x =1，此时A(1,√62)，B(1,−√62)，∴|AB|=√6，|MN|=3，∴S =12|MN|⋅|AB|=12×3×√6=3√62【解析】(1)由已知a =2，ca=√22可得c =√2，由a 2−b 2=2，可得b 2=2，即可求出椭圆方程，(2)当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理和向量的数量积，可求出MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152，此时t =0，直线l 为x =1，即可求出三角形的面积本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题目．21.【答案】解：(1)函数f(x)=x 2−alnx ，可得f′(x)=2x −a x =2x 2−ax， 故当a ≤0时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，令f′(x)>0，得x >√2a2，所以函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增；令f′(x)<0，得x <√2a 2，所以函数f(x)在(0,√2a 2)上单调递减． 综上，当a ≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增，在(0,√2a2)上单调递减． (2)①当a =2时，由(1)知，函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1,e]上单调递增．故f(x)min =f(1)=1，又因为f(1e )=1e 2+2<3，5.29=2.72−2<f(e)=e 2−2<2.82−2=5.84， 故f(x)max =f(e)=e 2−2，②由于，e 2−2=f(e)≥f(x n )≥f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)≥(n −1)f(1)=n −1， 故n ≤e 2−1<7．由于x ∈[1e ,e]时，f(x)∈[1,e 2−2]， 取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，则f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x 5)=5<e 2−2， 故n 的最大值为6．【解析】(1)求出f′(x)=2x −ax=2x 2−a x，通过当a ≤0时，当a >0时，判断函数的单调性即可．(2)①当a =2时，利用函数的导数，求出f(x)min =f(1)=1，f(x)max =f(e)=e 2−2， ②推出n 2≤e 2−1<7.取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，考查函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．22.【答案】解：(1)依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5=0.65>0.5， 所以中位数位于[15,20)之间， 所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．(2)依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5=0.35， 所以“网购迷”人数为100×0.35=35人，非网购迷的人数为100−35=65人． 所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ=0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ=1)=C 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16，P(ξ=2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×23×(1−23)+(12)2×(23)2=1336， P(ξ=3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，第21页，共21页 P(ξ=4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73．【解析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，独立性经验，离散型随机变量的分布列和期望．主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．(1)根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为0.5，结合频率分布直方图估计即可；(2)根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出K 2的值，查临界值表判断即可；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，求出期望即可．。
2020年山东省泰安市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=RC．B⊆AD．A⊆B3．设，，是非零向量，已知：命题p：∥，∥，则∥；命题q：若•=0，•=0则•=0，则下列命题中真命题是（）A．p∨qB．p∧qC．（￢p）∧（￢q）D．￢p∨q4．=（）A．B．﹣1C．D．15．执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．4B．5C．6D．556．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32B．0C．32D．17．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角8．已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（）A．1或﹣B．1或﹣2C．﹣1或﹣2D．﹣2或﹣9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．12．已知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab 的最大值为．13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤12时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是．15．给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，δ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②函数f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2）＞f（log2）＞f[（）2]③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3，其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且cosC+sinC=．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a+c=5，b=7，求的值．17．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．附参考公式与数据：K2=P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82818．已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2，前n项和为S n，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记P n=+++…+，Q n=+++…+，证明：P n≥Q n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，△AA1B 是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．（1）证明：MD∥平面ABC；（2）证明：BC⊥平面ABB1A1（3）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．20．已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由．21．已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．2020年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数，得出其共轭复数．【解答】解：==，∴复数的共轭复数是+．故选：A．2．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=RC．B⊆AD．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】求出集合A，B，根据集合包含关系的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|y=}=（﹣∞，2]，B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），故B⊆A，故选：C．3．设，，是非零向量，已知：命题p：∥，∥，则∥；命题q：若•=0，•=0则•=0，则下列命题中真命题是（）A．p∨qB．p∧qC．（￢p）∧（￢q）D．￢p∨q【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据向量共线的性质以及向量数量积的应用，判断pq的真假即可．【解答】解：∵，，是非零向量，∴若∥，∥，则∥；则命题p是真命题，若•=0，•=0，则•=0，不一定成立，比如设=（1，0），=（0，1），=（2，0），满足•=0，•=0，但•=2≠0，则•=0不成立，即命题q是假命题，则p∨q为真命题．，p∧q为假命题．，（￢p）∧（￢q），￢p∨q都为假命题，故选：A．4．=（）A．B．﹣1C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果．【解答】解：==2•=2sin30°=1，故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．4B．5C．6D．55【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和，当i的值为5时满足条件，退出循环，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和，容易得到S4=30，S5=55＞50，故输出i的值为5．故选：B．6．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32B．0C．32D．1【考点】二项式系数的性质．【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和．【解答】解：二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5；令x=1，可得展开式中各项系数的和为（3×12﹣）5=32．故选：C．7．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．8．已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（）A．1或﹣B．1或﹣2C．﹣1或﹣2D．﹣2或﹣【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分mBC）．由z=mx+y得y=﹣mx+z，即直线的截距最大，z也最大．若m＞0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＞0，要使z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x﹣y+1=0平行，此时m=﹣2，若m＜0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＜0，要使z=y﹣mx取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x+y﹣2=0，平行，此时m=﹣1，综上m=﹣2或m=1，故选：B．9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点到O的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：==．故答案为：12．已知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab 的最大值为．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程得到圆的半径为，再由弦长为2得到直线过圆心，即得到a与b 满足的关系式，再利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y=0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，则圆心为（1，2），半径为，又由直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）过圆心，即a+2b﹣6=0，亦即a+2b=6，a＞0，b＞0，所以6=a+2b≥2，当且仅当a=2b时取等号，所以ab≤，所以ab的最大值为，故答案为：．13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是15．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，三棱柱底面是侧视图：等腰直角三角形，两条直角边是3，三棱柱的高是3；三棱锥的底面也是侧视图，高是1，所以几何体的体积是V==15，故答案为：15．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤12时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意作函数f（x）=的图象，从而可得1≤x1≤3，x1f（x2）=﹣x13+4，记g（x1）=﹣x13+4，则g′（x1）=﹣3+8x1=﹣3x1（3x1﹣8），从而判断函数的单调性及最值，从而求得．【解答】解：由题意作函数f（x）=的图象如下，，结合图象可知，3≤﹣+4x1≤4，解得，1≤x1≤3，故x1f（x2）=x1f（x1）=x1（﹣+4x1）=﹣x13+4，记g（x1）=﹣x13+4，g′（x1）=﹣3+8x1=﹣3x1（3x1﹣8），故g（x1）在[1，]上是增函数，在（，3]上是减函数，故x1f（x2）的最大值是g（）=，故答案为：．15．给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，δ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②函数f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2）＞f（log2）＞f[（）2]③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3，其中正确命题的序号是①②（把你认为正确的序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据随机变量ξ服从标准正态分布N（0，σ2），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P（﹣2＜ξ≤2）=0.4，即可求出P（ξ＞2）．②确定函数f（x）图象关于x=﹣1对称，在（﹣1，+∞）上单调递增，即可得出结论；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是a+3b=0．【解答】解：①∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），∴正态曲线关于ξ=0对称，∵P（﹣2＜ξ≤2）=0.4，∴P（ξ＞2）=（1﹣0.4）=0.3．正确；②∵函数f（x﹣1）是偶函数，∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），∴函数f（x）图象关于x=﹣1对称，∵函数f（x﹣1）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∵f（log2）=f（﹣3）=f（1），（）2＜1＜2，∴f（2）＞f（log2）＞f[（）2]，正确；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是a+3b=0，故不正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且cosC+sinC=．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a+c=5，b=7，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可求∠B的大小；（Ⅱ）由余弦定理可求|AB||BC|=42，利用平面向量数量积的运算即可得解．【解答】解：（I）在△ABC中，∵cosC+sinC=，∴cosC+sinC=，∴sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C），∴sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，∴由于sinC≠0，可得：sinB=cosB，∴tanB=，∵B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）∵B=，a+c=5，b=7，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：49=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=175﹣3ac，解得：ac=42，即|AB||BC|=42，∴=﹣|AB||BC|cosB=﹣42×=﹣21．17．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60 3090女9020110合计15050200（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．附参考公式与数据：K2=P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出K2=，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为9人，在达标学生中抽取人数为3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数为：200×[（0.02+0.005）×10]=50，则不达标人数为150，∴列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男60 30 90女90 20 110合计150 50 200∴K2==，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为：12×=9人，在达标学生中抽取人数为：12×=3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3PE（ξ）==．18．已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2，前n项和为S n，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记P n=+++…+，Q n=+++…+，证明：P n≥Q n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）通过设正项等差数列{a n}的公差为d，并利用首项和公差d表示出a2、a6，通过a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列构造方程，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知=，利用等比数列的求和公式计算可知P n=1﹣，通过裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】（1）解：设正项等差数列{a n}的公差为d，则d≥0，依题意，a2=2+d，a6=2+5d，∵a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列，∴（6+2d）2=（2+3）（10+5d），整理得：36+24d+4d2=50+25d，即4d2﹣d﹣14=0，解得：d=2或d=﹣（舍），∴数列{a n}的通项公式a n=2n；（2）证明：由（1）可知==，由等比数列的求和公式可知P n=+++…+==1﹣，∵==﹣，∴Q n=+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，显然，当n≥1时≥，故P n≥Q n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，△AA1B 是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．（1）证明：MD∥平面ABC；（2）证明：BC⊥平面ABB1A1（3）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中点H，连接HM，CH，根据线面平行的判定定理即可证明MD∥平面ABC；（2）根据三角形的边长关系证明三角形是直角三角形，然后结合线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面ABB1A1（3）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接HM，CH，∵D、M分别为CC1和A1B的中点，∴HM∥BB1，HM=BB1=CD，∴HM∥CD，HM=CD，则四边形CDMH是平行四边形，则CH=DM．∵CH⊂平面ABC，DM⊄平面ABC，∴MD∥平面ABC；（2）证明：取BB1的中点E，∵△AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．∴C1D=1，∵A1D⊥CC1，∴A1C1==，则A1B12+A1B12=4+1=5=A1C12，则△A1B1C1是直角三角形，则B1C1⊥A1B1，∵在正三角形BA1B1中，A1E=，∴A1E2+DE2=3+1=4=A1D12，则△A1DE是直角三角形，则DE⊥A1E，即BC⊥A1E，BC⊥A1B1，∵A1E∩A1B1=A1，∴BC⊥平面ABB1A1（3）建立以E为坐标原点，EB，EA1的反向延长线，ED分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，0，1），A（2，﹣，0），A1（0，﹣，0），则设平面ABC的法向量为=（x，y，z），=（﹣1，，0），=（0，0，1），则，即，令y=1，则x=，z=0，即=（，1，0），平面ACA1的法向量为=（x，y，z），=（﹣1，，1），=（﹣2，0，0），则，得，即，令y=1，则z=﹣，x=0，即=（0，1，﹣），则cos＜，＞====，即二面角B﹣AC﹣A1的余弦值是．20．已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），求出切线斜率K，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数g（x）（x＞0），求出导函数，通过讨论①当m＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0，②当m＞0时，类比求解，推出当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线，③当m=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（1）f（x）=x2+mlnx+x，（x＞0），f′（x）=x++1==，①m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）递增，②m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），则切线斜率k=1+，切线方程为y﹣（x0+alnx0）=（1+）（x﹣x0）．因为切线过点P（1，3），则3﹣（x0+alnx0）=（1+）（1﹣x0）．即m（lnx0+﹣1）﹣2=0．…①令g（x）=m（lnx+﹣1）﹣2（x＞0），则g′（x）=m（﹣）=，①当m＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当m＜0时，切线的条数为0．②当m＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取x1=e1+＞e，则g（x1）=a（1++e﹣1﹣﹣1）﹣2=ae﹣1﹣＞0．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取x2=e﹣1﹣＜，则g（x2）=m（﹣1﹣+e1+﹣1）﹣2=me1+﹣2m﹣4=m[e1+﹣2（1+）]．设t=1+（t＞1），u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立，所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．③当m=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当m≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．21．已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：，4a=4，a2=b2+c2，解出即可得出．（2）F2（0，﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2）.=，1．﹣x1=λx2．由于四边形PAQB是平行四边形，可得==（x1+x2，y1+y2+4）．设直线AB的方程为：y=kx﹣1，与椭圆方程联立化为：（k2+2）x2﹣2kx﹣1=0，利用根与系数的关系可得：k2=，可得：k2∈．由于==，令k2=t∈，f（t）=，再利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a=，b=c=1．∴椭圆C的标准方程为：=1．（2）F2（0，﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2）.=，1．﹣x1=λx2．∵四边形PAQB是平行四边形，==（x1+x2，y1+y2+4）．设直线AB的方程为：y=kx﹣1，联立，化为：（k2+2）x2﹣2kx﹣1=0，∴x1+x2=，x1x2=，﹣x1=λx2．可得：k2==．λ=1时，k=0．时，k2∈．综上可得：k2∈．∴y1+y2=kx1﹣1+kx2﹣1=k（x1+x2）﹣2，∴=====，令k2=t∈，f（t）=，f′（t）==＜0，∴函数f（t）在t∈上单调递减，∴f（t）∈．∴∈．2020年7月21日第21页（共21页）。
2020年山东省泰安市数学高二第二学期期末调研试题含解析
目标函数经过A点时取的最小值，
联立 ，解得 时 得最小值， ．
目标函数经过B点时取的最大值，
联立 ，解得 ，此时 取得最大值， ．
所以，z＝2x＋y的取值范围是 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
15．为了了解学校(共三个年级)的数学学习情况，教导处计算高一、高二、高三三个年级的平均成绩分别为 ，并进行数据分析，其中三个年级数学平均成绩的标准差为____________.
