第六章信号线性变换

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数字信号处理第六章6 双线性变换法

1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
2012-10-11
1
1 1 c
数字信号处理
s1T
j
1T 2

e e
2 s1T 2
e e

s1T 2

s1T 2
e

s1 T 2
e

1 e 1 e
s1T s1T

1 z 1 z
1 1
z e
s1T
s
1 z 1 z
1 1
z
1 s 1 s
数字信号处理
2012-10-11
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 1 为截止频率的数字滤波器
2012-10-11
数字信号处理
6、模拟滤波器的数字化方法
H (z) H a (s) 1 z Ha c 1 1 z
频率有对应关系，引入系数 c
c tg 1T 2
1 z 1 z
1 1
s c
z
c s cs
2012-10-11
数字信号处理
2、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系：
1T 1T 1 c tg c 2 2
s1T

第六章线性空间与线性变换

（7） (k + l)α＝kα＋lα , k,l ∈ F ；（8） k(lα )＝(kl)α ，
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
第 4 页共 19 页
第六章线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章线性空间与线性变换

大学线性代数课件第六章第二节二次型化为标准型的三种方法

去掉配方后多出来的项
所用变换矩阵为
例4 用配方法化二次型
为标准型，并求出所用的可逆线性变换。解
令
(1)
则
(2)
(2)是可逆线性变换，使
2 2 9 2 f (x1, x2, x3) = y1 + y2 - 4 y3
例5
解由于所给二次型中无平方项，所以
记X=BY
得再把所有含y1的项集中,配平方;同样地把含有y2的项集中,配平方,就得到
4、没有改变二次型的秩，事实上，二次型的系数中正负项的个数也没有被正交变换改变。
零多项式，故
含有平方项，这归结为情形1，
可化为标准型.
推论1
任意n阶对称使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
方法三：初等变换法
根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
C为所求
只作列变换
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否唯一？ 2、二次型的标准形是否唯一？ 3、二次型的平方和与标准形主要区别是什么？ 4、在实数域里考虑，正交变换法和配平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方和的系数则不是特征值，可以任意变动.
用可逆（或正交）变换化二次型为标准形
目标：
问题转化为：
对任意n元实二次型 f（x1 , x2，… , xn) = XTAX( A 为 n 阶对称矩阵)，则必有正交矩阵 P ,使
定理 3
定义
若 P 为正交矩阵，则线性变换称为正交变换．
正交变换的特征是保持向量的长度不变．

随机信号处理教程第6章随机信号通过非线性系统

信号的调制和解调
01
02
03
调制过程
在非线性系统中，输入信号会受到调制，使得信号的参数发生变化，如幅度、频率或相位等。
解调过程
对调制后的信号进行解调，恢复出原始的信号参数，以便进一步处理或使用。
调频与调相
在非线性系统中，调制和解调的方式可以是调频或调相，具体取决于系统的特性和应用需求。
音频处理中的非线性系统
音频压缩
音频压缩技术利用非线性系统来减小音频文件的大小，同时保持音频质量。压缩算法通过非线性变换和量化过程来去除音频信号中的冗余信息。
音频特效
音频处理软件中的非线性系统用于创建各种音效和特效，如失真、混响、均衡器和自动增益控制等。这些效果通过将音频信号通过非线性函数来实现。
应用实例
给出了随机信号通过非线性系统的应用实例，如通信系统中的非线性失真、音频处理中的压缩效应等。
非线性系统的发展趋势和未来展望
新技术与新方法
随着科学技术的不断发展，新的非线性系统建模方法和分析技术将不断涌现，如深
度学习在非线性系统建模中的应用等。
跨学科融合
非线性系统理论与其他领域的交叉融合将进一步加深，如与控制理论、人工智能等领域的结合。
升级系统的硬件设备，提升性能表现。
系统集成优化
优化系统内部各模块之间的集成方式，提高整体性能。
05
实际应用案例
通信系统中的非线性系统
数字信号处理
在通信系统中，数字信号经过非线性系统可能导致信号失真，如振幅压缩和频率偏移。这种失真可以通过数字信号处理技术进行补偿和校正。
调制解调
在无线通信中，调制解调过程可能涉及非线性系统。例如，在 QAM（Quadrature Amplitude Modulation）调制中，信号通过非线性调制器进行调制，然后通过非线性解调器进行解调。

