韦达定理的灵活运用

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韦达定理的原理应用是什么

韦达定理的原理应用是什么1. 韦达定理简介韦达定理（Vieta’s theorem）是一个用于解二次方程的定理，它通过多项式的系数与根之间的关系，揭示了根与系数之间的重要特征。

这个定理是以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名的，他在16世纪首次提出了这个定理。

2. 韦达定理的表述如果我们有一个二次方程：ax2+bx+c=0其中a、b、c是实数，x是未知数。

韦达定理给出了与这个二次方程相关的根之间的关系：如果r1和r2是方程的两个实数根，那么他们满足以下关系：r1 + r2 = -b / ar1 * r2 = c / a这些关系将帮助我们解决二次方程并找到其根的值。

3. 韦达定理的应用韦达定理有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用场景：3.1. 求二次方程的根韦达定理为我们提供了一个实用的方法来求解二次方程的根。

我们只需要根据方程的系数，计算出和与积的值，然后利用韦达定理的关系式即可得到方程的两个根。

例如，对于方程 2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以使用韦达定理计算出： - 和的值：-3 / 2 - 积的值：-5 / 2这样我们就得到了方程的两个根。

3.2. 寻找根与系数之间的关系韦达定理不仅仅是一个用于解二次方程的工具，它还揭示了根与系数之间的重要关系。

通过韦达定理，我们可以发现以下一些有趣的规律：•和的值与一次项系数的相反数成比例：根的和与一次项系数的相反数成正比。

即 r1 + r2 = -b / a•积的值与常数项成比例：根的积与常数项成正比。

即 r1 * r2 = c / a这些规律对于我们研究多项式方程的性质以及根的特性都非常有用。

3.3. 解决实际问题韦达定理可以应用于解决一些实际的问题。

例如，假设我们正在研究一个投掷物体的运动，我们希望知道在什么时候物体落地。

我们可以将物体的运动模型建立为二次方程，然后通过韦达定理求解出方程的根。

魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题

魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题湖北省竹溪县第一高级中学442300韦达定理是法国数学家韦达最早发现的关于代数方程的根与系数之间的一种关系。

中学阶段，我们学一元二次方程中根和系数关系的重要定理。

它第一次出现在人教版九年级数学上册二十一章——《2.4一元二次方程的根与系数的关系》一节中，为选学内容。

在实数范围内应用韦达定理，必须注意判别式0，a0这两个隐含条件是否成立。

但纵观高中阶段的考试考卷，不难发现，关于韦达定理的题目屡屡出现，包括代数和平面解析几何两个方面，而且我们认识到巧用韦达定理解题的强大作用，也体会到韦达定理的巧妙之处。

下面从两个方面介绍巧用韦达定理解决高中数学的实际问题。

一、在代数方面的应用韦达定理用得最多的就是已知一元二次方程，求根之间的关系；或者由根之间的关系，构建一元二次方程，据此解题。

在高中阶段，用的地方很多，下面从数列、三角函数、解三角形和有关证明几个方面进行说明。

1.已知一元二次方程，求根（或根之间的关系）。

例1：等比数列a n中，a1和a12是方程2x25x10的两个根，求a4.a9的值。

剖析：由于等差数列的性质和等差数列的性质在与形式上正好与韦达定理有相似之处，故有的题会与之结合，这也体现了该定理在解答数列相关题时的巧妙之处。

2.已知一元二次方程的两根，构建一元二次方程。

剖剖析：次题展示了韦达定理在解三角函数中的应用。

此处sin cos与sin.cos也与韦达定理在形式上一致，故可以把它们看做整体构建为一个一元二次方程，便于求解。

在两角和差的正切公式处，tan tan和tan tan也满足韦达定理的形式，所以此处也可以将两者巧妙地结合在一起考查。

剖析：因余弦定理含有两边平方和的关系，将余弦定理转换后与韦达定理有联系之处，这就启发我们构建关于未知数的一元二次方程，从而求得a、b、c的值。

此题展示了韦达定理在解三角形时，与余弦定理的巧妙结合。

剖析：该题证明过程中，也巧妙的运用了构建一元二次方程的方法，结合判别式来进行求解证明。

妙用韦达定理解题

妙用韦达定理解题湖南省龙山县华塘乡初级中学杨翠碧在一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，如果042≥-ac b ，那么它的两个根1x 、2x 具有如下关系：a b x x -=+21、acx x =21。

