柯西积分公式及其推论
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复变函数_柯西积分公式
lim
z 0
f
'( z0
z) z
f
'(z0 )
2!
f (z)
2 i
C (z z0 )3 dz.
依次类推，用数学归纳法可得
f
(n)(z0 )
n!
2 i
f (z) C (z z0 )n1 dz.
18
例6 计算I
C
1 z3(z
1)
dz, 其中C为
|
16
f (z)在C上解析， f (z)在C上连续,
则M ,使得
f
(z)
M,d
min zC
z
z0
11
z z0
d, z z0
. d
取 z 1 d ,则有 2
d
1
2
z z0 z
I z
z z0
ML
d 3
z , 2 z z0 z
( L — C的 长 度 ）
d
.
显 然 ，lim I 0,从 而 有 z 0
f '(z0 )
lim
z 0
f (z0
z) z
f (z0 )
1
2
i
f (z) C (z z0 )2 dz.
（*）
17
再利用()式及推导()的方法可证n 2的情形.
f
''(z0 )
f (z) dz 将接近于 f (z0 ) dz. ( 减小)
C z z0
C z z0
f (z0 ) dz
C z z0
第三章柯西积分公式3-5
C 2
L = 2 ∆z
ML d3
1 f (z) f ′( z ) = ∫C ( z − z ) 2 dz 2πi 0
即n = 1时，结论成立.对于任意的正整数n都是成立的.
例4.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周： = r > 1. z
(1)∫ cosπz ( z − 1)
C
dz,. 5
( 2) ∫
且满足拉普拉斯（Laplace )方程 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称ϕ ( x , y )为区域D内的调和函数 .
定理5.1 如果f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D内解析，
函数u( x , y ), v ( x , y )均为区域D内的调和函数 .
?
C
δ
z0
B
f (z) f (z) dz ∫C z − z0 dz = ∫Cδ z − z0 dz = f ( z0 )∫Cδ z − z0 = 2πif ( z0 )
定理3.1 （柯西积分公式）
如果f ( z )在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部全部含于D内, z 0为C任意一点，则 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2πi f (z) f ( z ) − f ( z 0 )dz ( z ) f 证明 ∫C z − z 0= K dz dz K z−z z−z
2 2
∂ ∂u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ 2v [ ] = − [ ]⇒ =− 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2v ∂ ∂u ∂ ∂v [ ] = − [ ]⇒ 2 = − ∂y ∂ y ∂ y ∂x ∂x∂y ∂y
L = 2 ∆z
ML d3
1 f (z) f ′( z ) = ∫C ( z − z ) 2 dz 2πi 0
即n = 1时，结论成立.对于任意的正整数n都是成立的.
例4.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周： = r > 1. z
(1)∫ cosπz ( z − 1)
C
dz,. 5
( 2) ∫
且满足拉普拉斯（Laplace )方程 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称ϕ ( x , y )为区域D内的调和函数 .
定理5.1 如果f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D内解析，
函数u( x , y ), v ( x , y )均为区域D内的调和函数 .
?
C
δ
z0
B
f (z) f (z) dz ∫C z − z0 dz = ∫Cδ z − z0 dz = f ( z0 )∫Cδ z − z0 = 2πif ( z0 )
定理3.1 （柯西积分公式）
如果f ( z )在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部全部含于D内, z 0为C任意一点，则 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2πi f (z) f ( z ) − f ( z 0 )dz ( z ) f 证明 ∫C z − z 0= K dz dz K z−z z−z
2 2
∂ ∂u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ 2v [ ] = − [ ]⇒ =− 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2v ∂ ∂u ∂ ∂v [ ] = − [ ]⇒ 2 = − ∂y ∂ y ∂ y ∂x ∂x∂y ∂y
柯西公式的推论
柯西公式的推论柯西公式是数学分析中的一个重要概念，而由它衍生出的推论更是为解决各种数学问题提供了有力的工具。
先来说说柯西公式到底是啥。
它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂数学问题的大门。
柯西公式表达为：若函数$f(z)$在区域$D$内处处解析，$C$为$D$内的一条简单正向闭曲线，$z_0$为$C$内一点，则$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z - z_0}dz$ 。
那从这个神奇的公式能得出啥推论呢？比如说，它可以用来推断函数的零点个数。
想象一下，你在解一个方程，怎么知道它有几个根呢？柯西公式的推论就能帮上忙啦！还记得我之前教过的一个学生小明，他在学习柯西公式推论的时候，那叫一个头疼。
