运筹学第3章 对偶模型
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《管理运筹学》第3章--线性规划的对偶问题
x1 x2 x3 2
s.t.
x12x1x2
x3 x2
1 x3
2
x1 0; x2 , x3 ?
•
这样所有的约束条件均为“≤”和“=”类型，按前述对
应关系原则，可写出其对偶问题为：
minW ( y) 2 y1 y2 2 y3
y1 y2 2 y3 1
s.t.
y1 y1
y2 y2
min W ( y) 2 y1 6 y2 0 y3/ 0 y3//
y1
s.t.
0
y1
y1
2 y2 y3/ y3// 0
y2
y/ 3
y3/ /
2
6 y2 3 y3/ 3 y3//
5
y1
,
y2
,
y/ 3
,
y3/ /
0
13
OR:SM
• 再设y/3-y//3=y3，代入上述模型得：
始问题，则（3-2）称为对偶问题。
8
OR:SM
• 3.1.2 对称型线性规划问题——对称型对偶问题
•
• 每一个线性规划问题都必然有与之相伴随的对偶问题 存在。先讨论对称型对偶问题；对于非对称型对偶问题， 可以先转化为对称型，然后再进行分析，也可以直接从 非对称型进行分析。
• 对称型线性规划问题数学模型的一般形式为
变量 m个
约束 ≤ ≥
= （方程） 系数矩阵
b c
变量 ≥0 ≤0
无非负约束 转置
c b
19
OR:SM
•
这样对于任意给定的一个线性规划问题，均可依据上述
对应关系直接写出其对偶问题模型，而无须先化成对称型。
• 例3 写出下列线性规划的对偶问题
运筹学第3章 对偶模型
st.
y1≥0, y2无约束，y3 ≤0
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3无约束
例3-3
min w 2 x1 x2 3 x3 4 x4 x1 3 x2 2 x3 x4 5 2 x 2 x 3x 1 1 2 3 s.t. 2 3 x1 x2 2 x3 x4 0 x1 0, x2 0,
8.最优松紧性：
（） 1 x*j 0 y* 0, m j
* （2） y* 0 x =0， ( j 1, 2, , n) m j j * （3）x* 0 y 0, n i i * （4）y* 0 x 0, (i 1, 2, , m) i ni
c j 单位产值（收入）， yi* 影子价格； c j 单位利润， y* 影子利润。 i
yi*的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，
bi每增加一个单位时目标函数z的贡献（增量）。
X * (6， 2)T , z* 22 Y * (5 / 3， 0， 2 / 3)T ,
19
w* 22
bT Y w 对偶问题任一可行解的目标函数值 z CT X
bT Y ,则 X ,Y 分别为原问题与对偶问题的最优 CT X 3.最优性：
解。
最优解 最优解
12
4.强对偶性：若一个问题有最优解，则另一问题也有最优解， 且二者最优目标值相等。 无界性：若一个问题有无界解，则另一问题无可行解。
对资源i现用总量的经济分析
yi* 代表影子价格
* yi* pi ，可增加资源i的用量，可买进资源，对总目标贡献 yi pi 0 ；
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第3章 对偶理论与灵敏度分析
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
⎪⎩x1, x2 ,", xn ≥ 0
min z = b1y1 + b2y2 +" + bm ym
（3-5）
⎪⎧⎜⎛ s.t.⎪⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 #
a1n
a21 a22 #
a2n
" "
"
am1 ⎟⎞⎜⎛ y1 ⎟⎞ ⎜⎛ c1 ⎟⎞
am2 #
amn
⎟⎜ y ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝#y
+ −
y3* =3 y3* = 4
把 X * 代入原问题 3 个约束中可知原问题式（3）是不等式，故 y 3 * =0，然后解方程组
得到
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3y2* =3 2 y2* = 4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y1* =6/5 y2* = 1/ 5
故对偶最优解为 Y * =(6/5,1/5,0), z * =w * =28.
