数系的扩充教学课件
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数系的扩充与复数的概念 课件
复数的分类 m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－
15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [分析] 在本题是复数的标准形式下，即 z＝a＋bi(a，b∈
R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合 即可．
[解析] (1)由条件得mm＋2－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠5－或3m. ＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm＋2－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足i2＝___－__1___.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 __复__数_集___与__虚_部_____．全体复数构成的集合叫做 实部
复数的相等与复数的分类
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ di⇔a_＝__c且__b_＝_d_______.
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有 理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但 在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝ b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有 解呢？
1．数系扩充的原因、脉络、原则
脉 络 ： 自 然 数 系 → 整 数 系 → 有 理 数 系 → 实 数 系 → _ _ _ _复_ _数_系_
原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与 数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
( 人教A版)数系的扩充和复数的概念课件 (共29张PPT)
(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
数系的扩充ppt课件
2实数可以与实数可以与i进行四则运算在进行四则运进行四则运算在进行四则运算时原有的加法与乘法的运算率算时原有的加法与乘法的运算率包括交换率结包括交换率结合率和分配率合率和分配率仍然成立
复数的概念
精选编辑ppt
1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
精选编辑ppt
23
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
精选编辑ppt
24
运算法则.
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4
数集扩充到整数集
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5
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
精选编辑ppt
6
数集扩充到有理数集
精选编辑ppt
7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
精选编辑ppt
18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i i4n2 -1 i4n3
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精选编辑ppt
14
数系的扩充 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
复数的概念
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1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
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运算法则.
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4
数集扩充到整数集
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5
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
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6
数集扩充到有理数集
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7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
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18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i i4n2 -1 i4n3
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精选编辑ppt
14
数系的扩充 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
第四节 数系的扩充与复数的引入课件
A．eπi＋1＝0 B．|eix|＝1 C．cos x＝eix－2e－ix D．e12i在复平面内对应的点位于第二象限
①实数；②虚数；③纯虚数． (2)实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点 ①位于第四象限；②位于第一、三象限；③位于直线y＝x上．
解：(1)①当m2－3m＝0，即m＝0或m＝3时，所给复数是实数． ②当m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，所给复数是虚数．
m2＋m－6＝0， m－2≠0，
解得m＝－
3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式， 实数⇔b＝0 纯虚数⇔a＝0，b≠0 非纯虚数⇔a≠0，b≠0 2.ac＋＋dbii为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ac＝bd(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
( C) A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi. ∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
的点的坐标为( A )
A．(－1，－1)
B．(－1,1)
C．(1,2)
D．(1，－2)
[解析]
z＝－
1 i
－1＝－1＋i，
－ z
＝－1－i，则在复平面内，
－ z
对应点的坐标为
(－1，－1)．故选A.
①实数；②虚数；③纯虚数． (2)实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点 ①位于第四象限；②位于第一、三象限；③位于直线y＝x上．
解：(1)①当m2－3m＝0，即m＝0或m＝3时，所给复数是实数． ②当m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，所给复数是虚数．
m2＋m－6＝0， m－2≠0，
解得m＝－
3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式， 实数⇔b＝0 纯虚数⇔a＝0，b≠0 非纯虚数⇔a≠0，b≠0 2.ac＋＋dbii为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ac＝bd(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
( C) A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi. ∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
的点的坐标为( A )
A．(－1，－1)
B．(－1,1)
C．(1,2)
D．(1，－2)
[解析]
z＝－
1 i
－1＝－1＋i，
－ z
＝－1－i，则在复平面内，
－ z
对应点的坐标为
(－1，－1)．故选A.