详解：函数 在 内存在零点，则 ，所以 的解集那么 是 的子集，故充分非必要条件，选A
点睛：在判断命题的关系中，转化为判断集合的关系是容易理解的一种方法。
2．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （）
A． B．1C．-1D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵函数 的导函数为 ，且满足 ， ，∴ ，把 代入 可得 ，解得 ，故选C.
本题考查数学期望的运算性质，也可根据两个变量之间的关系写出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．
4．若复数 的实部与虚部相等，其中 是实数，则 （ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】D
【解析】
分析：根据复数乘法运算法则化简复数，结合已知条件，求出 的值，代入后求模即可得到答案.
详解： 复数 的实部与虚部相等，又有
2020年山东省泰安市数学高二第二学期期末调研试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“ ”是“函数 在 内存在零点”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
山东省泰安市2020年高二下学期期中数学试卷(理科)C卷
山东省泰安市 2020 年高二下学期期中数学试卷（理科）C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 命题，，则 为（）A.B.C.D.2. （2 分） (2020 高二上·吴起期末) 给出下列命题：⑴在中，若， 为实数，若，则确的命题个数是（ ）；⑶，关于 的方程A.B.C.D.，则；⑵设都有实数解.其中正3. （2 分） 若椭圆 分成 5:3 两段，则此椭圆的离心率为A.的左、右焦点分别为 F1、F2 ， 线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点 （）B.C.第 1 页 共 12 页D. 4. （2 分） 给出下列四个结论：①若命题，则；② “(x-3)(x-4)=0”是“x-3=0”的充分而不必要条件；③命题“若 m>0，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则 ”；④若 a>0,b>0,a+b=4，则的最小值为 1．其中正确结论的个数为 （ ）A.1B.2C.3D.45. （2 分） (2016 高二上·铜陵期中) 如图，在长方形 ABCD 中，AB= ，BC=1，E 为线段 DC 上一动点，现 将△AED 沿 AE 折起，使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上，当 E 从 D 运动到 C，则 K 所形成轨迹的长度为（ ）A. B. C. D.第 2 页 共 12 页6. （2 分） (2017 高二上·驻马店期末) 已知点 P 为椭圆的任一直径，求最大值和最小值是（ ）=1 上的动点，EF 为圆 N：x2+（y﹣1）2=1A . 16，12﹣4B . 17，13﹣4C . 19，12﹣4D . 20，13﹣47. （2 分） (2018 高二上·六安月考) 若关于 x 的不等式 范围是（ ）至少有一个负数解，则实数 a 的取值A.B. C.D.8. （2 分） (2017·大庆模拟) 已知条件 p：|x﹣4|≤6，条件 q：x≤1+m，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是（ ）A . （﹣∞，﹣1]B . （﹣∞，9]C . [1，9]D . [9，+∞）9. （2 分） 设， 则椭圆的离心率是（ ）A.第 3 页 共 12 页B.C. D . 与 的取值有关10. （2 分） (2016 高一上·黑龙江期中) 函数 f（x）=（ 值域是（ ）） x﹣（） x﹣1+2（x∈[﹣2，1]）的A . （ ，10] B . [1，10]C . [1， ]D . [ ，10]11. （2 分） (2018 高二上·浙江月考) 过双曲线双曲线 的两条渐近线分别相交于点，且的左顶点 作斜率为 2 的直线 ，若 与 ，则双曲线 的离心率是（ ）A.B.C.D.12. （2 分） (2020 高一下·济南月考) 在中，,,交 于 ，则（），过 作A.B.第 4 页 共 12 页C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高一下·大庆月考)中， 、 、 成等差数列，∠B=30°，，那么 b =________.14. （1 分） 已知椭圆与 x 轴相切，左、右两个焦点分别为 F1（1，1），F2（5，2），则原点 O 到其左准线的 距离为________15. （1 分） (2017 高二上·越秀期末) 已知 F1、F2 是椭圆 ，则△F1PF2 的面积为________．=1 的焦点，点 P 在椭圆上，若∠F1PF2=16. （1 分） 在双曲线中， =三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)，且双曲线与椭圆 4x2+9y2=36 有公共焦点，则双曲线方程是________．17. （10 分） (2016 高二上·清城期中) 设命题 p：实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2＜0，其中 a＞0，命题 q：实数 x满足．（1） 若 a=1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；（2） 若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．18. （10 分） (2019 高二上·安平月考) 已知在平面直角坐标系为，且右顶点为．设点 的坐标是.中的一个椭圆的中心在原点，左焦点（1） 求该椭圆的标准方程；（2） 若 是椭圆上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．19. （5 分） (2018·南宁模拟) 已知椭圆 ：和椭圆 ：，离心率第 5 页 共 12 页相同，且点在椭圆 上.（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）设 为椭圆 则当点 变化时，试问上一点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点，且 恰为弦 的中点， 的面积是否为常数，若是，请求出此常数，若不是，请说明理由。
山东省泰安市2020年高二第二学期数学期末综合测试试题含解析
山东省泰安市2020年高二第二学期数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部甲、乙、丙可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则干部甲住3个村的概率为 ( )A．215B．415C．25D．35【答案】A【解析】【分析】先利用排列组合思想求出甲干部住3个村的排法种数以及将三名可供选派的干部下乡到5个村蹲点的排法种数，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。
【详解】三名干部全部选派下乡到5个村蹲点，三名干部所住的村的数目可以分别是2、2、1或3、1、1，排法种数为2212312533253222150 C C CA C C AA+=，甲住3个村，则乙、丙各住一个村，排法种数为325220C A=，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为20215015=，故选：A。
【点睛】本题考查排列组合应用问题以及古典概型概率的计算，解决本题的关键在于将所有的基本事件数利用排列组合思想求出来，合理利用分类计数和分步计算原理，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题。
2．若关于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为()A．4(0,)27B．4(0,]27C．42(,)273D．42(,]273【答案】A【解析】【分析】根据方程和函数的关系转化为函数，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【详解】当x=0时，0=0，∴0为方程的一个根．当x＞0时，方程|x4﹣x3|=ax等价为a=|x3﹣x2|，令f（x）=x3﹣x2，f′（x）=3x2﹣2x，由f′（x）＜0得0＜x＜23，由f′（x）＞0得x＜0或x＞23，∴f （x ）在(0, 23)上递减，在2(,0),(,)3-∞+∞上递增，又f （1）=0， ∴当x=23时，函数f （x ）取得极小值f （23）=﹣427，则|f （x ）|取得极大值|f （23）|=427，∴设43(),0()(),0x x f x x g x f x x x-⎧⎪==⎨-<⎪⎩的图象如下图所示， 则由题可知当直线y=a 与g （x ）的图象有3个交点时0＜a ＜427， 此时方程|x 4﹣x 3|=ax 在R 上存在4个不同的实根， 故4(0,)27a ∈． 故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是分离参数得到a=|x 3﹣x 2|，其二是利用导数分析函数的单调性得到函数43(),0()(),0x x f x x g x f x x x-⎧⎪==⎨-<⎪⎩的图像. 3．若随机变量X 的分布列： X 0 1 P0.2m已知随机变量(,)Y aX b a b R =+∈且()10E Y =，()4D Y =，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b == B ．3,10a b ==C ．5,6a b ==D ．6,5a b ==【答案】C 【解析】 【分析】先根据随机变量X 的分布列可求m 的值，结合()10E Y =，()4D Y =，可求a 与b 的值. 【详解】因为0.21m +=，所以0.8m =，所以()00.210.80.8E X =⨯+⨯=,()0.20.80.16D X =⨯=；因为()10E Y =，()4D Y =，所以22()0.810,()0.164aE X b a b a D X a +=+===解得5,6a b ==，故选C. 【点睛】本题主要考查随机变量的期望和方差，注意两个变量之间的线性关系对期望方差的影响.4．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A ．34种 B ．48种 C ．96种 D ．144种【答案】C 【解析】试题分析：4242296A A =,故选C.考点：排列组合. 5．若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，导函数为奇函数的符合题意． 【详解】 A 中为奇函数，B 中非奇非偶函数，C 中为偶函数，D 中+1非奇非偶函数．故选A ． 【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质．6．已知函数()22ln f x x ax =-，若α，β均在［1，4］内，且1βα-=，()()f f αβ=，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 20,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．24ln 2ln ,734⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ln 22,ln 243⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．242ln ,ln 2733⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】先求导，利用函数的单调性，结合()()f f αβ=，确定0a >;再利用1βα-=，即()2ln 2ln 0a αβαβ-++=，可得()()2ln 2ln 1210a ααα-+++=，[]1,3α∈，设()()()2ln 2ln 121h x x x a x =-+++，[]1,3x ∈，确定()h x 在[]1,3上递增，()h x 在[]1,3有零点，即可求实数a 的取值范围． 【详解】解：()()2220ax f x x x'-=>，当0a ≤时，()0f x '> 恒成立，则f （x ）在（0，+∞）上递增，则f （x ）不可能有两个相等的函数值．故0a >；由题设()()f f αβ=， 则222ln 2ln a a ααββ-=- 22ln a αα- ＝22ln a ββ-考虑到1βα-=，即()2ln 2ln 0a αβαβ-++=()()2ln 2ln 1210a ααα∴-+++=，[]1,3α∈设()()()2ln 2ln 121h x x x a x =-+++，[]1,3x ∈， 则()22201h x a x x ++'=-> 在[]1,3上恒成立， ()h x ∴在[]1,3上递增，()h x 在[]1,3有零点，则()()1030h h ⎧≤⎪∴⎨≥⎪⎩ ，2ln 2302ln32ln 470a a -+≤⎧∴⎨-+≥⎩ ，242ln ln 2733a ∴≤≤ 故实数a 的取值范围是242ln ln 2733a ≤≤．【点睛】本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的难点是根据已知条件()()f f αβ=，以及1βα-=，变形为()()2ln 2ln 1210a ααα-+++=，[]1,3α∈，然后构造函数转化为函数零点问题.7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A b a -<B ．33a bb a -<-C ．lg lg a b b a -<-D ．lg lg a b b a ->-【答案】C 【解析】【分析】考虑到,C D 中不等号方向，先研究C ，D 中是否有一个正确。
山东省泰安市2020版数学高二下学期理数期末考试试卷C卷
山东省泰安市2020版数学高二下学期理数期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）曲线C: ( 为参数)的普通方程为（）A . (x-1)2+(y+1)2=1B . (x+1)2+(y+1)2=1C . (x+1)2+(y-1)2=1D . (x-1)2+(y-1)2=12. （2分）设曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l 的方程为x-3y+2=0 ，则曲线 C 上到直线 l 距离为的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）在极坐标系中，直线l的方程为=，则点A(2,)到直线l的距离为（）A .B .C . 2-D . 2+4. （2分）已知圆的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）A . ρ=2cosθB . ρ=2sinθC . ρ=﹣2cosθD . ρ=﹣2sinθ5. （2分）如图，在某城市中，M、N两地间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有（）A . 13种B . 15种C . 25种D . 10种6. （2分） (2016高二下·威海期末) 7个人排成一列，其中甲、乙两人相邻且与丙不相邻的方法种数是（）A . 1200B . 960C . 720D . 4807. （2分）(2017·黑龙江模拟) 六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多种排法（）A . 72B . 144C . 180D . 2888. （2分）(2018高二下·黄陵期末) 若，则=（）A . -1B . 1C . 2D . 09. （2分）已知两个相关变量x，y的回归方程是=﹣2x+10，下列说法正确的是（）A . 当x的值增加1时，y的值一定减少2B . 当x的值增加1时，y的值大约增加2C . 当x=3时，y的准确值为4D . 当x=3时，y的估计值为410. （2分） (2016高一下·唐山期末) 设（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），是变量x和y的n 个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（）A . x和y正相关B . x和y的相关系数为直线l的斜率C . x和y的相关系数在﹣1到0之间D . 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同11. （2分） (2016高二上·枣阳期中) 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为 =0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A . 83%B . 72%C . 67%D . 66%12. （2分） (2018高二下·牡丹江月考) ①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“ 与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A . ①④B . ②④C . ①③D . ②③二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）我校在高三11月月考中约有1000名理科学生参加考试，数学考试成绩ξ～N（100，a2）（a＞0，满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的60%，则此次月考中数学成绩不低于120分的学生约有________人．14. （1分） (2016高二下·珠海期中) 要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法（用数字作答）．15. （1分） (2017高二上·景德镇期末) 若X的离散型随机变量P（X=x1）= ，P（X=x2）= ，且x1＜x2 ，又若EX= ，DX= ，则x1+x2的值为________．16. （2分） (2016高三上·湖州期中) 已知一个袋中装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球．若任意取出2个球，则取出的2个球颜色相同的概率是________；若有放回地任意取10次，每次取出一个球，每取到一个红球得2分，取到其它球不得分，则得分数X的方差为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高二下·抚顺期末) 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1.（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项。