⎪⎪⎪⎨22yy11++3yy22
− +
y3 y3
≥2 ≥3
⎪⎪3y1 + 2 y2 − y3 ≥ 4
⎪⎩y1, y2 , y3 ≥ 0
由于 x 3 * =x 4 * =4>0，故对偶问题约束方程式（3）、（4）是等式约束，即对 Y * 成立等式
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3 y2* 2 y2*
推论 3 若原始问题可行，则其目标函数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。
定理 3.2 最优性准则定理
若 X 和 Y 分别为互为对偶问题的线性规划（3-5）与（3-6）的可行解，且使 CX = bT Y T ，
运筹学3对偶
(LP) Max z = cT x s.t. Ax ≤ b x ≥0
(DP) Min f = bT y s.t. AT y ≥ c y ≥0
则（DP）称为（LP）的对称形式对偶问题
例3．2 写出下面线性规划的对偶规划模型
max 3 x1 75x 2 2 x3 x 4 2 x1 5 x 2 6 x3 x 4 40 3 x 2 x x x 50 1 2 3 4 x1 2 x 2 3 x3 2 x 4 20 x j 0, j 1,2,3,4
令 y1 =
y1’ - y1’’，于是有
min f b1 y1 b2 y2 bm ym a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a y a y a y c m2 m 2 12 1 22 2 a1n y1 a2 n y2 amn ym cn y2 ,, ym 0 y1没有非负限制
对偶定理
•定理 3.1 (对称性定理) 对偶问题的对偶就是原
问题。
•定理 3.2（弱对偶定理）设 X, Y分别是 P 和 D 的可行解，则 CTX bTY。 •证：由 P 和 D 的约束条件 AXb, ATYC, X0, y0 可直接推得 CTX YT AX YTb =bTY，证毕。
某工厂拥有A、B、C三种类型的原料，生 产甲、乙两种产品。每件产品在生产中消耗 的原料数量，每件产品的价格以及三种原料 可利用的数量如下表所示：
产品
原料 A
甲
1
乙
1
原料数量 （吨）
300
B C
价格（元/件）
2 0
50
1 2
100
400 250
运筹学第3章 对偶问题
y1 + 2 y2 + 4 y3 = 3 2 y1 + y2 + 3 y3 = 2
x1 > 0, x2 > 0
联立求解得： y1 = 0, y2 = 0.5, y3 = 0.5
三、影子价格
设 x* ( j = 1,L, n) 和 yi* (i = 1,L, n) 分别是原问题和 j 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
=b
BX B + NX N + IX S = b X ≥ 0, X ≥ 0 N B
S S
max z = C B X B + C N X N + 0 X s
将XB的系数 矩阵化为单 位矩阵
原来 BX B + NX N + IX IX B + B − 1 NX N + B − 1 X
= b = B
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
−1
b
项目
原问题变量
原问题松弛变量
原问 题最 终单 纯形 表
x1
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj 0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 1/4
x5
15/2 -1/2 3/2 1/2
x1 > 0, x2 > 0
联立求解得： y1 = 0, y2 = 0.5, y3 = 0.5
三、影子价格
设 x* ( j = 1,L, n) 和 yi* (i = 1,L, n) 分别是原问题和 j 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
=b
BX B + NX N + IX S = b X ≥ 0, X ≥ 0 N B
S S
max z = C B X B + C N X N + 0 X s
将XB的系数 矩阵化为单 位矩阵
原来 BX B + NX N + IX IX B + B − 1 NX N + B − 1 X
= b = B
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
−1
b
项目
原问题变量
原问题松弛变量
原问 题最 终单 纯形 表
x1
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj 0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 1/4
x5
15/2 -1/2 3/2 1/2
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
yi
=
cj，
j = 1,
2,…,n
i=1
因此，性质7(1) 的经济解释是: 当一个单位的任一运营活动 j在严厉 正程度( xj > 0 )上运营时，它所耗费的各种资源的边沿价值总和必定等 于 该项活动所产生的单位价值 cj 。
3.3 对偶关系的经济解释
譬如范例，知 X*= (4, 6, 4, 0, 0)T， Y*= (0, ½ , 1, 0, 0)T x1 = 4 > 0 → y4 = 0， 那么使 y1 +3y3 -y4 = 3 → y1 +3y3 = 3
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
cj
3
基 解 0 x1
5 00
x2
x3
0 x3 4 x40 x5 0 1 1/3 -
5 x2 16/3 0
1 0 1/2
3 x1 40 1
0 0 -2/3 1/3
比值
42 0
0 0 1/2 1
y4 y5 y1 y2 y3
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T, z* = 42
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
运筹学对偶理论线性规划的对偶模型对偶性质PPT学习教案
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
【例3.2】写出下列线性规划的对偶问 题
max Z (5, 2,3)(x1, x2, x3)T
max Z 5x1 2x2 3x3
4x1x1 7
x2 x2
x3 4 5x3 1