数系的扩充ppt课件
• 康托尔的超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思青想是将“无限小”和“无限大” 作为R 以外的超实
数衣。
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16
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
12
实数系R 复数系C
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我
们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b
意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
系是具备这样的性质的。
青 衣
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6
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
青
衣
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• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数
系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减
法封闭的特性。
青 衣
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5
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些
新数符合扩张的要求，或者具有新
数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数
7
自然数系N 整数系Z
青
衣
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3.1数系的扩充PPT优秀课件
m 1 0
1 0
数系的扩充
复数的概念
练习:1.当m为何实数时，复数
Z m m 2 ( m 1 ) i
2 2
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
1 (3)m=-2 (1)m= 1 (2)m
数系的扩充
复数的概念
如果两个复数的实部和虚部分别相
等，那么我们就说这两个复数相等．
R C
数系的扩充
复数的概念
例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出
哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯 虚数. 1 4 4, 2－3i, 0, i ,5 2i, 6 i 2 3
数系的扩充
复数的概念
练一练：
说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 , 0.618,
引入一个新数：
i
满足
i 1
2
数系的扩充
复数的概念
引入一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包
括交换率、结合率和分配率)仍然成立。
复数：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 复数集：全体复数所形成的集合叫做复 数集，一般用字母C表示 .
2
1 3 , 39 i , i
2 i, 0 7
2i,
5i +8，
数系的扩充
复数的概念
例2: 实数m取什么值时，复数
z m 1 ( m 1 ) i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
1 0 解: （1）当 m ，即
1 0 （2）当 m ，即
数系的扩充课件
[字幕]有理数并非有理 无理数非整数比 公元前几百年，富于理性思维的希腊人
发现边长为1的正方形和正五边形对角线之 长都不是分数，这个发现，震撼了世界科学
界科学界．从此，人类知道了世间还存在着 另一类数，那就是无理数．有理数集与无理 数集合并在一起，构成实数集R．实数解决 了开方开不尽的矛盾，在实数集中，满足加 法与乘法的运算律．
些对数的发展起作重大作用的历史事件和 人物．
设计意图：激发学生学习兴趣，引入新 课．
二、新课讲授
【了解过程，体会作用】
(教师活动)指导学生阅读教材，打出字 幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史 事件和人物)，讲解数系扩充过程．
(学生活动)阅读教材，体会实际需求与 数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理 论)在数系扩充过程中的作用．
[字幕]自然数充满奥秘 人类竞相寻规律
远古的人类，为了统计捕获的野兽和
采集的野果，用手指或石子数个数，历经 漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、 5、…现在人们把0归入自然数，那不过是 为了方便．其实0并不自然，它是自然数减 法的产品。自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．自然数的全体 构成自然数集N．自然数的加法与乘法满足 交换律、结合律以及分配律．
以上教学目标的确定，主要基于以下 几个方面：
(1)依据教学大纲和教材内容的特点， 由此确定第一个教学目标；
(2)数系扩充的过程体现了数学的发现 和创造过程，有利于发展学生独立获取 数学知识的能力和创新意识，由此确定 第二个教学目标；
(3)数系扩充的过程体现了数学发生发 展的客观需求和背景，学生将在问题情 境中
