矩形折叠问题专题训练--详细答案

中考数学矩形折叠问题专题训练

一．填空题（共11小题）

1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E是BC边上一个动点，连接AE，作DF⊥AE于点F，当BE的长为时，△CDF是等腰三角形．

2．在▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在▱ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为．

3．如图是矩形纸片ABCD．AB=16cm，BC=40cm，M是边BC的中点，沿过M的直线翻折．若点B恰好落在边AD上，那么折痕长度为cm．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是．

5．在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为．

6．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为．

7．已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA 沿OD折叠，点A的对应点为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为．8．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．

9．在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为cm．

10．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD 内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长为．

11．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF 沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为．

折叠问题

1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E是BC边上一个动点，连接AE，作DF⊥AE于点F，当BE的长为2或2或4﹣2时，△CDF是等腰三角形．

【解答】解：①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，则CM∥AE，DM=MF，（1分）延长CM交AD于点G，∴AG=GD=2，∴CE=2，∴当BE=2时，△CDF是等腰三角形；

②DF=DC时，则DF=DC=AB=2，∵DF⊥AE，AD=2，

∴∠DAE=45°，则BE=2，∴当BE=2时，△CDF是等腰三角形；

③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．

∵AB=2，BE=x，∴AE=，AF=，∵△ADF∽△EAB，

∴，即，解得：x=4﹣2或x=4+2（舍去）；

∴当BE=4﹣2时，△CDF是等腰三角形．

综上，当BE=2或2或4﹣2时，△CDF是等腰三角形．

故答案为：2或2或4﹣2．

2．在▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在▱ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为4或6．

【解答】解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，

∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AD∥BC，∠B′AD=90°，∴∠B′GC=90°，

∵∠B=30°，AB=2，∴∠AB′C=30°，∴GC=B′C=BC，∴G是BC的中点，

在Rt△ABG中，BG=AB=×2=3，∴BC=6；

当∠AB′D=90°时，如图2，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵由折叠的性质：∠BAC=90°，

∴AC∥B′D，∴四边形ACDB′是等腰梯形，∵∠AB′D=90°，∴四边形ACDB′是矩形，

∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=2，∴BC=AB÷=2×=4，

∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．故答案为：4或6．

3．如图是矩形纸片ABCD．AB=16cm，BC=40cm，M是边BC的中点，沿过M的直线翻折．若点B恰好落在边AD上，那么折痕长度为10或8cm．

【解答】解：分两种情况考虑：

（i）如图1所示，过M作ME⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四边形ABME为矩形，

∴EM=AB=16，AE=BM，又∵BC=40，M为BC的中点，

∴由折叠可得：B′M=BM=BC=20，在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E==12，

∴AB′=AE﹣B′E=20﹣12=8，设AG=x，则有GB′=GB=16﹣x，

在Rt△AGB′中，根据勾股定理得：GB′2=AG2+A′B′2，即（16﹣x）2=x2+82，

解得：x=6，∴GB=16﹣6=10，在Rt△GBM中，根据勾股定理得：GM==10；

（ii）如图2所示，过M作ME⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四边形ABME为矩形，

∴EM=AB=16，AE=BM，又BC=40，M为BC的中点，

∴由折叠可得：B′M=BM=BC=20，在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E==12，

∴AB′=AE+B′E=20+12=32，

设AG=A′G=y，则GB′=AB′﹣AG=AE+EB′﹣AG=32﹣y，A′B′=AB=16，

在Rt△A′B′G中，根据勾股定理得：A′G2+A′B′2=GB′2，即y2+162=（32﹣y）2，

解得：y=12，∴AG=12，∴GE=AE﹣AG=20﹣12=8，

在Rt△GEM中，根据勾股定理得：GM==8；

综上所述，折痕MG=10或8．故答案为：10或8．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是3≤x≤4．

【解答】解：取BP中点O，以BP为直径作⊙O，连接QO，当QO⊥AC时，QO最短，即BP最短，

∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△ABC∽△OQC，

∴=，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∵BP=x，∴QO=x，CO=4﹣x，∴=，

解得：x=3，当P与C重合时，BP=4，∴BP=x的取值范围是：3≤x≤4，故答案为：3≤x≤4．