这就是一元二次方程的根与系数的关系，简称韦达定理。

本文就如何利用韦达定理解决一元二次方程中的有关问题略举几例，供同学们在学习中借鉴。

一、巧用韦达定理求值例1：已知1x 、2x 是方程04232=--x x 的两个根，求22123x x +的值。

解：因为1x 是方程04232=--x x 的根，所以0423121=--x x 即423121+=x x ，由韦达定理知：3221=+x x ，于是2122124223x x x x ++=+()4221++=x x 3164322=+⨯= 例2：已知1x 、2x 是方程032=-+x x 的两个根，求代数式1942231+-x x 的值。

解：由于1x 、2x 是方程032=-+x x 的根，故有03121=-+x x 、03222=-+x x 从而有1213x x -=、2223x x -=，另一方面，由韦达定理得121-=+x x 、321-=x x 因此194194222112231+-=+-x x x x x =()()19343211+---x x x7432211++-=x x x ()()044743321211=++=++--=x x x x x解题反思：上述两例，都巧妙地利用了韦达定理，但在解题过程中的灵活性，很值得我们去思考。

二、利用韦达定理求作新方程例3：已知方程0142=+-x x ，求作一个新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的2倍解：设x 为原方程的任一根，y 为新方程的任一根，由题意得 x y 2= 即2y x =将2y x = 代入方程0142=+-x x 得012422=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛y y 即 0482=+-y y 为所求新方程。

韦达定理的数学运用,这类学生很容易搞错

韦达定理的数学运用,这类学生很容易搞错韦达定理是一种基本的数学定理，它在解决三角形问题中有着广泛的应用。

在学习韦达定理时，学生往往会遇到一些困难，容易搞错。

本文将介绍韦达定理的数学运用，并提供一些解决问题的技巧和方法。

一、韦达定理的定义韦达定理是指在三角形ABC中，如果从顶点A向边BC引一条平分线AD，则有：\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}其中，AB、AC、BD、DC分别表示三角形ABC中的边长和平分线AD所分割的边长。

二、韦达定理的数学运用1. 求三角形的内心内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内接圆的圆心。

利用韦达定理可以求出三角形的内心坐标。

假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形内心的坐标为：x=\frac{ax1+bx2+cx3}{a+b+c}y=\frac{ay1+by2+cy3}{a+b+c}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长。

2. 求三角形的外心外心是三角形三条垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

利用韦达定理可以求出三角形的外心坐标。

假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形外心的坐标为：x=\frac{a(x1^2+y1^2)+b(x2^2+y2^2)+c(x3^2+y3^2)}{2S}y=\frac{a(x1^2+y1^2)+b(x2^2+y2^2)+c(x3^2+y3^2)}{2S}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长，S表示三角形的面积。

3. 求三角形的垂心垂心是三角形三条高线的交点。

利用韦达定理可以求出三角形的垂心坐标。

假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形垂心的坐标为：x=\frac{(x1+x2+x3)(a^2+b^2-c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)-(x1^2+x2^2+x3 ^2)}y=\frac{(y1+y2+y3)(a^2+b^2-c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)-(y1^2+y2^2+y3 ^2)}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长。

初中数学一元二次方程的韦达定理有什么应用

初中数学一元二次方程的韦达定理有什么应用一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算一元二次方程根的和与积的方法。