我们习惯地称两个整数之比m/n(n≠0)为 有理数，意思大概是说，这类数的存在是合 理合法的．在人类早期文明史中，有理数是 衡量事物大小多少的惟一数量．当两千多年 前，古希腊数学家发现了 2 一类与有理数根 本不同的数时，人们难以接受这个事实．自 然认为这个怪物的出现是非理非法的。于
发现边长为1的正方形和正五边形对角线之 长都不是分数，这个发现，震撼了世界科学
界科学界．从此，人类知道了世间还存在着 另一类数，那就是无理数．有理数集与无理 数集合并在一起，构成实数集R．实数解决 了开方开不尽的矛盾，在实数集中，满足加 法与乘法的运算律．
些对数的发展起作重大作用的历史事件和 人物．
设计意图：激发学生学习兴趣，引入新 课．
二、新课讲授
【了解过程，体会作用】
(教师活动)指导学生阅读教材，打出字 幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史 事件和人物)，讲解数系扩充过程．
(学生活动)阅读教材，体会实际需求与 数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理 论)在数系扩充过程中的作用．
[字幕]自然数充满奥秘 人类竞相寻规律
远古的人类，为了统计捕获的野兽和
采集的野果，用手指或石子数个数，历经 漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、 5、…现在人们把0归入自然数，那不过是 为了方便．其实0并不自然，它是自然数减 法的产品。自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．自然数的全体 构成自然数集N．自然数的加法与乘法满足 交换律、结合律以及分配律．
以上教学目标的确定，主要基于以下 几个方面：
(1)依据教学大纲和教材内容的特点， 由此确定第一个教学目标；
(2)数系扩充的过程体现了数学的发现 和创造过程，有利于发展学生独立获取 数学知识的能力和创新意识，由此确定 第二个教学目标；
(3)数系扩充的过程体现了数学发生发 展的客观需求和背景，学生将在问题情 境中
我们习惯地称两个整数之比m/n(n≠0)为 有理数，意思大概是说，这类数的存在是合 理合法的．在人类早期文明史中，有理数是 衡量事物大小多少的惟一数量．当两千多年 前，古希腊数学家发现了 2 一类与有理数根 本不同的数时，人们难以接受这个事实．自 然认为这个怪物的出现是非理非法的。于
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
第七章
人教202XA版必修 第二册
复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、引入新课
Hale Waihona Puke 回顾数系的扩充过程①分
自
分数 数
然 数
②整
负数 数
有理数
③ 实数 无理数
①10÷3=？ ②3–5 = ？ ③正方形的面积是2，求该正方形的边长a。 ④求方程x2+1=0的解。
现在我们就引入这样一个新数 i ，并且规定：
4．实数 m 分别取什么数值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是 0？
【解析】由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3. (1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数， ∴m＝5 或－3.
2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数
a，b的值分别是( C )
A. 2，1
B. 2，5
C．± 2，5
D．± 2，1
a2＝2， 【解析】令－2＋b＝3， 得 a＝± 2，b＝5.
3．已知
x2－y2＋2xyi＝2i，则实数
x，y
的值分别为
x
y
11或
x y
1 1
．
【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11，.
（1）i 2 1；
x=i是方程 x2+1=0的解
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行 四则运算时，原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
我们把 i 叫做虚数单位。
人教202XA版必修 第二册
复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、引入新课
Hale Waihona Puke 回顾数系的扩充过程①分
自
分数 数
然 数
②整
负数 数
有理数
③ 实数 无理数
①10÷3=？ ②3–5 = ？ ③正方形的面积是2，求该正方形的边长a。 ④求方程x2+1=0的解。
现在我们就引入这样一个新数 i ，并且规定：
4．实数 m 分别取什么数值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是 0？
【解析】由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3. (1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数， ∴m＝5 或－3.
2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数
a，b的值分别是( C )
A. 2，1
B. 2，5
C．± 2，5
D．± 2，1
a2＝2， 【解析】令－2＋b＝3， 得 a＝± 2，b＝5.
3．已知
x2－y2＋2xyi＝2i，则实数
x，y
的值分别为
x
y
11或
x y
1 1
．
【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11，.
