空间轨迹
空间中的轨迹问题及其解决办法
B
D
C
知识点五：
1.借助轨迹的几何定义解决问题 2.在轨迹所在平面恰当建立坐标系，计算出轨迹方 程后再解决问题
A
G
E
F
H
D
C
A'
B
知识点二：
过空间中一点作已知平面的平行 直线有无数条，并且这无数条直线 都在同一平面内，这个平面就是已 知平面的平行平面。
配套练习：
知识点三：
过空间中一点作已知直线的垂线有无数条，并且这无数 条直线都在同一平面内，这个平面就是已知直线的垂面。
配套练习：
知识点四：
过空间中一条线段上的点作已知 平面的垂线，垂足的轨迹是一条线段， 并且这条线段恰是这条线段在已知平 面上的投影。这些垂线的轨迹是一个 平面，恰是已知平面的垂面。
空间中的轨迹问题 及其常见解决办法
知识点一：
若点P是平面和的公共点，那么平面和有无数个公共点， 并且这无数个公共点都在一条直线上，这条直线叫做平面 与的交线。
配套练习：
正方体中，根据条件求动点P的轨迹 （1）动点P既在平面A’BCD上，又在平面AA’H上； （2）动点P既在平面A’BCD上，又在平面EBG上.
配套练习：
正方体中，
A
G
（1）P为线段AF上的动点，若过点P作PQ平面AA’BG于点Q,
求点Q轨迹的长度；
E
（2） P为线段A
C
且PQ直线与平面ABCD交于点Q,求点Q轨迹的长度。
A' B
A
D'
练习题：
C' E
棱长全为2的三棱柱，在侧面CDD’C’ 上取点P使得PA//平面ECD，再在底面 BCD上取点Q使得PQ平面ECD,求点P 轨迹的长度.
空间圆弧轨迹
空间圆弧轨迹引言空间圆弧轨迹是一种在三维空间中描述物体运动或路径的方式。
它在许多领域中都有广泛的应用，如机械工程、航空航天等。
本文将介绍空间圆弧轨迹的基本概念、计算方法和应用。
基本概念空间圆弧轨迹是指物体在三维空间中运动时，运动轨迹为圆弧形状的情况。
它由切线和曲率确定了其形状和方向。
切线是指该点处运动轨迹的切线方向，曲率则表示了该点处圆弧的曲率大小。
计算方法计算空间圆弧轨迹的方法主要有两种：几何方法和数学方法。
几何方法几何方法是通过已知圆弧的起点、终点和半径来计算圆弧轨迹。
具体步骤如下： 1. 确定起点、终点和半径； 2. 根据已知条件绘制圆弧的切线； 3. 确定圆弧的中心点； 4. 根据中心点和起点绘制圆弧。
数学方法数学方法是通过方程计算空间圆弧轨迹的参数。
具体步骤如下： 1. 建立圆弧的参数方程； 2. 将参数代入方程，求解圆弧上各点的坐标。
应用领域空间圆弧轨迹在许多领域中都有广泛的应用。
机械工程在机械工程中，空间圆弧轨迹被用于描述机械臂的运动路径。
机械臂可以根据空间圆弧轨迹来完成复杂的动作，如拾取物体、组装产品等。
航空航天在航空航天领域，空间圆弧轨迹被用于描述飞机或火箭的飞行路径。
通过研究和计算空间圆弧轨迹，可以优化飞行路径，提高飞行效率。
三维建模在三维建模领域，空间圆弧轨迹被用于生成和编辑三维模型的路径。
通过控制圆弧轨迹的参数，可以实现复杂的三维动画效果。
优点和局限性空间圆弧轨迹具有以下优点： - 简洁：空间圆弧轨迹可以用较少的参数来描述复杂的运动路径。
- 平滑：圆弧轨迹具有平滑的曲线，可以避免物体在运动过程中产生突变或抖动。
然而，空间圆弧轨迹也有一些局限性： - 限制：圆弧轨迹只能描述圆弧形状的路径，对于其他形状的路径无法准确表示。
- 计算复杂：计算空间圆弧轨迹的参数需要一定的数学知识和计算能力，对于非专业人士可能有一定的难度。
结论空间圆弧轨迹是描述物体运动和路径的一种重要方式，具有广泛的应用领域。
空间目标运动轨迹预测研究
空间目标运动轨迹预测研究随着人类对太空的探索日益深入，各国不断发射卫星和太空探测器，对于空间目标的运动轨迹预测就显得尤为重要。
空间目标指的是在太空中运行的各种天体，包括人造卫星、空间舱、宇宙飞船和天体物体等。
在进行太空任务和科学研究时，对空间目标的位置和运动状态进行准确预测、分析和控制，是确保任务成功的重要保证。
一、空间目标运动轨迹预测的重要性空间目标的运动是受到多种因素共同作用的，如引力、气动力、地球潮汐以及外部干扰等。
这些因素的复杂性和难以精确测量，使得空间目标的轨迹具有随机性，因此需要使用严谨的数学模型和先进的技术来进行预测。
空间目标的运动轨迹预测的重要性在于，它能够实现以下几个方面的目标：1.保障空间任务的成功完成: 在进行空间任务时，准确地预测目标在太空中的位置和运动状态可以帮助调整任务的航向和速度，从而确保任务的成功完成。
2.提高空间探测的效率和精度: 进行空间探测需要对目标所在的位置和运动状态有较为准确的了解，这可以帮助科学家准确采集和分析相关数据，并提高探测的效率和精度。
3.保障空间安全: 空间目标的轨迹预测还可以帮助维护空间相对安全的环境，对于行星、人造卫星和太空垃圾等物体的相对运动分析、跟踪和预警都有积极的作用。
二、空间目标运动轨迹预测的数学模型空间目标运动轨迹预测需要使用数学模型来描述其运动规律和状态变化。
目前，常用的数学模型包括开普勒模型、矢量计算模型、质点模型等。
1.开普勒模型开普勒模型最早是由德国天文学家开普勒在16世纪提出的，是用来描述天体运动的三大定律中的第一定律：行星轨道是椭圆。
在开普勒模型中，用平面直角坐标系x、y来描述目标的位置，用它的径向速度vr和角速度ω来描述目标的运动状态。
开普勒模型可以较好地描述天体围绕中心星的椭圆轨道运动。
2.矢量计算模型矢量计算模型是通过对目标的速度和加速度进行矢量叠加来计算目标的新位置。
在矢量计算模型中，将时间连续化，建立速度和加速度矢量模型，并利用牛顿运动定律进行计算预测。
第2讲：空间中的轨迹问题