韦达定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将详细介绍一些常见的应用场景。

1. 判定方程根的性质：韦达定理可以用来判定方程的根的性质。

通过计算根的和与积，我们可以得到关于根的一些信息。

例如，当根的和与根的积都为正数时，说明方程的两个根都是正数；当根的和为负数而根的积为正数时，说明方程的两个根一个为正数一个为负数。

这种信息对于解决实际问题非常有用，可以帮助我们了解方程的解的情况。

2. 求解方程的根：韦达定理可以用于求解一元二次方程的根。

通过将方程的系数带入韦达定理的公式，我们可以计算出方程的根的和与积。

进一步求解根的具体数值，可以使用一些代数方法，如配方法、因式分解或求根公式。

韦达定理为我们提供了一个快速计算根的和与积的方法，从而更方便地解决一元二次方程。

3. 拟合数据：韦达定理可以用于数据的拟合。

通过找到满足给定数据点的一元二次方程，我们可以使用韦达定理计算方程的根的和与积。

根的和与积可以提供关于数据的整体趋势和特征的信息。

这种方法在统计学和数据分析中非常有用，可以帮助我们找到最佳拟合曲线并预测未知数据的值。

4. 解决实际问题：韦达定理在解决实际问题中起到重要的作用。

例如，在物理学中，我们可以使用韦达定理来计算自由落体运动中物体的最大高度和落地时间；在经济学中，韦达定理可以用来分析成本和收益之间的关系，帮助我们做出合理的决策；在工程学中，韦达定理可以用于计算电路中的电流和电压，从而设计合适的电路。

总结：一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算方程根的和与积的方法。

韦达定理在判定方程根的性质、求解方程的根、拟合数据以及解决实际问题等方面有着广泛的应用。

了解韦达定理及其应用可以帮助我们更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题，同时也可以在实际生活中应用这些知识来解决各种问题。

韦达定理的巧用

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巧用韦达定理的推论

巧用韦达定理的推论韦达定理揭示了一元二次方程的两根之和、之积与系数的关系，然而在学习中，我们经常还会遇到两根之差、之比、平方和等问题，如果能将它们与系数建立起来关系，直接用这种关系来解题，岂不妙哉？下面是韦达定理的三个推论，它会给大家带来惊喜．推论一设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，则。

推论二设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实根，令,则。

推论三设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，则。

利用上述推论来解题，显得简捷、明快、直观，对提高同学们的解题能力很有帮助，下面举例说明它们的应用．一、求值例1 已知x1、x2为方程2x2＋2x－1＝0的二根，则|x1－x2|的值为____解:由推论一，得：|x1－x2|=例2 设x1、x2是方程x2＋6x＋q＝0的两根，且3x1＋2x2＝0，则q＝____．解:由3x 1＋2x 2＝0，得。

由推论二，得： ∴q ＝－216．例3 已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的两实根的平方和等于6，求k 的值．解设方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的两根为x 1、x 2，∴，由题意知k 2－3＝6，∴k 2＝9，k ＝±3．由于当k ＝3时，原方程无实根，∴k ＝3应舍去．故k 的值为－3．二、求系数间的关系例4 如果方程x 2＋px ＋q ＝0的一根为另一根的2倍，那么p ，q 所满足的关系式是____．解：因为，由推论二得，即。

例5 方程x 2＋px ＋q ＝0的两根之差与x 2＋qx ＋p ＝0的两根之差相等，则p ，q 的关系式是____． (A)p ＝q ； (B)p ＋q ＝－4； (C)p ＝q 或p ＋q ＝－4； (D)无关．解设方程x 2+px+q=0的两根为α，β，方程x 2+qx+p=0的两根为α′，β′，则，。

韦达定理在实际问题中的应用

韦达定理在实际问题中的应用韦达定理是一个非常有用的几何定理，它被广泛应用于各种实际问题中，包括工程学、物理学和金融学等领域。

本文将讨论韦达定理的定义、证明和一些实际应用。

一、韦达定理的定义韦达定理是一个三角形内部的一个重要定理，它阐述了三角形内任意一点到三边的距离之积等于这个点到三边的三条距离之积。

图1：韦达定理示意图设三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，三角形内任意一点P到三条边的距离分别为d1、d2和d3，则根据韦达定理有：AB × PC × d1= BC × PA × d2= AC × PB × d3二、韦达定理的证明韦达定理的证明可以使用相似三角形和割线定理来完成。

首先，我们利用相似三角形证明了韦达定理在三角形底边上的一个特殊情况。

例如，在图1中，我们可以通过相似三角形证明： PB/AB = PC/AC令 d1 = h1、d2 = h2，则 h1/h2 = PB/PC因此，韦达定理的底边情况成立。