2020年山东省泰安市初级中学高二数学理模拟试题含解析
2020年山东省泰安市初级中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x轴上的渐近线方程的公式即可找到答案．【解答】解：由题得，a=4，b=3，且焦点在x轴上；所以渐近线方程为y=x=．故选 C．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程．在求双曲线的渐近线方程时，一定要先判断焦点所在位置，再代入公式，避免出错．2. 已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在参考答案：A【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．【解答】解：∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=故选A【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．3. 在等差数列{a n}中，已知前15项之和S15=90，那么a8=( )A．3 B．4 C．6 D．12参考答案：C考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得：S15==90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可得答案．解答：解：由题意可得：S15==90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，故15a8=90，解得a8=6，故选C点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．4. 设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意得出是函数的周期，可得出，可得出的表达式，即可求出的最小值.【详解】由题意可知，是函数的周期，则，即，又因为，当时，取最小值，故选：D.【点睛】本题考查函数图象变换，同时也考查了余弦型函数的周期，解题的关键就是确定出余弦型函数的周期，并利用周期公式进行计算，考查化归与转化思想，属于中等题. 5. 命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是：?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2．故选：D．6. 抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（﹣，0）B．（，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y=x2，即抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴=1∴抛物线y=x2的焦点坐标为（0，1）故选：D．【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型与定量．7. M是抛物线上一点，且在轴上方，F是抛物线的焦点，以轴的正半轴为始边，FM为终边构成的的角为=60°，则（）A．2 B．3 C．4 D．6C略8. 若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（）A、 B、 C、 D、参考答案：B略9. 在下列结论中，正确的是（）①为真是为真的充分不必要条件②为假是为真的充分不必要条件③为真是为假的必要不充分条件④为真是为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④参考答案：D10. 如图是一次考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是（）A. 6B.36C. 60D.120参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算：（sinx+2x）dx= ．参考答案：+1【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（sinx+2x）dx=（﹣cosx+x2）|=﹣cos+﹣（﹣cos0+0）=+1，故答案为： +1【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题12. 的否定是．（原创题）参考答案：13. 若命题“?x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…参考答案：[2，6]．【考点】特称命题；复合命题的真假．【分析】由于命题P：“”为假命题，可得￢P：“?x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，因此△≤0，解出即可．【解答】解：∵命题P：“”为假命题，∴￢P：“?x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．∴实数m的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系，属于基础题．14. 在ΔABC中，A、B、C是三个内角，C =30°，那么的值是_____________。
山东省泰安市2020版高二下学期期中数学试卷(理科)B卷
山东省泰安市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知是虚数单位，若，则的共轭复数为（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·齐齐哈尔模拟) 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）A . -2B . -1C . 1D . 23. （2分） (2016高二上·陕西期中) 设命题p：∃x0＞0，cosx0+sinx0＞1，则￢p为（）A . ∀x＞0，cosx+sinx＞1B . ∃x0≤0，cosx0+sinx0≤1C . ∀x＞0，cosx+sinx≤1D . ∃x0＞0，cosx0+sinx0≤14. （2分） (2016高三上·焦作期中) 若g（x）=x﹣ g（t）dt﹣，则g（x）=（）A . x+1B . x﹣1C . x﹣2D . x﹣5. （2分）数列中，已知对任意正整数n，，则等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·南城期中) 已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲线C 在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）A . 4B . 4或﹣3C . ﹣3或﹣1D . ﹣37. （2分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A . -B . -C .D .8. （2分）(2018·全国Ⅲ卷理) 的内角的对边分别为，若的面积为，则 =（）A .B .C .D .9. （2分）若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则a= （）A . 或B . -1或C . 或D . 或710. （2分）“渐升数” 是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458) ,若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列.则第30个数为（）A . 1278B . 1346C . 1359D . 157911. （2分）(2018·榆林模拟) 设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·吴忠期中) 给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题．则，使；③“ ”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题“ ，使”；命题“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）定积分________14. （1分） (2016高一上·宿迁期末) 若函数f（x）= 是R上的单调函数，则实数a的取值范围为________．15. （1分） (2015高二上·和平期末) 已知点A（4，1，3），B（6，3，2），且，则点C的坐标为________．16. （1分）若在区间[﹣1，+∞）上有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高二上·福州期中) 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ，满足a =2Sn+n+4，且a2﹣1，a3 ， a7恰为等比数列{bn}的前3项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn= ﹣，求数列{cn}的前n项和Tn．18. （5分）(2017·新课标Ⅲ卷理) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．19. （10分）(2018·全国Ⅱ卷理) 如图，在三角锥中， , ,为的中点.（1）证明：平面 ;（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.20. （10分）已知函数，其中a，b∈R．e=2.71828是自然对数的底数．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=e（x﹣1）．求实数a，b的值；（2）①若a=﹣2时，函数y=f（x）既有极大值，又有极小值，求实数b的取值范围；②若a=﹣2，b≥﹣2．若f（x）≥kx对一切正实数x恒成立，求实数k的取值范围（用b表示）．21. （10分） (2019高二上·德惠期中) 已知点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹是曲线 .（1）求曲线的方程.（2）过点且斜率为1的直线与曲线交于两点，求线段的长.22. （10分）已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a= 时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1）时f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷
2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷、本大题共 20 小题，每小题 3 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的42] ．数据的分组依据依次为 [40 ， 40， 5）， [40，5， 41） ， [41 ， 41， 5）， [41，3 分）设集合 A {1，3， 5}，B {2， 3} ，则A UB ()A ．{3}B． {1， 5}C ． （1，2， 5) {1，2， 5}D．{1，2，3， 5}3 分）函数 f ( x)1 cos( x )的 26最小正周期为 ()A ．B ．C． 2D． 423分） 函数 f ( x)x 1 ln(4x ） 的定义域是()A ．[1，4)B ．(1， 4]C． (1, )D． (4,)3 分） 下列函数中，既是偶函数又在 (0, ）上是减函数的是 ()311A ．yxB ． yC y | x|Dy2xx（ 3分）已知直线 l 过点 P(2, 1) ， 且与直线 2x y l 0 互相 垂直，则直线 l 的方程为 )A ．x 2y 0B ． x 2y 40C． 2x y 3D． 2x y502x , x, 03分）已知函数 f ( x)3，则 f （ 1) f （1） （)x 2 ,x 0A ．0B ．1C． 3D． 223分）已知 向量 a r 与 b r 的夹角为 ，且 |a r | 3 ， | b r | 4 ，则 argb r ( )3A ． 6 3B ． 6 2C． 43D． 61． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 3 分）某工厂抽取 100 件产品测其重量 （单位： kg ） ．其中每件产品的重量范围是([40，8．5，42），据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40 ，41）内的产品件数为（）A ． 30B ．40C ． 60D ． 809． （3分）sin 110 cos40 cos70 gsin 40()A ．1B ． 3C ． 1 D．32 222uuur uuur uuur10．（ 3 分） 在平行四边形 ABCD 中， AB BD AC ( )uuu r uuuruuuruuurA ． DCB ． BAC ． BCD BD 11．（3 分）某产品的销售额 y （单位：万元）与月份 x 的统计数据如表．用最小y 关于 x 的线性回归方程为 y? 7x a?，则实数 a? （ ）14．（3分）已知袋中有大小、 形状完全相同的 5张红色、2张蓝色卡片， 从中任取 则下列判断不正确的是 （ ）A ．事件“都是红色卡片”是随机事件B ．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件乘法求出12．（3 分）下列结论正确的是 （ ） A ．若 a b ，则 a 3 b 3 C ．若 a b ，则 a 2b 213．（3 分）圆心为 M （1,3），且与直线3x22A ． （x 1）2 （ y 3）2 9C ．4D ． 10.5B ．若 a b ，则 2a2bD ．若 a b ，则 lna lnb4y 6 0 相切的圆的方程是()22B ． ( x 1)2( y 3)2322C ． (x 1)2(y 3)2922D ． (x 1)2(y 3)2 33 张卡片，C ．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D ．事件“有 1 张红色卡片和 2张蓝色卡片”是随机事件15．（3 分）若直线 （a 1）x 2y 1 0 与直线 x ay 1 0垂直，则实数 a （ ）1A ． 1或 2B ． 1C ．D ． 33116．（ 3 分）将函数 y sinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 1 倍（纵坐标不变） ，3再将得到的图象向右平移 个单位，得到的图象对应的函数解析式为 （ ）121 sin( 3x 4)17．（3分）3 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 （ ）A ．A 1D C 1CB ．BD 1 ADC ． A 1D AC D ．BD 1 AC19．（3 分）已知向量 ar，br 不共线，若 u A uu B r a r 2b r ， u B u C ur 3a r 7b r ， C uu D ur 4a r 5b r ，则 （）A ．A ，B ，C 三点共线 B ． A ， B ，D 三点共线 C ．A ，C ， D 三点共线D ． B ， C ， D 三点共线20．（ 3分）在三棱锥 P ABC 中， PA ， PB ， PC 两两垂直，且 PA 1，PB PC 2，则 该三棱锥的外接球体的体积为 （ ）9 27A ．B ．C ． 9D ． 3622二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3 分，共 15分．21．（ 3 分）某校田径队共有男运动员 45 人，女运动员 36 人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取 18 人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为 ．A ． y sin(3 x )4B ． y sin(3 x ) 12D ． y 1sin(3 x 12)A ．B ．C ．D ．18．（ 3 分）如图，在正方体 A BCD A 1B 1C 1D 1 中，下列判断正确的是3 22．(3分)已知 为第二象限角，若 sin 34 5，则 tan 的值为 ．523．(3 分)已知圆锥底面半径为 1，高为 3 ，则该圆锥的侧面积为．224．(3 分)已知函数 f (x) x 2x a 在区间 (0,1)内有零点，则实数 a 的取值范围为．2 2 2 2 25．(3分)若 P 是圆 C 1:(x 4)2 (y 5)2 9上一动点，Q 是圆 C 2:(x 2)2 (y 3)24上一动点，则 | PQ|的最小值是．