八年级乘法公式
人教版八年级数学14.2乘法公式
§14.2 乘法公式
【要点 1】平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即 (a b)(a b) a 2 b 2 。 这个公式满足以下条件： （1）公式的左边是两个二项式的相乘，并且这两个二项式 中有一个是相同的项，另一个是系数互为相反数的项； （2）公式的右边是两个数的 平方差的形式，而且是用相同的项的平方减去系数互为相反数的项的平方。而公式 中的 a，b 既可以代表单项式，又可以代表多项式 【例】计算： 1 1 （1） (3 x 2 y )(3 x 2 y ) （2） (4 x 2 5)(5 4 x 2 ) （3） 899 901 1 3 3
1 a 2 b 2 ( a b) 2 2ab ○ 2 4ab ( a b) 2 ( a b) 2 ○ 4 2( a 2 b 2 ) ( a b ) 2 ( a b ) 2 ○ 3 ( a b) 2 4ab ( a b) 2 ○
5 2( a 2 b 2 ) ( a b ) 2 ( a b ) 2 ○
）= xy 3 x 2 y 3 （
）
（3）592
3
人教版八年级数学上册
【中考链接】 1、下列计算正确的是（ ） A、 2 x x x B、 a 3 a 2 a 6
2 2
C、 (a b) 2 a 2 b 2
D、 (a b)(a b) a 2 b 2
2
C (a-b) =a +2ab+b ） D、2b
2
2
2
2
D (a-b) =a -ab+b
2
2
2
3、若 x 2 2ax 1 是一个完全平方式，则 a 的值是（ A、1 B、-1 C、 1 D、0 ）
八年级上学期数学辅导资料：乘法公式
八年级上学期数学辅导资料：乘法公式知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来查字典数学网给大家整理八年级上学期数学辅导资料，供大家参考阅读。
一、内容提要：例1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开)，还可以由右到左逆用(因式分解)，还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
例2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2立方和(差)公式：(a±b)(a2?ab+b2)=a3±b33.公式的推广：1. 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
2. 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3+5ab4±b5)注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律3. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数-----(a+b)(a2n1-a2n2b+a2n3b2-?+ab2n2-b2n1)=a2n-b2n ---(a+b)(a2n-a2n1b+a2n2b2-?-ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：-----(a-b)(an1+an2b+an3b2+?+abn2+bn1)=an-bn4. 公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2-2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时an-bn能被a-b整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b及a-b整除。
初二乘法公式
初二乘法公式
乘法公式是数学中的一种基本公式，用于计算两个数的乘积。
在初二数学中学习的乘法公式为：
乘法公式1：两个整数相乘
例如，如果要计算2和3的乘积，我们可以使用乘法公式1：
2 ×
3 = 6
乘法公式2：两个整数的积与它们的一部分相乘
例如，如果要计算3和5的积与2相乘，我们可以使用乘法公式2：(3 × 5) × 2 = 30
乘法公式3：两个整数和一个分数相乘
例如，如果要计算4和7以及1/2的乘积，我们可以使用乘法公式3：(4 × 7) × 1/2 = 14
乘法公式4：两个分数相乘
例如，如果要计算1/3和2/5的乘积，我们可以使用乘法公式4：
(1/3) × (2/5) = 2/15
以上是初二乘法公式的简单介绍，希望对你有帮助！。
八年级数学乘法公式3
2
平方差公式：
同樣的，我們也用代數的方式來證明一次
(a+b)(a-b) = a - ab + ba - b = a -b
現在我們四種 乘法公式都學 過啦， 一起複習一下 吧！
2
2
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二項式乘積公式：
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
（a+b) = a + 2ab +b 差的完全平方公式： 2 2 2 （a-b) = a - 2ab +b 平方差公式：
（a-b) = a - 2ab +b 2 2 這個公式是怎麼來的呢？ a -ab +b -ab 讓我們用以下的圖形來說明： 2 2 2 (請注意看圖形中淺黃色部分的面積變化 =a -2ab )+b （a-b）
ab
2
2
b
2
a
b
ab
2
b
2
b
2
（a-b) = a - 2ab +b
2
差的(完全)平方公式：
(a+b)= a +2ab +b
ab
2
222b来自讓我們用左邊的 圖形來說明
b
和的(完全)平方公式：
我們可以用代數的方式得到同樣的結果
(a+b)(a+b) = a + ab + ba + b = a + 2ab + b
ab
2 b
2
2
2
2
a2 ab
=
a2
+
ab
ba
+
八年级数学上册 14.2.2 乘法公式教学课件 (新版)新人教版
a + (b - c) = a + b - c
;
a - (b + c) = a – b – c
;
知识迁移 ☞ 添括号法则
1、 添上“ +( )”, 原各项的符号都不变;
2、添上“ -( )”, 原各项的符号都改变;
用字母表示为:
a + b - c = a + (b - c) a – b – c = a - (b + c)
(x p)(x q) x2 qx px pq x2 ( p q)x pq
你能得出什么规律？
归纳 ☞ 乘法公式
特殊乘法公式：
(x p)(x q) x2 ( p q)x pq
公式特征： 1.未知数x的系数为（p+q），常数项为pq； 2.p、q为常数。
精讲精练 ☞
例4 计算：
14.2.2
温故知新1 ☞
(a+b)(a−b)= a2 − b2; 公式的结构特征:左边是 两个二项式的乘积,
即两数和与这两数差的积. 右边是 这两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
1、什么条件下用平方差公式？
2、使用时关键在于找准a与b
相同的项看作a，
互为相反数的项中符号后面的项看作b。
温故知新2 ☞ 完全平方公式
练习：运用乘法公式计算:
(1) (2x +y +z ) (2x – y – z ) (2) (a + 2b – 1 ) 2 ;
（3） x2 x 1 x2 x 1
精讲精练 ☞
例2 用两种方法计算：(y+3)2- (y-3)2
方法1：解：(y+3)2- (y-3)2 =y2+6y+9- (y2-6y+9) 用完全平方公式
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 乘法公式与因数分解 知识点讲解+练习题
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
新人教版八年级数学上册《乘法公式》精品课件
如图（2）中，大正方形的边长 是a，它的面积是a2；矩形 DCGE与矩形BCHF是全等图形， 长都是a，宽都是b，所以它们 的面积都是a•b；正方形HCGM 的边长是b，其面积就是b2；
正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(ab)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再 加上正方形HCGM的面积． 也就是：(a-b)2=a22ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公 式吗？
先看图（1），可以看出大正方 形的边长是a+b．还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两 个矩形组成， 所以大正方形的
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符号怎么表述呢？
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
面积等于这四个图形的面积之 和．阴影部分的正方形边长是a， 所以它的面积是a2；
另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另 外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面 积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是 (a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正 好符合完全平方公式．
人教版数学八年级上册-14.2--乘法公式