接下来，我们可以使用割线定理继续证明韦达定理。

在图1中，我们从点P引一条平行于AB的直线，它与BC和AC的交点分别为Q和R。

根据割线定理，有：PB/PC = BQ/CR又因为三角形PAB和PCQ相似，三角形PAR和PRB相似，因此有以下等式成立：PA/PC = AB/BQRA/RB = AP/PB将上述等式代入割线定理公式中得：PB/PC = AB/BQ = AP/CR = RA/RB = h3/h4因此，有以下等式成立：AB × PC × d1 = BC × PA × d2 = AC × PB × d3 = h1 × h2 × h3/h4由此可知，韦达定理成立。

三、韦达定理在许多实际问题中都有广泛的应用。

以下是一些例子。

1.测量塔的高度韦达定理可以用于测量一座塔的高度，方法是测量一个与塔底线平行的直线段和它到塔顶的距离，以及一个与塔底线垂直的直线段和它到塔顶的距离。

韦达定理公式怎么用

韦达定理公式怎么⽤
韦达定理公式运⽤：若b²-4ac<0则⽅程没有实数根；若b²-4ac=0则⽅程有两个相等的实数根；若b²-4ac>0则⽅程有两个不相等的实数根。

韦达定理公式运⽤
⼀元⼆次⽅程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、
1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2
⽤韦达定理判断⽅程的根⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0(a≠0)中，
若b²-4ac<0则⽅程没有实数根
若b²-4ac=0则⽅程有两个相等的实数根
若b²-4ac>0则⽅程有两个不相等的实数根
定理拓展
(1)若两根互为相反数，则b=0
(2)若两根互为倒数，则a=c
(3)若⼀根为0，则c=0
(4)若⼀根为-1，则a-b+c=0
(5)若⼀根为1，则a+b+c=0
(6)若a、c异号，⽅程⼀定有两个实数根。

以上为韦达定理公式：⼀元⼆次⽅程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2
韦达定理简介
韦达定理说明了⼀元⼆次⽅程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索⽡·韦达于1615年在著作《论⽅程的识别与订正》中建⽴了⽅程根与系数的关系，提出了这条定理。

由于韦达最早发现代数⽅程的根与系数之间有这种关系，⼈们把这个关系称为韦达定理。

浅谈韦达定理在解题中的应用

浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p 与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。

韦达定理的七种处理方法

韦达定理的七种处理方法
嘿，朋友们！今天咱就来好好聊聊韦达定理的七种处理方法，这可真是宝藏知识啊！
第一种，直接代入法。

比如说，已知方程x²+3x-4=0，那咱直接把根代入韦达定理公式里去，就能得出一些神奇的结果啦！就像你找到了一把钥匙，直接打开知识的大门，多爽啊！
第二种，整体求值法。

来个例子哈，方程ax²+bx+c=0 的两根之和已知，让你求某个式子的值，这时候不就可以利用韦达定理把整体的值算出来嘛，这感觉就像拼图找到了关键的那一块，一下子就完整了！
第三种，构造方程法。

哎呀呀，就像搭积木一样，根据已知条件构造出方程来，再用韦达定理解决，妙不妙？比如告诉你两根的关系，那咱就据此构造个方程，然后利用定理求解，这不就迎刃而解啦！
第四种，对称转化法。

这就好像走迷宫找到了新的通道！比如有个式子很复杂，但通过对称转化，就能用韦达定理轻巧地处理了。

第五种，降次法。

嘿，它就像给你个难题，然后突然告诉你一个妙招，一下就把问题简化了。

把高次的式子通过韦达定理降次来求解，是不是超厉害！
第六种，变形法。

哇，就像孙悟空七十二变一样，把式子变来变去，变出能用韦达定理的形式，然后问题就解决啦。

第七种，利用判别式与韦达定理结合法。

这俩结合起来，那可真是强强联手啊！比如判断方程根的情况，再结合韦达定理求值，厉害吧！
总之啊，韦达定理的这七种处理方法真的超级实用，学会了它们，就像拥有了超级武器，能攻克好多数学难题呢！你们还等什么，赶紧用起来吧！。