x1, x2, x3 0
4
1
1 7
1
5
x1 x2 x3
min w 36y1 40y2 76y3
3 4
y1 y1
5 y2 4 y2
9 y3 8 y3
32 30
yi 0, i 1, ,3
第4页/共31页
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
max Z 32x1 30x2
3x1 4x2 36 5x1 4x2 40 9x1 8x2 76 x1, x2, x3 0
max Z 4x1 3x2
5x1 x2 6 7x1x1 35x2x2108 x1 0, x2 0
min w 6 y1 8y2 10 y3
5yy1175yy22
y3 3 y3
4
3
yi 0, i 1,2,3
第9页/共31页
线性规划问题的规范形式(Canonical Form 或叫对称形式) ：
下 (界2) ；(D在P)互的为任对一偶可的行两解个的问目题标中是，(LP若)的一最个优问值题的可上行界且； 具有无界解，则另一个问题无可行解；
(3) 若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具 有无界解。
注意: 上述结论(2)及(3)的条件不能少。一个问题无可
行解时，另一个问题可能有可行解(此时具有无界解)
40
8 x3 76
《运筹学》第三章 运输问题
二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案。 （表上闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
－ B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 －3
σij
B1 ＝ A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 －1 12 0
表中还有负数，说明 还未得到最优解，应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数？ 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 上例： min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构： A ij ( 0， 0， 0 ，， 0， 0 ) 1， 0 1，
第 i个
第 ( m j )个
运筹学对偶理论
min w 5 y1 9 y2 4 y3
y1 3y2 2 y3 2
s.t.2
y1 3 y1
y
2 2y
2y 2
3 1 4 y3
3
y1
y1
y2 0,
y2
y3
0,
5
y
无约束
3
LP1: max z=3x1+2x2
xx11++22xx2 2≤+5x3
=5
st.
2x1+ x2 ≤4 +x4 = 4
0
0
1
3
x1
1
0
0
2
x2
0
1
0
0
0
0
0
0
x4
x5
b
0
05
1
04
0
19
0
00
-1/2
0
3
1/2
02
-2
11
-3/2
0
6
5/2 -3/2 3/2
3/2 -1/2 3/2
-2
11
-1/2 -1/2 13/2
单纯形算法的矩阵表示
LP: max z = CX st. AX ≤ b
X≥0
max z = CX + 0XS st. AX +I XS = b ( I式 )
3.2.4 强对偶性定理（对偶定理）
如果原问题存在最优解X*，则其对偶问题一定具 有最优解Y*，且 CX * b'Y *
• 如果原问题存在最优解，假设其对应的基是B，即
X
* B
B 1b,
X
* N
0
华南理工大学-运筹学-第3章-线性规划的对偶理论(简)-工商管理学院
微量的变化时为最优总利润带来的边际贡献。
5-最优生产计划中某种资源未充分利用时，其影子价格必
然为0。这意味着增加该资源的供应量不会为企业带来利
润或产出的增加。
17
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解原问题的（线性规划问题的）对
偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理和单纯形法来求解
原问题的一种方法。
18
【注】企业卖出相同数量关系的原材料，收益应不低于用
其生产出最终产品而获得的利润。
4
引例
5
引例
6
基本概念
1-原问题的目标函数系数(行)向量对应于对偶问题约束条
件的右端常数(列)向量。
同理，原问题约束条件的右端常数(列)向量对应于对偶问
题的目标函数系数(行)向量。
7
基本概念
2-原问题与对偶问题约束不等式的不等号方向相反。
素从而影响原最优基的可行性，进而使最优解发生变化。
因为b的变化不会直接影响非基变量的检验数，那么只要b
的变化没有造成最优基的变化，则资源的影子价格保持不
变，此时可直接用影子价格乘以新增/减少的资源数量得
出最优利润的变化。
49
灵敏度分析示例1
在本例中，只要1落在[200, 400]内，最优基维持不变，
千克，最优解有什么变化？
1的周供应量1在什么范围内变化时，原生产组合（仅生产A和
B）仍为最优组合？
1增加至500时，最优解是什么？
44
灵敏度分析示例1
45
灵敏度分析示例1
46
灵敏度分析示例1
47
灵敏度分析示例1
48
灵敏度分析示例1
5-最优生产计划中某种资源未充分利用时，其影子价格必
然为0。这意味着增加该资源的供应量不会为企业带来利
润或产出的增加。
17
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解原问题的（线性规划问题的）对
偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理和单纯形法来求解
原问题的一种方法。
18
【注】企业卖出相同数量关系的原材料，收益应不低于用
其生产出最终产品而获得的利润。
4
引例
5
引例
6
基本概念
1-原问题的目标函数系数(行)向量对应于对偶问题约束条
件的右端常数(列)向量。
同理，原问题约束条件的右端常数(列)向量对应于对偶问
题的目标函数系数(行)向量。
7
基本概念
2-原问题与对偶问题约束不等式的不等号方向相反。
素从而影响原最优基的可行性，进而使最优解发生变化。
因为b的变化不会直接影响非基变量的检验数，那么只要b
的变化没有造成最优基的变化，则资源的影子价格保持不
变，此时可直接用影子价格乘以新增/减少的资源数量得
出最优利润的变化。
49
灵敏度分析示例1
在本例中，只要1落在[200, 400]内，最优基维持不变，
千克，最优解有什么变化？
1的周供应量1在什么范围内变化时，原生产组合（仅生产A和
B）仍为最优组合？
1增加至500时，最优解是什么？