方法总结：对于平方差中的 a 和 b 可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问 题时，一般先将整式化为最简，然后根据结果的特 征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例5 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了 邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地 一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你， 你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈 吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ① (a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2_； ② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a_3－__b_3__； ③ (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
内容
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差
平方差 公式
a−b b
a−b (a−b)2 b(a−b) a
b
ab
a (a − b)2 = a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 差的完全平方公式： (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 .
问题 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
注意
2. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征， 在应用时，只有两个二项式的积才有 可能应用平方差公式；不能直接应用 公式的，要经过适当变形才可以应用
人教版数学八年级上册
14.2.乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
探究
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
例题
(4m+n)2
(x-2y)2
练习
1022
992
扩展----贾宪三角
中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰。在这个数学创 新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。其中特 别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制的“贾宪三角”了。
其解法与现代通常使用的“霍纳法”（由英国数学家霍纳于1819年给 出）基本一致，但比霍纳法要早了五百多年。从贾宪到秦九韶逐步 发展完备起来的高次方程数值解法，是中国数学在宋元时期的一项 杰出的创造。
小结
1. 计算(x-y)(-y-x)的结果是（ ） A.-x2+y2 B. -x2-y2 C. x2-y2 D. x2+y2
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么 规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
贾宪最著名的数学成就，是他创制了 一幅数字图式，即“开方作法本源图” 。 这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在 引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此 术”。所以过去我国数学界把这幅图称 为“杨辉三角”，实际上是不妥当的， 应该称为“贾宪三角”才最为恰当。
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
华东师大初中数学八年级上册乘法公式(基础)知识讲解
乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【高清课堂396590 乘法公式知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：22()()ab a b a b两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a 利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y （3）指数变化：如3232()()mn mn （4）符号变化：如()()a b a b （5）增项变化：如()()m n p m n p （6）增因式变化：如2244()()()()ab ab ab ab 要点二、完全平方公式完全平方公式：2222a baab b2222)(babab a两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：2222a b a b ab22a b ab224a ba bab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ；2233()()a b a ab b a b ；33223()33a b aa babb ；2222()222ab c abcab ac bc .【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果． (1)2332a b b a ； (2) 2323a b a b ； (3) 2323a ba b ； (4)2323a b a b ； (5)2323a b a b ； (6)2323a ba b ．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) 2323a b a b ＝23b －22a ＝2294b a ．(3) 2323a ba b ＝22a－23b＝2249ab ．(4) 2323a b a b ＝22a －23b ＝2249ab ．(5)2323a b a b＝23b －22a ＝2294b a ．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）332222x x yy ；（2）(2)(2)x x ；（3）(32)(23)xy y x ．【答案】解：（1）原式2222392244xx y y ．（2）原式222(2)4xx ．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x xy xy xy ．2、计算： (1)59.9×60.1； (2)102×98．【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】（2015春?莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122 （2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）【答案】解：（1）1232﹣124×122 =1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1 =1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算： (1)23a b ； (2)232a ； (3)22x y； (4)223x y．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) 22222332396a b aa b baab b ．(2) 222223223222334129a a aa aa ．(3) 22222222244x yxx y y xxy y．(4)2222222323222334129x y x yxx y y xxy y ．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意22a ba b 之间的转化．4、（2015春?吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【答案与解析】解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；方法②：（m+n）2﹣4mn；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=7，ab=5，∴（a﹣b）2=72﹣4×５=49﹣20=29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、（2016春?常州期末）已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．（1）求xy的值；（2）求x2+y2+4xy的值．【思路点拨】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x+y=3代入，即可求出答案；（2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．【答案与解析】解：（1）∵x+y=3，（x+3）（y+3）=xy+3（x+y）+9=20，∴xy+3×3+9=20，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+y2+4xy=（x+y）2+2xy=32+2×2=13．【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．举一反三：【变式】已知2a b和ab的值．a b，求22()7()4a b，2【答案】解：由2a ab b；①27a b，得22()7由2()4ab ，得2224aab b．②①＋②得222()11a b ，∴22112a b．①－②得43ab ，∴34ab．。