2013年考研数学二试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，

()2

x π

α<

，当0x →时，()x α（ ）

（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 是等价无穷小

【答案】（C ） 【考点】同阶无穷小 【难易度】★★ 【详解】

cos 1sin ()x x x α-=⋅，21

cos 12

x x --

21sin ()2x x x α∴⋅-，即1

sin ()2

x x α-

∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα

1

()

2

x x α∴-，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）. 2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2

lim [()1]n n f n →∞-=（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【答案】（A ）

【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★

【详解】当0x =时，1y =.

方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得 将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''== 所以，2

lim [(

)1]2n n f n

→∞

-=，选（A ）. 3、设sin [0,)

()2[,2]x f x πππ⎧=⎨⎩

，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）

（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点 （B ）x π=为()F x 的可去间断点 （C ）()F x 在x π=处连续不可导 （D ）()F x 在x π=处可导

【答案】（C ）

【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】

20

2

(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt π

π

π

ππ-==+=⎰⎰⎰，(0)2F π+=，

(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.

()()()lim

0x

x f t dt f t dt

F x π

πππ

-

-

→-'==-⎰⎰，0

()()()lim

2x

x f t dt f t dt

F x π

πππ

+

+

→-'==-⎰⎰，

()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.

4、设函数1111(1)

()1ln x e x f x x e x x

αα-+⎧

<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1

()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）

（A ）2α

<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<

【答案】（D ）

【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】1

1

()()()e

e

f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

=+⎰

⎰⎰

由

1

()f x dx +∞

⎰

收敛可知，1

()e f x dx ⎰与()e

f x dx +∞⎰

均收敛.

11

1

1()(1)e

e

f x dx dx x α-=-⎰

⎰

，1x =是瑕点，因为111(1)

e dx x α--⎰收敛，所以112αα-<⇒< 111()(ln )

ln e

e

e

f x dx dx x x x ααα

+∞

+∞

+∞

-+==-⎰

⎰

，要使其收敛，则0α

>

所以，02α<<，选D.

5、设()y

z

f xy x

=

，其中函数f 可微，则

x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2

()f xy x

- 【答案】（A ）

【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★

【详解】

22()()z y y f xy f xy x x x

∂'=-+∂，1

()()z f xy yf xy y x ∂'=+∂ 11

()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x

'''=-

+++=，故选（A ）. 6、设k D 是圆域{}2

2(,)1D x y x

y =

+≤位于第k 象限的部分，记

()(1,2,3,4)k

k D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）

（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】（B ）

【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★

【详解】根据对称性可知，130I I ==.

2

2()0D I y x dxdy =->⎰⎰（

0y x ->），4

4()0D I y x dxdy =-<⎰⎰（

0y x -<）

因此，选B.

7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ） 【考点】等价向量组 【难易度】★★ 【详解】将矩阵

A 、C 按列分块，1(,

,)n A αα=，1(,,)n C γγ=

由于AB C =，故11

1111

(,

,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫ ⎪

=

⎪ ⎪⎝⎭

即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=+

+

即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.

由于B 可逆，故1

A C

B -=，A 的列向量组可由

C 的列向量组线性表示，故选（B ）.

8、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

相似的充分必要条件是（ ）