空间中的轨迹问题问题引入——天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察他们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是（ ）A. 椭圆B. 圆C. 双曲线的一支D. 抛物线错因回放——多数学生都认为旗杆比华表高，所以点到旗杆顶端的距离要大于到华表顶端的距离，故猜想只有C.答案符合要求。
分析：这些学生仅凭空间想象，却忽略了处理轨迹问题首先要“平面化”的基本要求。
知识背景——本题考查学生的空间想象和转化的能力，同时也考查求动点轨迹方程的一般方法，即建系设点、找几何关系、转化为代数式、化简整理和证明五个步骤。
注意这是一道应用问题，要想运用平面解析的知识求解，首先要合理引入坐标系。
正确解答：.,0)()(2)()(,)()()~(),,(.,,2,,,2222222222222222211轨迹为一个圆即有的相似比由题意根据相似三角形设曲线上任一点轴建立直角坐标系其垂直平分线为轴为线所在直线华表与地面的交点的连以旗杆与地面的交点和为旗杆与华表的地面距离华表高为设旗杆高为=-++--+-=+-++∆∆>a n m x n m a y n m x n m n m y a x y a x PB A PB A y x P y x a n m n m相关练习——（1）2004年重庆12题。
若三棱锥A-BCD 侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ）（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM=31，点P 是平面ABCD 上的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹是（ ）A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 以上都不对练习答案：（1）D.（2）A.。
物体在空间中的运动轨迹
物体在空间中的运动轨迹物体在空间中的运动轨迹是指物体在三维空间中的路径，通过分析和描述物体在空间中的运动轨迹，我们可以揭示物体的运动规律和其所受到的力的作用。
物体的运动轨迹可以是直线、曲线、圆周等形式，而运动轨迹的性质则受到物体的初速度、加速度、重力等因素的影响。
首先，让我们来探讨物体在空间中的直线运动轨迹。
当物体在空间中做直线运动时，其轨迹可以是一条直线或是由多条直线段组成。
物体的直线运动可以是匀速运动，也可以是加速运动。
在匀速直线运动中，物体在每个相等的时间间隔里都移动相等的距离，轨迹呈现直线形式。
而在加速直线运动中，物体的速度随着时间的推移而改变，轨迹可能是由直线段和曲线段组成。
其次，让我们讨论物体在空间中的曲线运动轨迹。
曲线运动轨迹可以是抛物线、椭圆、双曲线等各种形状。
例如，当我们将一个小球投掷到空中时，小球会沿着抛物线运动轨迹下落。
这是因为小球在空中受到重力的作用，所以其运动轨迹呈现曲线形式。
曲线运动的轨迹可以通过数学公式来描述，通过解析几何和微积分的方法，我们可以求解物体在空间中的曲线运动轨迹方程，进一步研究其运动规律。
此外，圆周运动也是一种常见的物体在空间中的运动轨迹。
圆周运动是指物体围绕圆心做圆周运动，轨迹呈圆形。
例如，地球围绕太阳做公转运动，其轨迹是一个椭圆。
圆周运动可以通过半径、角速度等参数来描述，通过研究物体在圆周运动中的运动规律，我们可以深入了解物体的运动特性。
除了以上几种常见的运动轨迹，物体在空间中的运动还可能呈现其他形式的轨迹，如螺旋线、心形线等。
这些非常规的轨迹形式经常出现在复杂的物理现象中，例如质点在电磁场中的运动。
对于非常规的轨迹形式，我们需要借助高级的数学和物理工具进行分析和探索。
总结起来，物体在空间中的运动轨迹丰富多样，可以是直线、曲线、圆周甚至是非常规的形式。
通过研究和分析物体在空间中的运动轨迹，我们可以揭示物体的运动规律和其所受到的力的作用。
物体的运动轨迹可以通过数学公式来描述和计算，这为我们深入了解物理规律和实验现象提供了关键的方法和工具。
空间轨迹问题的三种模式及破解策略
空间轨迹问题的三种模式及破解策略空间轨迹问题是近年来高考命题的一个热点题型，这类问题中涉及到的点，线，面较多，产生于空间，但落实到平面，空间关系复杂，往往交汇多个知识点，解题方法灵活多变，总给人无“法”可依，无“章”可循之感，是同学们公认的难点与失分点。
本文将此类问题分为三种模式，各个击破，只要同学们能够准确识别模式就能正确解决，对空间轨迹问题我们的口号是“无需忍痛——分必得！”【模式一】 定点+动点型——先定“大轨迹”，后寻“小轨迹”，特殊点定位例1 在正方体1AC 中，点P 在侧面11BCC B 的内部及边界上运动，总有1AP BD ⊥,则点P 的轨迹是（ ）A. 线段1B CB. 线段1BCC. 线段BCD. 线段11B C分析： 我们知道过直线外一点与该直线垂直的直线都在过该点与此直线垂直的平面内，设过A 与1BD 垂直的平面为α，有11P B C CB α∈平面,所求轨迹就是α与侧面11BCC B 的交线，此处应是线段，下面只需要取两个特殊点定位即可，易知只有线段1B C 符合题意，故选A.例2 已知正方体1AC 棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为3的点的集合曲线C ，则该曲线的长度为（ ）A. B. C. D.解：空间中与A 的点的集合是以A 为球心，曲线C 就是该球面与正方体各面相交所得的截面。
