三大抽样分布课件

●当自由度较大 比如n 30 时，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似
(见下页图)
N (0,1)
t (40)
N(0，1)和t(4)的尾部概率比较
pX c
c=2 0.0455
c=2.5 0.0124
c=3 0.0027
c=3.5 0.000465
X~N(0,1)
X~t(4)
0.1161
0.0668
n 第二步，我们导出 F Z 的密度函数 m
X1 的密度函数 X2
首先，我们导出 Z
X1 的密度函数 X2
1 x1 m 2 1 X 1 ~ 2 ( m ) p1 ( x1 ) x1 2 e 2 , m 2 1 x n 2 2 1 X 2 ~ 2 ( n ) p2 ( x2 ) x2 2 e 2 , n 2
问题：如何确定
t 的分布？
X1与 X1有相同分布， 由标准正态密度函数的对称性知，
从而t与-t有相同分布。
P ( 0 t y ) P ( 0 t y ) P ( y t 0) 1 P (0 t y ) P (t 2 y 2 ) 2
X1 2 由于t 2 ~ F (1, n) X2 / n
2
于是 2 n 分布的密度函数为
y 1 1 2 n p( y ) y2 e 2, n 2 n 2
y0
数字特征：
E 2 n,
Var( 2 ) 2n
图像：
密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布
n4
n6
n 10
n4
n6
n 10
n 20
由此， Y ( y1 ,, yn )T 的各个分量相互独立， 且都服从正态 分布，其方差均为 2 ,而均值不完全相同，
E( y1 ) n
E ( y2 ) 0
E( y ) 0
n
y1 E( x ) E n
y1 E( x ) E 2 这证明了结论（2） n x ~ N , n 1 1 2 Var( x ) Var y1 n n
，
PF F1 m, n 1
F n, m
1 F1 m, n
例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得
F10,05 10 ， 5 F0.95 10 ， 5 4.74
由F n, m 1 F1 m, n
2
x2 mn 1 2 1 z 2
e
dx2
于是
pz z
z
m 1 2
1 z

mn 2
m n 2 2
u
0
mn 1 u 2
mn 2
e du
mn m 1 mn 2 2 z 1 z 2 m n 2 2
1
这就是自由度为ｎ的ｔ分布的密度函数。
ｔ分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布 与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态 分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。
N (0,1)
t ( 4)
t (1)
●自由度为1的ｔ分布就是标准柯西分布，它的均值不存在； ●ｎ>1时,ｔ分布的数学期望存在且为0。 ●ｎ<1时,ｔ分布的方差存在，且为ｎ/(ｎ-2)；
E( X )
Var( X ) 2 I
令Y=AX，则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布，
其均值和方差分别为
EY A EX n 0 0
Var(Y ) A Var（X） AT A 2 I AT 2 AAT 2 I
n
n
n
这证明了结论（1）
由于 yi ~ N 0,
2


yi
~ N (0,1)
2
(
i 2 n
(n 1) s 2

yi
)2 ~ 2 (n 1)
这证明了结论（3）
推论5.4.1 在定理5.4.1的记号下，有 t 证明 由定理5.4.1（2）可以推出
x ~ N (0,1) / n
5.4.2 F分布
定义5.4.2 设
X1 ~ 2 m, X 2 ~ 2 n , X 1 与X 2 独立，则称
F＝
X1 m 的分布是自由度为m与n的F分布,记为 X2 n
F ~ F m, n
其中m称为分子自由度，n称为分母自由度. 问题：如何确定 F 的分布？ 首先，我们导出 Z
y1 ,, y n 是来自 推论5.4.2 设 x1,, xm 是来自N (1, 12 )的样本，
2 N ( 2, 2 ) 的样本且此两样本相互独立，记
由于
2 y Y Y X A AX x i i 1 2 i T T T n n i 1 n
所以 (n 1) s ( xi x ) x ( n x ) y y yi2
2 2 i 1 i 1 2 i 2 i 1 2 i 2 1 i 1
问题：当比较大(1 比较小)的时候，如何确定分位数？
有F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1/F~ F(n,m),故对给定
0 1
1 1 P F n, m P F F n , m F
1 P F F n, m 1
2
则有 （1） Байду номын сангаас x s 2 相互独立；
2 （2） x ~ N ( , n )
（3）(n 1) s ~ 2 (n 1) 2
2

证明 记
T X ( x1 ,, x，则有 ) n
1 取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为 n ,如
1 n 1 2 1 A 1 3 2 1 n(n 1) 1 n 1 2 1 1 3 2 1 n(n 1) 1 n 0 1 3 2 1 n( n 1) 0 0 n 1 n( n 1) 1 n
F0.05 10,5
1 1 0.3 F0.95 5,10 3.33
5.4.3 t 分布
定义5.4.3 设随机变量 X1与X 2 独立且 X 1 ~ N 0， 1，X 2 ~ 2 n 则称 t
X1 的分布为自由度为n的t分布，记为 t ~ t n X2 / n
n 1
若F ~ F (m, n), 对给定的 (0 1), 称满足 PF F1 m, n 1 的F1 (m, n)是自由度为m与n的F分布的 1 分位数.
PF F1 m, n 1
F (4,10)
给定 0.05, m 4, n 10, 查表知 PF (4,10) 3.48 0.95 于是F0.95 (4,10) 3.48即是自由度为 (4,10)的 F分布的0.95分位数
n (x ) ~ t (n 1) s
(5.4.5)
将5.4.4 左端改写为
n ( x ) s x / n (n 1) s 2 / 2 n 1 (5.4.6)
由于分子是标准正态变量，分母的根号里是自由度为n-1 的t变量除以它的自由度，且分子与分母相互独立，由t分布定 义可知，t~t（n-1），推论证完。
引言
有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态 变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的 应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其 抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中 的“三大抽样分布”. 若设 x1, x2 xn , y1, y2 ,, ym 是来自标准正态分布的两个

mn 2

m n
m n m m 1 m 2 n 2 y 1 n m n 2 2
m 2
y

mn 2
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
n 40
n 10
n4
2
所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：
1 n 1 2 ( )( ) 1 1 n 1 1 2 n ( y 2 ) 2 (1 y 2 ) 2 y pt ( y ) ypF ( y 2 ) 1 n n ( ) ( ) 2 2 n 1 n 1 ( ) 2 y 2 (1 ) 2 , y . n n n ( ) 2
当随机变量 2 ～ 2 (n) 时，对给定的 (0 1) ，称满足
P( 2 12 (n)) 1
2 的 1 (n)是自由度为n的卡方分布的 1－ 分位数.
2 12 （ 10 ）＝ （ 10 ）＝ 18.31 －0.05 0.95
2 (10)
相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布 如表5.4.1所示.
5.4.1
分布(卡方分布)
2
问题：如何确定 的分布？
2
1 1 伽玛分布的可加性 X i ~ N (0,1) X i ~ Ga , 2 2 n n 1 2 2 X i ~ Ga , 2 n 2 2 i 1
z0
n 第二步，我们导出 F Z 的密度函数 m
m m p F y pZ y n n mn 2 m m n n 2 2
）
y
m 1 2
m 1 n
y
n 2