每次做题，总是抓不住要点。
有一次，课堂上做一道关于判断函数在某个区域内零点个数的题目，小明瞪着题目看了半天，就是无从下手。
我走过去，看到他眉头紧锁，就问他：“怎么啦，小明？”他苦着脸说：“老师，这柯西公式的推论我总是搞不明白，感觉好复杂。
”我拿起他的笔，给他慢慢讲解：“你看啊，这道题咱们先根据已知条件判断函数的解析性，然后再看曲线的走向……”小明听着听着，眼睛里渐渐有了光亮。
经过那次之后，小明像是突然开了窍，后面再遇到类似的题目，做得越来越顺。
其实柯西公式的推论就像是一个隐藏在数学森林中的宝藏，只要你找到了正确的路径，就能发现它的价值。
再比如说，柯西公式的推论在计算复变函数的积分时也特别有用。
有时候，直接计算积分可能会让你感到头大，但是如果巧妙地运用柯西公式的推论，问题就能迎刃而解。
就拿计算$\int_{|z|=2}\frac{z^2 + 1}{z(z - 1)}dz$ 这道题来说吧。
如果直接去算，那可真是麻烦得很。
但运用柯西公式的推论，先判断函数的奇点，再根据奇点的情况进行分类讨论，计算过程就会清晰很多。
总之，柯西公式的推论在复变函数这一领域中有着广泛的应用。
它就像是数学世界里的一盏明灯，照亮了我们前行的道路。
柯西积分公式
2! f (z) 可得 f ( z0 ) 3 dz . C 2i ( z z0 )
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
第二讲 柯西积分公式高阶导数
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有
C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务
1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i
f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i
f ( ) d ) C z
1 2
2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
柯西积分公式及其推论
( K )
而 f ( ) d f ( ) d
C z
K z
f (z) d K z
K
f ( ) f (z) d z
z
D
K
C
2if (z) f ( ) f (z) d
K z
故
f ( ) d C z
2if (z)
K
f ( ) f (z) d z
f ( ) f (z)
z 2 z 1
z1
2i sin1
例2
计算积分
z
i
1
z
(
z
1 2
1)
dz
.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)
1 z(z i)(z i)
z(z i) zi
a i,
因为 f (z) 在 z i 1内解析, 由柯西积分公式 2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
z(z i) dz zi 1 z i
f
(z0 )
1
2 i
f ( ) d C z0
1
2 i
2 0
f
(z0 R ei Rei
)
Riei d
1 2π
2π 0
f
( z0
R ei )d.
例3 设f (z)在闭圆 z R上解析, 如果存在a 0, 使当 z R时
f (z) a
而且
f (0) a
试证,在圆 z R内, f (z)至少有一个零点.
设z h D 是D内另一点。
只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0
f (z h)
柯西积分公式的推导
柯西积分公式的推导柯西积分公式是复变函数理论中的重要定理，它给出了沿着一个简单闭曲线的积分与其内部的解析函数有关的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪初发现的。
设函数f(z)在一个包含闭曲线C的区域内解析，柯西积分公式给出了f(z)在C上的积分与f(z)在闭曲线内部的解析函数值的关系：∮C f(z) dz = 2πi Res(f, a)其中，∮C表示沿着曲线C的积分，dz表示路径的微元素，a是闭曲线C内部的一个孤立奇点，Res(f, a)是f(z)在点a处的留数。
柯西积分公式的推导主要基于留数定理和柯西-黎曼方程。
留数定理指出，如果f(z)在奇点a处有一个留数，那么沿着C的积分等于2πi乘以该留数。
而柯西-黎曼方程则给出了解析函数f(z)的实部和虚部之间的关系。
推导柯西积分公式的过程如下：1. 首先，设f(z)在区域D内解析，闭曲线C完全包含在D内。
2. 将f(z)展开成泰勒级数：f(z) = a0 + a1(z - z0) + a2(z - z0)^2 + ...这里，z0是D内的一点。
3. 考虑沿着C的积分∮C f(z) dz，可以将路径C分解成小段，每段的长度趋近于0。
对于每一小段，我们可以将f(z)的级数展开式代入积分中。
4. 注意到在积分中，只有一次项a1(z - z0)对积分有贡献。
因为对于高次项，积分的值在小段长度趋近于0时趋于0。
5. 将积分路径的微元素dz替换成z - z0，得到积分∮C a1(z - z0) dz。
6. 对于每一小段，z - z0可以表示为曲线参数t的函数，即z - z0 = f(t)。
7. 假设曲线参数t的范围是a到b，那么z - z0在C上的积分可以变为曲线参数t的积分∫a^b a1f(t) f'(t) dt。
8. 根据柯西-黎曼方程的实部与虚部关系，可以得到f(t)f'(t)的实部和虚部分别是a1f'(t)和-a1f'(t)。
3.3柯西积分公式
1 f ( ) f ( z h) d , L 2 i z h
f ( z h) f ( z ) 1 f ( ) d 2 h 2 i L ( z )
1 1 f ( ) 1 f ( ) h f ( ) d d d 2 h 2 i L z h 2 i L z 2 i L ( z )
L
zh z
2
h Ms 3, 2 4d
所以当h 0时，上式的极限为0，
即
1 f ( ) f ( z) d . 2 L 2 i ( z )
'
推论3.3.1 设f ( z )在区域D内解析, 则f ( z )在D内 有任意阶导数.