2313<<6个侧面均相交得到6段圆弧，可分为两种情况：ABCD,11AA D D , 11AA B B 为过球心的截面，截痕为大圆弧，易知三段圆弧圆心角均为6π；1111A B C D ,11BCC B ,11CDD C 与球心距离为1的截面，截痕是小圆弧，三段小3=，故各段圆弧圆心角均为2π，则曲线C 长度为 233533363236ππ+= 方法点拨此模式中我们可以先确定动点所在的“大轨迹”（某个平面或球面），而所求的“小轨迹”往往是“大轨迹”与一个指定平面的交线，我们熟知平面与平面或球面相交，交线是直线或圆，轨迹类型确定了，就可以取特殊点来确定即可，问题迎刃而解！【模式二】 动点+多距离型，转化为一个平面内的轨迹问题例3 如图，在正方体1AC 中，P 是侧面11BCC B 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解：连接1PC ,易知1PC 即P 到直线11C D 的距离，所以在平面11BCC B 内，动点P 到点1C 的距离与其到定直线BC 的距离相等，故其轨迹所在曲线是以1C 为焦点，直线BC 为准线的抛物线，选D例4 正四面体S-ABC ，动点M 在侧面SBC 内部及边界上运动，且点M 到点S 的距离与其到底面ABC 的距离相等，则动点M 的轨迹所在曲线是（ ）A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D.双曲线分析：过M 作MO ABC ⊥平面，过O 作ON BC ⊥,连接MN,易知MNO ∠是二面角S B C A --的平面角，由SM=MO,sin MO MN MNO =∠,可得sin (1SM MNO MN=∠<定值），在平面SBC 内，动M 到定点S 的距离与其到定直线BC 的距离之比是大于0小于1的常数，故M 的轨迹应该是椭圆的一部分，故选C方法点拨与模式一对比，我们无法确定“大轨迹”，因此需要转化。
几个典型空间轨迹问题的探讨
ｄ ｉ ０ ３ ６ ／．ｓｎ １ ７ —４ ９ （ ｏ ：１ ． ９ ９ ｊｉ ． ６ ３１ ０ Ｎ） ． ０ ２ ０ ． ０ ｓ ２ １．３ ００
几 个 典 型 空 间 轨 迹 问 题 的探 讨
关 剑 光 （ Ｂ 浙江省台州市路桥中学， 浙江 台州 ３８５） １００
［ 要 ］ 在 中 学 数 学 中， 轨 迹 问 题 是 立体 几 何 中重 要 问题 之 一 ， 它体 现 了立 体 几何 与 解 析 几 何 的 交 汇 ， 不 摘
角 定理 ， 知 Ｐ Ｂ ＝ Ａ Ｐ Ｂ ＜ Ｐ Ｂ 故 选 Ｄ。 Ｏ Ｃ，
例１ 的进一 步拓 展 若三 棱锥 Ａ—Ｂ Ｄ 的侧 面 ＡＢ Ｃ Ｃ内一动 点
Ｐ 到底 面 ＢＣ 的距 离 和到棱 ＡＢ 的距离之 比为正 常数 愚 则动点 Ｐ Ｄ ，
Ｃ
的轨迹在 ＡＡ Ｃ组成 的图形依然是 以 Ｂ为一端点 ， 一端 点在棱 Ａ Ｂ 另 Ｃ
到底 面 Ｂ Ｄ 的距离 ， Ｐ到棱 ＡＢ的距 离大 于 尸 在ＡＣ上 时 到棱 ＡＢ 的距 离相 等 ， Ｃ 而 因此 至少 Ｐ在 ＡＣ上 沿
图形 Ａ 运动 到 Ｂ 点 的开 始 阶段 ， 到底 面 Ｂ Ｄ 的距 离与 到棱 ＡＢ 的距离 不相 等 。所 以可 以排除 图形 Ａ。完 Ｃ 全类 似可 以排 除 图形 Ｂ。 以答 案 只可 能是 Ｃ， 是 Ｄ。 所 或 因为 Ｐ到棱 Ｂ Ｃ的距离 大于 Ｐ到底 面 Ｂ Ｄ 的距离 ， Ｃ
换句 话说 Ｐ 到棱 ＢＣ的距 离大 于 Ｐ 到棱 ＡＢ 的距 离 ， 以 Ｐ 所 ＢＣ＞ ／Ｐ Ａ， Ｂ 因此答 案选 Ｄ。 方 法 ２ 因为 Ｐ 到棱 Ｂ 的距离 与 Ｐ 到底 面 ＢＣ 的距 离 的 比 Ｃ Ｄ
是大于 １ 的常数 ， 而得 Ｐ到棱 ＢＣ的距离 与 Ｐ到棱 ＡＢ的距 离 的 比 从
空间中某平面内轨迹的几种求法
Ａ
Ｂｊ Ａ
Ｂ
曲线 分别 是 椭 圆 、 物线 、 曲线 ． 抛 双
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
分析 由于在 正方体Ａ Ｃ 曰 Ｄ ｌ １ｌ 】 ＢＣＤ
中 ，Ｃ￣侧 面Ａ ， Ｃ 船 ， Ｂ 日。 有 ＢＪ ＿ 即 就 是
动 点 Ｐ 直 线 Ｃ的 距 离 ， 于 是 侧 面 ＡＢ 内 到
成４ ’的点础 轨 迹 ． 则点Ｐ的轨迹 是 以 ５
若拿掉条件 “ 点Ｐ∈ ． 考 ” 仅
虑 满足 “ △ 置Ｐ 面 积 为 定 值 ” 点 Ｐ的 轨 的 的
迹： ｓＡ １ ￣ ．且斜线段Ａ 由“△ Ｊ Ｊ ａ ｄ 长度
固定 ” ． 到 边ＡＢ所在 直 线 的距 离ｄ为 得 点Ｐ
ｂ，） ｃ， （ ｙ， ． ， ｏ）
化 简整理 得 的轨迹 是 双 曲线．
（－ ） ｚ ０ ．所 以点尸
Ａ 圆 ． Ｃ 一 条直 线 ． 分析
Ｂ 椭 圆 ． Ｄ 两 条平 行 直线 ．
此 外 ． 若 拿 掉 条 件 “ Ｐ 平 面 在
内 ” 仅 考 虑 满足 “ 段Ａ 与 ． 线 Ｐ 曰所在 直 线
图２
图３
４ ２
投 耩：ｊ ｒ ３Ｏ＇ 稿鄙 ｓｋ ｉ１ ．ｔ ｘ ＠ ｐ６Ｃ￣ ｌ
２ 下 午 ．放 在平 地 上的 球 的 影 子 是 椭 圆 ． 中球 与 地 面 的接触 点 是焦 点． 其
数学 教学通 讯（ 教师版 ）
ＮＡ（ ， ｈ）Ｂ（ ，， ０ ０， ， Ｏ ｌｈ） 由 “ 段 线
到直 线Ａ Ｂ与直 线Ｂ 的 距离 相 等 ， 动 点 ， Ｃ 则
为 准 线 的抛 物 线．显 然 点』及 Ｂ 的 中点 ４ 曰
关节空间轨迹的插值计算
关节空间轨迹的插值计算关节空间轨迹的插值计算是指根据给定的关节空间点集，通过插值算法计算出连续的关节空间轨迹。
这在机器人运动学和路径规划中是一个重要问题。
下面将介绍几种常用的插值方法。
1. 线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一。
