运筹学第3章 对偶模型

原问题有n个变量，对偶问题有n个约束条件 原问题的价值系数对应对偶问题的右端项 原问题的右端项对应对偶问题的价值系数
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原问题的系数矩阵转置后为对偶问题系数矩阵
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3.2 线性规划的对偶性质

1.对称性：对偶问题的对偶问题是原问题。 PD 2.弱对偶性：原问题的任一可行解的目标函数值，不优于其
对偶定理：要么同时有解，且最优值相等；要么同时无解。 不可能一个有解，一个无解。
无界解 无可行解
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5.互补性：原问题与对偶问题的变量或基本解之间具有互补性。 互补变量
决策变量 非决策变量 基变量 非基变量
X YS 或 x j ym j , ( j 1, 2,, n) Y X S 或 yi xn i , (i 1, 2,, m)
互补基本解：目标值相等
P1与D1互相对偶
PS与DS广义对偶
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6.兼容性：原问题PS单纯形表的检验行，对应对偶问题DS的一 个基本解；最优单纯形表的检验行，对应对偶问题的最优解。
检验行 基本解
互补基本解均可行必然均为最优解。
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16
17

7.基本松紧性：互补变量满足 x j ym j 0, ( j 1, 2, , n) 对于非退化的基本解
对资源i现用总量的经济分析
yi* 代表影子价格

* yi* pi ，可增加资源i的用量，可买进资源，对总目标贡献 yi pi 0 ；

y =pi ，可买进资源，对总目标贡献
* i
yi* pi =0
；

yi* pi
，应减少资源i的用量，可卖出资源，对总目标贡献
pi -yi* 0 。
a
i 1
m
ji
yi ym j c j
a
i 1
m
ji
yi c j
说明该资源的影子利润小于项目j的单位利润cj，需要改善。
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3.3 对偶单纯形法

互补基本解均可行必然均为最优解。 对偶单纯形法基本思路
1、标准化，允许bi<0; 2、建立典式，若 0 ，转至3； 3、最优性检验 b 0 ，否则转至4； 4、解的判断 bs 0, asj 0, 原问题无可行解，对偶问题无下界；否则， 转 至5 ； 5、换基；先确定出基变量
bT Y w 对偶问题任一可行解的目标函数值 z CT X

bT Y ,则 X ,Y 分别为原问题与对偶问题的最优 CT X 3.最优性：
解。
最优解 最优解
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4.强对偶性：若一个问题有最优解，则另一问题也有最优解， 且二者最优目标值相等。 无界性：若一个问题有无界解，则另一问题无可行解。
max z = c1x1 + c2x2 +c3x3 a11x1+a12x2+a13x3 ≤ b1 a21x1+a22x2+a23x3 = b2 st. a31x1+a32x2+a33x3 ≥ b3 min w = b1y1 + b 2y2 + b3y3 a11y1 + a21y2 + a31y3 ≥ c1 a12y1 + a22y2 + a32y3 ≤ c2 a13y1 + a23y2 + a33y3 = c3
m a ji yi c j ( j 1, 2, , n) s.t. i 1 y 0 (i 1, 2, , m) i

(3-12b)：资源aji对总价值的贡献，应当不少于将其用于项目j时
的贡献cj;

(3-12c)：资源i对总价值的贡献必须非负，否则不用或出售。 (3-12a)：资源隐性价值w，确定转让的成交价格最低限度yi。
min bi bi 0 bl
b0
0 0
b0b0


正数
0
max j / alj alj 0 k / alk


负数
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交替单纯形法

无须顾及二者的前提条件。

0, b 0 ，一般可先对偶单纯形法，化为原本可行 b 0 ； 再用单纯形法 ，使 0 。
无穷多解
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例3-6
原：无界解 对偶：无可行解
cj
CB
1 2
1
b
1 0
2 x
2
0 x
3
0 x
4
基
x
1
x1 x2
1 0
0 1
-1/3 2/3
-1/3 -1/3
T ' j CB aj cj
0
T z0 CB b
0
1
-1
例3-7
原：无可行解 对偶：无界解
cj
CB
0 1
1
1
0
0
基
b
-5/2 -1/2
min bi bi 0 bl

后确定入基变量
主元为负数
max j / alj alj 0 k / alk


25
26
例3-4
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原本、对偶单纯形法对比
前提条件
原 SM 对偶 SM
进化
换基
先入 后出 先出 后入
主元
min j j 0 k
b b min i aik 0 l aik alk
max z= 5x1 + x2 + 2x3 2x1 + x2 + 3x3 = st .
5
3x1 + 2x2 + x3
x1 , x2 , x3
=
≥
6
0
max z = CTX st. AX = b X≥ 0
min w = bTY T AY ≥ C st. Y 自由
P58表3-4
8
一般对偶关系（混合对偶）

21
最优松紧性的经济意义

每经营一个单位项目xj所消耗的各种资源的影子价值总和，必 定等于该项目创造的单位价值cj。
x*j 0 y* 0 m j m * （ 81 ） m a y ji i c j * * a ji yi ym j c j i 1 * * x1 6 0 y4 0 i 1
x
1
x
2
x
3
x
4
x4 x1
0 1
5/2 7/2
1/2 1/2
1 0
T ' j CB aj cj
0
T z0 CB b
管理运筹学
——模型与方法
赵明霞
山西大学经济与管理学院
1
第3章
对偶模型
3.1 线性规划的对偶关系
3.2 线性规划的对偶性质
3.3 对偶单纯形法
2
3.1 线性规划的对偶关系