44
灵敏度分析示例1
45
灵敏度分析示例1
46
灵敏度分析示例1
47
灵敏度分析示例1
48
灵敏度分析示例1
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+kn σ（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将i j ji bc a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。
8．对于i j ji bc a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0<i x ，且i x 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质
由这个性质可得到下面几个结论：
1) (DP) 的任一可行解的目标值是 (LP)的最优值下界； (LP)的任一可行解的 目标是 (DP)的最优值的上界；
2)在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界解，则另一个问 题无可行解；
3) 若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具 有无界解。
注意: 上述结论(2)及(3)的条件不能少。一个问题无可行解时，另一个问题可能有可 行解(此时具有无界解)也可能无可行解。
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负； 目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。
max Z CX
AX b
(2.1)
X
0
min Z CX
AX b
(2.2)
X
0
注： (1)线性规划规范形式与标准型是两种不同形式，但可以 相互转换。
(2)规范形式的线性规划问题的对偶仍然是规范形式．
3.1 对偶线性规划问题
对偶问题的提出
原问题
min CX
AX b
X
0
对偶问题
max ub uA C u 0
原问题
min CX
AX b
X
0
对偶问题
max ub uA C u 0
原问题与对偶问题关系
(1)原问题的约束个数(不含非负约束)等于对 偶变量的个数
对偶问题
【例】写出下列线性规划的对偶问题
min CX
max ub
max Z 5x1 2x2 3x3
AX b
X
0
uA C u 0
运筹学 第03章 线性规划的对偶理论
A Ⅰ Ⅱ 设备可用机时数（工时） 2 2 12 B 4 0 16 C 0 5 15 产品利润（元／件） 2 3
1
引例
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2
2x1+2x2≤12
4x1 ≤16 5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
2
原问题与对偶问题的形式关系
解： 令
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
每小时什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
1
引例
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为 max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 min w=12y1+16y2+15y3
2y1+4y2
2y1
≥2
+5y3≥3
5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
若对偶变量 yi* 0 ，则原问题相应的约束条件 若约束条件
1
引例
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2
2x1+2x2≤12
4x1 ≤16 5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
2
原问题与对偶问题的形式关系
解： 令
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
每小时什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
1
引例
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为 max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 min w=12y1+16y2+15y3
2y1+4y2
2y1
≥2
+5y3≥3
5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
若对偶变量 yi* 0 ，则原问题相应的约束条件 若约束条件
运筹学对偶原理
y1
yi ym ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjym+j=0
yixn+i=0
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
[例4] 求解下列LP问题，并给出对偶问题的最优解 Max Z= x1 + 2 x2 2 x1 + 2 x2 ≤ 8 0 x 1 + 2 x2 ≤ 4 x1 ,
产品甲生产能力工时天36利润百元件目标函数maxz3xst2x123x分别为出售abc工时所得利润百元工时w为总盈利额百元线性规划问题在形式上可以形成一对对称问题对任何线性规划求最大值问题都有一个与之对称的求最小值问题这两个有关的约束条件的系数矩阵具有相同的数据仅形式互为转置并且目标函数与约束右端项互换其目标函数的最优值也是彼此相等的我们把线性规划的这个对称问题称为对偶问题
消耗的资源（吨）
b1 b2 x nm b m x nm 0
x2
xn x n 1
a m1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n x1 x n2
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨）
资源限量（吨）
3.3 对偶的经济解释
b1 W=yb=(y1 … ym ) = b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym …
目标函数 Max z =3x1+5x2
约束条件
x1 +
x3
2x2 +x4
+x5
，
=8
s.t.