假设有两个关节空间点A和B，我们可以通过线性插值来计算它们之间的关节空间轨迹。
具体做法是将关节空间轨迹分为若干段，每段之间的关节空间点根据时间进行线性插值。
线性插值的优点是简单易理解，计算速度快。
但是由于插值结果是一条直线，无法满足复杂的路径要求。
2. 二次插值：二次插值是一种更加平滑的插值方法。
它假设关节空间轨迹是一个二次曲线，可以通过三个相邻的关节空间点来确定。
具体做法是根据给定的三个点，使用二次函数来表示路径，然后再根据路径的参数化形式计算出关节角度。
二次插值的优点是插值结果光滑，相比线性插值更适合实际机器人运动。
3. 样条插值：样条插值是一种更加灵活的插值方法。
它假设关节空间轨迹是由多段特定形状的曲线拼接而成。
具体做法是将关节空间轨迹划分为若干小段，每段之间拼接成一条曲线。
在每个小段内，通常使用三次多项式函数来表示。
样条插值的优点是可以通过控制拼接点的位置和曲线形状来满足不同的路径要求。
但是由于样条插值需要计算大量的参数来确定曲线形状，在计算量上较大。
4. 逆运动学插值：逆运动学插值是一种特殊的插值方法，适用于已知起点和终点的运动轨迹，而不是在关节空间定义的轨迹。
逆运动学插值的目的是根据起点和终点在笛卡尔坐标系中的坐标，计算出机器人每个关节的角度，从而使得机器人能够从起点运动到终点。
逆运动学插值的难点在于需要解决逆运动学问题，即通过关节角度计算末端执行器在笛卡尔坐标系中的位置。
综上所述，关节空间轨迹的插值计算可以使用线性插值、二次插值、样条插值和逆运动学插值等方法。
选择哪种方法要根据实际需求来确定。
在实际应用中，通常需要综合考虑插值结果的光滑度、计算复杂度和路径要求等因素。
笛卡尔空间轨迹拟合
笛卡尔空间轨迹拟合
笛卡尔空间轨迹拟合是指根据给定的一系列离散笛卡尔空间轨迹点，通过拟合方法得到合理的连续轨迹函数。
拟合方法可以根据实际需求选择，常见的方法有多项式拟合、样条曲线拟合、参数化曲线拟合等。
多项式拟合常用于低维离散点的拟合，可以通过最小二乘法或最小二范数等方法求解出最佳拟合曲线的系数。
样条曲线拟合是指将一条光滑曲线分段拟合成多个多项式片段，并保证同一段内的多项式片段之间连续和光滑。
常见的样条曲线拟合方法有线性样条、二次样条、三次样条等。
参数化曲线拟合是指将笛卡尔空间轨迹点映射到一个参数化的曲线上，通过优化参数值来拟合原始轨迹。
常见的参数化曲线拟合方法有贝塞尔曲线拟合、B样条曲线拟合等。
在进行轨迹拟合时，需根据实际应用场景选择合适的拟合方法和参数，以达到拟合效果和计算效率的要求。
同时，也需要考虑拟合后的轨迹是否满足要求，如是否平滑、连续、符合运动学限制等。
高中数学立体几何微专题1动态问题之轨迹
立体几何微专题1 :动态问题之轨迹立体几何动态问题的分为以下基本类型：点动问题、线动问题、面动问题、体动问题、多动问题等，很多的动态问题只要知道轨迹，把空间转化为平面问题要解决，立体几何中某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于转化为平面问题.轨迹的几何判断方法：动点P满足如下轨迹定义条件时（1）平面内到定点距离等于定长（圆）；（2）空间中到定点距离等于定长（球面）；（3）两不同平面公共点的集合（直线）；（4）平面内到两定点距离之和为定值（大于定点间的距离）（椭圆）；（5）平面内到两定点距离之差的绝对值为定值（小于定点间的距离）（双曲线）；（6）平面内到定直线距离等于到定点（不在定直线上）距离（抛物线）©考点突破[例1] （2004北京，理4）如图，在正方体力NCD-4/C；〃中，尸是侧面内••封点，若「到直线"C与直线的距离相等，则动点「的轨迹所在的曲线是（）A,直线H,圆 C.双曲线 D.抛物线解析：选D.由于G〃，平面Mga连接尸G，则产C；_LGR，即点尸到直线qq的距离即尸q,因此，动点尸到定点G与定直线BC的距离相等，由抛物线的定义可知，动点尸的轨迹为抛物线.[例2] （2006北京，理4）平面口的斜线力疗交1于点过定点/的动直线/与X/垂直，且交a于点C ,则动点。
的轨迹是（）A. 一条直线B. 一个圆C. 一个桶圆D.双曲线的一支解析：选A.设/与「是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线回垂直于这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与己知直线垂直可知过定点刃与山?垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面b的交线上，故选A.[例3] （2008浙江，理10）如图，川匕是平面戊的斜线段，凡为斜足，若点户在平面内运动，使得A4用尸的面枳为定值，则动点P的轨迹是（A.圆B.椭圆C. 一条直线D.两条平行直线解析：选人由题意知，点尸到线段乂月的距离为定值，则点尸在以为旋转轴的圆柱表面上一点।故平面a斜截圆柱，所得图形为椭圆.［例4］（2015浙江,文7）如图,斜线段45与邛面仪所成的角为60、B为斜足，平面a上的动点户满足乙匕13 = 30"则点尸的轨迹是（）A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支解析：选C由题可知，当尸点运动时，在空间中，满足条件的/尸绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60口角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.