对偶问题
例1-1. 某工厂要安排甲、乙两种产品分别在车间A、B生产， 然后都在C车间装配。生产数据如下表：
产品 车间 A B C 单位产品获利(元) 单耗(工时/件) 甲 乙 1 0 0 2 2 3 300 200 最大生产能力 （工时/周） 6 8 18
29
例3-5
cj
CB
3 0 1
3
-2 x2
0 x3 0 0 1 0
1 x4 -1/4 -1/4 3/4 0
0 x5 0 1 0 0
0 x6
基
b
8 0 4 28
T z0 CB b
x1 1 0 0 0
x1 x5 x3
½
5/2 -1/2 6
¼
-3/4 1/4 1
T ' j CB aj cj

8.最优松紧性：
（） 1 x*j 0 y* 0, m j
* （2） y* 0 x =0， ( j 1, 2, , n) m j j * （3）x* 0 y 0, n i i * （4）y* 0 x 0, (i 1, 2, , m) i ni
问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利 最多？
3
解：设安排甲、乙两种产品产量分别为xj 件 max z=3x1+ 2x2
s.t.
x1
≤6
2x2≤8
2x1+3x2≤18
xj≥0 （j=1,2）
X * (6， 2)T ,
z* 22
4

例3-1. 将例1-1中三种资源用于对外加工，如何给资源定价？ 解：设三种资源分别可获利润为yj (100元/工时) min s.t. w = 6y1 +8y2 +18y3 y1 +2y3 ≥3 2y2+3y3 ≥2 yj≥0 （j=1,2,3）
5 2 * * * * * y1 2 y3 y4 3 y1 2 y3 2* 3 3 3
当资源i的供量未被耗尽时，该资源的边际价值必为0。
* （ 8 4） x* 0 y i 0 ni
* * x4 4 0 y2 0
2 2 y 3 y y 2 3 y y 3* 0 2 3
9
对偶规则


——
变量、约束与系数
P59表3-5
原问题有m个约束条件，对偶问题有m个变量
原问题的规范约束（max,≤或min，≥）对应对偶问题的变量≥0； 原问题的非规范约束（max,≥或min，≤）对应对偶问题的变量≤0； 原问题的等式约束（max,=或min，=）对应对偶问题的变量无限制。
min w = bTY T AY ≥ C st. Y≥ 0
a11 a12 A= a11 a12
┇ ┇
其中： C=（c1，c2, b=（b1，b2, X=（x1，x2, Y=（y1，y2,
… … …
a1n a1n
┇
am1 am2 …
anm
min z= 15y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 ≥ st .
yi* 代表影子利润

* 资源i单位成本 qi，则资源i对总价值的单位贡献即 yi qi ，即
yi* qi 为资源i的影子价格。
对资源i分配方案的经济分析
20
对偶问题的经济意义
（D1) : min w bi yi
i 1 m
(3 12 a) (3 12b) (3 12c)
Y * (5 / 3， 0， 2 / 3)T ,
5
w* 22

对偶关系

规范对偶关系（对称对偶）
标准形LP对偶关系（非对称对偶） 一般对偶关系（混合对偶）


6
规范对偶关系（对称对偶）
max z = CTX st.
AX ≤ b X≥ 0
… … … … ,cn)T ,bm)T ,xn)T ,ym)T
这些性质同样适用于非对称形问题
18
对偶变量的经济属性
z c j x j bi yi w
j 1 i 1 n m
z yi bi
* * Y * = y1 , , yi* ,, ym
T

yi 是第i种资源的边际价值
yi* 是第i种资源的影子价值（shadow value）

xn i yi 0, (i 1, 2, , m)
若X可行，则有 x j 0 ym j 0, ( j 1, 2,, n)
xn i 0 yi 0, (i 1, 2,, m)

若Y可行，则有
ym j 0 x j 0, ( j 1, 2,, n) yi 0 xn i 0, (i 1, 2,, m)

c j 单位产值（收入）， yi* 影子价格； c j 单位利润， y* 影子利润。 i
yi*的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，

bi每增加一个单位时目标函数z的贡献（增量）。
X * (6， 2)T , z* 22 Y * (5 / 3， 0， 2 / 3)T ,
19
w* 22
* 2 * 3 * 5 * 3 * 5
* （ 8 2） y* 0 x j 0 m j
* （ 8 3） y* 0 x ni 0 i
23
最优性检验的经济意义

ni yi 0, yi 是决策变量，说明该资源的影子利润为负，需
要改善。

j ym j 0, ym j是剩余变量
st.
y1≥0, y2无约束，y3 ≤0
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3无约束
例3-3
min w 2 x1 x2 3 x3 4 x4 x1 3 x2 2 x3 x4 5 2 x 2 x 3x 1 1 2 3 s.t. 2 3 x1 x2 2 x3 x4 0 x1 0, x2 0,
2
5y1 + 2y2 + y3
y1 , y 2 , y3
≥ 1 ≥ 0
max z= 2 x1 + x2 5x2 ≤ 15 6x1 + 2x2 ≤ 24 st x1 + x 2 ≤ 5 . x1， x2 ≥ 0
P57表3-2，3
7
标准形LP对偶关系（非对称对偶）

例3-2
min w= 5y1 + 6y2 2y1 +3y2 ≥5 y1 + 2y2 ≥1 st . 3y1 + y2 ≥2