证 z0 D, 则 0, 使得U ( z0 , ) D,
设M 是|f ( z ) |在L上的一个上界，L的长度为s, 则M 与s 均有界，于是
f ( z h) f ( z ) 1 f ( ) d 2 L h 2 i ( z)
h f ( ) ＝ d 2 2 i L ( z h)( z)
h 2
f ( ) d
sin z 4 dz 2 z 1 z 2
z 1
sin z 4 dz 2 z 1 1
2
z 1
π sin z 4 dz 2 z 1 1
2
2 2 i i 2i . 2 2
π cos e 例4 求积分 dz , 并证明 e cos(sin )d π . 0 z z 1
所以 0, 0( 0 ), 使当 z z0 时有 f ( z ) f ( z0 ) . 2
Hale Waihona Puke 于是当 时有f ( z ) f ( z0 ) f ( z) L z z0 dz－2 if ( z0 ) L z z0 dz 2 2 d , ( z z0 ei , 0 2 ) 0 f ( z) 所以 lim dz＝2 if ( z0 ). L 0 z z 0
3.2.[1]-柯西积分公式
![3.2.[1]-柯西积分公式](https://img.taocdn.com/s3/m/538cf329cfc789eb172dc895.png)
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 δ 的正向圆周 z − z0 = δ ,
由 f ( z ) 的连续性 ,
在 C 上函数 f ( z ) 的值将随着 δ 的缩小而逐渐 接近于它在圆心 z0 处的值 ,
∫C
f (z) f ( z0 ) dz 将接近于 ∫ dz . (δ 缩小) C z− z z − z0 0
这就是柯西积分公式. 证明
对∀z ∈ D
f (ζ ) 设F (ζ ) = ζ −z
C
z.
D
则F (ζ )在D内除z外解析, 以 z为心, 充分小的ρ为半径 作圆周K ρ : ζ − z = ρ
使K ρ 及其内部全含于D内,
− 对复周线Γ = C + K ρ ,由定理有
zρ K ⋅
C
ρ
D
f (ζ ) f (ζ ) ∫C ζ − z dζ = ∫Kρ ζ − z dζ
∫
z +1 =
π sin z 4 dz + z2 − 1 1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 dz z2 − 1 1
2
2 2 = πi + πi = 2πi . 2 2
π cosθ ez 例6 求积分 ∫ dz , 并证明 ∫ e cos(sinθ )dθ = π . 0 z z =1
解
根据柯西积分公式知, 根据柯西积分公式知
− −
π
e iθ
π
= 2i ∫0 e
π
cosθ
cos(sinθ )dθ − ∫ e −π
−
π
cosθ
sin(sinθ )dθ
ez dz = 2π i , 因为 ∫ z z =1
复变函数3.4
1 f (z) C ζ z dζ f ( z )C z d 2if ( z ).
从而有如下定理
定理 3.11 设区域 D 的边界是周线( 或复周线 ) C , 函数
f ( z ) 在 D 内解析, 在 D D C 上连续， 则有 1 f ( ) ( 3.8) f (z) d . 2 i C z f ( ) 证 任意固定 z D , F ( ) z z C D 作为 的函数在 D 内除点 z 外均
则 在闭圆 z0 R 上连续，
1 2 i f ( z0 ) f ( z Re )d 0 2 0 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上 i z Re 0 y 的平均值. 证 ： 在圆周 z R 上 ，有 z
0
0
z0 Rei , 0 2
变化而改变. 为求这个值, 积分曲线C 取作以 z 为中心,
半径为很小的δ 的正向圆周 ζ z δ ,由 f ( ) 的连续性 ,
在 C 上函数 f ( ) 的值将随着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z 处的值 , 于是,
C
f ( ) f (z) d 将接近于 d , ( 缩小) C z z
2 i f ( z )
f ( ) f ( z ) d . z
f ( ) C z d
f ( ) f ( ) f ( z ) d 2 i f ( z ) d z z
f ( ) f ( z ) f (ζ ) f ( z ) s . γ ρ ζ z dζ z ds 2 d 上述不等式表明, 只要 足够小, 左端积分的模就 可以任意小. 从而将关系式 f ( ) f ( ) f ( z ) C z d 2 i f ( z ) z d f ( ) 两端取 0 的极限, 得 d 2 i f ( z ) , C z