=12
= 36
运筹学课件 第三章-线性规划对偶问题
??????????????????????????????????????????????0322252min21321321321321xxxxxxxxxxxxxxz????????????????????????????????????????????????????0121213225max21321321321321yyyyyyyyyyyyyyw最小化问题
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）
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8.最优松紧性：
（） 1 x*j 0 y* 0, m j
* （2） y* 0 x =0， ( j 1, 2, , n) m j j * （3）x* 0 y 0, n i i * （4）y* 0 x 0, (i 1, 2, , m) i ni
问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利 最多？
3
解：设安排甲、乙两种产品产量分别为xj 件 max z=3x1+ 2x2
s.t.
x1
≤6
2x2≤8
2x1+3x2≤18
xj≥0 （j=1,2）
X * (6， 2)T ,
z* 22
4
例3-1. 将例1-1中三种资源用于对外加工，如何给资源定价？ 解：设三种资源分别可获利润为yj (100元/工时) min s.t. w = 6y1 +8y2 +18y3 y1 +2y3 ≥3 2y2+3y3 ≥2 yj≥0 （j=1,2,3）
x
1
x
2
x
3
x
4
x4 x1
0 1
5/2 7/2
1/2 1/2
1 0
T ' j CB aj cj
0
T z0 CB b
min bi bi 0 bl
后确定入基变量
主元为负数
max j / alj alj 0 k / alk
25
26
例3-4
27
原本、对偶单纯形法对比
前提条件
原 SM 对偶 SM
进化
换基
先入 后出 先出 后入
主元
min j j 0 k
b b min i aik 0 l aik alk
min w = bTY T AY ≥ C st. Y≥ 0
a11 a12 A= a11 a12
┇ ┇
其中： C=（c1，c2, b=（b1，b2, X=（x1，x2, Y=（y1，y2,
… … …
a1n a1n
┇
am1 am2 …
anm
min z= 15y1 + 24y2 + 5y3 6y2 + y3 ≥ st .
Y * (5 / 3， 0， 2 / 3)T ,
5
w* 22
对偶关系
规范对偶关系（对称对偶）
标准形LP对偶关系（非对称对偶） 一般对偶关系（混合对偶）
6
规范对偶关系（对称对偶）
max z = CTX st.
AX ≤ b X≥ 0
… … … … ,cn)T ,bm)T ,xn)T ,ym)T
max z = c1x1 + c2x2 +c3x3 a11x1+a12x2+a13x3 ≤ b1 a21x1+a22x2+a23x3 = b2 st. a31x1+a32x2+a33x3 ≥ b3 min w = b1y1 + b 2y2 + b3y3 a11y1 + a21y2 + a31y3 ≥ c1 a12y1 + a22y2 + a32y3 ≤ c2 a13y1 + a23y2 + a33y3 = c3
互补基本解：目标值相等
P1与D1互相对偶
PS与DS广义对偶
14
6.兼容性：原问题PS单纯形表的检验行，对应对偶问题DS的一 个基本解；最优单纯形表的检验行，对应对偶问题的最优解。
检验行 基本解
互补基本解均可行必然均为最优解。
15
16
17
7.基本松紧性：互补变量满足 x j ym j 0, ( j 1, 2, , n) 对于非退化的基本解
21
最优松紧性的经济意义
每经营一个单位项目xj所消耗的各种资源的影子价值总和，必 定等于该项目创造的单位价值cj。
x*j 0 y* 0 m j m * （ 81 ） m a y ji i c j * * a ji yi ym j c j i 1 * * x1 6 0 y4 0 i 1
min bi bi 0 bl
b0
0 0
b0b0
正数
0
max j / alj alj 0 k / alk
负数
28
交替单纯形法
无须顾及二者的前提条件。
0, b 0 ，一般可先对偶单纯形法，化为原本可行 b 0 ； 再用单纯形法 ，使 0 。
st.
