柯西积分公式及其推论

解f (析 )，所以有 z
f ( ) d f ( ) d 2 if (z)
C z
Cr z
即
f
(z)
1
2
i
C
f
(
) z
d
.
C
2
z Cr
C0 C1
定义3.4 在定理3.11的条件下，积分
1
2
i
C
f
(
) z
d
(z C)
称为柯西积分.
试考虑柯西积分的值如何.
1
2 i
C
f ( ) d z
1
2 0
2 | F (Rei ) | d
1
2 1 d 1 .
2 0
2 0 a a
产生矛盾！
2.解析函数的无穷可微性
将柯西积分公式
f
(z)
1
2
i
C
f
( )
z
d
(z D)
形式地在积分号下对z求导得
f (z) 1
2 i
C
f ( ) ( z)2
d
(z D)
f (z) 2!
2 i
C
F(z) 1
在闭圆| z | R上解析. f (z)
由| f (Rei ) | a, 且 | f (0) | a，得
| F (0) | 1 , 且 | F (Rei ) | 1 .
由解析函数的平a 均值定理， a
F (0) 1 2 F (Rei )d ,
2
0
1
| F (0) ||
2 F (Rei )d |
使得当0 r , z Cr时，
| f (z) f (z0 ) | .
因此 f (z) f (z0) dz | f (z) f (z0)| ds
Cr z z0
Cr | z z0 |
2 r 2
r
又
f (z) dz C z z0
f (z0)
1 dz
Cr z z0
注1. 以上讨论表明，函数在一个区域内的解析 性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的 差异；
注2. 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论.
定理3.15 函数f (z) u(x, y) iv(x, y)
在区域D内解析的充要条件是:
(1) ux , uy , vx , v y在D内连续； (2) u(x, y),v(x, y)在D内满足C R方程.
f
(
) z
d
(z D)
其中，沿曲线C的积分是按逆时针方向取的，我们称 它为柯西积分公式.
几个注意之点：
fห้องสมุดไป่ตู้
(z)
1
2 i
C
f
( )
z
d
(z D)
1. 某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内 任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.
2. 柯西公式是解析函数的最基本的性质之一， 对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的.
证：设C表圆周| z0 | R,则
z0 Rei , 0 2
即 z0 Rei
y
z0 Rei
z0
d iRei d ,
O
x
由柯西积分公式，得 f (
1
2 i
2 0
f (z0 Re Re i
z0 )
i )
1
2 i C
iRei d
f
( )
z0
d
故
1
f (z0 ) 2
C z z0
现在考虑f(z)为一般解析函数的情况. 作以z0为圆 心，以r为半径的圆周Cr (r可充分小) ,由柯西定理，得
f (z)
f (z)
dz
dz.
C z z0
Cr z z0
因此，I 的值只 f (z)与在z0点附近的值有关.且
f (z)
f (z)
dz lim
dz.
C z z0
(
z)2
d
]
z
2 i
C
(
z
f ( ) z)(
z)2
d
z
2 i
C
(
z
f ( ) z)(
z)2
d
找|f ( ) | 的上界，| z z | 与 | z | 的下界
现在估计上式右边的积分. 设d为z与C上点的最短距离,设
C
0<|Δz|<d/2，那么当ζ∈D时
z z
|
z
|
d,|
z
z
|
d
复变函数论
Functions of one complex variable
湖南第一师范学院数理系
第三章 复变函数的积分
§1.复积分的概念及其简单性质 §2.柯西积分定理 §3.柯西积分公式及其推论 §4.解析函数与调和函数的关系 §5.*平面向量场—解析函数的应用
§3.柯西积分公式及其推论
1.柯西积分公式
f
(
( )
z)3
d
(z D)
这些公式对不对？
定理3 .13(高阶导数公式)
设区域D的边界是周线(或复周线)
C, f (z) 在D内解析，在闭域 D+C 上
连续，那么f(z)在D内有任意阶导数
f (n)(z) n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
(n 1, 2, 3,...)