［例5］（2012浙江模拟）如果一个平面与一个圆柱的轴成］（0<tz<-）2角，则该平面与圆柱侧面的交线是一个椭圆，当以=2时;椭圆的离心率是6百八1 8B, — C. 一 D.—2 2 2解析：选既由题意得，椭圆的短半轴长等于底面半径小即5=人若平面与圆柱的轴所成角为30,则平面与圆柱底面成60 ,从而可得椭圆的长半轴长为4二—-—= r L1|I a = 2b t故总= J］- （2）-=---cos 60 V a 2[例6](2013西城 模)如图，正方体4武力-/用£口中，F 为底面/用⑦ 上的动点, PE 工邓：于E ，且/Y =/%，则点P 的轨迹是()A.线段 B,圆弧 C ，椭圆的一部分 D.抛物级的一部分 解析：选/t 由题意知，\A {AP^\A X EP,则点P 在线段/五的中垂面上 运动，从而与底面力人力的交线为线段.[例7](2011广州・•模，理SO 如图所示，已知正方体/狄力-的 棱长为3长为2的线段上W 的一个端点M 在棱Z)口上运动，另一端点N 在正方形⑷?CD 内运动，则河、的中点的轨迹的面积为()A. 4 笈B. 2 乃C. 7T 解析：选D.易知I)J)] 1平面/BCD ,乙MDN = 90 ,取线段的中点 尸，则QF 二4= 所以点尸的轨迹是以。
空间轨迹问题的求解策略
高 中 生 之 友 2 0 1 0 1 2 上 半 月 刊 】4
． ．
1
奠学导学 ｉ 盆 ｓ 。 ｍ
（ Ｂ ） 一个 圆， 但要 去掉 两个 点 （ Ｃ ） 一个椭 圆， 但 要去掉两个点 （ Ｄ） 半圆 ， 但要去掉两个点
点拨 ： 因 为 要 判 断 动 点 Ｃ在 平 面 ａ 内 的 轨 迹 ， 故 例４ （ ２ ０ ０ ６年 北京 高考 题 ） 平 面 仅的 斜 线 Ａ Ｂ 交
系， 再结合平面中判 断轨迹 的方法进 行判 断是处 理这
类问题最基本 的方 法．
二 交 轨 法
’
点评 ： 这类 问题求 解的关 键是 找出动点 在空 间 的 几何性质 ， 使动点满足某种空 间几何 图形 的定义 ， 借此
例３ （ ２ ０ ０ ８年 浙 江 高 考 题 ） 分析其轨迹构成 。 如 图， Ａ Ｂ是 平 面 ａ的斜 线 段 ， Ａ
（ 去 掉 两个 点 Ａ、 Ｂ） ， 即选 Ｂ 。 点评 ： 将空间的位置关 系转化 为平面 中的位 置关
轨迹应是直线 Ａ Ｂ的垂直 平面 １ ３ 。再 结合点 Ｃ一定 在 平面 内 ， 所 以点 Ｃ的轨 迹 应该 是 两平 面 Ｏ ｔ ， １ ３的交
线， 所 以 点 Ｃ的轨 迹 是 一条 直线 。故 选 Ａ 。
间 的 轨 迹 是 一个 以直 线 Ａ Ｂ为 中轴 线 的圆 柱 面 ， 动点 Ｐ 在 平 面 内 的 轨 迹 就 是 圆 柱 面 与 平 面 的 交 线 。 又
系， 设 出动点坐标 ， 列 出关系式 ， 将抽 象 的空间 图形关
系 转 化 为 数 据 的处 理 。
解析 ： 如图所示建 立 空间坐标 系 ， 设侧面 Ｂ Ｂ １ Ｃ Ｃ 及其 边 界 上 点 Ｍ（ ， ａ， ｚ ） 。 由 题 设 知 Ａ（ ａ ， ０ ， ０ ） ，
空间目标的轨迹预测与优化研究
空间目标的轨迹预测与优化研究摘要：随着航天技术的不断发展与进步，人类对于太空的探索与利用也越来越深入。
空间目标的轨迹预测与优化研究是太空任务中的一个重要环节，它涉及到了对空间目标轨道运行状态的预测和优化设计。
本文将以此为主题，从预测方法和优化策略两个方面，对空间目标的轨迹预测与优化研究进行探讨。
一、空间目标的轨迹预测1. 轨迹预测的意义空间目标的轨迹预测是指根据已有数据和模型，通过数学方法推算出未来一段时间内空间目标的位置、速度和加速度等运动状态信息。
它具有重要的实际意义，可以帮助航天人员进行任务规划、资源调度和风险评估等工作，提高太空任务的执行效率与安全性。
2. 轨迹预测的方法轨迹预测方法主要包括牛顿-第二定律方法、开普勒方法和数值积分方法等。
其中，牛顿-第二定律方法根据物体所受的外力和质量加速度的关系，通过对动力学方程的求解，得到物体的运动轨迹。
开普勒方法则利用开普勒定律，根据物体的质量、初始位置和速度等参数，预测物体的运动轨迹。
数值积分方法则通过将时间分段，将轨迹的预测问题转化为一系列的初值问题，通过数值方法求解微分方程，得到物体的运动轨迹。
3. 预测误差与影响因素空间目标的轨迹预测受到多种因素的影响，例如初始数据的准确性、空间环境的不确定性以及目标自身的特性等。
在预测过程中，由于这些因素的存在，将会导致一定的预测误差。
因此，对于空间目标的轨迹预测研究来说，不仅要求方法准确可靠，还需要对误差和影响因素进行充分的分析和研究。
二、空间目标的轨迹优化1. 轨迹优化的意义空间目标的轨迹优化是指在满足任务需求和约束条件的前提下，寻找最佳的轨迹设计方案。
轨迹优化的目的是寻找能够最小化或最大化某个性能指标的轨迹，以提高任务的执行效果。
通过轨迹优化，可以使空间目标在有限资源和时间的限制下，以最佳的方式完成预定任务。
2. 轨迹优化的方法轨迹优化的方法主要包括传统优化算法和基于机器学习的优化算法等。
传统优化算法如遗传算法、粒子群算法等，通过对轨迹参数的调整，不断迭代求解，逐步靠近最优解。
比较关节空间轨迹规划和笛卡尔空间轨迹规划
初始和末端条件：
将条件代入：
ti i
t f f
t i 0
t f 0
（ 2）
tic0 i
tf c0 c1tf c2t2f c3t3f f
tic1 0
tf c12c2tf 3c3t2f 0 （ 3）
TITLE HERE
如果要求机器人依次地通过两个以上的点， 那么每一段末端求解出的边界速度和位置 都可用做下一段的初始条件，每一段的轨 迹均可用类似的三次多项式加以规划。然 而，尽管位置和速度都是连续的，但加速 度并不连续，这也可能会产生问题。
