2021中考数学平行线的五大拐点模型探究试题

2021中考数学平行线的五大拐点模型探究试题

模型一：铅笔头模型基础

（1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明

解答：如图，过点E 作AB l //得证 360=∠+∠+∠E D B

（2）反之，如图，若 360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明

解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB // 总结：

①辅助线：过拐点作平行线 ②若CD AB //，则 360=∠+∠+∠E D B ③若 360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //

模型一：铅笔头模型进阶

如图，两直线CD AB ,平行，则=

∠+∠+∠+∠+∠+∠654321

解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证

900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠

总结：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线

②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n 【2-n 个拐点】

模型二：锯齿模型基础

（1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？

解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠

（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？

解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证

G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠

（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？

解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121 总结：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和

模型二：锯齿模型进阶

【例1】如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：

)(2

1

C A E ∠+∠=∠

解答：

①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证

②方法二：8字模型（详解见第2讲） 总结：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想

【例2】如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠4

1，ECD ECF ∠=∠4

1，求证：

AEC AFC ∠=

∠4

3

解答：锯齿BAECD+锯齿BAFCD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证 总结：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想

【例3】如图，CD AB //， 61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ） A. 149 B. 5.149 C. 150 D. 5.150

解答：锯齿CDFBA+铅笔头CDEBA ；得证B 总结：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）

③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和

【例4】如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设

21,θθ=∠=∠PBA PAD ，

43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）

A. 30)()(3241=+-+θθθθ

B. 40)()(3142=+-+θθθθ

C. 70)()(4321=+-+θθθθ

D. 180)()(4321=+++θθθθ

解答：锯齿ADPCB+锯齿DAPBC ；得证A 总结：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和

模型三：臭脚模型基础

如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明

解答：如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠

臭脚模型基础（汇总）

总结：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线 模型三：臭脚模型进阶

如图，直线CD AB //， 50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是

解答：

①方法一：如图，过点H作AB

QH//则有铅笔头AFGHQ+臭脚QHMNC 得证

∠GHM

=

40

②方法二：锯齿BFGHMND得证 40

∠GHM

=

总结：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线

模型四：蛇型基础

如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明

解答：过点C 作AB l //得证 180=∠-∠+∠D C B

总结：

①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线

模型五：蜗牛模型基础

如图，若D

,

//之间有什么关系？请证明

∠,

,

AB∠

C

B

DE

∠