2-4柯西公式
小ρ >0为半径作圆周γρ>0，使γρ均在B内，在该
复通区域对函数F(ξ)应用柯西定理：
f ( ) f ( ) l z d z d f ( ) d 2if ( z ) 只须证明 lim 0 z f ( ) d 2i z f ( ) f ( ) d d 2if ( z ) d f ( z ) z z z
1 2
2
0
f ( z ei )d
例：计算
1 sin z (1) |z|4 z dz 2i 2 1 (2) dz | z| 4 z 1 z 3
解：(1) sinz在|z|=4内部及|z|=4上解析，由定 理知：
sin z 1 dz 2i sin z z 0 0 |z|4 z 2i 2 1 (2) |z|4 z 1 z 3 dz 1 2 dz dz | z| 4 z ( 1) | z| 4 z 3 1 2i
)( i)
d ，l为圆周|ξ |=2。
i 2i 9 1 5
cos z l ( z i)3 dz ，其中l为绕i一周的围线。 解：设f(z)=cosz在，n=2，得：
cos z 2i e 1 e1 l ( z i)3 dz 2! (cosz) |z i i cosi i 2
n! e z x d e dz e ( x ne x ) 2i l ( z x) n 1 dxn
x z n n
即
f ( ) l z d 2if ( z) f ( ) C a d 2if (a) 1 f ( ) f (a) C a d 2i
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
3-3柯西积分公式
作以 z0 为中心、
为半径的圆周：
C
D
C z z z0 .
显然,C 及其内部落在 D 内.
z C
0
由闭曲线上积分的形变原理,得
z z
C
f z
0
dz =
C
zz
f z
0
dz
本章第一节的 例 2 P54 =Biblioteka 例 8 计算积分
I
z =1
cos e z z
dz
解
f z cos e z 是整函数 在全平面上解析的函数
f z 在 z 1 解析
z 0 z z 1 故由公式 3.3.2 有 I 2 i cos e z 2 i cos1.
f z
2
f z0 Re i Re i
Rie i d
函数 f z 解析函数的积分平均值公式 3.3.3 表示了：
1 2
2 0
f z0 Re i d
在圆心处的值等于其在圆周上的积分平均值.
小结
一、柯西积分公式
二、解析函数的积分平均值定理
得
sin z 1 I 2 2 z dz 2 z
sin z 2 z dz z
sin z 2 z dz z
1 2 i sin z z 1 sin z z 1 2
i sin1 sin 1
作业
P81:
8 (1) (2) (3) (4)
ez z 例 9 计算积分 z 2 dz 其中 C 是: C 1 单位圆周曲线 逆时针方向
第二章 柯西定理公式
第二章 复变函数的积分
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
柯西积分公式
f
( )
z
在D
上连续,在区域D内解析.
所以由定理3.2.8有,
f ( ) d f ( ) d.
L z
L z
注意到f ( )在以L为边界的闭圆盘上解析, 于是由上式及引理3.3.1知,
L
f
( )
z
d
2 if
( z ).
证毕.
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在L内部任一点的值用它在边界上的
2. 柯西积分公式 引理3.3.1 设f (z)在以圆L :| z z0 | 0 (0 0 ) 为边界的闭圆盘上解析，则
L
f (z) z z0
dz
2 if
(z0 ).
证 作以z0心，以(0 0 )为半径的圆L，
根据多连通区域上的柯西积分定理得
f (z)
f (z)
dz
dz.
L z z0
z
1
1
z
2
3
dz.
1 dz 2 dz 2i 1 2i 2
z 4 z 1
z 4 z 3
6i.
例2 计算I
3z 1 dz.
|z|2 (z 1)(z 3)
解 显然f (z) 3z 1 只有一个奇点z 1在 | z | 2 (z 1)(z 3)
内,且函数g(z) 3z 1在 | z | 2内解析,在 | z | 2内连续. z3
L z z0
上式对满足0 0的任何成立，于是
f (z) dz lim f (z) dz.
L z z0
0 L z z0
下证 lim 0
L
f (z) z z0
dz＝2 if
(z0 ).