partthreetitlehere01将时间增加一个增量02利用所选择的轨迹函数计算出手的位姿03利用逆运劢学方程计算相应的关节变量04将关节变量信息送给控制器05返回到循环的开始partthreetitleherepartthreetitlehere04比较partfour直角空间轨迹规划必须反复求解逆运劢方程来计算关节角也就是说对于关节空间轨迹规划规划生成的值就是关节值而直角坐标空间轨迹规划函数生成的值是机器人末端手的位姿它们需要通过求解逆运劢方程才能化为关节量
Hale Waihona Puke PART TWO存在 问题
03
PART THREE
直角坐标空间的轨迹规划
所有用于关节空间的轨迹规划方法都可以用于直角坐标空间轨迹 规划。直角坐标轨迹规划必须不断进行逆运动学运算，以便及时 得到关节角。
TITLE HERE
01 将时间增加一个增量 t = t ＋ △ t 02 利用所选择的轨迹函数计算出手的位姿 03 利用逆运动学方程计算相应的关节变量 04 将关节变量信息送给控制器 05 返回到循环的开始
研究如何利用受控参数在关节空间中规划机器人 的运动，有许多不同阶次的多项式函数及抛物线 过渡的线性函数可用于实现这个目的。
空间运动目标的轨迹预测方法
空间运动目标的轨迹预测方法
近年来，随着航天飞机的不断发展，在太空中运动的目标轨迹预测能力也在发展之中。
轨迹预测对于保证太空安全以及发射成功至关重要，已是各国关注的重点问题。
轨迹预测的主要作用是可以准确地预测太空中运动目标的轨迹，采取有效的技术措施应对，从而降低干扰环境，保证太空飞行安全性。
针对太空轨迹预测的主要技术方法有基于外空力学模型的机动轨迹预测、基于随机过程的瞬态轨迹预测、基于标准航线的轨迹预测以及基于航迹的轨迹预测等。
这些方法各有特色，可以满足不同的应用需求，如机动轨迹预测可以用于敏捷飞行器的预测，基于随机过程的瞬态轨迹预测可以用于不确定环境下的航线预测，基于标准航线的轨迹预测可以用于考虑一系列因素而非仅计算一个状态空间时的航线预测等。
当前，科技发展步伐加快，无人机、高科技飞行器的产业化应用需求不断上升，针对太空轨迹预测的技术也在发展和改进当中，准确的轨迹预测能力将能够为太空运输技术的发展带来更多的可行空间。
展望未来，太空轨迹预测技术也将随着科技的发展而日新月异，不仅会带来更准确的预测机制，而且可以为轨道规划、发射策略、航空碰撞预警和行为主动预测等方面持续性的改进和发展。
此外，采用机器学习等方式把航空器仿真在太空中运动状况的数据作为输入，将助力太空轨迹预测技术的跨时空、大规模预测性能的提高。
空间运动目标的轨迹预测方法
空间运动目标的轨迹预测方法
空间运动目标的轨迹预测方法主要有基于模型的预测方法、机器
学习法、统计方法和神经网络方法。
基于模型的预测方法，是根据系统的物理性质，构建判决参量的
关系的函数模型，依据历史数据，对未来的行为进行预测。
该方法容
易实施，模型可以很快地根据实际仿真结果进行修正，但通常受到数
据不全和模型数学误差等限制，而且容易受到外界干扰影响。
机器学习法是根据运动目标历史轨迹，进行联想，把运动目标视
为一个智能体，采用Q-learning、SARSA深度学习等机器学习算法，
借助强化学习技术，不断复习，对未来运动趋势有更深入的理解，在
选择行为的时候进行优化，改善预测准确预测性能。
统计方法是通过对历史数据的分析，推算出未来可能出现的概率，使用概率图来预测未来可能出现的运动轨迹，以概率最大的路径作为
未来的运动轨迹。
神经网络方法是将大量的历史轨迹信息输入神经网络，通过神经
网络学习，实现运动目标的轨迹预测，由于神经网络模型具有自主学
习能力，可以实现复杂的预测功能，而且预测的准确性相对更高。
晒晒空间轨迹的求解方法
理 ， 得解题 思路 简 明 、 使 求解快 捷．
例 ４ 已 知 正 四 棱 柱
妻喜 言 爱主 喜
定角 ９。 ０ 的点的轨 迹 问题 ， 妙转 化 ， 巧 轻松 获解．
ｌ
Ｃ
Ｃ
Ａ ＝６Ｂ ＝Ｃ √ ， Ｃ ， Ｃ Ｃ 一 Ｐ是
Ｂ 上一 动 点 ， Ｃ Ｃ１ 则 Ｐ＋ Ｐ Ａ
的最 小值 是
．
图 ５
◇
江苏
孟 宪 成
高考命 题 注重考 查 知识 的综 合 性 ， 注重 在 知识 的 交 汇 点处命 题 ， 而解 析几何 与 立体 几 何 知识 的交 汇多 以考 查 点 的轨 迹 为 切 人 点 ， 多 次 出 现 在 高 考 试 题 且 中， 由于试题 背 景新 颖 ， 法 灵 活 ， 解 同学 们解 题 感 到 吃 理 可求 得 Ａ Ｃ一５ ．
在 Ｒ ＡＡ Ｂ Ｃ 中 ， 求 得 ：ｏ ＬＢ ｔ 易 ｃ ｓ ｃ一 ． 即
Ａ Ｂ与平面Ａ Ｅ Ｆ所成角的余弦值为 ． Ｃ
（ 作者 单位 ： 肃省会 宁县 郭城农 业 中学） 甘
人 有信 所， 苦忍 么也适 ， 一念 追 么都受 环都应 只 种， 求 艰能， 境能 要 有什 什
ＡＢ 与 平 面 Ａ１ Ｃ 所 成 Ｅ Ｆ
的角 ．
图７
Ｐ Ｆ．
由 三 垂 线 定 理 可 得
因为 直线 Ａ 与 Ａ Ｂ Ｆ所 成 的角和 Ａ 与 Ａ Ｂ Ｅ
所 成 的角 相 等 ， 以 Ａ Ｂ 所 在 平 面 Ａ ＥＣ Ｆ上 的 射 影
空间中到两直线距离相等的点的轨迹
空间中到两直线距离相等的点的轨迹下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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02-课件：7.3 笛卡尔空间轨迹规划
R(z,)R(y,)R(z,) R(k,)R( f ,)
cs f ss
c
f轴（当前Z轴）
c s 0 0
Rot(
f
,)
s
0