韦达定理及运用

韦达定理及运用韦达定理是法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根。

因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。

两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达定理应用中的一个技巧在解有关一元二次方程整数根问题时，若将韦达定理与分解式αβ±(α＋β)＋1＝(α±1)(β±1)结合起来，往往解法新颖、巧妙、别具一格．例说如下．例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1、x2－1均为整数，所以例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．(97四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．。

活用韦达定理,解决几何难题

求切线方程会复杂，过４、Ｂ两点的斜率计算量太大，而第② 种则较为简单，可以大大提高解题效率，第③种方法实际上并不可行．所以综合比较之后采用第②种方法求解最为合理，即由脯出发，设出切线的斜率，再利用韦达定理找到直线斜率与尸点坐标之间的关系，继而求出Ｐ，４的坐标，求出的坐标之后，直线ｆ的方程自然容易解出．
（２）已知点Ｐ是抛物线Ｃ。上异于原点的一点，过点Ｐ
作圆Ｃ的两条切线，并且使切线交抛物线ｃ于点Ａ和日，
如果经过点和点Ｐ两点的直线ｚ垂直于ＡＢ，求直线ｆ的方
程．
二、试题点评
本题主要考查圆锥曲线问题的应用，通过将抛物线与圆相结合，综合考查了解析几何的相关知识．对于第（１）问的解答，并不存在太大的问题，只要先求出抛物线准线的方程，再利用圆心的坐标Ｍ（０，４），可以轻松得到圆心到抛物线准线之间的距离．而对于第（２）问，解决问题的途径有许多，主要有三种方法：① 的坐标已知，设直线ｆ的斜率为ｋ，利用斜率求方程；② 利用两点式，设Ｐ的坐标然后求解；③ 确定ＡＢ的斜率，然后确定要求的斜率，分析后再求解．综合分析这三种方法，经过对比之后可以发现第 ①种方法需要求出Ｐ的坐标，再
时间以及精力，为了能够巩固知识，笔者接着再介绍一斜率为＿＝１＿，所１）Ａｋ￣＝ｋ故向量ＰＱ与向量ＡＣ平行，道运用韦达定理解决圆锥曲线问题的例子．

人教九上：专题三--韦达定理的应用(含解析)