y1≥0, y2无约束，y3 ≤0
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3无约束
例3-3
min w 2 x1 x2 3 x3 4 x4 x1 3 x2 2 x3 x4 2 2 x3 x4 0 x1 0, x2 0,
29
例3-5
cj
CB
3 0 1
3
-2 x2
0 x3 0 0 1 0
1 x4 -1/4 -1/4 3/4 0
0 x5 0 1 0 0
0 x6
基
b
8 0 4 28
T z0 CB b
x1 1 0 0 0
x1 x5 x3
½
5/2 -1/2 6
¼
-3/4 1/4 1
T ' j CB aj cj
bT Y w 对偶问题任一可行解的目标函数值 z CT X
bT Y ,则 X ,Y 分别为原问题与对偶问题的最优 CT X 3.最优性：
解。
最优解 最优解
12
4.强对偶性：若一个问题有最优解，则另一问题也有最优解， 且二者最优目标值相等。 无界性：若一个问题有无界解，则另一问题无可行解。
这些性质同样适用于非对称形问题
18
对偶变量的经济属性
z c j x j bi yi w
j 1 i 1 n m
z yi bi
* * Y * = y1 , , yi* ,, ym
T
yi 是第i种资源的边际价值
yi* 是第i种资源的影子价值（shadow value）
对偶定理：要么同时有解，且最优值相等；要么同时无解。 不可能一个有解，一个无解。
无界解 无可行解
13
5.互补性：原问题与对偶问题的变量或基本解之间具有互补性。 互补变量
决策变量 非决策变量 基变量 非基变量
X YS 或 x j ym j , ( j 1, 2,, n) Y X S 或 yi xn i , (i 1, 2,, m)
c j 单位产值（收入）， yi* 影子价格； c j 单位利润， y* 影子利润。 i
yi*的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，
bi每增加一个单位时目标函数z的贡献（增量）。
X * (6， 2)T , z* 22 Y * (5 / 3， 0， 2 / 3)T ,
19
w* 22
对资源i现用总量的经济分析
yi* 代表影子价格
* yi* pi ，可增加资源i的用量，可买进资源，对总目标贡献 yi pi 0 ；
y =pi ，可买进资源，对总目标贡献
* i
yi* pi =0
；
yi* pi
，应减少资源i的用量，可卖出资源，对总目标贡献
pi -yi* 0 。
* 2 * 3 * 5 * 3 * 5
* （ 8 2） y* 0 x j 0 m j
* （ 8 3） y* 0 x ni 0 i
23
最优性检验的经济意义
ni yi 0, yi 是决策变量，说明该资源的影子利润为负，需
要改善。
j ym j 0, ym j是剩余变量
m a ji yi c j ( j 1, 2, , n) s.t. i 1 y 0 (i 1, 2, , m) i
(3-12b)：资源aji对总价值的贡献，应当不少于将其用于项目j时
的贡献cj;
(3-12c)：资源i对总价值的贡献必须非负，否则不用或出售。 (3-12a)：资源隐性价值w，确定转让的成交价格最低限度yi。
a
i 1
m
ji
yi ym j c j
a
i 1
m
ji
yi c j
说明该资源的影子利润小于项目j的单位利润cj，需要改善。
24
3.3 对偶单纯形法
互补基本解均可行必然均为最优解。 对偶单纯形法基本思路
1、标准化，允许bi<0; 2、建立典式，若 0 ，转至3； 3、最优性检验 b 0 ，否则转至4； 4、解的判断 bs 0, asj 0, 原问题无可行解，对偶问题无下界；否则， 转 至5 ； 5、换基；先确定出基变量
原问题有n个变量，对偶问题有n个约束条件 原问题的价值系数对应对偶问题的右端项 原问题的右端项对应对偶问题的价值系数
原问题的系数矩阵转置后为对偶问题系数矩阵
11
3.2 线性规划的对偶性质
1.对称性：对偶问题的对偶问题是原问题。 PD 2.弱对偶性：原问题的任一可行解的目标函数值，不优于其
yi* 代表影子利润
* 资源i单位成本 qi，则资源i对总价值的单位贡献即 yi qi ，即
yi* qi 为资源i的影子价格。