随机过程习题课

3 4
D( ) Cov( , )( t1 t 2 ) D( )( t1t 2 ) 1 3(t1 t 2 ) 4t1t 2
3
2.设随机过程X (t)=A cos t, -∞ < t < + ∞，且其概率分布律为
A P 1 1 3 2 1 3 3 1 3
试求一维分布函数F (x;π/4), F (x;π/2)以 及均值函数和自相关函数
c min{ c t1 , c t 2 }
2 2 2 2
2 min{ t1 , t 2 }
( 2)
X ( t ) W ( t ) tW ( t ), t 0
RX (t1 , t 2 ) E[W (t1 ) t1W (t1 )W (t 2 ) t 2W (t 2 )] E[W (t1 )W (t 2 ) (t1 t 2 )W (t1 )W (t 2 ) t1t 2W (t1 )W (t 2 )]
第九章练习题
1.给定随机过程 X(t)=ξ+ηt ，-∞< t <+ ∞，其中 随机向量(ξ, η)的协方差矩阵为 1 3
C 3 4
求随机过程{X(t), -∞< <+ ∞ }的自协方差函数。
t
2.设随机过程X (t)=A cos t,-∞< t <+ ∞，且其概率分 布律为 A 1 2 3
5
维纳过程的定义：设 {W (t ), t 0 } 是二阶矩过程， 且满足以下条件。 (1)W(t)是独立增量过程； (2)对任意的 0 s t，增量
( 3) W (0) 0.
W (t ) W ( s ) ~ N (0, (t s ) 2 )
则称此过程为维纳过程。 均值函数 方差函数
2 P ( 2) P 0.6 0.3 0.1 0.48 0.28 0.24 0.6 0.1 0.3 0.48 0.24 0.28
1 3 0.52 0.24 0.24 37 19 19 1 0.48 0.28 0.24 75 75 75 3 0.48 0.24 0.28
E ( 2 ) E ( )( t1 t 2 ) E ( 2 )( t1t 2 ) C X (t1 , t 2 ) RX (t1 , t 2 ) X (t1 ) X (t 2 )
[ E ( 2 ) E ( )2 ] [ E () E ( ) E ( )]( t1 t 2 ) [ E ( 2 ) E ( )2 ]( t1t 2 )

p( n) p(0) P ( n)

p( n) p ( n),
1
p2 ( n), ,

p ( n),
j
P ( n) [ P (1)]n P n
一维分布
P{ X n a j } p j (n) pi (0) pij ( n),
i 1
j 1,2, .
W ( t ) 0;
DW ( t ) 2 t;
CW ( s, t ) 2 min( s, t ) ; 协方差函数
相关函数 RW ( s, t ) 2 min( s, t ) .
9
第九章练习题
1.给定随机过程 X(t)=ξ+ηt ，-∞<t<+ ∞，其中 1 3 随机向量(ξ, η)的协方差矩阵为 C
P ( N ( 2) 3 N ( 3)
64 6 e P ( N ( 2) Leabharlann Baidu3, N ( 3) 5) 35 5) 6 6 P ( N ( 3) 5) e 5!
80 243
(4)已知[0,2]内收到3次呼唤，求[0,3]内收到5次呼唤的概率.
P ( N ( 2) 3, N ( 3) 5) P ( N ( 3) N ( 2) 2 ) P ( N ( 3) 5 N ( 2) 3) P ( N ( 2) 3)
3!
3
(2)求[0,2]内收到3次且[0,3]内收到5次呼唤的概率 P ( N ( 2) 3, N ( 3) 5) P ( N (2) N (0) 3, N ( 3) N ( 2) 2) ( 2 2)3 ( 22 ) ( 2 1)2 ( 21) 64 6 e e e 3! 2! 3 (3)已知[0,3]内收到5次呼唤，求[0,2]内收到3次呼唤的概率.
[ ( t t0 )]k ( t t0 ) P{ N ( t ) N ( t 0 ) k } Pk (t0 , t ) P{ N (t0 , t ) k } e k!
( 3). N (0) 0.
则称{N(t),t>0}是强度为 的泊松过程。 N (t ) t 均值函数 DN (t ) t 方差函数 协方差函数 C N ( s, t ) min( s, t ) 相关函数 RN ( s, t ) min( s, t ) 2 s t
0 1 3 F ( x; ) 4 2 3 1 x 2 2
(1) t