第六章线性空间与线性变换

第六章线性空间与线性变换第六章线性空间与线性变换柴中林(A)1. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：（1）全体n 阶上三角矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。

（2）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数乘运算。

（3）平面上的全体向量对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k 。

a =0 .2. 设V 1和V 2都是线性空间V 的子空间，如果V 1∪V 2也是的子空间，求证有：V 1 V 2或V 2 V 1。

3. 检验下列各向量集合是否是R 3的子空间：（1）},0|),,{(213211R x x x x x x V i ∈≥=,（2）}(|),,{(3212有理数）Q x x x x V i ∈=.4. R 4中，求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标，已知：（1）α1（1，1，1，1），α2=（1，1，-1，-1），α3=（1，-1，1，-1），α4=（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）。

（2）α1（1，1，0，1），α2=（2，1，3，-1），α3=（1，1，0，0），α4=（1，1，-1，-1），ξ=（0，0，0，1）。

5. R 4中，求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，并求向量ξ在指定基下的坐标。

已知：（1）α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），α3=（0，0，1，0），α4=（0，0，0，1），β1=（2，1，-1，1），β2=（0，3，1，0），β3=（5，3，2，1），β4=（6，6，1，3）。

ξ=（1，2，1，1）在基β1，β2，β3，β4下的坐标。

（2）α1=（1，1，1，1），α2=（1，1，-1，-1），α3=（1，-1，1，-1），α4=（1，-1，-1，1），β1=（1，1，0，1），β2=（2，1，3，1），β3=（1，1，0，0），β4=（0，1，-1，-1）。

ξ=（1，0，0，-1）在基α1，α2，α3，α4下的坐标。

线性空间及线性变换

1 0 0 n
,求S(A)的基与维数.
解: (1)显然只要验证对加法和数乘封闭即可.
对任意Z1,Z2∈S(A),任意k∈R,有 A(Z1+Z2)=AZ1+AZ2=Z1A+Z2A=(Z1+Z2)A.知 Z1+Z2∈S(A). (kZ1)A=kAZ1=A(kZ).知kZ1∈S(A).即知 S(A)为一个子空间. (2)对任何矩阵C,若:
解: (1) 任取f(A),g(A)∈F(A),k∈P, 有 f(A)+g(A)=(f+g)(A).显然由f(x), g(x)∈P[x]可得 (f+g)(x)=f(x)+g(x)∈P[x],于是有f(A)+g(A)∈F(A).而 kf(A)=(kf)(A),那么由kf(x)∈P[x] 可知kf(A)∈F(A),即知F(A)是Pn×n的一个线性子空间. (2) 不妨设A的最小多项式为 m( ) ,并记 (m( )) =m+1,那么由m(A)=0 且m( )的首项系数为1可知Am+1 可被I,A,A2,…,Am线性表出. 显然有任意f(A)∈F(A),都可使得f(A)被 I,A,A2,…,Am线性表出.下证I,A,A2,…,Am线性无关,利用反证法. 若I,A,A2,…,Am线性相关,那么存在一组不全为零的数k0,k1,…,km∈P,使得: k0I+k1A+k2A2+…+kmAm=0.
令h(x)=k0+k1x+k2x2+…+kmxm,显然有h(A)=0且
(h( x)) m (m( x)),这将与 m( )是A的最小多项式矛盾.于
□
例6.1.3 (北京理工大学,2004年)设A,B分别是数域K 上的p×n、 n×m矩阵,令 V={x|x∈Km,ABx=0},W={y|y=Bx,x∈V}.证明: W是向量空间的子空间,且dimW=r(B)-r(AB). 证明: 要证明W是一个子空间,只要说明它对加法和数乘封闭即可. 若y1,y2∈W,k∈K,那么存在x1,x2∈V,使得 y1=Bx1,y2=Bx2,显然V是方程组ABx=0的解空间,它是一个子空间,那么有x1+x2∈V, kx1∈V,这时 y1+y2=Bx1+Bx2=B(x1+x2).于是有y1+y2∈W,而 ky1=kBx1=B(kx1),知ky1∈W,知W必是向量空间的一个子空间. 把B看成是向量空间Km到向量空间Kn的线性映射, 那么有:W=B(V),于是有: dimImB|V+dimkerB|V=dimV (I)