三、解答题：本题共 3 小题，共 25分．26．( 9分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形， E 、F 分别是 AB 、31)若 sin A 3 ，求 b 的值；52)若 c 2 ，求b 的值及 ABC 的面积 S ．x28．(8 分)已知函数 f (x) ax log 3 (9 1)(a R) 为偶函数． 1)求 a 的值；2)当 x [0， )时，不等式 f(x) b ⋯0恒成立，求实数 b 的取值范围．B ，C 的对边，且 a6 ， cosBA ，2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共 20 小题，每小题参考答案与试题解析3 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．( 3分)设集合 A {1，3，5}，B {2 ， 3} ，则 A U B ( ) A ．{3}B ．{1， 5}C ．(1，2，5) {1，2， 5}D ．{1，2，3，5}解答】 解：QA {1，3，5}， B {2，3}，A UB {1，2，3， 5}． 故选： D ．12．( 3分)函数 f (x) cos(1 x ) 的最小正周期为 ( )26 A ．B ．C ． 22【解答】 解：由三角函数的周期公式得 T 2 4 ，12 故选： D ．3．( 3分)函数 f (x) x 1 ln(4 x)的定义域是 ( ) A ．[1，4)B ．(1， 4]C ．(1, )【解答】 解：Q 函数 f (x)x 1 ln(4 x) ，x 1⋯0 4x0解得 1, x 4 ；函数 f (x)的定义域是 [1， 4)． 故选： A ．1C ． y | x|D ． y 2 x31 x 3， y 1为奇函数，不符合题意， xD ． (4, )4．(3 分)下列函数中，既是偶函数又在 (0, ) 上是减函数的是 (A ．y 解答】 解：由幂函数的性质可知， yy | x| 为偶函数且在(0, ) 上单调递增，不符号题意，1y 12 为偶函数且在(0, ) 上单调递减，符合题意．x 故选：D ．5．(3 分)已知直线l过点P(2, 1)，且与直线2x y l 0互相垂直，则直线l的方程为( ) A．x 2y 0 B．x 2y 4 0 C．2x y 3 0 D．2x y 5 0 【解答】解：根据直线l 与直线2x y l 0互相垂直，设直线l 为x 2y m 0 ，又l 过点P(2,1) ，2 2 ( 1) m 0 ，解得m 4 ，直线l 的方程为x 2 y 4 0 ．故选： B ．2x, x, 06．( 3分)已知函数f(x) 3 ，则f( 1) f (1) ( )x2 ,x 0A．0B．1C．D．222x, x, 0解答】解：Q函数 f (x) 3x2 ,x 0f ( 1)1211，2，f ( 1) 3121，f ( 1)f(11) 1 1322故选： C ．7．( 3分)已知向量a r与b r的夹角为，且|a r|3A．63B． 6 2C．43D．6解答】解：Q 向量a r与b r的夹角为，且|a r|3，|b r | 4 ，3rr rr1agb| a || b | cos33 4 6 ．2故选： D ．4，则a r gb ( )8．（3分）某工厂抽取 100件产品测其重量 （单位： kg ） ．其中每件产品的重量范围是[40 ， 42] ．数据的分组依据依次为 [40 ， 40， 5）， [40，5， 41） ， [41 ， 41， 5）， [41，5， 42）， 据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在 [40 ， 41）内的产品件数为 （ ）A ．30B ．40C ． 60D ． 80【解答】 解：由频率分布直方图得：重量在 [40 ， 41）内的频率为： （0.1 0.7） 0.5 0.4．重量在 [40 ， 41）内的产品件数为 0.4 100 40． 故选： B ．9．( 3 分) sin 110 cos40 cos70 gsin 40 ()A ．1B ． 3C ． 1222【解答】 解：sin110 cos40 cos70 gsin40sin 70 cos40 cos70 gsin40sin (70 40 )sin30 1 ．2故选： A ．uuur uuur uuur10．（3分）在平行四边形 ABCD 中，A B BD AC ( )uuur uuuruuurA ． DCB ． BAC ． BCD ．uuurD ． BDuuur uuur uuur AB BD ACuuur uuur uuur uuur uuur AB BD CA CD BA ．故选： B ．解答】 解：在平行四边形 ABCD 中，11．(3 分)某产品的销售额 y (单位：万元)与月份 x 的统计数据如表．用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y? 7x a?，则实数 a? ( ) x3 4 5 6 y25304045A ． 3B ． 3.5【解答】 解： x 4 5 6 7 8 4.5 ，y4 样本点的中心坐标为 (4.5,35) ， 代入 y? 7x a?，得 357 4.5 a?，即 a? 故选： B ． 12．(3 分)下列结论正确的是 ( )A ．若 a b ，则 a 3 b 322C ．若 a b ，则 a b 【解答】 解：A ．a b ，可得 a 3C ． 4D ． 10.5 25 30 40 45B ．a b ，可得 2a 2b ，因此 B 不正确；C ．a b ， a 2 与 b 2大小关系不确定，因此不正确；D ．由 a b ，无法得出 lna lnb ，因此不正确．故选： A ．13．(3 分) 圆心为 M (1,3)，且与直线 3x 4y 6 0 相切的圆的方程是()2 2 22A ． (x 1)2( y3)29B ． ( x 1)2(y 3)232 2 22C ． (x 1)2( y3)2 9D ． ( x 1)2(y3)23【解答】 解：由题意可知，圆的半径 r |3 12 6| 3 ，5 故所求的圆的方程为 (x 1)2 ( y 3)2 9 ．故选： A ．14．(3分)已知袋中有大小、 形状完全相同的 5张红色、2张蓝色卡片， 从中任取 3张卡片，则下列判断不正确的是 ( )35，53.5．B ．若 a b ，则 2a 2b D ．若 a b ，则 lna lnbb 3，正确；A ．事件“都是红色卡片”是随机事件B ．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C ．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D ．事件“有 1 张红色卡片和 2张蓝色卡片”是随机事件【解答】 解：袋中有大小、形状完全相同的 5 张红色、 2张蓝色卡片，从中任取 3 张卡片， 在 A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故 A 正确； 在 B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故 B 正确；3 【解答】 解：根据题意，若直线 (a1)x 2y 1 0 与直线 x ay 1 0垂直， 必有 (a 1) 2a 0，解可得 a 1 ；3 故选： C ．116．( 3 分)将函数 y sinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 1倍(纵坐标不变) ， 3再将得到的图象向右平移 个单位，得到的图象对应的函数解析式为 ( )121D ．y sin(3x 12)解答】 解：将函数 y sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的可得 y sin3 x 的图象；再 将 得 到的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 ， 得到 的 图 象对 应 的 函 数 解析 式 为12y sin3( x ) sin(3 x ) ，12 4 故选： A ．17．(3分)3 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为 ( )在 C 中，事件“至少有一 张蓝色卡片”是随机事件，故 C 错误；在 D 中，事件“有 1 张红色卡片和2 张蓝色卡片”是随机事件，故 D 正确．故选： C ．15．( 3 分)若直线 (a 1)x 2 y 10 与直线 x ay 10 垂直，则实数 a ()A ． 1 或 2B ． 1C ．1D ．3A ． y sin(3 x )4B ． y sin(3 x )121 sin( x )341倍(纵坐标不变) ， 31周六、周日都有同学参加公益活动，共有 23 2 8 2 6 种情况， 所求概率为 6 3 ．84故选： D ．18．（3 分）如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是 （ ）A ．A 1D C 1CB ．BD 1 ADC ． A 1D AC D ．BD 1解答】 解：因为 AC BD ， AC DD 1 ； BD I DD 1 D ； BD 平面 DD 1B 1 B ， DD 1 平面 DD 1B 1 B ，AC 平面 DD 1B 1B ； BD 1 平面 DD 1B 1B ； AC BD 1 ；即 D 对． 故选： D ．rruuur r r uuur rr uuurr19．（3 分）已知向量a r， b 不共线，若AB a r 2b ， BC3a r7b ， CD 4 a r）A ．A ，B ，C 三点共线 B ． A ， B ，D 三点共线 C ．A ，C ， D 三点共线D ． B ， C ， D 三点共线【解答】 解： 向量 a ，b 不共线，uuur rAB a r 2b ，uuurBC 3a rr 7b ， uuur CD4a rr 5b ，uuur uuur uuur rr rr r r uuurBD BC CD ( 3a 7b)(4a 5b) a 2b AB ，uuur uuurBD / /A ．B ．C ．解答】 解：3位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动， 共有 23 8种情况，AC5b r ，则 (A，B，D三点共线．故选： B ．20．（3分）在三棱锥P ABC中，PA ，PB ，PC两两垂直，且PA 1，该三棱锥的外接球体的体积为（）故选： A ．Q 女运动员36 人，故答案为：8．33为第二象限角，若sin 3，则tan 的值为3第11页（共14页）18 的样本，每个个体被抽到的概率是18812，9PB PC 2 ，则A．* 92 B．272C．D．36解答】解：由三棱锥中PA，PB，PC 两两垂直，PA 1，PB 2 ，PC 2 将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则2R 1222223 所以所以外接球的体积 3R3 9，2二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分．21．（ 3 分）某校田径队共有男运动员45 人，女运动员36 人．若采用分层抽样的方法在全女运动员要抽取36 8人，22．（3 分）已知54322圆C 2:(x 2)2 (y 3)2 4的圆心 C 2( 2, 3)，半径 r 2， d |C 1C 2 | (4 2)2 (5 3)2 10 2 3 r R ， 所以两圆的位置关系是外离， 又 P 在圆 C 1上， Q 在圆 C 2 上， 则 | PQ|的最小值为 d (r R) 10 (2 3) 5 ， 故答案为： 5．三、解答题：本题共 3 小题，共 25分．26．( 9分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形， E 、F 分别是 AB 、PC 中点，求证： EF / / 面 PAD ．解答】 解： Q 为第二象限角 sin3，5cos故答案为： 4，则 tan53． 4．sin cos【解答】 解：由已知可得 r 1， h 3，则圆锥的母线长 l 12 ( 3)2 2 ．圆锥的侧面积 Srl2．故答案为： 2 ．24．( 3 分)已知函数f ( x) x2x a 在区间 (0,1) 内有零点，则实数 a的取值范围为( 2,0) ．【解答】 解：函数 f ( x)2x x a 在区间 (0,1) 内有零点，f (0) a ， f (1) 2 a ，由零点存在性定理得f (0) f ( 1)a(a 2) 0，得 2 a 0 ，经验证 a 2， a0均不成立，故答案为： ( 2,0)25．(3分)若 P 是圆 C 1 :(x4)2(y 225)29上一动点， Q 是圆 C 2:(x 2)22(y 3)24 上一动点，则 | PQ|的最小值是 5．【解答】 解：圆 C 1:(x24)2(y25)29的圆心 C 1(4,5) ，半径 r 3 ，23．(3 分)已知圆锥底面半径为 1，高为 3 ，则该圆锥的侧面积为 2所以 FG //CD ，且 FG 1CD ．2又因为四边形 ABCD 是平行四边形，且 E 是 AB 的中点． 所以 AE //CD ，且 AE 1CD ．2所以 FG / /AE ，且 FG AE ， 所以四边形 EFGA 是平行四边形，所以 EF / / AG ．又因为 EF 平面 PAD ， AG 平面 PAD ，33，求 b 的值； 5连接 FG 、AG ．c 分别是角 A ， B ，C 的对边，且 a6 ， cosB2）若 求 b 的值及 ABC 的面积 S ． 解答】 解：（ 1）由 cosB 由正弦定理可得， 所以b asinB sin Aasin A 2261可得 sin B3b，sin B20 2，3，1）若 sin A3222 acb 2ac236 4 b 2 226解可得， b 4 2 ，1 12 2 S ac sin B 6 2 4 2 ． 223即 2ax log 39x 2x ，解得 a 1；2)由( 1)可得 f(x) x log 3(9x 1)，因为 f(x) b ⋯0对 x [0， )恒成立，即 x log 3(9x 1)⋯b 对 x [0， )恒成立，因为函数 g(x) x log 3(9x 1)在 [0， )上是增函数，所以g(x)min g(0) log 3 2，则 b, log 3 2 ．体运动员中抽取 18 人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为2)由余弦定理可得，cosB28．( 8 分)已知函数 f (x) ax xlog 3 (9x 1)(aR)为偶函数．1)求 a 的值； 2)当 x [0 ，)时，不等式 f(x) b ⋯0恒成立，求实数 b 的取值范围．解答】 解：(1)根据题意可知 f(x) f( x) ，即 ax log 3 (9 x 1)ax log 3(91) ，整理得 log 3 9x9x2ax ，解答】解：Q某校田径队共有男运动员45 人，女运动员36人，这支田径队共有45 36 81 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为。
2020年山东省泰安市数学高二第二学期期末调研试题含解析
2020年山东省泰安市数学高二第二学期期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，则'(2)f 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题： ①若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1(,0)k e∈-；②若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则k 0<；③若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥； ④若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数1(0,)2a ∈. 则正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．复数34i -的模是( ) A ．3B ．4C ．5D ．74．双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为60︒的直线与圆222x y b +=相交的弦长为3a ，则椭圆C 的离心率为( )A ．21 B ．7C ．7 D ．42 5．已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin >0f x x f x x +（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是 A ．()>(0)3f f π-B ．(0)>2()4f f πC ．(1)>(1)f f -D ．(1)>(0)cos1f f6．若复数z 满足12iz i =+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．(2,1)-- B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1)7．已知，则函数的单调递减区间为( )．A ．B ．C ．D ．8．函数y ＝﹣ln （﹣x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．83C ．3D ．10310．下面命题正确的有（ ）①a ，b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ②任何两个复数不能比较大小；③若12,z z ∈C ，且22120z z +=，则120z z ==. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个11．若集合{}213A x x =-<，2103x B xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B I 等于（ ）A ．()11,2,32⎛⎫--⎪⎝⎭U B ．