第二讲、原函数、柯西积分公式及其推论
作为柯西积分公式的特殊情形，我们有如下 的平均值公式。
定理五：如果函数 f ( z ) 在圆| z z0 | R 上解析，则
1 2 i f ( z0 ) f ( z Re )d 0 0 2 即 f ( z ) 在圆心z0 的值等于它在圆周上的值的平均数。
3、解析函数的高阶导数公式 1 f ( ) d 形式地在等号两 对柯西积分公式 f ( z ) C 2i z 边对 z 求导(右边对积分号内的被积函数关于 z 求导)，得
Cr 所以， 存在正向闭曲线C r :| z z0 | r ， 使得
D 内。 含在C 内，以C , C r 为边界的区域含在
D z0
Cr 且 z :| z z0 | r ， | f ( z ) f ( z0 ) | C 1 dz 2i 得 又由闭路变形原理及 C r z z 0 f ( z0 ) f (z) f (z) dz dz C dz, 2if ( z0 ) C r C r z z0 z z0 z z0
1 i ln z 0 内，计算 1 dz 。
1 i ln z dz 1
z
1 2 1 i 1 2 ( ln 2 i ) 2 2 2 2 4
1 2 2 ln 2 i ln 2 8 32 8
2、柯西积分公式
1! f ( ) f ( z ) d C 2 2i ( z ) n! f ( ) ( n) f (z) d 重复n 次可得 C n 1 2i ( z ) 事实上，我们对解析函数确有如下定理 定理六(高阶导数公式)： 解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数，
1 2
2i z iz dz [( )] 2i | 0 C1 2 2 zi 3 zi 1! ( z i ) (z i) (z i)
课件：柯西积分公式及推论
证 设z为 D 内任一点, 先证 n 1 的情况,
根据导数的定义,要证明
lim
z0
f
z
z
z
f
z
1
2 i
C
f z2
d
从柯西积分公式得
f
(z)
1
2
i
C
f
( )
z
d
,
f
(z
z)
1
2 i
C
f ( )
z z
d ,
f
z
z
z
f
z
1
2 i
C
f z2
d
1
2
i
C
[
f z z
z
f z
z0
dz
2
if
(z0
).
2. 柯西积分公式
定理3.9 (柯西积分公式)
设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界 区域, 设f (z)在D及C所组成的闭区域D上解析， 那么在D内任一点z，有
f
(z)
1
2
i
C
f
( )
z
d
C是D的正向边界，我们称它为柯西积分公式。
证明： 设z D,显然函数F ( ) f ( ) 在满足 z
f
(n) (z0 )
n!
2 i
f (z) C (z z0 )n1 dz
ez
z 1 zn dz
2 i (e z )(n1)
(n 1)!
z0
2 i .
(n 1)!
（柯西不等式）若函数 f z在 z为0 心R为半径
的圆周CR 及其内区域上解析，如果
f z M ,z CR
3.2柯西积分定理
L L2
L
L2
f ( )d f ( )d f ( )d 0.
L1 L2
L1
L2
所以
f ( )d f ( )d f ( )d ,
L
L2
L1
即
L f ( )d只与z0及z有关,而与路径L无关.
此时可将 f ( )d记为 z f ( )d. 证毕.
L
z0
定理3.2.5 设f (z)在区域D内连续，且对D内 任意简单闭曲线L有
zdz
[zsinz
cosz]0i
由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可 能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.
2. 单连通区域的柯西积分定理
定理3.2.1(Cauchy积分定理) 设f (z)是单连通区域D 内的解析函数，且f '(z)在D内连续. 若L是D内任一条 简单闭曲线，取反时针方向，则
L f (z)dz＝0.
证 设L所围成的区域为G. 由于f (z)＝u(x, y) iv(x, y) 在单连通区域D内解析，且f '(z)在D内连续.
根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理得
及上节例2知,
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
2
zi
1
1 z
2
11 2z
i
1 2
z
1
i
dz
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
在D内的一个原函数. 若， D，且L是D内连接及
柯西积分公式推论
柯西积分公式推论
一、柯西积分公式
1.定义:设区域D的边界是周线C，函数f(z)在D内解析,在D¯=D+C上连续,则有f(z)=12πi∫cf(ξ)ξ−zdξ
2.计算周线积分:∫cf(ξ)ξ−zdξ=2πif(z)
二、解析函数的无穷可微性:
1.定义:f(n)(z)=n!2πi∫cf(ξ)(ξ−z)n+1dξ
2.计算周线积分:∫cf(ξ)(ξ−z)n+1dξ=2πin!f(n)(z)
3.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析
⇔(1)ux,uy,vx,vy在D内连续.
(2)u,v满足C−R方程.
三、柯西不等式与刘维尔定理
1.柯西不等式:对于圆周|ξ−a|=R,只要圆周及其内部均含于D,则有|f(n)(a)|≤n!M(R)Rn
其中M(R)=max|z−a|=R|f(z)|
2.刘维尔定理:f(z)在z平面解析且有界,则f(z)为常数.
四、莫雷拉定理:
1.定义:柯西积分定理的逆定理即为莫雷拉定理.
2.函数f(z)在区域G内解析的充要条件:
(1)f(z)在G内连续;
(2)对任一周线C,只要C及其内部全含于G内,就有∫cf(z)dz=0.。
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C z z0
现在考虑f(z)为一般解析函数的情况. 作以z0为圆 心，以r为半径的圆周Cr (r可充分小) ,由柯西定理，得
f (z)
f (z)
dz
dz.