专题三韦达定理的应用1．设x1、x2是关于x的方程x2+kx+2=0的两个实数根，求代数式1x1+1x2+k2的值．2．已知关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+3k=0．(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；(2)若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．3．已知关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2满足x21+x22=1+x1⋅x2，求实数k的值．4．已知关于x的方程x2−2x+m−1=0．有一个实数根是5，求此方程的另一个根以及m的值．5．关于x的一元二次方程x2−6x+k=0，若方程的一个根x1=2，求k的值和方程的另一个根x2．6．若关于x的一元二次方程x2−bx+2=0有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．7．关于x的一元二次方程x2+2x−3m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m=1时，求方程的根．8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程．x2+2x+c=0的两个不相等的实数根．(1)求c的取值范围；(2)若x1x2=−1，直接写出c的值；(3)若x1=−3，直接写出c的值．9．若关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．10．已知3，t是方程2x2+2mx−3m=0的两个实数根，求m及t的值．11．若关于x的一元二次方程x2+bx−6=0有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根．12．已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3．求m的值及方程的另一个根．13．关于x的一元二次方程x2−8x+m=0有一个根是x=3，求m的值及方程的另一个根．14．已知关于x的方程x2−kx+12=0的一个根为3，求k的值及它的另一个根．15．若关于x的一元二次方程x2−4x+m+3=0有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根．16．关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围：(2)当m=8时，求方程的根．17．已知：关于x的方程x2+mx−8=0有一个根是−4，求另一个根及m的值．18．已知x=−1是一元二次方程x2−2x+c=0的一个根，求c的值及方程另一个根．参考答案1．0【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2=−k，x1x2=2，然后根据分式的加减对原式进行变形，整体代入计算即可求出答案．【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2+kx+2=0的两个实数根，∴x1+x2=−k，x1x2=2，又∵边长k>0，∴k=7，综上所述，k的值为5或7．3．(1)k≤1312(2)k=1【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−b，x1x2=c a．a（1）根据题意可得Δ=(2k−3)2−4(k2−1)≥0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=−(2k−3)，x1⋅x2=k2−1，再由已知条件和完全平方公式的变形得到(2k−3)2−3(k2−1)=1，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2，∴Δ=(2k−3)2−4(k2−1)≥0，∴4k2−12k+9−4k2+4≥0，∴k≤13；12（2）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=−(2k−3)，x1⋅x2=k2−1，∵x21+x22=1+x1⋅x2，∴x21+x22−x1⋅x2=1∴(x1+x2)2−3x1x2=1，∴(2k−3)2−3(k2−1)=1，∴4k2−12k+9−3k2+3=1，∴k2−12k+11=0解得：k1=1，k2=11（舍去）∴k=1．4．x2=−3；m=−14．【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入x=5可求出m的值，再利用两根之和等于−b，即可求出方程的另一个根，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．a【详解】解：当x=5时，原方程为52−2×5+m−1=0，解得：m=−14，设方程的另一个实数根为x2，∵5+x2=2，∴x2=−3，∴方程的另一个根为−3，m的值为−14．5．k=8，x2=4【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由一个根为2，求出另一根，进而确定出k的值．【详解】设另一根为x2，∴2+x2=6，2x2=k，则x2=4，k=8，则6∴1把则7(2)（（【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=4−4×1×(−3m)>0，解得：m>−1，3（2）当m=1时，方程为x2+2x−3=0，(x+3)(x−1)=0，解得x1=−3，x2=1．8．(1)c<1(2)c=−1(3)c=−3【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解．（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ<0，可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围；（2）利用根与系数的关系，可得出x1x2=c，结合x1x2=−1，即可得出c的值；（3）代入x1=−3，即可求出c的值．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22−4×1×c>0，解得：c<1，∴c的取值范围是c<1；（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两个不相等的实数根，∴x1x2=c，又∵x1x2=−1，∴c=−1；（3）解：将x1=−3代入原方程得9+2×(−3)+c=0，解得：c=−3，∴若x1=−3，则c的值为−3．9．m=5，x1=x2=−2【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解法，根据当Δ=0时，方程有两个相等的实数根求得m 值，进而解一元二次方程即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2+4x+m−1=0有两个相等的实数根，∴Δ=42−4(m−1)=0，则m=5，∴x2+4x+4=0，解得x1=x2=−2．10．t=3，m=−6【分析】利用根与系数的关系，建立二元一次方程组进行求解．【详解】解：∵3，t是方程2x2+2mx−3m=0的两个实数根，∴3+t=−2m2，3t=−3m2，3+t=−m①2t=−m②，∴3+t=2t，解得：t=3，∴m=−2×3=−6，答：t=3，m=−6．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二元一次方程组，解题的关键是能利用根与系数的关系建立二元一次方程组．11．b=1，方程的另一个根为−3【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将x=2代入x2+bx−6=0求得b的值，然后解方程组即可．【详解】∵x=2是方程x2+bx−6=0有一个根，∴4+2b−6=0，∴b=1当b=1时，原方程为x2+x−6=0，解得x1=2，x2=−3．∴b=1，方程的另一个根为−3．12．m=6，另一个根为4【分析】把x=3代入方程求出m的值，然后解方程求出另一个根即可．【详解】解：把x=3代入x2−(m+1)x+m+6=0，得9−3(m+1)+m+6=0，解得m=6，把m=6代入原方程得x2−7x+12=0，∴(x−3)(x−4)=0，∴x1=3,x2=4，即方程的另一个根为4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．13．m的值为15，另一根为5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则有x1+x2=−ba ，x1x2=ca是解题的关键．【详解】解：设另一根为a，则a+3=8，3a=m，解得：a=5，m=15，∴m的值为15，另一根为5．14．k=7，另一根为4【分析】由于一根为3，把x=3代入方程即可求得k的值．然后根据两根之积即可求得另一根．【详解】解：∵方程x2−kx+12=0的一个根为3，∴32−k×3+12=0，解得k=7，设另一根为x，∵3x=12，∴x=4，∴另一根为4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大．15．m=1，x1=x2=2【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用以及解一元一次方程，根据Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出m，利用因式分解法解方程求出方程的根．【详解】解：∵关于x的方程x2−4x+m+3=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−4)2−4×1×(m+3)=4−4m=0，解得，m=1，∴方程为x2−4x+4=0，∴(x−2)2=0解得：x1=x2=2．16．(1)m>−1(2)x1=−4，x2=2【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根；Δ=0时方程有两个相等的实数根；Δ<0时方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及解一元二次方程的方法是解题关键．（1）根据方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根可得判别式Δ>0，列不等式求出m的取值范围即可；（2）把m=8代入x2+2x−m=0，利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等实数根，∴Δ=b2−4ac=22−4×1×(−m)>0，解得：m>−1．∴m的取值范围为m>−1．（∴∴x17∴∴18∴1∴c设另一个根为x2，则−1⋅x2=−3，∴x2=3，∴c的值是−3，另一个根是x=3．。