数字信号处理第三版教材第六章习题解答

6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。

求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。

解：（1）求阶数N 。

lg lg sp spk N λ=-0.10.30.1 2.51011010.0562101101p s asp a k --==≈--332121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得lg 0.05624.15lg 2N =-=所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。

）（2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为54321() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611a H p p p p p p =+++++或 221()(0.6181)( 1.6181)(1)a H p p p p p p =+++++ 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4k j Nk p ek π++==按（6.11）式写出()a H p 表达式41()()a k k H p p p ==-代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()a H s 。

由于本题中3p a dB =，即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此()()a a cH s H p s p ==Ω5542332453.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c cc cs s ss s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω对分母因式形式，则有()()a a cH s H p s p ==Ω52222(0.6180)( 1.6180)()c c c c cc s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。

数字信号处理第六章

各种数字滤波器的理想幅度频率响应数字滤波器的设计步骤理想滤波器的逼近数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言

数字滤波器的设计步骤：

按任务要求，确定滤波器性能要求。用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR）系统函数两种。利用有限精度算法来实现这个系统函数。实际的技术实现。

零极点分布对系统相角的影响

相位“延时”（或相位“滞后”）系统

最小相位延时系统最大相位延时系统最大相位超前系统最小相位超前系统

相位“超前”（或相位“领先”）系统

当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数，当全部零点在单位圆外时，相位变化最小，当全部零点在单位圆内时，相位变化最大，当全部零点在单位圆内时，相位变化最小，故称为最小相位超前系统。故称为最大相位超前系统。故称为最大相位延时系统。故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一半属Ha(-s)。如要求系统稳定，则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制，则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的，则只能取所有左半平面的零极点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界稳定时虚轴上才会有极点。
第6章无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法

第六章-IIR-DF的设计方法

其极点为 sk e N 2 2 , k 1, 6
取前三个根，s1
1 2
j
3 2
,
s2
1,
s3
1 2
j
3 2
Ha (s)
s3
K0 2s2
2s
1
求常数K。
代入s 0时，Ha (0) A(0) 1,则可得K0 1
Ha (s)
s3
1 2s2 2s
1
4、归一化旳系统函数
假如将系统函数旳s 用滤波器旳截止频率清除，这
7.4641016S2 3.8637033S 1)
1/[(S2 0.51763809S 1)(S2 1.4142135S 1)
(S2 1.931851652S 1)]
将s用
S C
S / 7.0321103代入，可得 Ha (s)
Ha (S) 120923.1108 /[S2 3.64003103S 49.4504106 )
j
S1
S4 4
S2
S3
N2
N=3时，
j2
S1 Ce 3 ,
S2 Ce j,
j5
S4 Ce 3 ,
S5 Ce j2
j4
S3 Ce 3 ,
j7
S6 Ce 3
j
S1 S2
S3
S6 S5
S4
N3
取 H a (S)H a (S) 左半平面旳极点为 Ha (S) 旳极点，
这么极点仅有N个，即
j[ 1 2k 1]
四、设计举例（巴特沃思filter）
1、技术指标
20lg Ha ( j2103) 1 20lg Ha ( j3103) 15
2、计算所需旳阶数及截止频率

