因数与倍数免费讲义

第一讲因数与倍数初步

知识点铺垫

质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，没有其他的因数，那么称之为质数．

100以内质数表：（共有25个）

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29

31、37、41、43、47、53、59、61、67、71

73、79、83、89、97

合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他的因数，那么称之为合数．

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数的标准式．可以利用短除法分解质因数。例如：

本讲精讲

因数：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么就称b为a的因数．

例：18÷6=3 那么6是18的因数．

倍数：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么就称a为b的倍数．

例：18÷6=3 那么18是6的倍数．

公倍数：如果一个非0自然数同时是若干个自然数的倍数，那么就称这个自然数是这若干个自然数的公因数．

公因数：如果一个非0自然数同时是若干个自然数的因数，那么就称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．

最大公因数：在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数．

最小公倍数：在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．

求最大公因数的方法：

（1）枚举法

（2）短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．（大公因，乘半边）

（3）分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的质因数连乘起来．（选择共有的因数）

（4）辗转相除法：大除小，小除余，直到整除，最大公因数就是最后一个余数或最后一个式子的除数．

求最小公倍数的方法：

（1）枚举法

（2）短除法：先找出所有包含的因数，然后相乘．（小公倍，乘半圈）

（特别注意，短除法求三个及以上数的最大公倍数要保证两两互质）

（3）分解质因数法：先分解质因数，然后把所有出现过的因数连乘起来，相同的只乘一次．

（选最多的）

（4）公式法：先求出最大公因数，利用公式．

例题

1.计算下列各组数的最大公因数与最小公倍数

10，14 14，21 45，25 30，36，90

2.已知A,B,C三数分解质因数的形式如下：

(1) (A,B)=_____ (C,B) =_____

(C,A) =_____

(2) [A,B]=_____ [C,B]=_____

[C,A]=_____

(3) (A,B,C)=_____ [A,B,C]=______

3.

（1）用1、2、3组成的所有三位数的最大公因数是多少？

（2）两个数和为112，最大公因数为16，则这两个数分别为多少？

第二讲循环小数

知识点铺垫

1、分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数大小不变

基本性质应用：通分，约分

2、分数乘除

五句真言：【1】分子乘分子分母乘分母；【2】能约分先约分；【3】带分数可以变假分数；【4】整数可以变分数；【5】除以一个数等于乘它的倒数【注意】答案必须是最简分数倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。

3、分数加减同分母分数加减

分母不变，分子相加减．结果要化成最简分数．

异分母分数加减：先通分，变为分母相同的分数，再分子相加减．

本讲精讲

小数的分类特征

分数化成小数

先约分，化成最简分数，之后利用除法，除尽或找到循环节．

循环小数化分数

1、纯循环小数：

分母9的个数与循环节数位相同，分子即为循环节．

2、混循环小数：分母9的个数与循环节位数相同

后面0的个数与非循环数位相同，分子为整体减非循环．

3、证明过程

循环小数的计算

（1）加减法化可以小数，列竖式计算，循环数位要统一，遇到末位一串连续的9要进位．

（2）乘除法化绝大部分题目都要化为分数在计算，最终结果化最简分数．

循环小数中的周期问题

N÷7的循环，142857从不同开头的循环

周期问题主要考虑每个周期中的数以及周期的个数

本讲例题