1.1 整除性2

1

第一章 多项式

§1 整除性

一. 内容概述

1. 多项式的概念

设F 是一个域，形如表达式，

)(x f =n a "++−−11n n n x a x +01a x a +，

2

i a ∈F ，称为F 上的多项式。若两个多项式的形式表达式完全

一样，则称两个多项式相等。

2．多项式的运算

（1）加法

定义 ∀)(x f , )(x g ∈][x F ,在其中适当添上一些系数为

3

零的项,总可设)(x f =i n i i

x a ∑=0,)(x g =∑=n i i i x b 0,令

)(x h =i

i n

i i x b a )(0

+∑=,显然h(x)∈][x F ，称)(x h 为)(x f 与)(x g 的和，记为)(x f +)(x g = i

i n i i x b a

)(0+∑=。

4 令-)(x g =∑=−n i i i x b 0

)(，显然-)(x g ∈][x F ，称-)(x g 为

)(x g 的负元，记)(x f -)(x g =)(x f +（-)(x g ）

多项式的加法有如下性质:

ⅰ) )(x f +)(x g =)(x g + )(x f

5 ii) ()(x f +)(x g )+h(x)= )(x f +()(x g +h(x))

iii) )(x f +(-f (x ))=0

（2）乘法

定义 ∀)(x f ，)(x g ∈][x F ，设

6 )(x f =i n i i x a ∑=0,)(x g =∑=m

i i i x b 0， 令

)(x h =r r r m n r r x b a b a b a )(01100+++−+=∑",))(0)(0(m t b n k a t k >=>=

7 显然)(x h ∈][x F ，称)(x h 为)(x f 与)(x g 的积，记为

)(x f )(x g =r m

n r r

j i j i x b a )(

0∑∑+==+。 多项式的乘法具有以下的性质：

i) )(x f )(x g = )(x g )

(x f

8 ii)

()(x f )(x g ))(x h =)(x f ()(x g )(x h ) iii)

()(x f +)(x g ))(x h =)(x f )(x h + )(x g )(x h iv)

若)(x f ,)(x g ∈][x F ,且全不为零,则)(x f )(x g ≠0，从而若)(x f )(x h = )(x g )(x h ,且)(x h ≠0,则)(x f =)(x g

9

3.多项式的次数

定义. ∀)(x f ∈][x F , )(x f ≠0称)(x f 中不为零的项的

最高次数为该多形式的次数,记为∂()(x f )。零多项式不定义次

数。

我们给出多项式的和与积的次数定理，它在多项式理论中占

有重要的地位。

10 定理 设)(x f ≠0，)(x g ≠0

i)

)(x f +)(x g ≠0时, ∂

()(x f +)(x g )≤max(∂()(x f ), ∂()(x g )) ii)

∂()(x f )(x g )=∂()(x f ）+∂( )(x g )

11

4.带余除法

定理 设)(x f , )(x g ∈][x F ,且)(x g ≠0,一定有][x F 中

的多项式)(x q ，)(x r 存在，使)(x f = )(x q )(x g +)(x r 成立，

其中∂（)(x r ）<∂( )(x g )或者r (x )=0，并且这样的)(x q ，)

(x r 是唯一的。

5.整除及其性质

12

定义 设)(x f , )(x g ∈ ][x F ，若存在多项式q(x)，使等

式)(x f = q(x) )(x g 成立，称)(x g 能整除)(x f ，记作

()g x |()f x ；否则称)(x g 不能整除)(x f 。

多项式整除具有以下性质：

（1）∀)(x f ∈][x F 和c ≠0∈][x F , )(x f |0, c|)(x f ,

13 c )(x f |)(x f

（2）)(x f |)(x g ,)(x g |)(x h ,则)(x f |)(x h

（3）)(x f |)(x g i (i=1,2…s),则存在)(x i μ∈]

[x F (i=1,2…s),使1

()()()s

i i i f x x g x μ=∑；

14 （4）()()f x g x ，且()()g x f x ()(),f x cg x c ⇔=≠0。

（5）()()f x g x ，且)(x g ≠0 则))

(())((x g x f ∂≤∂

最后，我们给出多项式整除关系的下述性质：

设)(x f , )(x g ∈][x F 数域F ⊆__F 那么，在][x F 中，

()()g x f x ⇔在][__

x F 中，()()g x f x 。

15

证明： 因为F ⊆__F ，所以][x F ∈][__

x F 。这样，当在]

[x F 中，()()g x f x 时，在][__x F 当然也有()()g x f x 。

现在，设在][__x F 中，()()g x f x 。

如果，)(x g =0则 )(x f =0。此时，在][x F 中自然有

()()g x f x 。