第六章线性变换

ξ = x1α 1 + x 2α 2 + ⋯ + x nα n
σ (ξ )仍是的一个向量，设仍是V的一个向量的一个向量，
过标坐标来刻画
σ (ξ ) = y1α 1 + y2α 2 + ⋯ + ynα n
σσ
−1
= σσ
−1
=t
§6.3 线性变换和矩阵
教学目标：渗透现代代数学同构、教学目标：渗透现代代数学同构、代数表示论的思和化归的数学思想方法，想，和化归的数学思想方法，让学生了解向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的关系，理解矩阵相似这一重要概念，关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下的向量关于基的坐标的计算方法。的向量关于基的坐标的计算方法。重线性变换关于基的矩阵之间的关系，点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵相似概念，相似概念，线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下的向量关于基的坐标的计算。变换作用下的向量关于基的坐标的计算。线性变换关于基的矩阵之间的关系，点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵相似概念。相似概念。
证明：显然 σ是R 2 到R 3 的一个映射。
σ (aξ + bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η ) ∵由σ (aξ + bη ) = σ (aξ ) + σ (bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η )
∴ σ是R 2 到R 3 的一个线一个线性
又 ∀a, b ∈ R, ∀ξ = (x 1, x 2 ),η = ( y1 , y 2 ) ∈ R ,
从而一个线性变换的任何非负整数幂都有意义
设f ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x ,

数字信号处理第六章

1）幅度函数特点：
H a ( j)
2
1 1 c
2
2N
0
c
H a ( j) 1 H a ( j) 1/ 2 1 3dB 3dB不变性
2
c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小
3、逼近情况
1）
s平面虚轴
2）
z平面单位圆
s平面
左半平面
z平面单位圆内单位圆外单位圆上
右半平面
虚轴
例7.4
已知模拟滤波器的传输函数为
1 H a ( s) 2 2s 3s 1
采用双线性变换法将其转换为数字滤波器的系统函数，设T=2s 解将s代入Ha(s)可得
H ( z ) H a ( s ) s 2 1 z 1 ,T 2
i 1,2,..., m
例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为 1
H a ( s)
s
,
RC
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为
低通
0 高通
0 带通 0
带阻
0
全通 0
通带
阻带过渡带平滑过渡
三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应
2、相位响应
3、群延迟
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用因果稳定LSI的系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。

《数字信号处理》第六章 Z变换

第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)

x(n)zn

(1)nu(n)zn

z
n

n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)

x(n)zn
A( z )

1 za

1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)

1 a
(1
1 a
z

1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )

z
1 a

11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1

z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k

zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。

线性变换

2 −1 2 阵为 5 −3 3 −1 0 −2
（1）求线性变换 f 在 V 的基 e1 , e1 + e2 , e1 + e3 下的矩阵（2）求线性变换 f 的特征值和特征向量（3）线性变换 f 可否在 V 的某组基下矩阵为对角形，为什么？ 14、设 V 是数域 P 上的 3 维线性空间，线性空间 f : V → V 在 V 的基 e1 , e2 , e3 下的矩
2
（4）秩 (φ ) =秩 (φ 2 ) . （注：表示 Im φ ⊕ ker φ 直和） 9 ．设 φ 是 n 维线性空间 V 上的线性变换，记 Im φ = {φ (α ) | α ∈ V } ，
ker φ = {α ∈ V | φ (α ) = 0} 。求证下列命题等价：
5．令 F 表示数域 F 上四元列空间，取
4
1 − 1 5 − 1 1 1 − 2 3 A= 3 −1 8 1 1 3 − 9 7
2
对于 ξ ∈ F4，令 σ ( ξ ) = A ξ ．求线性映射 σ 的核和值域的维数．
6． σ 是数域 F 上向量空间 V 的一个线性变换，并且满足条件 σ
2
=σ ．证明：
(i)
Ker( σ ) = { ξ − σ (ξ ) | ξ ∈ V }；
(ii) V = Ker( σ ) ⊕ Im( σ )； (iii) 如果 τ 是 V 的一个线性变换，那么 Ker( σ )和 Im( σ )都在τ 之下不变的充要条件是 στ = τσ ．
7．数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换 σ 叫做幂零的，如果存在一个
第六章线性变换练习题

