空间轨迹

α
α
θ
θ
α
α
θ
过锥顶 两相交直线
θ =90° 90°＞θ＞α
圆
椭圆
θ＝α 抛物线
0°≤θ＜α 双曲线
2.(2004年北京) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是
侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等
则动点P的轨迹所在的曲线是
(A)直线 (B)圆
D1
A1
C1
B1
法2：①在XOZ面上构造一条开口向上的抛物线 ②在YOZ面上构造一条开口向下的抛物线 ③让第一条抛物线在另一条抛物线上滑动 其轨迹是双曲抛物面
法3：直纹曲面法……
法3：直纹曲面法……
双曲抛物面： 1.名称： 2.构造：
3.截交线：
①水平面的截交线是双曲线或相交的两条直线 ②正平面和侧平面的截交线是抛物线
（A）一条直线 （B）一个圆
【A】
（C）一个椭圆
（D）双曲线的一支
(8)(2008年浙江)如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足 若点P在平面α内运动,使得⊿ABP的面积为定值,则动点
P的轨迹是
A．圆
【B】
B．椭圆
C．一条直线
D．两条平行直线
三、方程法：陌生轨迹方程法 建系设需列方程
2.(2004年北京) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是
侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等
则动点P的轨迹所在的曲线是
A.直线
B.圆
D1
z
C1
C.双曲线 D.抛物线
A1
法3：建立如图所示的坐标系，
B1
P
不妨设AB=1 ，则P(0,y,z) x
D
因P到直线BC的距离为z
A y
C B
P到直线C1D1的距离为PC1 y2 (z 1)2
双曲抛物面：
1.名称： ①顾名思义，应与双曲线及抛物线有关 ②因形状类似于马鞍，又称马鞍面
马鞍面
猴鞍面
双曲抛物面：
1.名称： 2.构造：
法1：空间内到两异面直线距离相等的动点的轨迹
法2：①在XOZ面上构造一条开口向上的抛物线 ②在YOZ面上构造一条开口向下的抛物线 ③让第一条抛物线在另一条抛物线上滑动 其轨迹是双曲抛物面
（A）有且只有1个
（B）有且只有2个
（C）有且只有3个
（D）有无数个
(6)(2010年重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的
点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的
轨迹是
【D】
A.直线 B. 椭圆
C. 抛物线 D. 双曲线
(7)(2006年北京)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的 动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是
则动点P的轨迹所在的曲线是
(A)直线 (B)圆
D1
A1
C1
B1
(C)双曲线 (D)抛物线
D A
P
C BQ
析：①P到直线C1D1的距离，即P到点C1的距离 ②故原问题等价于：
动点P到定点C1与定直线C1D1距离相等，求其轨迹 ③抛物线
3.已知天安门广场上的国旗杆比华表高，若某游客在广场 地面上，观察它们顶端的仰角相等，则该游客在广场地面 上所处的曲线是
(A)一条线段，但要去掉两个点 (B)一个圆，但要去掉两个点 (C)一个椭圆，但要去掉两个点 (D)半圆，但要去掉两个点
析：由三垂线逆 定理得 AC⊥BC
即∠ACB = 900
【B】
2.(2004年北京) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是
侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1Fra Baidu bibliotek距离相等
附录25 空间轨迹
一、类推法：
常见轨迹要熟知 平面空间互推法
二、截痕法：
从大到小截痕法 常见截痕要熟知
三、方程法：
陌生轨迹方程法 建系设需列方程
一、类推法： 常见轨迹要熟知 平面空间互推法
1.(2004年天津)如图,定点A和B都在平面α内,定点P∈α
C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC
P
那么，动点C在平面α内的轨迹是
⊿ABC组成图形可能是 析：如图，不妨将三棱锥A-BCD特殊化，设AB=1
建立如图所示的坐标系，则P(x,y,0) z
可得面BCD的法向量为 n （1,1,1）
D
故点P到棱AB的距离为 y
点P到面BCD的距离为
A
C
BP • n |n|
(x 1,
y,0) • (1,1,1) 3
x
y 1 3B
x
y
即 x y 1 y ，x (1 3) y 1 0 ，直线也 3
故
AP AA1 cot BP BB1 cot
AA1 BB1
,而
AA1及
BB1的长度为定值
即 AP 是不为1的定值， 阿波罗尼斯圆……
BP
4.到两直线距离相等的点的轨迹是__________
①平面内到两平行直线距离相等的点的轨迹是__…__…____ ②空间内到两平行直线距离相等的点的轨迹是__…__…____ ③平面内到两相交直线距离相等的点的轨迹是__…__…____ ④空间内到两相交直线距离相等的点的轨迹是__…__…____ ⑤空间内到两异面直线距离相等的点的轨迹是双__曲__抛__物__面
则动点P的轨迹所在的曲线是
(A)直线 (B)圆
D1
A1
C1
B1
(C)双曲线 (D)抛物线
法2：
D A
C B
①在空间，到异面直线BC，C1D1距离相等的动点的轨迹是 双曲抛物面
②故原问题等价于：双曲抛物面的截交线
③抛物线
(5)(2010年全国Ⅱ)与正方体 ABCD A1B1C1D1 的三条棱
AB、CC1 、A1D1 所在直线的距离相等的点 【D】
故 z y2 (z 1)2 ，即 y2 2z 1 ，抛物线也
(9)(2004年重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到 底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与 ⊿ABC组成图形可能是
【D】
A
B
C
D
(9)(2004年重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到
底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与
A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
华表
3.已知天安门广场上的国旗杆比华表高，若某游客在广场
地面上，观察它们顶端的仰角相等，则该游客在广场地面
上所处的曲线是 A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支
B1
A1
A
B
D.抛物线
P
析: AA1为华表, BB1为国旗杆,点 P表示游客,θ为仰角
因 AP AA1 cot , BP BB1 cot
法1：空间内到两异面直线距离相等的动点的轨迹
法2：①在XOZ面上构造一条开口向上的抛物线 ②在YOZ面上构造一条开口向下的抛物线 ③让第一条抛物线在另一条抛物线上滑动 其轨迹是双曲抛物面
z
y o
x
双曲抛物面（马鞍面）
z
O
y
x
双曲抛物面：
1.名称： 2.构造：
法1：空间内到两异面直线距离相等的动点的轨迹
附加作业：
1.《固学案》P：12 Ex2 2.《固学案》P：12 Ex5
(C)双曲线 (D)抛物线
D A
P
C BQ
法1：①P到直线C1D1的距离，即P到点C1的距离
②故原问题等价于：
动点P到定点C1与定直线C1D1距离相等，求其轨迹 ③抛物线
2.(2004年北京) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是
侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等
二、截痕法：
从大到小截痕法 常见截痕要熟知
1.双曲抛物面的截交线： ①水平面的截交线是双曲线或相交的两条直线 ②正平面和侧平面的截交线是抛物线
2.圆柱体表面的截交线
与轴平行 两平行直线
与轴垂直 圆
与轴斜交 椭圆
3.圆锥体表面的截交线 （ 0°＜α＜90°）
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同 截平面与圆锥面的交线有五种形状