（1）i 2 1；
x=i是方程 x2+1=0的解
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行 四则运算时，原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
我们把 i 叫做虚数单位。
数系的扩充与复数的引入公开课课件
控制工程
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
3.1《数系的扩充与复数的概念》课件
x
o
x轴------实轴 轴 实轴 y轴------虚轴 轴 虚轴
概念辨析
例题
数系的扩充
复数的概念
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 实数绝对值的几何意义 实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 几何意义 (复数的模) 复数的模) 实数a在数轴上所 实数 在数轴上所 z=a+bi在复 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点Z(a,b) 平面上对应的点 的距离。 的距离。 到原点的距离。 到原点的距离。 a
数系的扩充
复数的概念
2．“a=0”是“复数 ． 是 复数a+bi (a , b∈R)所对 ∈ 所对 应的点在虚轴上” C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 必要不充分条件 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 充要条件 不充分不必要条件
数系的扩充
复数的概念
已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 例3 已知复数 在复平面内所对应的点位于第二象限， 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m允许的取值范围 允许的取值范围。 求实数 允许的取值范围。 变式：证明对一切 ， 变式：证明对一切m，此复数所对应的 点不可能位于第四象限。 点不可能位于第四象限。 解题思考： 解题思考： 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题 几何问题) (代数问题 代数问题) 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想： 一种重要的数学思想：数形结合思想
i
数系的扩充
复数的概念
B
n∈Z
*
i
o
x轴------实轴 轴 实轴 y轴------虚轴 轴 虚轴
概念辨析
例题
数系的扩充
复数的概念
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 实数绝对值的几何意义 实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 几何意义 (复数的模) 复数的模) 实数a在数轴上所 实数 在数轴上所 z=a+bi在复 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点Z(a,b) 平面上对应的点 的距离。 的距离。 到原点的距离。 到原点的距离。 a
数系的扩充
复数的概念
2．“a=0”是“复数 ． 是 复数a+bi (a , b∈R)所对 ∈ 所对 应的点在虚轴上” C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 必要不充分条件 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 充要条件 不充分不必要条件
数系的扩充
复数的概念
已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 例3 已知复数 在复平面内所对应的点位于第二象限， 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m允许的取值范围 允许的取值范围。 求实数 允许的取值范围。 变式：证明对一切 ， 变式：证明对一切m，此复数所对应的 点不可能位于第四象限。 点不可能位于第四象限。 解题思考： 解题思考： 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题 几何问题) (代数问题 代数问题) 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想： 一种重要的数学思想：数形结合思想
i
数系的扩充
复数的概念
B
n∈Z
*
i
数系的扩充和复数的引入 PPT课件
当b= 0 时，z为实数
复 数 的 概 念
3i
2i i
5
5i+4 3 2i
当b ≠0 时，z为虚数
当a=请0把且复b 数≠0时，
z为纯虚数
分分类
非纯虚数的虚数：
a ≠ 0,b ≠ 0
特别的，当a= 0 且b= 0 时，z=0
概 复数集、虚数集、实
念 数集、纯虚数集之间
复数集
的关系
虚数集
R C
纯虚数集
扩 充
负整数 整数Z
自然数N
【问题1】
在自然数集中方程 x 4 0 有解吗?
【问题2】
在整数集中方程 3x 4 0 有解吗?
数 系
【问题3】
的
在有理集中方程 x2 3 0 有解吗?
扩
充 【问题4】
在实数集中方程 x2 1 0 有解吗?
解方程 x2 1？, x
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
| z || z | a2 b2
O
x
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点
入
1637年，法国
数学家笛卡尔把这
i
样的数叫做“虚数”
的
引 入
笛卡尔 (R.Descartes,1596--1661)
复 数 的 概 念
3i
2i i
5
5i+4 3 2i
当b ≠0 时，z为虚数
当a=请0把且复b 数≠0时，
z为纯虚数
分分类
非纯虚数的虚数：
a ≠ 0,b ≠ 0
特别的，当a= 0 且b= 0 时，z=0
概 复数集、虚数集、实
念 数集、纯虚数集之间
复数集
的关系
虚数集
R C
纯虚数集
扩 充
负整数 整数Z
自然数N
【问题1】
在自然数集中方程 x 4 0 有解吗?
【问题2】
在整数集中方程 3x 4 0 有解吗?
数 系
【问题3】
的
在有理集中方程 x2 3 0 有解吗?
扩
充 【问题4】
在实数集中方程 x2 1 0 有解吗?