韦达定理怎么运用

韦达定理怎么运用
韦达定理怎么运用
导语：中国南宋伟大的数学家秦九韶在他1247年编写的世界数学名著《数书九章》一书中提出了数字一元三次方程与任何高次方程的解法“正负开方术”，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。

那么，接下来就让我们一起来了解以下关于一元三次方程韦达定理怎么用的具体方法吧。

文章仅供大家的参考借鉴!希望文章能够帮助到大家!
韦达定理怎么运用
应用范围1：已知两个根其中的一个，就可以代入韦达定理的关系式里的任何来求得另一个根，并且还可以用另一个关系式来检验。

应用范围2：根据根与系数的关系，把已知的两个根的和的相反数做所求方程的一次项系数，两根的积做常数项，而把二次项系数作为1，这样，就能作出这个方程。

应用范围3：根据根与系数的关系，可以把所求的两个数当作一元二次方程当中的系数，然后解这个方程，那么方程的两个根就是这两个数。

应用范围4：已知一个一元二次方程，不解这个方程，求某些代数式的.值(这些代数式是方程两个根的对称式)。

应用范围5：已知一个一元二次方程，不解这个方程，求作另一个方程，使它的根与原方程的根有某些特殊关系。

应用范围6：利用给出的条件，确定一个一元二次方程中某些字母系数的值。

直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略

直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略一、引言直线与圆锥曲线问题是解析几何中的重要内容，韦达定理是解决这类问题的关键工具。

本文将深入探讨韦达定理在直线与圆锥曲线问题中的应用策略，通过实例分析和详细讲解，帮助读者更好地理解和应用韦达定理。

二、韦达定理的基本概念韦达定理是解析几何中的一项重要定理，主要用于解决直线与圆锥曲线相交问题。

韦达定理的表述如下：定理 1（韦达定理）：设直线 L 的方程为 Ax + By + C = 0，圆锥曲线 C 的方程为 F(x, y) = 0，其中 F(x, y) 是 C 的方程，且 C 不经过 L 的交点。

韦达定理的关键在于将直线与圆锥曲线的交点坐标代入相应的距离公式，从而得到它们之间的关系。

三、韦达定理的应用策略在实际问题中，我们常常需要根据已知条件求解直线与圆锥曲线的交点坐标或者两者之间的距离关系。

下面将介绍韦达定理在解决这类问题时的应用策略。

3.1 已知直线和圆锥曲线方程，求交点坐标当我们已知直线和圆锥曲线的方程时，可以通过韦达定理求解它们的交点坐标。

具体步骤如下：1.将直线和圆锥曲线的方程分别表示为 Ax + By + C = 0 和 F(x, y) = 0 的形式；2.将直线和圆锥曲线的方程代入韦达定理的公式，得到点 P 的坐标 (x0, y0)；3.根据求得的点 P 的坐标，可以进一步分析直线和圆锥曲线的位置关系及其它相关性质。