清华大学数字信号处理课件--第六章7双线性变换法

c c ctg
c
2
特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置
3、逼近情况
1）s c
1 z 1 z
1 1
c
1 e 1 e
j j
jc tg

2
j
s平面虚轴
2） z
cs cs
z平面单位圆
z (c )
2 2 2
0
0

缺点：除了零频率附近，与之间严重非线性
1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
1
1 1 c
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 1 为截止频率的数字滤波器
6、模拟滤波器的数字化方法
H ( z) H a (s) 1 z 1 Ha c 1 1 z
c j c j
(c )
2
s平面
0
z 1 z 1 z 1
z平面单位圆内单位圆外单位圆上
左半平面
0 0
右半平面
虚轴
4、优缺点
优点：避免了频率响应的混迭现象
c tg

2
s 平面与 z 平面为单值变换
0 0
1 1
i 1, 2,..., m
可分解成并联的低阶子系统

数字信号处理第六章习题答案

( )
H ( e jω ) = Ha ( jΩ)
又由 Ω =
ω
T
，则有
5 2 π ΩT + 3, − 2 ΩT + 5 , = π 3 0 2π π − ≤Ω≤ − 3T 3T π 2π ≤ Ω≤ 3T 3T 其他Ω
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
ω=ΩT
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
各极点满足下式ຫໍສະໝຸດ 1 1+ ( s Ωc )
4
sk = Ωce
π 2k −1 j + π 2 4
k = 12，4 ，3 ，
则 k = 1,2时，所得的 sk 即为 Ha ( s) 的极点
s1 = Ωce s2 = Ωce
3 j π 4
3 2 3 2 =− +j 2 2 3 2 3 2 =− −j 2 2
2
=
1−1.1683z−1 + 0.4241z−2
0.064(1+ 2z−1 + z−2 )
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。设 Ωc = 3rad s 解：由幅度平方函数： H ( jΩ) =
2
1 1+ ( Ω Ωc )
4
令 Ω2 = −s2，则有
Ha ( s) Ha ( −s) =
∴H ( z ) = Ha ( s) s=1−z−1
1+ z−1
=
1 1− z 1− z 1+ z−1 + 1+ z−1 +1
−1 2 −1
(1+ z ) =
3 + z−2
−1 2

第6章习题解答

第六章习题解答(部分)［1］数字滤波器经常以图P6-1描述的方式来处理限带模拟信号，在理想情况下，通过A/D 变换把模拟信号转变为序列)()(nT x n x a =，然后经数字滤波器滤波，再由D/A 变换将)(n y 变换成限带波形)(n y a ，即有∑∞-∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n a nT t nT t n y t y )(Tπ)(T πsin )()( 这样整个系统可等效成一个线性时不变模拟系统。

如果系统)(n h 的截止角频率是rad 8/π，ms T 01.0=，等效模拟滤波器的截止频率是多少？设s T μ5=，截止频率又是多少？解：对采样数字系统，数字频率ω与模拟角频率Ω之间满足线性关系T Ω=ω。

因此，当ms T 01.0=时，T T cc 8πω==Ω，Hz T f c c 6251612==Ω=π当s T μ5=时， TT c c 8πω==Ω，Hz T f c c 125001612==Ω=π［2］已知模拟滤波器的系统函数为()22)(b a s bs H a ++=，试用冲激响应不变法将)(s H a 转换为)(z H 。