C z z0
Cr z z0
因此，I 的值只 f (z)与在z0点附近的值有关.且
f (z)
f (z)
dz lim
dz.
C z z0
C z z0
事实上，当r趋近于0时，有
f (z) dz f (z) f (z0 ) f (z0 ) dz
C z z0
Cr
f (z0)
z
1
z0
dz
Cr z z0
Cr
f (z) f (z0 ) dz z z0
由于由 f (z) 在点 z0 的连续性，所以
0， 0 ( r0 )，
复变函数论
Functions of one complex variable
湖南第一师范学院数理系
第三章 复变函数的积分
§1.复积分的概念及其简单性质 §2.柯西积分定理 §3.柯西积分公式及其推论 §4.解析函数与调和函数的关系 §5.*平面向量场—解析函数的应用
§3.柯西积分公式及其推论
1.柯西积分公式
f (z) 0
zD zD
柯西积分公式可改写为：
利用此公C 式f (可z) 计d算 某2些if (周z)线(积z 分D.)
例3.10 设C为圆周| | 2, 试计算积分
I
C
(9
解
I
C
(9
2 )(
d
i)
9 2 d ， C (i)
令f
(z)
z 9 z2
, 则f
1
2 0
2 | F (Rei ) | d
1
2 1 d 1 .
2 0
2 0 a a
产生矛盾！
2.解析函数的无穷可微性
将柯西积分公式
f
(z)
1
2
i
C
f
( )
z
d
(z D)
形式地在积分号下对z求导得
f (z) 1
2 i
C
f ( ) ( z)2
d
(z D)
f (z) 2!
2 i
C
(
z)2
d
]
z
2 i
C
(
z
f ( ) z)(
z)2
d
z
2 i
C
(
z
f ( ) z)(
z)2
d
找|f ( ) | 的上界，| z z | 与 | z | 的下界
现在估计上式右边的积分. 设d为z与C上点的最短距离,设
C
0<|Δz|<d/2，那么当ζ∈D时
z z
|
z
|
d,|
z
z
|
d
,
d
z
2
设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度 是L，于是我们有
| z
2 i
C
(
f ( ) z z)(
z)2
d
|
| z |
2
ML d d2
,
0,
min( d
d 3
,
2
),当| z | 时，有
2 ML
|
z
2 i
C
(
f ( ) z z)(
z)2
d
|
.
定理3.14 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z) 在D内有任意阶导数.
2
0
f (z0
Rei )d
例3.11 设f (z)在闭圆| z | R上解析.
如果存在a 0,使在 | z | R上
| f (z) | a, 且 | f (0) | a.
求证：在圆| z | R内f (z)至少有一个零点.
证明：反设f (z)在圆| z | R内无零点，
而由条件f (z)在 | z | R上也无零点.于是
F(z) 1
在闭圆| z | R上解析. f (z)
由| f (Rei ) | a, 且 | f (0) | a，得
| F (0) | 1 , 且 | F (Rei ) | 1 .
由解析函数的平a 均值定理， a
F (0) 1 2 F (Rei )d ,
2
0
1
| F (0) ||
2 F (Rei )d |
r0 Cr z z0
令 z z0 rei，
有 I 1
2 i
f (z) 1 dz
C z z0 2
2 0
f (z0 rei )d .
由于I的值只f(z)与在z0点附近的值有关，与r无 关，由f(z)在点z0的连续性，我们推测应该有
I f (z0 )，
即
f
(z0 )
1
2
i
f (z) dz.
Cr
f (z) f (z0) dz z z0
当r趋近于0时，上式右边的第二个积分趋近于0；而
1 dz 2 i，
Cr z z0
因此，结论成立.
定理3 .11(柯西积分公式)
设区域D的边界是周线(或复周线)C, f(z)在D内 解析，在闭域D+C上连续，那么对C内任一点z，有
f
(z)
1
2
i
C
解f (析 )，所以有 z
f ( ) d f ( ) d 2 if (z)
C z
Cr z
即
f
(z)
1
2
i
C
f
(
) z
d
.
C
2
z Cr
C0 C1
定义3.4 在定理3.11的条件下，积分
1
2
i
C
f
(
) z
d
(z C)
称为柯西积分.
试考虑柯西积分的值如何.
1
2 i
C
f ( ) d z
i
C
f
( )
z
d
可视为n
0的情形)
证明：仅证明结论关于n=1时成立.