解方程 x2 1？, x
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
| z || z | a2 b2
O
x
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点
入
1637年，法国
数学家笛卡尔把这
i
样的数叫做“虚数”
的
引 入
笛卡尔 (R.Descartes,1596--1661)
3.1.1数系的扩充和复数的概念课件人教新课标
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题1] 方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的 实数解？
[提示 1] 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和12. [问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示2] 没有解．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－ 15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析： (1)要使 z 是实数，必须且只需
x＋3≠0 x2－2x－15＝0
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)由复数相等的充要条件知
x＋32＝y，
①
2y＋1＝4x，
②
2x＋ay＝9，
③
－4x－y＋b＝－8， ④
由①②得x＝52， y＝4，
代入③④得ab＝＝12 .
数学 选修2-2
第三章 数合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
答案： A
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
复数的概念
已知复数 z＝a2－a27－a＋1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求 实数 a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚 数．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
解析： (1)由复数相等的充要条件知
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高中数学
姓名：陆明明 单位：江苏省宿迁中学
走近大师
将 10 分 成 1501—1576） 意大利数学家、医生
5 15
5 15
再现历史
(5 15) (5 15) 10 (5 15) (5 15) 40
23
5 2i， 6i， 2i2．
数学运用
例３ 实数m取什么值时，复数z=m(m－1)＋(m－1)i 是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
问题探究
对于复数z1=a+bi ，z2=c+di（a，b，c，d∈R） 在什么情况下相等呢？
a+bi=c+di
a=c， b=d．
数学运用
例4 已知 (x y) (x 2y)i (2x 5) (3x y)i 求实数x，y的值．
小结收获
回顾本节课，你有哪些收获呢？
运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
建构理论
复数的代数形式： z= a+bi (a，b∈R)
实部 虚部
当b=0时， z是实数； 当b≠0时， z是虚数； 当b≠0且a=0时，z是纯虚数．
数学运用
例1 请你说出下列集合之间的关系 N，Z，Q，R，C．
N Z QRC
数学运用
例2 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些 是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 4， 2-3i， 0， 1 4 i，
瞧，这两个怪东西正是要找的数！
数系的扩充
回顾历史
数集经历了哪几次扩充？ 每一次扩充分别解决了哪些问题？ 这几次扩充有什么共同的特点？
意义建构
共同的特点:
（1）引入新数； （2）在新的数集中，原有的运算及其性质 仍然适用，同时解决了某些运算在原来数 集中不是总可以实施的矛盾．
建构理论
引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定： （1）i2= —1； （2）实数可以与i进行四则运算，进行四则
姓名：陆明明 单位：江苏省宿迁中学
走近大师
将 10 分 成 1501—1576） 意大利数学家、医生
5 15
5 15
再现历史
(5 15) (5 15) 10 (5 15) (5 15) 40
23
5 2i， 6i， 2i2．
数学运用
例３ 实数m取什么值时，复数z=m(m－1)＋(m－1)i 是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
问题探究
对于复数z1=a+bi ，z2=c+di（a，b，c，d∈R） 在什么情况下相等呢？
a+bi=c+di
a=c， b=d．
数学运用
例4 已知 (x y) (x 2y)i (2x 5) (3x y)i 求实数x，y的值．
小结收获
回顾本节课，你有哪些收获呢？
运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
建构理论
复数的代数形式： z= a+bi (a，b∈R)
实部 虚部
当b=0时， z是实数； 当b≠0时， z是虚数； 当b≠0且a=0时，z是纯虚数．
数学运用
例1 请你说出下列集合之间的关系 N，Z，Q，R，C．
N Z QRC
数学运用
例2 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些 是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 4， 2-3i， 0， 1 4 i，
瞧，这两个怪东西正是要找的数！
数系的扩充
回顾历史
数集经历了哪几次扩充？ 每一次扩充分别解决了哪些问题？ 这几次扩充有什么共同的特点？
意义建构
共同的特点:
（1）引入新数； （2）在新的数集中，原有的运算及其性质 仍然适用，同时解决了某些运算在原来数 集中不是总可以实施的矛盾．
建构理论
引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定： （1）i2= —1； （2）实数可以与i进行四则运算，进行四则