其中抽样周期为T ，式中a 、b 为常数，且)(s H a 因果稳定。

解：)(s H a 的极点为：jb a s +-=1，jb a s --=1将)(s H a 部分分式展开： )(21)(21)(jb a s j jb a s j s H a +---+---= 所以有1)(1)(121121)(-+------+-=z e j zej z H T jb a Tjb a通分并化简整理得：TT T ez bT e z bTe z z H ααα2211cos 21sin )(------+-= ［3］设计一个模拟带通滤波器，要求其幅度特性为单调下降（无波纹），通带带宽s rad B /2002⨯=π，中心频率s rad /10020⨯=Ωπ，通带最大衰减dB p 2=δ，s rad s /80021⨯=Ωπ，s rad s /124022⨯=Ωπ，阻带最小衰减dB s 15=δ。

频率调制与解调

(t)
t 0
( )d
ct
m
sin t
ct mf sin t c (t)
式中，m 为
mf
为调频指数。FM波旳数学表达式
uFM (t) UC cos(ct mf sin t)
• 调频波形如下图所示
• 由图可知，调频波旳瞬时频率随调制信号成线性变化，而瞬时相位随调制信号旳积分线性变化
1）利用波形变换进行鉴频 2）相移乘法鉴频 3）脉冲记数式鉴频器 4）利用锁相环路实现鉴频
3、相位鉴频（乘积型和叠加型）
相位鉴频器也是利用波形变换鉴频旳一种措施。它是利用耦合回路旳首次级电压之间旳相位差随频率变化旳特征将调频波变为调幅-调频波，然后用振幅检波恢复调制信号，
只要加在二极管上旳电压为FM-AM波，背面就是
率不易稳定。在正弦振荡器中，若使可控电抗器连接与晶体振荡器，能够提升频率稳定度，但频偏减小。
R3
Cj
调
制
信
号
C2 R4
C1
输出
R6
R5
Cj
C2
R2
C3 R1
Ec
(a)
C1 (b)
（a）实际电路;（b）交流等效电路
（2）间接调频法
先将调制信号进行积分处理，然后用它控制载波旳瞬时相位变化，从而实现间接控制载波旳瞬时频率变化旳措施，称为间接调频法。
－
(c)
FM
PM
2）可变移相法 3）可变延时法
四、调频信号旳解调
• 对调频而言，调制信息包括在已调信号瞬时频率旳变化中，所以解调旳任务就是把已调信号瞬时频率旳变化不失真旳转变成电压变化，即实现“频率-电压”转换，完毕这一功能旳电路，成为频率解调器，简称鉴频器。

信号与系统第6章-作业参考答案

Hd
(z)
=
Hc(z)
s
=1− 1+
z z
−1 −1
证明：H��(z)有一个位于单位圆内的极点和一个位于单位圆外的零点
c）对于系统函数H��(z)，证明�H��ejω�� = 1
证明：
16
第六章 z 变换
第 6 章习题参考答案
6-4 计算机设计题答案暂略
17
和 x2(n) = �14�n u(n)
设序列x1(n)的单边和双边变换分别为 X1( X2(z) 和 X2d (z) 。
1）根据双边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 2）根据单边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 3）解释 1）和 2）的结果为何不同。解：
，试用
z
变换的初值
和终值性质确定离散序列 x(n) 的初值 x(0) 和终值 x(∞) 。
6
第六章 z 变换解：直接求出。
第 6 章习题参考答案
6-2-26 某离散LTI系统由差分方程
y(n)
−
10 3
y(n)
+
y(n
+
1)
=
x(n)
描述。试求系统的单位样值响应 h(n) ，并确定系统的稳定性。
解：
5
第六章 z 变换
第 6 章习题参考答案
∞
∑ 6-2-21 序列 x(n) 的自相关序列定义为φxx (n) = x(k)x(n + k) 。试利用 x(n) 的 z 变换 k =−∞
求出φxx (n) 的 z 变换。
解：