c
0
0 0 1 0
0
0 0 1
2019-1-16
东北大学 机器人科学与工程学院 房立金 主页/ljfang/ 邮箱ljfang@
• 机器人经过多个不同点位运动时，等效转轴不同； • 各个自由度的拟合时间应相同，这意味着拟合加速度将不
同。
• 按转动量最小的旋转解进行规划。
kxkxvers c kykxvers kz s kzkxvers ky s 0
Rot(k,) kxk yvers k sz
kxkzversky s
0
ky kyvers c kzk yvers k sx 0
欧拉角（ZYZ）
c R(z,) s
0
s 0 c 0
0 1
s
k
Байду номын сангаас
c
0
双轴旋转（k，f） k轴（当前Y轴）
kxkxvers c kykxverskz s kzkxvers ky s 0
Rot(k,) kxk yvers k sz
kyk yvers c
kzk yvers k sx 0
kxkzversky s
P0
T0
P1
T1
P2
T2
P3
T3
P4
T4
P5
T5
位姿变化序列 （对应5个工作点位）
2019-1-16
东北大学 机器人科学与工程学院 房立金 主页/ljfang/ 邮箱ljfang@
空间站实时轨迹
空间站实时轨迹
1. 宇航员对国际空间站的实时轨迹：
国际空间站是人类历史上最大的太空结构之一，它由美国、俄罗斯、欧洲、日本和加拿大的航天技术家组成。
它每一次飞行都会实现一条精确的、循环的轨道，它的实时轨迹提供了宇航员在地球上行进时所需要的信息和精确研究数据。
对宇航员而言，实时轨迹提供了有关当前位置、速度和航向等关键信息。
测量实时轨迹的传感器可以来自空间站上的光学传感器、电感式传感器和测绘和地形传感器。
这个实时轨迹数据也可以是一系列地图图像，表明地图中所有的小图块是连接的，它们的唯一的区别是在以经纬度的形式表示它们的位置。
2. 关于实时轨迹的用途：
实时轨迹数据可以作为宇航员和地球观测任务的基础，可以提供实时的跟踪信息、研究数据和诊断信息等服务。
它还可以用于实时诊断，因为它提供了太空飞行器和宇航器的状态以及它们的位置、速度等必要的数据。
此外，它还可以以路径规划的形式显示，以提高宇航员的行程效率。
同时，实时轨迹还可以进行空间定位，用于匹配飞行器行进的轨迹和地形信息，以及地址编码信息等。
这种形式利用实时跟踪数据可以有效地改善定位技术，提高实时轨迹数据的准确性和可靠性。
最后，通过实时轨迹数据还可以改善太空舱内的安全性，准确地确定空间站的位置，并改善宇航员的安全性。
因此，实时轨迹不仅是宇航员的安全保障，而且是空间研究的重要工具。
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法3：直纹曲面法……
法3：直纹曲面法……
双曲抛物面： 1.名称： 2.构造：
3.截交线：
①水平面的截交线是双曲线或相交的两条直线 ②正平面和侧平面的截交线是抛物线
二、截痕法：
从大到小截痕法 常见截痕要熟知
1.双曲抛物面的截交线： ①水平面的截交线是双曲线或相交的两条直线 ②正平面和侧平面的截交线是抛物线
2.圆柱体表面的截交线
与轴平行 两平行直线
与轴垂直 圆
与轴斜交 椭圆
3.圆锥体表面的截交线 （ 0°＜α＜90°）
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同 截平面与圆锥面的交线有五种形状
α
α
θ
θ
α
α
θ
过锥顶 两相交直线
θ =90° 90°＞θ＞α
圆
椭圆
θ＝α 抛物线
0°≤θ＜α 双曲线
2.(2004年北京) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是
侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等
则动点P的轨迹所在的曲线是
(A)直线 (B)圆
D1
A1
C1
B1
(C)双曲线 (D)抛物线
D A
P
C BQ
法1：①P到直线C1D1的距离，即P到点C1的距离
②故原问题等价于：
动点P到定点C1与定直线C1D1距离相等，求其轨迹 ③抛物线
2.(2004年北京) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是
侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等
法1：空间内到两异面直线距离相等的动点的轨迹
法2：①在XOZ面上构造一条开口向上的抛物线 ②在YOZ面上构造一条开口向下的抛物线 ③让第一条抛物线在另一条抛物线上滑动 其轨迹是双曲抛物面
z
y o
x
双曲抛物面（马鞍面）
z
O
y
x
双曲抛物面：
1.名称： 2.构造：
法1：空间内到两异面直线距离相等的动点的轨迹
故 z y2 (z 1)2 ，即 y2 2z 1 ，抛物线也
(9)(2004年重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到 底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与 ⊿ABC组成图形可能是
【D】
A
B
C
D
(9)(2004年重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到
底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与
（A）有且只有1个
（B）有且只有2个
（C）有且只有3个
（D）有无数个