(
f
(z)
1
2
设f(z)在以圆周C: |z-z0|=r0 (0<r0<+∞)为边界的
闭圆盘上解析，则f(z)沿C的积分为零. 考虑积分
I f (z) dz，
C z z0
则有: (1)被积函数在C上连续，积分I必然存在; (2)在上 述闭圆盘上被积函数不解析，I 的值不一定为0.
例如： 当f (z) 1时，I 1 dz 2 i.
i
C
f
( )
z
d
可视为n
0的情形)
证明：仅证明结论关于n=1时成立.
设z+Δz∈D是D内另一点. 只需证明: 当Δz趋近于0时 ，下式也趋近于0.
f (z z) f (z) 1
z
2 i
C
f
(
( )
z)2
d
1 1 f ( )
1 f ( ) z f ( )
z
[ 2
i
C
z
z
d
2 i
C
z
d
2
i
C
C z z0
事实上，当r趋近于0时，有
f (z) dz f (z) f (z0 ) f (z0 ) dz
C z z0
Cr
f (z0)
z
1
z0
dz
Cr z z0
Cr
f (z) f (z0 ) dz z z0
由于由 f (z) 在点 z0 的连续性，所以
0， 0 ( r0 )，
(z)在圆周C:|
|
2
及其内部解析，又 i在C内部，故
I
2 if (i)
2 i
i 9 (i)2
5
.
解析函数的平均值定理
定理3.12 如果函数 f (z) 在圆 |ζ-z0 |<R内
解析，在闭圆|ζ-z0|≤R上连续，则
1
f (z0 ) 2
2
0
f (z0 Rei )d .
它在圆即周函上数的f值(z的) 在平圆均心值z.0的值等于
f (z) 0
zD zD
柯西积分公式可改写为：
利用此公C 式f (可z) 计d算 某2些if (周z)线(积z 分D.)
例3.10 设C为圆周| | 2, 试计算积分
I
C
(9
2 )(
d
i)
.
解
I
C
(9
2 )(
d
i)
9 2 d ， C (i)
令f
(z)
z 9 z2
, 则f
证明：充分性即定理2.5 .
由解析函数的无穷可微性即得必要性.
本讲结束
作业
Page 142 习题: 9, 10, 12.
3. 柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义.
证明：设 z ，D 显然函数
在满足 D, 的z点 处解 析.
以z为心，作一 个包含在D内的圆盘 ，设其半径为r，边 界为圆Cr .
f ( ) z
C
2
z Cr
C0 C1
在D 上，挖去以Cr为边界的圆盘，余下的点集
是一个闭区域 .
Dr
在 Dr 上， 的函数
r0 Cr z z0
令 z z0 rei，
有 I 1
2 i
f (z) 1 dz
C z z0 2
2 0
f (z0 rei )d .
由于I的值只f(z)与在z0点附近的值有关，与r无 关，由f(z)在点z0的连续性，我们推测应该有
I f (z0 )，
即
f
(z0 )
1
2
i
f (z) dz.
Cr
f (z) f (z0) dz z z0
当r趋近于0时，上式右边的第二个积分趋近于0；而
1 dz 2 i，
Cr z z0
因此，结论成立.
定理3 .11(柯西积分公式)
设区域D的边界是周线(或复周线)C, f(z)在D内 解析，在闭域D+C上连续，那么对C内任一点z，有
f
(z)
1
2
i
C
2
0
f (z0
Rei )d
例3.11 设f (z)在闭圆| z | R上解析.
如果存在a 0,使在 | z | R上
| f (z) | a, 且 | f (0) | a.
求证：在圆| z | R内f (z)至少有一个零点.
证明：反设f (z)在圆| z | R内无零点，
而由条件f (z)在 | z | R上也无零点.于是
,
d
z
2
设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度 是L，于是我们有
| z
2 i
C
(
f ( ) z z)(
z)2
d
|
| z |
2
ML d d2
,
0,
min( d
d 3
,
2
),当| z | 时，有
2 ML
|
z
2 i
C
(
f ( ) z z)(
z)2
d
|
.
定理3.14 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z) 在D内有任意阶导数.