()2,3 C ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭12．不等式213x x -+＞0的解集是 A ．（12，+∞） B ．（4，+∞）C ．（-∞，－3）∪（4，+∞）D ．（-∞，－3）∪（12，+∞） 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线2214y x -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =<的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为2，则p 的值为_______. 14．下列命题中①已知点(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =，则点P 的轨迹是一个圆； ②已知(2,0),(2,0),3M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是双曲线右边一支； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线23x y +=的距离相等的点的轨迹是抛物线； ⑤设定点12(0,2),(0,2)F F -，动点P 满足条件124|(0)PF PF a a a+=+，则点P 的轨迹是椭圆. 正确的命题是__________．15．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的总数为_______． 16．已知集合{}{}21,,A m B m ==，若B A ⊆，则实数m 的值是__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于2，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =-的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:2l y kx =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD 关于y 轴对称？若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由． 18．已知函数()1f x m x x =++-（其中m R ∈）． （1）当3m =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若不等式()8f x ≥对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．19．（6分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，已知PA⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC＝∠BAD ＝2π，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1. (1)求点D 到平面PBC 的距离；(2)设Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求二面角B-CQ-D 的余弦值．20．（6分）已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于M ，N 两点，点Q 为线段MN 的中点.（I ）当直线l 经过抛物线C 的焦点，6MN =时，求点Q 的横坐标； （Ⅱ）若5MN =，求点Q 横坐标的最小值，井求此时直线l 的方程.21．（6分）宁德市某汽车销售中心为了了解市民购买中档轿车的意向，在市内随机抽取了100名市民为样本进行调查，他们月收入(单位：千元)的频数分布及有意向购买中档轿车人数如下表： 月收入[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8)[8，9)频数6 24 30 20 15 5有意向购买中档轿车人数212 26 11 7 2将月收入不低于6千元的人群称为“中等收入族”，月收入低于6千元的人群称为“非中等收入族”． （Ⅰ）在样本中从月收入在[3，4)的市民中随机抽取3名，求至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率.（Ⅱ）根据已知条件完善下面的2×2列联表，并判断有多大的把握认为有意向购买中档轿车与收入高低有关？非中等收入族 中等收入族 总计 有意向购买中档轿车人数 40 无意向购买中档轿车人数 20 总计100()20P k k ≥0.100.050.0100.0050k2.7063.841 6.635 7.879附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++22．（8分）如图，已知圆心为()4,3C 的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若8AB =，求m 的值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C. 【点睛】本题考查对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值. 2．C 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，零点，极值以及恒成立问题. 【详解】对于①，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>有ln 1x >-即1x e >，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，min 11()()()f x f x f e e===-极小值，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故①正确对于②，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln x y x=只有一个交点，2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减， 在+e ∞（，）上单增，1x =是一条渐近线，极小值为e ． 由ln xy x=大致图像可知k 0<或=k e ，故②错 对于③ 当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1x m x+≥在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()x r x x-'=， 令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==， 于是m 1≥，故③正确.对于④ 2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由③可知，021a <<，即102a <<，则④正确.故正确命题个数为3，故选C . 【点睛】本题考查利用导数研究函数有关性质，属于基础题目．解题时注意利用数形结合，通过函数图象得到结论． 3．C 【解析】 【分析】直接利用复数的模的定义求得34i -的值． 【详解】|345i -==， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】求出直线方程,利用过过点1F 作倾斜角为60o 的直线与圆222x y b +=相交的弦长为列出方程求解即可.【详解】双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1(,0)F c -过点1F 作倾斜角为60o的直线)y x c =+与圆222x y b +=,可得：222222,2a b a b c ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 可得:227a c =则双曲线的离心率为: ce a==故选:B. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查离心率的求法,考查计算能力. 5．D 【解析】 【分析】根据题目条件，构造函数()()cos f x g x x =，求出()g x 的导数，利用“任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin >0f x x f x x +”得出()g x 的单调性，即可得出答案。
山东省泰安市2020年高二(下)数学期末综合测试试题含解析
山东省泰安市2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设，则的展开式中的常数项为A ．20B ．-20C ．120D ．-120【答案】B 【解析】 【分析】先利用微积分基本定理求出的值，然后利用二项式定理展开式通项，令的指数为零，解出相应的参数值，代入通项可得出常数项的值。
【详解】，二项式的展开式通项为，令，得，因此，二项式的展开式中的常数项为，故选：B. 【点睛】本题考查定积分的计算和二项式指定项的系数，解题的关键就是微积分定理的应用以及二项式展开式通项的应用，考查计算能力，属于中等题。
2．已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin >0f x x f x x +（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是 A ．()>(0)3f f π-B ．(0)>2()4f πC ．(1)>(1)f f -D ．(1)>(0)cos1f f【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件，构造函数()()cos f x g x x =，求出()g x 的导数，利用“任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin >0f x x f x x +”得出()g x 的单调性，即可得出答案。
由题意知，构造函数()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=。
Q 当(,)22x ππ∈-时，'()cos ()sin >0f x x f x x +∴当(,)22x ππ∈-时，2()cos ()sin ()0cos f x x f x xg x x '+'=>恒成立()g x ∴在(,)22x ππ∈-单调递增，则()(0)3(0)()cos03cos()3f f g g πππ-=>-=-，化简得(0)2()3f f π>-，无法判断A 选项是否成立； ()(0)4()(0)4cos(0)cos()4f fg g πππ=>=，化简得(0)()4f π<，故B 选项不成立； (1)(1)(1)(1)cos(1)cos(1)f f g g -=>-=-，化简得(1)(1)f f -<，故C 选项不成立；(1)(0)(1)(0)cos(1)cos(0)f fg g =>=，化简得(1)>(0)cos1f f ，故D 选项成立；综上所述，故选D 。
山东省泰安市2020年(春秋版)数学高二下学期理数期中考试试卷(I)卷
山东省泰安市2020年（春秋版）数学高二下学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·广东月考) 已知，，等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则 .其中的真命题为（）A .B .C .D .3. （2分）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（）A . 椭圆B . 圆C . 双曲线D . 直线4. （2分） (2016高二下·邯郸期中) 已知（sinx﹣acosx）dx=3，则实数a的值为（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣25. （2分） (2018高二下·晋江期末) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·海淀模拟) 设a，b∈（0，+∞），则“a＞b”是“logab＜1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高一上·丰台期中) 下列说法中，所有正确的序号有（）①在同一坐标系中，函数y=2x与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称；②函数f（x）=ax+1（a＞0，且a≠1）的图象经过定点（0，2）；③函数的最大值为1；④任取x∈R，都有3x＞2x ．A . ①②③④B . ②C . ①②D . ①②③8. （2分） O为极点，，，则（）A . 2B . 3C . 4D . 59. （2分）已知直线a，b与平面α，给出下列四个命题：①若a∥b，bα，则a∥α；②若a∥α，bα，则a∥b；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥α，b∥α，则a⊥b．其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．以上推理的方法是（）A . 归纳推理B . 类比推理C . 演绎推理D . 合情推理11. （2分） (2017高一下·穆棱期末) 若直线过点，则的斜率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知，，，则动点的轨迹是（）A . 双曲线B . 圆C . 椭圆D . 抛物线二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·苏州月考) 若椭圆的离心率为，则 =________.14. （1分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，若点F2关于一条渐近线的对称点为M，则|F1M|=________15. （1分）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则这个圆柱的全面积为________．16. （1分） (2016高二上·吉林期中) 条件p：|x|＜a（a＞0），q：x2﹣x﹣6＜0，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2015高一下·厦门期中) 已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．（1）求AB边上的高线所在的直线方程；（2）求三角形ABC的面积．18. （10分） (2017高二上·太原月考) 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的，两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．19. （10分） (2018高三上·西安模拟) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）为中点，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；（2）求二面角的余弦值.20. （10分）邮局门口前有4个邮筒，现有3封信逐一投入邮筒，共有多少种不同的投法？21. （10分） (2017高二上·越秀期末) 如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．22. （10分） (2017高二下·资阳期末) 已知函数f（x）=x+ ﹣3lnx（a∈R）．（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求a值及f（x）的单调区间；（2）当a=﹣2时，求f（x）在区间[1，e]上的最值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
2020年山东省泰安市发电厂子弟中学高二数学理测试题含解析