设z+Δz∈D是D内另一点. 只需证明: 当Δz趋近于0时 ，下式也趋近于0.
f (z z) f (z) 1
z
2 i
C
f
(
( )
z)2
d
1 1 f ( )
1 f ( ) z f ( )
z
[ 2
i
C
z
z
d
2 i
C
z
d
2
i
C
设f(z)在以圆周C: |z-z0|=r0 (0<r0<+∞)为边界的
闭圆盘上解析，则f(z)沿C的积分为零. 考虑积分
I f (z) dz，
C z z0
则有: (1)被积函数在C上连续，积分I必然存在; (2)在上 述闭圆盘上被积函数不解析，I 的值不一定为0.
例如： 当f (z) 1时，I 1 dz 2 i.
f
(
) z
d
(z D)
其中，沿曲线C的积分是按逆时针方向取的，我们称 它为柯西积分公式.
几个注意之点：
f
(z)
1
2 i
C
f
( )
z
d
(z D)
1. 某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内 任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.
2. 柯西公式是解析函数的最基本的性质之一， 对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的.
使得当0 r , z Cr时，
| f (z) f (z0 ) | .
因此 f (z) f (z0) dz | f (z) f (z0)| ds
Cr z z0
Cr | z z0 |
2 r 2
r
又
f (z) dz C z z0
f (z0)
1 dz
Cr z z0
f
(
( )
z)3
d
(z D)
这些公式对不对？
定理3 .13(高阶导数公式)
设区域D的边界是周线(或复周线)
C, f (z) 在D内解析，在闭域 D+C 上
连续，那么f(z)在D内有任意阶导数
f (n)(z) n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
(n 1, 2, 3,...)
(
f
(z)
1
2
证：设C表圆周| z0 | R,则
z0 Rei , 0 2
即 z0 Rei
y
z0 Rei
z0
d iRei d ,
O
x
由柯西积分公式，得 f (
1
2 i
2 0
f (z0 Re Re i
z0 )
i )
1
2 i C
iRei d
f
( )
z0
d
故
1
f (z0 ) 2
3. 柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义.
证明：设 z ，D 显然函数
在满足 D, 的z点 处解 析.
以z为心，作一 个包含在D内的圆盘 ，设其半径为r，边 界为圆Cr .
f ( ) z
C
2
z Cr
C0 C1
在D 上，挖去以Cr为边界的圆盘，余下的点集
是一个闭区域 .
Dr
在 Dr 上， 的函数
注1. 以上讨论表明，函数在一个区域内的解析 性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的 差异；
注2. 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论.
现在考虑f(z)为一般解析函数的情况. 作以z0为圆 心，以r为半径的圆周Cr (r可充分小) ,由柯西定理，得
f (z)
f (z)
dz
dz.
C z z0
Cr z z0
因此，I 的值只 f (z)与在z0点附近的值有关.且
f (z)
f (z)
dz lim
dz.
C z z0
C z z0
事实上，当r趋近于0时，有
f (z) dz f (z) f (z0 ) f (z0 ) dz
C z z0
Cr
f (z0)
z
1
z0
dz
Cr z z0
Cr
f (z) f (z0 ) dz z z0
由于由 f (z) 在点 z0 的连续性，所以
0， 0 ( r0 )，
复变函数论
Functions of one complex variable
湖南第一师范学院数理系
第三章 复变函数的积分
§1.复积分的概念及其简单性质 §2.柯西积分定理 §3.柯西积分公式及其推论 §4.解析函数与调和函数的关系 §5.*平面向量场—解析函数的应用
§3.柯西积分公式及其推论
1.柯西积分公式
f (z) 0
zD zD
柯西积分公式可改写为：
利用此公C 式f (可z) 计d算 某2些if (周z)线(积z 分D.)
例3.10 设C为圆周| | 2, 试计算积分
I
C
(9
解
I
C
(9
2 )(
d
i)
9 2 d ， C (i)
令f
(z)
z 9 z2
, 则f
1
2 0
2 | F (Rei ) | d
1
2 1 d 1 .
2 0
2 0 a a
产生矛盾！
2.解析函数的无穷可微性
将柯西积分公式
f
(z)
1
2
i
C
f
( )
z
d
(z D)
形式地在积分号下对z求导得
f (z) 1
2 i
C
f ( ) ( z)2
d
(z D)
f (z) 2!
2 i
C
(
z)2
d
]
z
2 i
C
(
z
f ( ) z)(
z)2
d
z
2 i
C
(
z
f ( ) z)(
z)2
d
找|f ( ) | 的上界，| z z | 与 | z | 的下界
现在估计上式右边的积分. 设d为z与C上点的最短距离,设
C
0<|Δz|<d/2，那么当ζ∈D时
z z
|
z
|
d,|
z
z
|
d
,
d
z
2
设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度 是L，于是我们有
| z
2 i
C
(
f ( ) z z)(
z)2
d
|
| z |
2
ML d d2
,
0,
min( d
d 3
,
2
),当| z | 时，有
2 ML
|
z
2 i
C
(
f ( ) z z)(
z)2
d
|
.