4
X 4 P
2 X( ) A 4 2
2 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2

2 x 2 2 2 x x 3 2 2 3 2 2
( 2) t
3
2e
2
4.设{W (t), t≥0}是参数为σ2 的wiener过程，试计 算下列过程的均值函数和自相关函数。
(1) X (t ) c 1W (c 2 t ), t 0
X ( t ) E[c 1W (c 2 t )] c 1 RW (c 2 t ) 0
RX (t1 , t 2 ) E[c 1W (c 2 t1 )c 1W (c 2 t 2 )] c 2 RW (c 2 t1 , c 2 t 2 )
P ( X 1 1, X 3 2, X 4 1) p1 (1) p12 (2) p21 (1)
p1 (0) p11 p2 (0) p21 p3 (0) p31 p12 (2) p21 (1)
1 1 1 0.4 0.6 0.6 0.24 0.6 0.0786 3 3 3
1
定义：设{ X ( n) , n 0,1,2,}为齐次马氏链，分别记
p j ( 0) P { X 0 a j } a j I , j 1,2,
p j ( n) P { X n a j }
aj I
初始分布 绝对概率
都是代表过程在某个时刻处于某个状态，分别称为马氏链的初 始分布和绝对概率。 可用向量形式表示为： p(0) p1 (0), p2 (0), , p j (0),
21
(4)从长远看来，市场份额是否会趋于稳定，若稳定， 三公司分别会有怎样的市场份额？
求随机过程{X(t), -∞ < t < + ∞ }的自协方差函数。 解： X (t ) E[ X (t )] E[ t ] E ( ) E ( )t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[( t1 )( t 2 )]

2
X 2 P
X( ) 0 2
0 1

(3) X (t ) E[ X (t )] E[ A cos t ] cos tE[ A] 2 cos t
(4) RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[ A cos t1 A cos t 2 ]
有限维分布 P{ X t1 ai1 , X t 2 ai2 ,, X t n ain } pi1 ( t1 ) pi i (t 2 t1 ) pi i (t n t n1 )
pi (0) pi i1 ( t1 ) pi i ( t 2 t1 ) pi
1 2
( 2)
3
X ( t ) W ( t ) tW ( t ), t 0
定义1：设{N(t), t>0}是计数过程，且满足以下条件： (1).N(t)是独立增量过程；
(2).对任意的 t t0 0，增量 N (t ) N (t0 ) ~ (t t0 )；
泊松过程的分布律
37 19 19 , , 75 75 75
p(2)
1 p(0) P (2) 3
即两年后所占市场份额分别是 20
(2)试问至第2年底，A公司转移多少客户给B公司。 p12 (2)
p12 (2) 0.24
即第2年底，A公司转移24%客户给B公司。 (3)若某顾客第一年底是A公司的客户，第三年是B公司 的客户，第四年仍然是A公司的客户，求该事件的概率
(1 (t1 t 2 ) t1t 2 ) RW (t1 , t 2 ) (1 t1 )(1 t 2 ) 2 min{ t1 , t 2 }
3
X (t ) E[W (t ) tW (t )] 0
第十章习题
A、B、C三家公司决定在某一时间推销一种新产 品，当时他们各拥有 ⅓ 的市场，然而一年后，情况 发生了如下的变化 (a)A保住0.4的顾客，而失去0.3给B，失去0.3给C； (b)B保住0.3的顾客，而失去0.6给A，失去0.1给C； (c)C保住0.3的顾客，而失去0.6给A，失去0.1给B。 (1)如果这种趋势下去，试问第2年底各公司拥有多少 份额的市场？ (2)试问至第2年底，A公司转移多少客户给B公司。 (3)若某顾客第一年底是A公司的客户，第三年是B公司 的客户，第四年仍然是A公司的客户，求该事件的概率 (4)从长远看来，市场份额是否会趋于稳定，若稳定， 三公司分别会有怎样的市场份额？
4
0 F ( x; ) 2 1
x0 x0
cos t1 cos t 2 E[ A
2
14 ] cos t1 cos t 2 3
3.已知寻呼台在[0,t)内收到的呼叫次数{N(t),t≥0}是泊松过 程，每分钟平均收到2次呼叫。 (1)求2分钟内收到3次呼叫的概率 ( 2 2) 3 ( 22 ) 32 4 e P ( N ( 2) 3) P ( N (2) N (0) 3) e
(3)已知[0,3]内收到5次呼唤，求[0,2]内收到3次呼 唤的概率. (4)已知[0,2]内收到3次呼唤，求[0,3]内收到5次呼 唤的概率. 4.设{W (t), t≥0}是参数为σ2 的wiener过程，试计 算下列过程的均值函数和自相关函数。
(1) X (t ) c 1W 2 (c 2 t ), t 0
P 1 3 1 3 1 3
试求一维分布函数F (x;π/4), F (x;π/2)以及均值函数和 自相关函数
3
3.已知寻呼台在[0,t)内收到的呼叫次数{N(t),t≥0} 是泊松过程，每分钟平均收到2次呼叫。 (1)求2分钟内收到3次呼叫的概率 (2)求[0,2]内收到3次且[0,3]内收到5次呼唤的概率

1 2
n1 n
n1 i n
( t n t n 1 )
11
i 1
解：由题目知，如果设A、B、C 公司分别为1，2，3 则三 家公司所占市场份额为齐次马氏链 且p1(0)=p2(0)=p3(0)= ⅓ (1)如果这种趋势下去，试问第2年底各公司拥有多少份额的市 场？ p( 2 ) 0.4 0.3 0.3 P 0.6 0.3 0.1 一步转移概率矩阵为 0.6 0.1 0.3 2 两步转移概率矩阵为 0.4 0.3 0.3 0.52 0.24 0.24