2020年山东省泰安市发电厂子弟中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合,,若,则的值为A.0B.1C.2D.4参考答案：D略2. 若函数y=log2|ax－1|的图象的对称轴为x=2，则非零实数a的值是…………（）A.－2 B.2 C. D. －参考答案：C3. 用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A．B．C．D．参考答案：D4. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若, ，，则下列向量中与相等的向量是A、 B、 C、 D、参考答案：A5. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值是A． B． C． D．参考答案：A6. 已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为( )A．5 B．﹣38 C．10 D．38参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（3，8），此时z=2×3+4×8=6+32=38，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．7. 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其导函数的图象如图所示，则函数f（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】关键导函数图象的位置以及形状对原函数进行分析解答．【解答】解：由题意，导函数图象为无零点的开口向上的二次函数图象，并且最低点为（1，1），所以原函数在x=1出的导数为1，由此排除选项A，B；再由导函数的定义域为R，而排除选项C；故选D．8. 已知圆O和圆M是球O的大圆和小圆，其公共弦长为球O半径的倍，且圆O和圆M所在平面所成的二面角是30°，，则圆O的半径为（）A．B．2 C．D．4参考答案：D设公共弦中点为N，则选D.9. 椭圆与双曲线有相同的焦点且离心率为，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．参考答案：A10. 用数学归纳法证明时，应先证明（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据数学归纳法，第一步应该证明n=5命题成立.【详解】利用数学归纳法证明时，第一步应该先证明n=5命题成立，即.故选：D【点睛】此题考查数学归纳法的理解辨析，关键在于熟练掌握数学归纳法证明步骤. 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域是_________________参考答案：12. 函数处的切线方程是 .参考答案：略13. 已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线上的点与曲线上的点的最远距离为________. 参考答案：14. 已知向量=（0，2，1），=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角的大小为．参考答案：【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用空间向量的数量积，即可求出两向量的夹角大小．【解答】解：∵向量=（0，2，1），=（﹣1，1，﹣2），∴?=0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）=0，∴⊥，∴与的夹角为．故答案为：．15. 已知等比数列｛a n｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛a n｝的前n项和S n=_______。
山东省泰安市2020-2021学年高二下学期期末数学试卷及答案
山东省泰安市2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A ．（-1,1]B ．（0,1]C ．[1，+∞）D ．（0，+∞）2．已知函数()()ln 34f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→-∆-=∆（ ）A ．5B ．5-C ．10-D ．103．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在一次试验中发生的概率为 A ．13B ．25C ．56D ．344．已知()f x '是函数()f x 在R 上的导函数，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．航空母舰“山东舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架飞机准备着舰，如果甲乙两机必须相邻着舰，而甲丁两机不能相邻着舰，则不同的着舰方法有（ ） A ．36B ．24C ．16D ．126．整数5555除以7的余数为（ ）7．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件:A 男生甲被选中，事件:B 有两名女生被选中，则()P B A =（ ） A ．18B ．17C ．38D ．378．某大学暑期将开展“贫困山区留守儿童支教”活动，学校打算安排3名老师和4名学生分别去甲，乙，丙三个山区，其中1名老师和2名学生去甲地支教，另外2名老师和2名学生分两组(每组老师和学生各1人)分别去乙，丙两地支教，则所有不同的安排方案有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．144种二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若321010m m C C -=，则3m =B ．若22112n n A A +-=，则6n =C ．在()()()()234111111x x x x ++++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 的项的系数是220 D ．()81x -的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大10．若随机变量X ，Y 的概率分布密度函数分别为()()212x f x e--=，()()220.620.6x g x --⨯=，()f x ，()g x 的图象如图所示，()211,X N μσ，()222,YN μσ()120,0σσ>>，则下列结论正确的是（ ）附：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-≤≤+=，()220.9545P Z μσμσ-≤≤+=，()330.9973P Z μσμσ-≤≤+=.A ．()112P X P Y ⎛⎫>=<- ⎪⎝⎭B ．12σσ<C ．()20.15865P X >=D ．()0.7 1.30.0428P Y <≤=11．设随机变量ξ的分布列为()()1,2,51aP k k k ξ===+，a R ∈，()E ξ，()D ξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是（ ） A ．()50 3.56P ξ<<=B ．()317E ξ+=C ．()2D ξ= D ．()316D ξ+=12．已知函数()()ln 1sin f x x a x =+-，a R ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在()()0,0f 处的切线方程为0y = B ．当1a =时，()f x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一极大值点0xC ．存在a ，使得()f x 有且仅有2个零点D ．存在a ，使得()f x 有且只有一个零点三、填空题13．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y =______.14．如图所示，将一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有5种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为______.15．已知函数()ln ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，，若方程()f x ax =有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为______.四、双空题16．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为______，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为______.五、解答题17．已知在二项式()22,nnn n N x ⎫≥∈⎪⎭的展开式中，前三项系数的和是97.（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项.18．下图是某市2014年至2020年生活垃圾无害化处理量(单位：万吨)的散点图. 注：年份代码1-7分别对应年份2014-2020.（1）由散点图看出，可用一元线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的经验回归方程(系数精确到0.01)，预测2022年该市生活垃圾无害化处理量.参考公式：()()niit t y y r --=∑经验回归方程y bt a =+中()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑，a y bt =-.参考数据：19.32n i i y ==∑，140.17ni i i t y ==∑0.55= 2.646≈.19．已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，其中1a >. （1）若2a=，求函数()f x 的图象在点()()22f ,处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性.20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下表格：（1）将完成生产任务所需时间超过80min和不超过80min的工人数填入下面列联表：（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？（3）若从完成生产任务所需的工作时间在(]60,70的工人中选取3人去参加培训，设X为选出的3人中采用甲种生产方式的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++21．某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为500kg的概率为0.4.亩产量为800kg的概率为0.6，市场销售价格c(单位：元/kg)与其概率p的关系满足20,0.330,0.7pcp=⎧=⎨=⎩.（1）设X表示此果农某季所获得的利润，求X的分布列和数学期望；（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率. 22．已知函数()21ln 22f x x mx x =+-+，其中2m ≤.（1）若2m =-，求()f x 的极值； （2）证明：()xe f x x'<.参考答案1．B 【详解】对函数21ln 2y x x =-求导，得211x y x x x='-=-（x>0）,令210{0x x x -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1]，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 2．C 【分析】求出函数的导函数，再根据极限的运算性质及导数的定义即可得解. 【详解】 解：()343f x x'=+， ()()()()()00121121lim2lim 21102x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆.故选：C. 3．A 【详解】分析：可从事件的反面考虑，即事件A 不发生的概率为65181-，由此可易得结论． 详解：设事件A 在一次试验中发生的概率为p ，则465(1)181p -=-1681=，解得13p =．故选A ．点睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率时，通常从事件的反而入手可能较简单，如本题中“至少发生1次”的反面为“一次都不发生”，若本题求“至多发生3次”的概率，其反面是“至少发生4次”即“全发生”． 4．A 【分析】根据题意，确定以2x =-或0x =为分界点各区间上()y xf x '=的函数值的符号，进而可得大致图像.函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值， 当2x <-时，()0f x '<；当2x =-时，()0f x '=；当2x >-时，()0f x '>. 所以，当2x <-时，()0xf x '>；当2x =-时，()0xf x '=； 当20x -<<时，()0xf x '<；当0x =时，()0xf x '=； 当0x >时，()0xf x '<. 故选：A . 5．A 【分析】先计算将甲、乙两机看成一个整体，与丁不相邻的排法，再计算甲乙丁相邻且乙在中间的排法可得答案. 【详解】先将甲、乙两机看成一个整体，与丁不相邻的排法有22223224A A A =，甲乙丁相邻且乙在中间的排法有232312A A =，所以共有36种方法.故选：A. 6．A 【分析】变形55＝56﹣1，利用二项式定理展开即可得出答案． 【详解】解：()555555561=-()()()5455055154545455555555565615611C C C C =⋅+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-()()5405515454555555565615611C C C =⋅+⋅⋅-++⋅⋅--()()54055154545555555656156176C C C =⋅+⋅⋅-++⋅⋅--+因为()()5405515454555555565615617C C C ⎡⎤⋅+⋅⋅-++⋅⋅--⎣⎦能被7整除，所以()()54055154545555555656156176C C C ⎡⎤⋅+⋅⋅-++⋅⋅--+⎣⎦除以7的余数为6.7．B 【分析】计算出事件A 、AB 的概率，利用条件概率公式可求得()P B A 的值. 【详解】由题意可得()273838C P A C ==，事件:AB 男生甲与两名女生被选中，则()2338356C P AB C ==，因此，()()()3815637P AB P B A P A ==⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属于中等题. 8．C 【分析】分三步，先从3名老师中先1人，4名学生中选2人组成一组去甲地，然后把剩下的2名老师分到乙，丙两地各1人，再把剩下的2名学生分到乙，丙两地各1人即可 【详解】解：分三步，先从3名老师中先1人，4名学生中选2人组成一组去甲地，有123418C C =种方法，再把剩下的2名老师分到乙，丙两地各1人，有222A =种方法，最后把剩下的2名学生分到乙，丙两地各1人，有222A =种方法，由分步乘法原理可得共有182272⨯⨯=种不同的安排方案， 故选：C 9．BC 【分析】根据组合数的性质判断A ，根据排列数公式，即可计算B ，根据二项式系数和系数的公式，即可判断CD. 【详解】若321010m m C C -=，则32m m =-或3210m m +-=，解得：1m =或3m =，故A 错误；若22112n n A A +-=，解得：6n =，故B 正确；在()()()()234111111x x x x ++++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 的项的系数是222232223234113341112......220C C C C C C C C C ++++=++++==，故C 正确；()81x -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，故D 不正确.故选：BC 10．AC 【分析】根据正态密度曲线的对称性，以及3σ原则，分别判断选项. 【详解】A.函数()f x 关于1x =对称，函数()g x 关于12x =-对称，所以()112P X P Y ⎛⎫>=<- ⎪⎝⎭，故A正确；B.由函数解析式可知，11σ=，20.6σ=，12σσ>，故B 错误；C.()()10.682720.158652P X P X μσ->=>+==，故C 正确； D.()()0.99730.95450.7 1.3230.02142P Y P Y μσμσ-<≤=+<≤+==，故D 错误.故选：AC 11．ABC 【分析】利用分布列的性质求a ，而()()()0 3.512P P P ξξξ<<==+=，根据期望、方差公式即可求()31E ξ+、()D ξ、()31D ξ+，进而可确定选项的正误. 【详解】因为随机变量ξ的分布列为()()1,2,51aP k k k ξ===+，由分布列的性质可知，()()()1251236a a aP P P ξξξ=+=+==++=，解得1a =， ∴()()()50 3.5126P P P ξξξ<<==+==，A 选项正确； ()1111252236E ξ=⨯+⨯+⨯=，即有()()31313217E E ξξ+=+=⨯+=，B 选项正确；()()()()2221111222522236D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，C 选项正确 ()()31918D D ξξ+=⨯=，D 选项不正确.故选：ABC. 12．ACD 【分析】当1a =时，利用导数的几何意义，即可判定A 正确；当1a =时，求得()1cos 1f x x x '=-+， 令()1cos 1g x x x =-+，结合导数的符号和极值点的概念，可 判定B 错误；当1a =时，先判定函数()f x 在(1,0)-没有零点，再由零点的定义和函数()()ln 1h x x =+与sin y x =的图象的交点个数，可判定C 正确；当0a =时，根据对数函数的性质，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，当1a =时，可得()()ln 1sin f x x x =+-，所以()00f =，即切点为(0,0)， 由()1cos 1f x x x '=-+，可得切线的斜率为()00k f '==， 所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为0y =，所以A 正确； 对于B 中，当1a =时，可得()1cos 1f x x x '=-+， 令()1cos 1g x x x =-+，可得()()21sin 1g x x x '=-++在(1,)2π-为单调递增函数， 由21()10,(0)10212g g ππ''=-+>=-<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以存在0(0,)2x π∈，使得00()g x '=， 当0(1,)x 时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当0(,)2x π时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以()f x '在区间(1,)2π-上有唯一的极小值点0x ，所以B 错误；对于C 中，当1a =时，函数()()ln 1sin f x x x =+-，且()1cos 1f x x x '=-+， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以()()00f x f <=，即函数()f x 在(1,0)-没有零点； 在[0,)x ∈+∞，令()0f x =，即()ln 1sin x x +=， 由函数()()ln 1h x x =+和sin y x =的图象，如图所示， 可得当0x =时，(0)sin 00h ==；当2x π=时，()sin 122h ππ<=； 当3x π=时，55()sin 122h ππ>=，所以在[0,)x ∈+∞上仅有两个零点， 综上可得，当1a =时，函数()f x 有且仅有2个零点，所以C 正确；对于D 中，当0a =时，函数()()ln 1f x x =+，根据对数函数的性质，可得函数()()ln 1f x x =+的图象与x 轴仅有一个交点， 即当0a =时，函数()f x 有且只有一个零点，所以D 正确. 