定理3.14 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z) 在D内有任意阶导数.
2
0
f (z0
Rei )d
例3.11 设f (z)在闭圆| z | R上解析.
如果存在a 0,使在 | z | R上
| f (z) | a, 且 | f (0) | a.
求证：在圆| z | R内f (z)至少有一个零点.
证明：反设f (z)在圆| z | R内无零点，
而由条件f (z)在 | z | R上也无零点.于是
F(z) 1
在闭圆| z | R上解析. f (z)
由| f (Rei ) | a, 且 | f (0) | a，得
| F (0) | 1 , 且 | F (Rei ) | 1 .
由解析函数的平a 均值定理， a
F (0) 1 2 F (Rei )d ,
2
0
1
| F (0) ||
2 F (Rei )d |
r0 Cr z z0
令 z z0 rei，
有 I 1
2 i
f (z) 1 dz
C z z0 2
2 0
f (z0 rei )d .
由于I的值只f(z)与在z0点附近的值有关，与r无 关，由f(z)在点z0的连续性，我们推测应该有
I f (z0 )，
即
f
(z0 )
1
2
i
f (z) dz.
Cr
f (z) f (z0) dz z z0
当r趋近于0时，上式右边的第二个积分趋近于0；而
1 dz 2 i，
Cr z z0
因此，结论成立.
定理3 .11(柯西积分公式)
设区域D的边界是周线(或复周线)C, f(z)在D内 解析，在闭域D+C上连续，那么对C内任一点z，有
f
(z)
1
2
i
C
解f (析 )，所以有 z
f ( ) d f ( ) d 2 if (z)
C z
Cr z
即
f
(z)
1
2
i
C
f
(
) z
d
.
C
2
z Cr
C0 C1
定义3.4 在定理3.11的条件下，积分
1
2
i
C
f
(
) z
d
(z C)
称为柯西积分.
试考虑柯西积分的值如何.
1
2 i
C
f ( ) d z
i
C
f
( )
z
d
可视为n
0的情形)
证明：仅证明结论关于n=1时成立.
设z+Δz∈D是D内另一点. 只需证明: 当Δz趋近于0时 ，下式也趋近于0.
f (z z) f (z) 1
z
2 i
C
f
(
( )
z)2
d
1 1 f ( )
1 f ( ) z f ( )
z
[ 2
i
C
z
z
d
2 i
C
z
d
2
i
C
设f(z)在以圆周C: |z-z0|=r0 (0<r0<+∞)为边界的
闭圆盘上解析，则f(z)沿C的积分为零. 考虑积分
I f (z) dz，
C z z0
则有: (1)被积函数在C上连续，积分I必然存在; (2)在上 述闭圆盘上被积函数不解析，I 的值不一定为0.
例如： 当f (z) 1时，I 1 dz 2 i.
f
(
) z
d
(z D)
其中，沿曲线C的积分是按逆时针方向取的，我们称 它为柯西积分公式.
几个注意之点：
f
(z)
1
2 i
C
f
( )
z
d
(z D)
1. 某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内 任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.
2. 柯西公式是解析函数的最基本的性质之一， 对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的.
使得当0 r , z Cr时，
| f (z) f (z0 ) | .
因此 f (z) f (z0) dz | f (z) f (z0)| ds
Cr z z0
Cr | z z0 |
2 r 2
r
又
f (z) dz C z z0
f (z0)
1 dz
Cr z z0
f
(
( )
z)3
d
(z D)
这些公式对不对？
定理3 .13(高阶导数公式)
设区域D的边界是周线(或复周线)
C, f (z) 在D内解析，在闭域 D+C 上
连续，那么f(z)在D内有任意阶导数
f (n)(z) n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
(n 1, 2, 3,...)
(
f
(z)
1
2
证：设C表圆周| z0 | R,则
z0 Rei , 0 2
即 z0 Rei
y
z0 Rei
z0
d iRei d ,
O
x
由柯西积分公式，得 f (
1
2 i
2 0
f (z0 Re Re i
z0 )
i )
1
2 i C
iRei d
f
( )
z0
d
故
1
f (z0 ) 2
3. 柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义.
证明：设 z ，D 显然函数
在满足 D, 的z点 处解 析.
以z为心，作一 个包含在D内的圆盘 ，设其半径为r，边 界为圆Cr .
f ( ) z
C
2
z Cr
C0 C1
在D 上，挖去以Cr为边界的圆盘，余下的点集
是一个闭区域 .
Dr
在 Dr 上， 的函数
注1. 以上讨论表明，函数在一个区域内的解析 性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的 差异；
注2. 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论.