(6)(2010年重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的
点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的
轨迹是
【D】
A.直线 B. 椭圆
C. 抛物线 D. 双曲线
(7)(2006年北京)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的 动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是
A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
华表
3.已知天安门广场上的国旗杆比华表高，若某游客在广场
地面上，观察它们顶端的仰角相等，则该游客在广场地面
上所处的曲线是 A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支
B1
A1
A
B
D.抛物线
P
析: AA1为华表, BB1为国旗杆,点 P表示游客,θ为仰角
因 AP AA1 cot , BP BB1 cot
侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等
则动点P的轨迹所在的曲线是
A.直线
B.圆
D1
z
C1
C.双曲线 D.抛物线
A1
法3：建立如图所示的坐标系，
B1
P
不妨设AB=1 ，则P(0,y,z) x
D
因P到直线BC的距离为z
A yBiblioteka C BP到直线C1D1的距离为PC1 y2 (z 1)2
故
AP AA1 cot BP BB1 cot
AA1 BB1
,而
AA1及
BB1的长度为定值
即 AP 是不为1的定值， 阿波罗尼斯圆……
BP
4.到两直线距离相等的点的轨迹是__________
①平面内到两平行直线距离相等的点的轨迹是__…__…____ ②空间内到两平行直线距离相等的点的轨迹是__…__…____ ③平面内到两相交直线距离相等的点的轨迹是__…__…____ ④空间内到两相交直线距离相等的点的轨迹是__…__…____ ⑤空间内到两异面直线距离相等的点的轨迹是双__曲__抛__物__面
双曲抛物面：
1.名称： ①顾名思义，应与双曲线及抛物线有关 ②因形状类似于马鞍，又称马鞍面
马鞍面
猴鞍面
双曲抛物面：
1.名称： 2.构造：
法1：空间内到两异面直线距离相等的动点的轨迹
法2：①在XOZ面上构造一条开口向上的抛物线 ②在YOZ面上构造一条开口向下的抛物线 ③让第一条抛物线在另一条抛物线上滑动 其轨迹是双曲抛物面
(A)一条线段，但要去掉两个点 (B)一个圆，但要去掉两个点 (C)一个椭圆，但要去掉两个点 (D)半圆，但要去掉两个点
析：由三垂线逆 定理得 AC⊥BC
即∠ACB = 900
【B】
2.(2004年北京) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是
侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等
附加作业：
1.《固学案》P：12 Ex2 2.《固学案》P：12 Ex5
（A）一条直线 （B）一个圆
【A】
（C）一个椭圆
（D）双曲线的一支
(8)(2008年浙江)如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足 若点P在平面α内运动,使得⊿ABP的面积为定值,则动点
P的轨迹是
A．圆
【B】
B．椭圆
C．一条直线
D．两条平行直线
三、方程法：陌生轨迹方程法 建系设需列方程
2.(2004年北京) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是
⊿ABC组成图形可能是 析：如图，不妨将三棱锥A-BCD特殊化，设AB=1
建立如图所示的坐标系，则P(x,y,0) z
可得面BCD的法向量为 n （1,1,1）
D
故点P到棱AB的距离为 y
点P到面BCD的距离为
A
C
BP • n |n|
(x 1,
y,0) • (1,1,1) 3
x
y 1 3B
x
y
即 x y 1 y ，x (1 3) y 1 0 ，直线也 3
附录25 空间轨迹
一、类推法：
常见轨迹要熟知 平面空间互推法
二、截痕法：
从大到小截痕法 常见截痕要熟知
三、方程法：
陌生轨迹方程法 建系设需列方程
一、类推法： 常见轨迹要熟知 平面空间互推法
1.(2004年天津)如图,定点A和B都在平面α内,定点P∈α
C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC
P
那么，动点C在平面α内的轨迹是
则动点P的轨迹所在的曲线是
(A)直线 (B)圆
D1
A1
C1
B1
(C)双曲线 (D)抛物线
法2：
D A
C B
①在空间，到异面直线BC，C1D1距离相等的动点的轨迹是 双曲抛物面
②故原问题等价于：双曲抛物面的截交线
③抛物线
(5)(2010年全国Ⅱ)与正方体 ABCD A1B1C1D1 的三条棱
AB、CC1 、A1D1 所在直线的距离相等的点 【D】
则动点P的轨迹所在的曲线是
(A)直线 (B)圆
D1
A1
C1
B1
(C)双曲线 (D)抛物线
D A
P
C BQ
析：①P到直线C1D1的距离，即P到点C1的距离 ②故原问题等价于：
动点P到定点C1与定直线C1D1距离相等，求其轨迹 ③抛物线
3.已知天安门广场上的国旗杆比华表高，若某游客在广场 地面上，观察它们顶端的仰角相等，则该游客在广场地面 上所处的曲线是