故选：ACD. 13．0.3 【分析】根据分布列的概率之和等于1以及由分布列求期望的公式列方程即可求解. 【详解】由题意可得：0.10.41780.19100.48.9x y x y +++=⎧⎨+⨯++⨯=⎩即0.579 4.1x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：0.20.3x y =⎧⎨=⎩所以0.3y =， 故答案为：0.3. 14．260 【分析】首先分类，分AC 相同和不同两类，再按照分计数原理，计算结果. 【详解】第一种情况，当AC 相同时，有541480⨯⨯⨯=种方法， 第二种情况，当AC 不同时，有5433180⨯⨯⨯=种方法， 综上可知，共有80180260+=种方法. 故答案为：260 15．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先验证0x =不是方程()f x ax =的根，则当0x ≠时，方程()f x ax =可化为：()f x a x=，()()f x h x x=，分析出其单调区间，作出其函数图像，方程()f x ax =有三个不同的实数根，即y a =与函数()h x 的图像有3个交点.从而数学结合得出答案. 【详解】当0x =时，()01f =，此时()010f a =≠⨯，所以0x =不是方程()f x ax =的根 当0x ≠时，方程()f x ax =可化为：()f x a x=设()()ln ,012,0xx f x xh x x x x⎧>⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩， 方程()f x ax =有三个不同的实数根，即y a =与函数()h x 的图像有3个交点. 当0x <时，()12h x x =+，此时()h x 单调递减，且102h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()2h x < 当0x >时，()ln xh x x=，则()21ln x h x x -'=当x e >时，()0h x '<，当0x e <<时，()0h x '>所以函数()h x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减.且0x →时，()h x →-∞，()10h =，当1x >时，()0h x >，x →+∞时,()0h x →.()1h e e=作出()h x 的图象如图.由图可得:当2a ≥时，y a =与函数()h x 的图像没有交点 当12a e<<时，y a =与函数()h x 的图像有1个交点 当1a e=时，y a =与函数()h x 的图像有2个交点 当10a e<<时，y a =与函数()h x 的图像有3个交点 当0a ≤时，y a =与函数()h x 的图像有2个交点所以方程()f x ax =有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为10a e<< 故答案为：10,e ⎛⎫⎪⎝⎭16．0.0525 37【分析】首先用数学语言表示已知条件，设B ＝“任取一个零件为次品”，A i ＝“零件为第i 台车床加工”(i ＝1，2，3)，则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，A 1，A 2，A 3两两互斥．P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.45，P (B |A 1)＝0.06，P (B |A 2)＝P (B |A 3)＝0.05.由条件概率公式计算()P B ；由条件概率公式33()(|)()P A B P A B P B =计算． 【详解】设B ＝“任取一个零件为次品”，A i ＝“零件为第i 台车床加工”(i ＝1，2，3)，则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，A 1，A 2，A 3两两互斥．根据题意得P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.45，P (B |A 1)＝0.06，P (B |A 2)＝P (B |A 3)＝0.05. 由全概率公式，得P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05 ＝0.0525.“如果取到的零件是次品，计算它是第i (i ＝1，2，3)台车床加工的概率”， 就是计算在B 发生的条件下，事件A i 发生的概率． 33()(|)()P A B P A B P B =＝33()(|)()P A P B A P B ＝0.450.050.0525⨯＝37. 故答案为：0.0525；3717．（1）8；（2）共有5项，分别为41T x =，3112T x =，251120T x -=，571792T x -=，89256T x -=. 【分析】（1）求出通项公式，可以得到前3项系数和可得答案； （2）求出1k T +若为有理数，当且仅当832k-为整数即0,2,4,6,8k =时可得答案. 【详解】依题意：()2122kn kn kk kk k k nn T CC x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()()3220,1,n k kk nC xk n -=-=⋅⋅⋅，（1）∵前3项系数和是97，∴1212497n n C C -+=，解得8n =或6n =-（舍），∴8n =.（2）若1k T +为有理数，当且仅当832k-为整数时， ∵08k ≤≤，k Z ∈， ∴0,2,4,6,8k =，∴展开式中的有理项共有5项，分别为41T x =，3112T x =，251120T x -=，571792T x -=，89256T x -=.18．（1）答案见解析；（2）1.83万吨. 【分析】（1）由散点图中的数据和已知的数据，利用公式求解相关系数并判断；（2）由散点图中的数据和已知的数据，利用公式求出线性回归方程，然后令9t =代入回归方程中计算可预测2022年该市生活垃圾无害化处理量. 【详解】解：(1)由散点图中数据和参考数据得， 4t =，()72128i i t t=-=∑0.55=，()()77711140.1749.32 2.89iii iii i i t t y y t y t y===--=-=-⨯=∑∑∑，∴ 2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯.因为y 与t 的相关系数近似为0.99.说明y 与t 的线性相关程度相当高.从而可以用一元线性回归模型拟合y 与t 关系. (2)由9.321.3317y =≈及(1)得 ()()()717212.890.1028ii i ii tty y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.1040.93a y bt =-≈-⨯≈.所以y 关于t 的经验回归方程为：0.930.10y t =+将2022年对应的9t =代入经验回归方程得，0.930.109 1.83y =+⨯=. 所以预测2022年该市生活垃圾无害化处理量将约1.83万吨. 19．（1）22ln 260x y -+-=；（2）答案见解析. 【分析】（1）先把2a =代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，对a 进行分类讨论，即2a =，12a <<，2a >三种情况进行讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．【详解】解：(1)当2a =时，()212ln 2f x x x x =-+，则()12f x x x=-+'， ∴()122f '=， ∴函数()y f x =的图象在点()()22f ,处的切线的斜率为12k =， 又点()()22f ,在切线上.且()2ln 22f =-，∴函数()y f x =的图象在点()()22f ,处的切线方程为22ln 260x y -+-=. （2）()f x 的定义域为()0,∞+.()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+=='. ①若11a -=.即2a =时，则()()210x f x x-'=>，∴()f x 在()0,∞+上单调递增， ②若11a -<，即12a <<时，当()1,1x a ∈-时.()0f x '<；当()0,1x a ∈-，()1,x ∈+∞时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,1a -上单调递减，在()0,1a -，()1,+∞上单调递增. ③若11a ->.即2a >时，当()1,1x a ∈-时，()0f x '<；当()0,1x ∈，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,1-a 上单调递减，在()0,1，()1,a -+∞上单调递增.20．（1）答案见解析；（2）认为甲，乙两种生产方式的效率有差异；（3）分布列见解析，()67E X =. 【分析】（1）根据已知数据即可补全22⨯列联表；（2）由公式计算2χ的值与临界值6.635比较即可判断；（3）X 的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率即可得分布列与数学期望. 【详解】（1）根据已知数据可得列联表如下：（2）设0H ：甲，乙两种生产方式的效率无差异根据（1）中列联表中的数据，经计算得()220.014015155510 6.63520202020x χ⨯-⨯==>=⨯⨯⨯ 依据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为甲，乙两种生产方式的效率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01. （3）由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2()3537207C P X C ===，()122537417C C P X C ===，()212537127C C P X C ===，所以X 的分布列为所以()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=.21．（1）答案见解析；（2）0.2592. 【分析】（1）根据题意先求出利润X 的所有可能取值，再求出对应的概率，列出分布列，得出期望. (2)由（1）得出第i 年利润高于100万元的概率，从而可得出5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率. 【详解】解：(1)设事件A =“此水果的亩产量为500kg ”，事件B =“此水果的市场销售价格为20元/kg ”. 由题知，()0.4P A =，()0.3P B =因为利润=产量×市场销售价格-成本.所以X 的所有可能取值为()100500205000500000⨯=-.()100503050001000000⨯-=. ()1008002050001100000⨯-=. ()1008003050001900000⨯-=.∴()()()=5000000.40.30.12P X P A P B ==⨯=， ()()()()10000000.410.30.28P X P A P B ===⨯-=， ()()()()110000010.40.30.18P X P A P B ===-⨯=， ()()()()()190000010.410.30.42P X P A P B ===-⨯-=.所以X 的分布列为∴()5000000.1210000000.2811000000.1819000000.421336000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)设事件i C “第i 年利润高于100万元”(1,2,3,4,5i =) 由题知，1C ，2C ，3C ，4C ，5C ，相互独立，由(1)知，()()()()110000019000000.180.420.61,2,3,4,5i P C P X P X i ==+==+==5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率为()4450.610.60.2592P C =⨯⨯-=所以5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概宰为0.2592. 22．（1）极大值5ln 24-，无极小值；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求函数的导数，利用极值的定义求函数的极值；（2）首先根据2m ≤，不等式放缩为证明()22110x x x x e -+<>，构造函数()()2210xx x g x x e-+=≥，证明()1g x <. 【详解】解：由题知，()f x 的定义域为()0,∞+，()2111mx x f x mx x x-+'=+-=. (1)若2m =-，则()2ln 2f x x x x =--+，()()211212x x x x f x xx⎛⎫+-⎪--+⎝⎭'==-，当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<，∴函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.∴当12x =时，()f x 取得极大值，极大值为11115ln 2ln 222424f ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，无极小值.(2)由(1)知，原不等式等价于()2110x mx x x e -+<>恒成立.∵2m ≤，∴22121x xmx x x x e e-+-+≤. 要证()2110x mx x x e -+<>恒成立，只需证()22110x x x x e -+<>恒成立即可. 令()()2210x x x g x x e -+=≥，则()2252xx x g x e -+-'=. 令()0g x '>，解得122x <<，令()0g x '<，解得102x ≤<或2x >，∴()g x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，()2,+∞上单调递减.∴()g x 的最大值在0x =或2x =处取得，又()01g =，()272g e =， ∴()()max 01g x g ==∴()22110xx x x e-+<>恒成立， ∴221211x x mx x x x e e -+-+≤<在()0,x ∈+∞上恒成立，∴()xe f x x'<.。
2020年山东省泰安市宁阳县第二十四中学高二数学理联考试题含解析