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6.2 电压/电流变换器（VCC）和电流/电压变换器（CVC）
6.2.1 电压/电流变换器（VCC）
电压/电流变换器（VCC）用来将电压信号变换为与电压成正比的电流信号。
用途：
① 常用作传感器或其他检测电路中的基准（参考）恒流源， ② 在磁偏转的示波装置中常用来将线性变化电压变换成扫描用的线性变化电流 ③ 在控制系统中作为可控电流源驱动某些执行装置，如记录仪记录笔的偏转和电流表的偏转。
第6章信号线性变换
6.1 概述 6.2电压/电流变换器（VCC）
和电流/电压变换器（CVC）
6.3波形变换
6.4电压/频率变换（VFC）
与频率/电压变换（FVC）
本章学习要点
1. 信号线性变换的条件与结果； 2. 信号线性变换的应用； 3. 各种电压/电流变换电路的特点与设计； 4. 各种电流/电压变换电路的特点与设计； 5. 波形变换电路的设计及应用； 6. 电压/频率变换与频率/电压变换的原理、电路设计与应用。
6.4.1 电压/频率变换电路（VFC）
1 VI T1 VB R1C1
T T1 T2 T1 R1C1
VB VI
f0
V1 1 T R1C1VB
6.4.2频率/电压变换电路（FVC）
V0 T1VR f i
AD650
二、负载接地型电压/电流变换器
uO u I RF R u L (1 F ) R1 R1
R2 // Z L R3 ( R2 // Z L )
u L i L Z L uO
uI iL
RF R1
R3 R Z L F Z L R3 R2 R1
若取
RF R3 R1 R2
6.1 概述
在信号的测量、处理、传输、记录与显示以及控制等领域中，为了抗干扰、提高传输效率和满足不同设备及电路联结等需要，广泛地应用各类信号变换技术。
信号变换的分类
按变换的方式分：线性变换：线性变换是采用线性电路来完成的，线性变换
只能改变信号频谱分量的相对大小，而不会产生新的频率成分。某些波形变换、电压－电流变换可依靠线性变换电路来完成。非线性变：非线性变换是采用非线性电路来完成的，利用非线性电路可以实现频率变换，例如混频、分频和倍频等。信号的非线性变换主要应用于信号的传输方面，特别是信号的远距离传输，也就是信号的遥传。
uI iF iI R1 R2 uI u O R1 i R3 R3 R3
。
iL iF iR3
u I u I R2 u I R2 iL (1 ) R1 R1 R3 R1 R3
特点： ① 调节R1、R2和R3都能改变VCC的变换系数，只要合理地选择参数，电路在较小的输入电压UI作用下，就能给出较大的与UI成正比的负载电流 ② 负载电流大部分由运算放大器提供，只有很小一部分由信号源提供，对信号源影响小。 ③ 该电路要求运算放大器给出较高的输出电压。
大电流和高电压输出电压/电流变换器
uI iL i1 1 1 R1
为晶体管T的直流电流增益。选用值较大的晶体管，可有>>1，则