3.2 已知直线和交点坐标，求圆锥曲线方程当我们已知直线和交点坐标时，可以通过韦达定理求解圆锥曲线的方程。

韦达定理的灵活运用

韦达定理的灵活运用摘要： “韦达定理”在初中教材中称为“一元于二次方程的根与系数的关系”，在求一元二次方程的参数的值或取值范围时有着重要的作用，同时也可以反过来构造一元二次方程，将非一元二次方程问题转化为一元二次方程，另辟蹊径，化难为易。

关键词：韦达定理；根的定义；判别式；构造方程。

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为“韦达定理”。

这是因为该定理是由16世纪法国最著名的数学家韦达发现的。

韦达定理的内容是：若21,x x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则有：ac x x a b x x =•-=+2121,。

其简单的形式包涵了丰富的数学内容，深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。

它应用广泛，灵活多样，妙趣横生，主要体现在以下几个方面：一、运用韦达定理，求不定方程中的参数的值或取值范围例：已知21,x x 是一元二次方程051322=++-m x x 的两个实数根，且0)(322121〉+-x x x x ，则m 的取值范围为＿＿＿解析：运用韦达定理，可轻易的建立关于的不等式，解决问题；同时也要注意“△≥0”这个隐含条件的限制。

二、运用韦达定理，求代数式的值例：已知βα, 是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求代数式)1(22-+βαα的值；解析：利用根的定义，有012=--αα，012=--ββ，得到：12+=αα，12+=ββ，可达到降次的目的。

原式=121)1(1+=-++=-++αβαβαβαα，根据韦达定理：1-=αβ，所以原式=0。

三、运用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号的特征在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，若△≥0，则有：（1）若B=0，则021=-=+a b x x ，则两根异号； (2)若A=C ，则121==•ac x x ，则两根互为倒数；（3）若0,02121〉=•〈-=+ac x x a b x x ，则两根同为负；（4）若0,02121〉=•〉-=+ac x x a b x x ，则两根同时为正；（5）若021〈=•ac x x ，则两根异号。

一元二次方程韦达定理的应用

一元二次方程韦达定理的应用1. 引言一元二次方程，听上去挺复杂的，其实就是形如 (ax^2 + bx + c = 0) 的方程。

今天我们要聊聊韦达定理，这个数学小工具其实蛮厉害的，不仅能帮助我们解决问题，还能让我们觉得数学原来这么有趣！2. 韦达定理是什么？2.1 定义韦达定理是由法国数学家韦达提出的。

简单来说，这个定理告诉我们，给定一元二次方程 (ax^2 + bx + c = 0)，它的两个解 (x_1) 和 (x_2) 有两个非常特别的关系。

首先，它们的和等于 (frac{b}{a})；其次，它们的积等于 (frac{c}{a})。

听起来是不是很神奇？这其实是个非常有用的规律！2.2 为什么重要？韦达定理的伟大之处在于，它能帮助我们在不知道具体解的情况下，推导出一些有用的信息。

如果我们知道了方程的系数 (a)、(b) 和 (c)，就能通过这些定理轻松搞清楚根的关系。

3. 应用示例3.1 找根比如，我们有一个方程 (2x^2 5x + 3 = 0)。

要是我们直接用韦达定理，我们可以先找出两个根的和和积。

根的和就是 (frac{5}{2} = frac{5}{2})，而根的积是 (frac{3}{2})。

这些信息有时候能帮助我们在心里大概知道解的范围，不用费劲去计算具体的根。

3.2 解方程假设你遇到一道题，给了你一个方程 (x^2 4x + 4 = 0)，然后问你它的两个根是什么。

我们知道，根的和是 (frac{4}{1} = 4)，根的积是 (frac{4}{1} = 4)。

那两个根可能就是(2) 和 (2)，因为它们的和和积都符合韦达定理。

这种情况下，我们可以很快找出方程的解，省去不少功夫。

4. 小结总之，韦达定理虽然简单，却是解决一元二次方程的超级好帮手。

它不仅让我们轻松掌握了方程的根与系数之间的关系，还能帮助我们在复杂的数学题目中找到简便的解决方法。

希望你们在今后的数学学习中，多多利用这个小工具，让你的数学之旅更加顺畅！参考资料韦达定理基本概念实际应用案例与示例这样，我们就用一种轻松的方式，深入探讨了韦达定理的奇妙世界。

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