2020年山东省泰安市宁阳县第二十四中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数满足，则的最小值为（）A．1 B．C．2D．4参考答案：C2. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是() A．B．C．D．参考答案：D3. 若复数为纯虚数，则实数x的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．－1或1参考答案：A4. 要使直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，实数的取值范围是（）A、Ｂ、 C、Ｄ、参考答案：A 略5. 若，则等于A. 2B.0C.-4D.-2参考答案：C6. 若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.参考答案：A【分析】求得f（x）的导数，可得切线l1的斜率k1，求得g（x）的导数，可得切线l2的斜率k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合正弦函数的值域和条件可得，?x1，?x2使得等式成立，即（，0）?[﹣1|a|，﹣1|a|]，解得a的范围即可．【详解】解：函数f（x）＝1n（x+1）+x2，∴f′（x）2x，（其中x＞﹣1），函数g（x）a sin cos x a sin x﹣x，∴g′（x）a cos x﹣1；要使过曲线f（x）上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则[2x1）（a cos x2﹣1）＝﹣1，a cos x2﹣1，∵2x12（x1+1）﹣2≥2 2∵?x1，?x2使得等式成立，∴（，0）?[﹣1|a|，﹣1|a|]，解得|a|，即a的取值范围为a或a．故选：A．【点睛】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及转化思想的运用，区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题．7. 在等差数列{}中，已知则等于（）A.40B.42C.43D.45参考答案：B8. 已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程为必过点（）A .(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0) D．(1.5,4)参考答案：D9. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是（）A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱参考答案：D分别比较A、B、C的三视图不符合条件,D 的正视图、侧视图是矩形，而府视图是圆，符合10. 黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成若干个图案，则第2011个图案中，白色地面砖的块数是( )A．8046 B．8042 C．4024 D．6033参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 由曲线与直线及轴所围成的图形的面积______.参考答案：略12. 已知，，则.参考答案：13. 已知数列{a n}的前n项和S n=n3﹣n2，则a10= ．参考答案：252考点：数列的函数特性专题： 函数的性质及应用．分析： 直接利用已知条件求出a 10=S 10﹣S 9的结果即可．解答： 解：数列{a n }的前n 项和S n =n 3﹣n 2，则a 10=S 10﹣S 9=103﹣102﹣（93﹣92）=252． 故答案为：252．点评： 本题考查数列的函数的特征，基本知识的考查 14. 将点的直角坐标化成极坐标得___________________．参考答案：【分析】根据极坐标与直角坐标的互化公式，求得的值，即可得到点的直角坐标，得到答案． 【详解】由题意，点的直角坐标，则，且，可取，所以点的直角坐标化成极坐标为．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15. 设函数定义在上，，导函数，．则的最小值是 .参考答案： 1略16. 已知函数若函数有三个零点，则实数的值是 。
山东省泰安市城西中学2020年高二数学理测试题含解析
山东省泰安市城西中学2020年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{a n}的首项为a，公差为1，数列{b n}满足b n=．若对任意n∈N*，b n≤b6，则实数a的取值范围是（）A．（﹣8，﹣6）B．（﹣7，﹣6）C．（﹣6，﹣5）D．（6，7）参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的通项公式，求得数列{a n}的通项，进而求得b n，再由函数的性质求得．【解答】解：∵{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，∴a n=n+a﹣1．∴b n==．又∵对任意的n∈N*，都有b n≤b6成立，可知，则必有7+a﹣1＜0且8+a﹣1＞0，∴﹣7＜a＜﹣6；故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，用函数处理数列思想的方法求解，是基础题．2. “”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B3. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A． B． C． D．参考答案：D 解析：点到椭圆的两个焦点的距离之和为4. 设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是A．a≥3 B．a＞－1 C．－1＜a≤3 D．a＞0参考答案：A略5. 焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D6. 在对两个变量x、y进行线性回归分析时一般有下列步骤：（）①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．若根据实际情况能够判定变量x、y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①参考答案：D7. 若对于任意的x∈[﹣1，0]，关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立，则a2+b2﹣1的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意，结合二次函数f（x）=3x2+2ax+b的图象得出不等式组，画出该不等式所表示的平面区域，设z=a2+b2﹣1，结合图形求圆a2+b2=1+z的半径的范围即可．【解答】解：设f（a）=3x2+2ax+b，根据已知条件知：；该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z=a2+b2﹣1，a2+b2=1+z；∴该方程表示以原点为圆心，半径为r=的圆；原点到直线﹣2a+b+3=0的距离为d=；∴该圆的半径r=；解得z≥；∴a2+b2﹣1的最小值是．故选：A．8. .下列命题中正确的是（）(1)的最小值是（2）当时，的最小值为5（3）当时，的最大值为（4）当时，的最大值为4（5）当时，的最小值为8A.（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（2）（4）（5）参考答案：B9. 复数与复数相等，则实数的值为（）Ａ．1 Ｂ．1或Ｃ．Ｄ．0或参考答案：C略10. 若，则cos2θ+sin2θ=（）A．B．C．D．2参考答案：C【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则，故选：C．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知高为H 的正三棱锥P -ABC 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P -AB -C 的正切值为4，则______.参考答案：【分析】取线段AB 的中点D ，点P 在平面ABC 的射影点M ，利用二面角的定义得出为二面角的平面角，于此得出，并在中，由勾股定理，经过计算可得出与的比值。
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山东省泰安市2020-2021学年下学期学业水平测试高二数学（理）(全卷满分：120分考试时间：90分钟)班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，A=60°，a =，b =，则（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45° D．以上答案都不对2．数列{a n}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n +1（n∈N+）B．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）C．a n=（﹣1）n +1（n∈N+）D．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）3．若b＜0＜a，d＜c＜0，则下列不等式中必成立的是（）A．ac＞bd B ．C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cos B=（）A ．B ．C ．D ．5．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5=5a3，则=（）A ．B．5 C．9 D ．6．已知△ABC的面积S=a2﹣（b2+c2），则cos A等于（）A．﹣4 B ．C ．±D ．﹣7．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）1/ 11A．10 B．12 C．14 D．168．在△ABC中，已知a=x，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A ．B ．C ．D．0＜x＜29．若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（）A．（1，9）B．（﹣∞，1]∪（9，+∞）C．[1，9）D．（﹣∞，1）∪（9，+∞）10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．11．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为．12．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+3n+1，求数列{a n}的通项公式．13．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为．14．在数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，则a n= ．15．已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2b sin A（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．17．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；2/ 11（2）解关于x 的不等式：＞0（c为常数）．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=7，a5+a7=26（1）求a n及S n；（2）令b n =（n∈N*）求数列{b n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（2a﹣b）cos C．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．3/ 1120．某房产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加装修费2万元，现把写字楼出租，每年收入租金30万元．（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以50万元出售该楼；②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；问选择哪种方案盈利更多？21．已知数列{a n}满足a1=且a n+1=．设b n +2=3，数列{c n}满足c n=a n •b n．（1）求数列{b n}通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n ≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．4/ 11参考答案一.选择题1．C【解析】根据正弦定理=得：sin B===，∵b＜a，∴B＜A=60°，∴B=45°．故选C2．D【解析】观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，故选：D．3．C【解析】∵b＜0＜a，d＜c＜0，∴ac＜0，bd＞0，则ac＞bd恒不成立，故A不满足要求；同理，则恒不成立，故B不满足要求；由不等式的同号可加性可得a+c＞b+d一定成立，故C满足要求；但a﹣c＞b﹣d不一定成立，故D不满足要求；故选C4．B【解析】△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c =2a，则b=a，=，故选B．5．C【解析】∵a5=5a3，5/ 11则====9．故选：C．6．D【解析】∵cos A =，面积S =bc sin A=a2﹣（b2+c2），∴bc sin A=﹣2bc cos A，∴sin A=﹣4cos A，又sin2A+cos2A=1，联立解得cos A =．故选：D．7．D【解析】∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y ）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．8．A【解析】由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜135°，且A ≠90°，即＜sin A＜1，由正弦定理以及a sin B=b sin A．可得：a=x ==2sin A，∵2sin A∈（2， 2）．∴x的取值范围是（2，2）．6/ 11故选：A．9．C【解析】当m﹣1=0，即m=1时，原不等式可化为2＞0恒成立，满足不等式解集为R，当m﹣1≠0，即m≠1时，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则，解得：1＜m＜9．综上所述，m的取值范围为[1，9）．故选：C．10．B【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．二、填空题11．（﹣1，6）【解析】不等式变形得：（x﹣6）（x+1）＜0，可化为或，解得：﹣1＜x＜6，则不等式的解集为（﹣1，6）．故答案为：（﹣1，6）12．【解析】当n=1时，a1=S1=1+3+1=5；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+3n+1﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=2n+2．7/ 11∴数列{a n}的通项公式为．故答案为．13．【解析】∵在锐角△ABC中，AC=b=4，BC=a=3，三角形的面积等于3，∴ab sin C =3，即sin C =，∵C为锐角，∴cos C ==，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab cos C=16+9﹣12=13，解得：AB=c =．故答案为：14．【解析】∵数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，∴数列{na n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，解得a n =．故答案为：．15． 6+4【解析】a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b）≥4∴ab﹣4+2≥0，当且仅当a=b =2+时取等号设=t＞1，∴t2﹣4t+2≥0，解得t≥2+，8/ 11∴ab≥（2+）2=6+4，∴ab的最小值为6+4，故答案为：6+4．三.解答题16．解：（Ⅰ）由a=2b sin A，根据正弦定理得sin A=2sin B sin A ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2ac cos B=27+25﹣45=7．所以，．17．解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．18．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则a3=a1+2d=7，a5+a7=2a1+10d=26联立解之可得a1=3，d=2，故a n=3+2（n﹣1）=2n+1S n=3n +=n2+2n；（2）由（1）可知b n ====（），故数列{b n}的前n项和T n =（1﹣++…+）=（1﹣）=19．解：（1）∵在△ABC中，c cos B=（2a﹣b）cos C，9/ 11∴由正弦定理，可得sin C cos B=（2sin A﹣sin B）cos C，即sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C，∴sin（B+C）=2sin A cos C，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sin A＞0，∴sin A=2sin A cos C，即sin A（1﹣2cos C）=0，可得cos C =．又∵C是三角形的内角，∴C =．（2）∵C =，a+b+c =2+2，c=2，可得：a+b =2，∴由余弦定理可得：22=a2+b2﹣2ab cos C=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=12﹣3ab，解得：ab =，∴S△ABC =ab sin C =××=．20．解：（1）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n +=n2，因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0，解得：3＜n＜27，所以从第4年开始获取纯利润．（2）纯利润y=30n﹣（81+n2）=﹣（n﹣15）2+144，所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．年平均利润W ==30﹣﹣n≤30﹣2=12（当且仅当=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+50=158（万元）．∵154＜158，方案②时间比较短，所以选择方案②．21．解：（1）由得，数列{a n}是公比为的等比数列，则，所以，即b n=3n+1．10/ 11（2）由（1）知，，b n=3n+1，则．，①则，②①﹣②两式相减得===．所以．（3）因为，所以=，则数列{c n}单调递减，∴当n=1时，c n 取最大值是，又∵c n ≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，∴+m﹣1≥，即m2+4m﹣5≥0，解得：m≥1或m≤﹣5．11/ 11。