uI iL R1
特点： ① 可以满足负载ZL的阻抗值较高时需要较高输出电压的要求，该电路同时也能给出较大的负载电流。 ② 由于采用同相输入方式，也具有很高的输入阻抗。 ③ 电路应选用值较大的晶体管才能得到较高的精度。 ④ 该电路只能用于ui > 0的信号。
按信号变换的内容分：
电量与非电量间的变换、模拟量与数字量间的变换、电压（或电流）与频率（或时间）间的变换、交流与直流间的变换、功率变换、波形变换频率变换（包括变频、各类信号调制及解调、倍频与分频）等。
信号线性变换电路的一般要求
1. 输出信号与输入信号成线性关系； 2. 有足够高的输入阻抗。这里的输入阻抗指广义输入阻抗，也即信号变换电路对信号源或前级电路的影响要足够小，不至于使信号源或前级电路的状态产生过大的改变以至于影响测量结果； 3. 有足够的驱动能力和动态范围； 4. 满足应用的其他要求。如电源、功耗、频率以至于工艺、成本等等的要求。
改进： ① 采用“T”型电阻网络替代大阻值电阻，这时可采用较小阻值的电阻； ② 为了要降低噪声，在电阻 RF的两端并接一个小电容来解决，且该电容本身的漏电流应足够小。
( R1 R2 ) u O I S RF R2
密勒定理
uO Kui
ui uO ui R R'
R R' 1 K
VCC按负载接地与否可分为负载浮地型和负载接地型两类。
一、负载浮地型电压/电流变换器
uI iI iL R1
特点：要求信号源和运算放大器都能给出要求的负载电流值，这是由于信号UI加于运算放大器反相输入端所造成的。
uI iI iL R1
特点：信号接于运算放大器的同相端，由于同相端有较高的输入阻抗，因而信号源只要提供很小的电流。
iF I S iB I S
uO I S RF
特点：运算放大器的输出阻抗很低，那么可用一般的电压表在输出端直接测定输入电流值大小，其变换系数就是RF值。若被测电流 IS很小，为了要有一定的输出电压数值应该取较大的RF值，但RF 值越大，必然带来两个问题：一是大阻值的电阻不容易找到，精度也差；二是输出端的噪声也越大。
密勒定律的讨论与启示： ① 引入运放，可达到测量精度与灵敏度的统一。 ② 设计高精度、高灵敏度电流/电压变换电路选择运算放大器时不仅要求运放的输入阻抗高、偏置电流小，还要求运放有尽可能高的增益。
6.3 波形变换
6.4电压/频率变换与频率/电压变换
用途：
电压/频率变换电路（VFC）应用十分广泛，在不同的应用领域有不同的名称：在无线电技术中，它被称为频率调制（FM）；在信号源电路中，它被称为压控振荡器（OSC）；在信号处理与变换电路中，它又被称为电压/频率变换电路和准模/ 数转换电路。电压/频率变换电路与频率/电压变换电路是一对变换电路，经常相伴出现。相对应的频率/电压变换电路也有几种不同的名称：鉴频器（Frequency Discrimination）；准数/模转换电路和频率/电压变换电路（FVC）。
则
ห้องสมุดไป่ตู้
uI iL R2
特点：该电路既可以在负载接地的情况下得到很高的变换精度，又具有很高的工作稳定性。
6.2.2电流/电压变换器（CVC）
电流－电压变换器（CVC）用来将电流信号变换为成正比的电压信号。用途： ① 可作为微电流测量装置来测量漏电流； ② 或在使用光敏电阻、光电池等恒电流传感器的场合，是一个常见的光检测电路； ③ 可作为电流信号的相加器，这在数字／模拟转换器中是一种常见的输出电路形式。
大电流输出电压/电流变换器
uI i L i1 R1
特点： ① 由于采用了三极管T来提高驱动能力，其输出电流可高达几安培，甚至于几十安培。 ② 采用同相输入方式，具有很高的输入阻抗，信号源只要提供很小的电流。 ③ 当负载ZL的阻抗值较高时，电路中的运放仍然需要输出较高的电压。 ④ 该电路只能用于ui > 0的信号。

第六章信号线性变换

数字信号处理第六章6 双线性变换法

第六章 线性空间与线性变换

大学线性代数课件第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法

随机信号处理教程第6章随机信号通过非线性系统

第六章线性空间与线性变换

线性空间及线性变换

数字信号处理第三版 教材第六章习题解答

数字信号处理 第六章

第六章-IIR-DF的设计方法

第六章 线性变换

数字信号处理第六章

《数字信号处理》第六章 Z变换

线性变换

清华大学数字信号处理课件--第六章7双线性变换法

数字信号处理第六章 习题答案

第6章 习题解答

频率调制与解调

信号与系统 第6章-作业参考答案

第六章线性空间与线性变换

大学线性代数课件第六章第二节二次型化为标准型的三种方法

数字信号处理第三版教材第六章习题解答

数字信号处理第六章

第六章线性变换

数字信号处理第六章习题答案

第6章习题解答

信号与系统第6章-作业参考答案