圆中的分类讨论

例析分类讨论思想在圆中的应用

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；既具有对称任意性，又具有旋转不变性，因此往往给解题带来一定的复杂性．为了避免在求解与圆有关的问题时出现漏解，本文将分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析，供同学们学习时参考．

一、点与圆的位置关系不唯一性

例1 已知点P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C是⊙O上的任意一点(不与A，B重合)．若∠APB=50°，求∠ACB的度数．分析解题时若对点C位置理解不透，容易出现漏解的情况，须注意针对分点C在优弧与劣弧两种情况分类讨论．

解析如图1，连结OA、OB，

∵P A，PB是⊙O的两条切线，

∴∠PAO=∠PBO=90°．

∵∠APB=50°。

∴在四边形PA OB中，

∠AOB=360°一∠PA O一∠APB一∠PBO=130°．

①若点C在优弧AB上，则∠ACB=1

2

∠AOB=65°；

②若点C在劣弧AB上，则∠ACB=1

2

×(360°-130 °)=115°．

∴∠ACB的度数为65°或115°．

变式已知点P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C 是⊙O上的任意一点(不与A，B重合)．若∠APB=n°，求∠A CB的度数．

二、弦与弦的位置关系不唯一性

例2 在半径为1的⊙O中，弦23BAC的度数．

分析此题主要考查的是垂径定理和勾股定理，初学者多数只会做出一个解，要么求得15°，要么求得75°．实际上应全面考虑两弦与圆心的位置，分弦AB与CD在圆心O的两侧与同侧两种情况讨论．

解析如图2，分别作O D⊥AB，O E⊥A C，垂足分别是D、E．

∵OD⊥AB，OE⊥A C，

∴AD=BD=

2

2

，

AE=BE 3

，

∴cos∠DAO=AD

AO

2

cos∠AEO = AE

AO

=

3

2

，

∴∠DA O=45°，∠AEO=30°．

当AB 与CD 在圆心O 的两侧时，

∠BA C=∠BAO+∠CAO=75°；

当AB 与CD 在圆心O 的同侧时，

∠BA C=∠BAO-∠CAO=15°，

∴∠BAC 的度数为15°或75°．

变式 如图3，已知AB 是⊙O 的直径，AB=2，弦2，

在图中画出弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数．

三、弦与它所对圆周角的不唯一性

例3 圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数．

分析 多数学生只是求出30。，而未能求出150°，原因是学生对点与圆的位置关系、弦所对的圆周角理解不透．一条弦(非直径)所对的弧有优弧和劣弧，一条弦所对的圆周角 有锐角和钝角两种情况，需要区分优弧和劣弧所对的圆周角进行计算．

解析 连结OA 、OB ，

∵OA=OB=AB ，

∴△AOB 为正三角形，

∴∠A DB=60°．

当点P 在优弧AB 上时，

∠P=12

∠A OB=30°； 当点Q 在优弧AB 上时，

∠Q=180°一∠P =150°．

∴弦AB 所对的圆周角为30°或150°．

变式1 已知点O 为△ABC 的外心，若∠BOC=100°，求∠BA C 的度数．

变式2 在半径为4的⊙O 中，弦3AB 所对的圆周角的度数．

变式3 一条弦AB 分圆成1：4两部分，求弦AB 所对的圆周角的度数．

四、直线与圆的位置关系不唯一性

例4 直线l 上一点P 到圆心O 的距离是5cm ，⊙O 的半径也是5cm ，求直线l 与⊙的位置关系．

分析 多数学生误以为圆心O 到直线l 的距离为OP ，即把直线l 上一点P 当作垂足，得出直线l 与⊙O 的位置关系是相切，出现漏解．

解析 (1)当O P ⊥l 时，则圆心O 到直线l 的距离为OP ．

∵OP=5，R=5，

∴OP=R ，

∴点P 到直线l 的距离等于⊙O 的半径，则直线l 与⊙O 相切；

(2)当OP 不垂直直线l 时，圆心O 到直线l 的距离小于OP ，则直线l 与⊙O 相交． ∴直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交

变式 直线l 上一点P 到圆心O 的距离是a ，⊙O 的半径是r ，并且a =r ，求直线l 与⊙O 的位置关系．

五、圆与圆的位置关系不唯一性

例5 以点O 为圆心的两个同心圆的半径分别是9和5，1O e 与这两个圆相切，求 1O e 的半径．

分析 由于两圆为同心圆，1O e 可能与小圆外切、与大圆内切，1O e 的直径等于两圆 的半径之差；1O e 也可能与小圆、大圆都内切，1O e 的直径等于两圆的半径之和(如图5)．

解析 当1O e 与小圆外切、与大圆内切时，

1O e 的直径为

1954d R r =-=-=

∴12r =；

当1O e 与小圆、大圆都内切时，

1O e 的直径为

19514d R r =+=+=，

∴17r =．

∴1O e 的半径是2或7．

变式 已知两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径是2，求另一圆的半径．

六、在圆锥侧面展开图计算中的应用

例6 如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，Rt △ABC 的一边旋转一周得到一个几何体，求出这个几何体的全面积。

分析 题中只说明Rt △ABC 的一边旋转

一周，而未说明具体是哪一边旋转，所以必须

分情况进行讨论．

解析 ∵∠A CB=90°，

AC=20，BC=l 5，

∴22201525+=．

∴1122

AB CD AC BC =g g ， ∴25CD=20×1 5，

∴CD=l 2．

若绕AC 旋转一周得到的几何体，则它的全面积为

21152515S ππ=⨯⨯+⨯