初中数学竞赛“取特殊值”快速求出代数式的值(含答案)

“取特殊值”快速求出代数式的值
（初一、初二）
当已知条件是关于y x ,的二元不定方程()0,=y x f ，求关于y x ,的代数式()y x g ,的值时。

我们可以将满足二元不定方程()0,=y x f 的一组特殊的解，代入()y x g ,中，计算得到结果，这比用常规的整体代入的方法简洁，快速。

1 例1 若,010432=-+y x 则y x x y xy y x x 65034203152223--++++= .
（第3届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）
解：取二元不定方程010432=-+y x 的一组特殊的解：⎪⎩
⎪⎨⎧==250y x ，代入待求式得： 原式=10152525625402=-=⨯-⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+ 注意：
1.因为满足二元不定方程()0,=y x f 的解有无数组，所以，取满足二元不定方程()0,=y x f 一组特殊值的原则是：要求代入待求代数式()y x g ,中便于计算。

2.此题的常规解法是用因式分解的方法，凑出10432-+y x 这个因式，利用,010432=-+y x 整体代入求解。

y x x y xy y x x 65034203152223--++++
=()101015)1043(2=+++-+y x y x
3.相比较而言，取满足二元不定方程()0,=y x f 一组特殊值，再代入待求代数式()y x g ,来计算，这种解法要快速得多。

对解答填空题，不失为好方法。

4.对待这类求值问题，我们常规的解题方法是将()y x g ,恒等变形为含有()y x f ,的代数式：
()y x g ,=()y x f ,()k y x +,ϕ
其中()()
的整式为关于为常数，
y x y x k ,,ϕ 利用()0,=y x f 进而求出结果，即()k y x g =,。

例2．若1-=+y x ，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等（ ） （A ）0；（B ）－1；（C ）1；（D ）3
（第14届“希望杯”全国数学邀请赛试题）
分析与解答：因为满足不定方程1-=+y x 的y x ,有无数个，为了计算简便，不妨取特殊值1,0-==y x 直接代入待求多项式计算。

原式=0+()41-=1 选（C ） 评注：常规解法是对待求多项式进行恒等变形，整理成关于y x +的新多项式()()()y x xy y x xy y x +++++24，然后再整体地将1-=+y x 代入计算，使用该方法要求解题者具有熟练的代数式恒等变形的能力。

而取特殊值，则简化了计算过程，提高了解题的效率。

注意：上述解题方法，对已知条件是关于y x ,的二元不定方程()0,=y x f ，求关于y x ,的代数式()y x g ,的值有效，切忌不分青红皂白地使用该方法。

同步练习：
1．若1=+y x ，则43222234621026y xy xy y x y x y x x ++-+-+的值等（ ） （A ）0；（B ）－1；（C ）1；（D ）3
（第14届“希望杯”全国数学邀请赛试题）
2．已知5=+b a 那么3315b ab a ++的值是（ ）
（A ），5；（B ），25；（C ），75；（D ），125
（第9届“希望杯”全国数学邀请赛培训试题）
答案：1，（C）；
2，（D）。