自控习题及解答

自控习题及解答

第三章

3-2 某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间的变化规律可用一阶系统的响应来描述，实验测得当t =60s 时，温度计度数达到实际水温的95%，试确定该温度计的传递函数。

【解】用一阶系统的模型，1()1G s Ts =

+， 1

360,20201

T T s ===+秒故，G(s) 3-3在用温度计测量容器内的水温时，发现需要1min 的时间才能指示其实际温度的98%，

如果容器内的水温以100C/min 的速度线性增加，试求 温度计的稳态误差。 【解】用一阶系统的模型，1

()1

G s Ts =

+,41,0.25T T ==分钟故分钟 容器内的水温以100C/min 的速度线性增加时，可认为是斜率是010/C 分钟的斜坡输入，此时的稳态误差为

010 2.5ss e T C =⨯=

3-4 已知系统单位阶跃响应为

)1.536.1sin(5.1210)(02.1+-=-t e t h t

试求系统的超调量σ%、峰值时间t p 和调节时间t s 。 【解】，由已知表达式可知，该系统为欠阻尼的二阶系统，有

1.20()10(1 1.25sin(1.653.1)

10(1)

n t t n h t e t t ξωβ--=-+=-+

0cos cos53.10.6, 1.2/2n a a ξβωξ=====

1.96p d t πω=

==，

(%)100%9.4%e πξσ-=⨯=

3.5

2.925%4.4

3.672%

n

s n

t ξωξω⎧=∆=⎪⎪=⎨

⎪=∆=⎪⎩

3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为

（1）)6.0(1)(+=

s s s G ， （2）)

6.0(1

4.0)(++=s s s s G

试求系统(1)、（2)在单位阶跃输入下的动态性能指标。并通过计算说明比例-微分控制的作用。

【解】 系统的闭环传递函数为

2

2

1

0.41

(1).(),(2).()0.61

1

s s s s s s s +Φ=

Φ=

++++

0.3,

1

0.5

1n n ξωξω====

3.29p t = 3.2p t =

11.675%14.672%s t ∆=⎧=⎨

∆=⎩ 4.885%

7.742%s t ∆=⎧=⎨∆=⎩

(%)37%σ= (%)18%σ=

比例-微分控制的确可以加快系统的响应速度，两个峰值时间基本相同，但超调量和调节时间则大大减小。响应见下图

3-6 图3-78 是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K 1、K t ，使系统的自然频率为6 rad/s ，阻尼比1。

图3-78 习题3-6 飞行控制结构图

【解】系统闭环传递函数为

1

211

25()(0.825)25t K s s K K s K Φ=

+++

1120.8255n t n K K K ωξω=+=，由已知条件6,1n ωξ==，得

1 1.44K =，0.311t K =

3-7 已知系统的特征方程为 0251032

3

4

=++++s s s s 试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。 【解】

s 4 3 5

2 s

3 10 1 0 s 2 4.7

2

K 1

R

C

)

8.0(25+s s K t s

s 1 -15.3 0 s 0 2

由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次，故系统有两个正实部根，系统不稳定。 3-8 已知系统的特征方程如下，试求系统在s 右半平的根的个数及虚根值： （1）;0483*******

3

4

5

=+++++s s s s s 【解】 （1）

由于s 、s 行的系数线性相关，故s 项中出现全零行，用第二种特殊情况的处理方法，用s 2项的系数构造辅助方程

F (s)=-12s 2+48=0

求F (s)关于复变量s 一阶导数得

d F (s)/ds=-24=0

用导数方程的各项系数代替全零行的元素，继续劳斯表的列写

由于劳斯表的第一列元素符号无变化，故系统没有正实部根。但由于出现了与坐标原点对称的根，可由辅助方程F (s)=-12s 2+48=0，求得s 1=j2, s 2=-j2。故系统临界稳定，即不是渐进稳定。

（2） ;010874442

3

4

5

6

=+--+-+s s s s s s

由于s 、s 行的系数线性相关，故s 项中出现全零行，用第二种特殊情况的处理方法，用s 4项的系数构造辅助方程

F (s)=--5s 4-5s 2+10=0

求F (s)关于复变量s 一阶导数得

d F (s)/ds=--20s 2-10=0

用导数方程的各项系数代替全零行的元素，继续劳斯表的列写

由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次，故系统有两个正实部根，系统不稳定。 同样由于出现了与坐标原点对称的根，可由辅助方程F (s)=- --5s 4-5s 2+10=0求得

1,2 3.41,s s =±=±1=j2, s 2=-j2。

3-9 设单位负反馈系统的开环传递函数为

)

35.0)(2()(++=

s s s K

s G

试确定系统稳定时K 的取值范围。 【解】系统的特征方程为

32()1()0,

81220D s G s s s s K =+=+++=

s 3 1 12 s 2 8 2K s 1 (8x12-2K)/8 0 s 0 2K

欲使系统稳定，劳斯表第一列系数应保持同号，即满足

812201420K

K ⨯-⎧>⎪

⎨

⎪>⎩

，求得 0

)

53()

2()()3()

3(6)().2()

7)(2(5

)().1(2

2+++=

+=

++=

s s s s s G s s s G s s s G 试求当输入r (t)=1+2t,，t>0时的稳态误差。 【解】2

12

()R s s s

=+

（1）该系统为零型系统，斜坡输入下的稳态误差无穷大，ss e =∞，