八年级上数学等腰三角形培优经典练习
八年级(上)培优专题六如何确定等腰三角形的个数
专题六：如何确定等腰三角形的个数解答•.•①若PA=AB则符合要求的点为：P i, P2,②若PB=AB则符合要求的点为：P3,③若PA=PB则符合要求的点为：P4.A这样的P点有4个.故答案为：4.2、如图，已知Rt△ ABC中，/ BCA = 90° Z A = 30° 在直线BC或AC上取一点P，使△ ABP是等腰三角形，则符合条件的点P有 ________ 6 ___ 个.【答案】分析：根据题意，点P在直线BC或直线AC上，使△ PAB是等腰三角形, 则三角形的两底角相等，两腰相等.解答：解：第1个点在AC上，取一点P,使Z PBA Z PAB第2个点在AC延长线上，取一点P,使PC二PA第3个点在CA延长线上，取一点P,使BA=AP第4个点取一点P,使AP二BA第5个点取一点P,使PB二BA第6个点取一点P,使AP=AB•••符合条件的点P有6个点.故选C.3、已知，点A的坐标是（2,2）,试在坐标轴上找一点p使厶APO是等腰三角形，则点p有几个？4、已知，直角三角形ABC中，/ C=900, / BAC=300,试在BC或AC所在的直线上找一点P使厶PAB是等腰三角形，则点p有------个5、已知，直角三角形ABC中，/ C=900, / BAC=300,试在BC或AC所在的直线上找一点P 使厶PAB是等腰三角形，则点p有------个6、已知在等边三角形ABC所在平面内求一点P使厶ABP △ ACP △ CBP均为等腰三角形问这样的P点有多少个？答：分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的•每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个7、在正方形ABCD所在的平面内找点P使三角形PAB三角形PBC三角形PCD、PAD均为等腰三角形，这样的点P有多少个？解答：共有9个，在AB的垂直平分线上有5个，在BC的垂直平分线上有5个,其中有1 点重合；8、点P在x轴上，A(4,1)，B( 1,4)，如果△ ABP是等腰三角形，求点P的坐标？解答：由题意可设p(x,o),因为△ ABP是等腰三角形所以当AP=BP, P( 0,0)当AB=PB 时,P (V 17+4 ,0)或(4-V 17,0)当AB=PA 时,P (1 + V2,0 )或P (1-V2,0)综上可得，点P的坐标为：(0,0) , (V 17+4 ,0) , (4-V 17,0) , (1 + V2,0 ) , ( 1-V2,0)(提示：用两点间的距离公式求x值)9、已知点A(-1,0)和点B (0,1),在坐标轴上的确定点P,使得三角形ABP为等腰三角形，则满足条件的P点共有几个？解答：共有 6 个满足这样的点(0,0) (- V2-1,0) (0,-1) (0, V2+1) (1,0) (0,1- V2)。
等腰三角形 培优训练2022-2023学年人教版八年级数学上册
13.3 等腰三角形 培优训练一、单选题1．如图，B 在AC 上，D 在CE 上， AD =BD =BC ， ∠ACE =25° ， ∠ADE 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．75°D ．80°2．如图，平面直角坐标系中，已知定点A （3，0）和B （0，4），若动点C 在y 轴上运动，则使△ABC 为等腰三角形的点C 有（ ）个．A ．3B ．4C ．5D ．63．如图， △ABC 中， BD 是角平分线， DE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 D ，若 DE =7 ， AE =5 ，则 AB = （ ）A ．10B ．12C ．14D ．164．如图是正五边形ABCDE ， DG 平分正五边形的外角△EDF ，连接AD ，则△ADG= （ ）A ．54°B ．60°C ．72°D ．88°5．如图，在△ABC 中，运用尺规作图的方法在BC 边上取一点P ，使PA +PB =BC ，下列作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使 CE =CD ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．∠CED =30°B ．∠BDE =120°C ．DE =BD D ．DE =AB7．下列命题是真命题的是（ ）A ．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B ．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形D ．在 △ ABC 中， ∠A =∠B =2∠C ，则 △ ABC 为直角三角形8．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为（ ）A ．44B ．43C ．42D ．419．如图，△ABC 是等边三角形，点E 是AC 的中点，过点E 作EF△AB 于点F，延长BC交EF 的反向延长线于点D ，若EF=1，则DF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5二、填空题10．等腰三角形腰AB =10，底边BC =12，则△ABC 的周长为 ．11．规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD =12BC ，则△ABC 底角的度数为 ．12．如图，在等边三角形ABC 中，AB =2，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE =CD ，则BE 的长为 ．13．如图，在 ΔABC 中， ∠ACB =120° ， CD 平分 ∠ACB ，作 AE//DC ，交 BC 的延长线于点 E ，则ΔACE 是 三角形.14．已知射线OM.以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，如图所示，则△AOB= (度)15．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，△B =30°，CD 是高．若AD=2，则BD= ．三、作图题16．如图，在9×4的方格纸ABCD 中，每个小正方形的边长均为1，点E 为格点（注：小正方形顶点称为格点）.请仅用无刻度直尺按要求画图.△在CD 边上找一点P ，连结AP ，使△AEP 是等腰三角形； △在AB 边上找一点Q ，使EQ△AP ，画出线段EQ.四、解答题17．如图， △ABC 中， AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且 △ABE=△ACD ，BE 、CD 交于点O ，求证： △OBC 是等腰三角形.18．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，a ＝4，b ＝6，若三角形的周长是小于16的偶数，判断△ABC 的形状．19．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接ED ，BD ．若BD 平分∠ABC ，求证：BD ⊥AC ．20．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使CE=CD．求证：DB =DE ．21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 边的中点，DE△AC 于点E ，DF△BC 于点F ，DE ＝DF ．求证：△ABC 是等边三角形．22．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AD 平分△BAC ，∠EBC =∠E =60°．若BE =6cm ，DE =2cm ，求BC 的长．23．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD 是高，△A=30°，求证：BD =14AB .24．阅读下列材料：小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC 中，△BAC=120°,△ABC=40°，试过△ABC 的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.他的做法是：如图2，首先保留最小角△C ，然后过三角形顶点A 画直线交BC 于点D ．将△BAC 分成两个角，使△DAC=20°，△ABC 即可被分割成两个等腰三角形.喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 他的做法是：如图3，先画△ADC ，使DA=DC ，延长AD 到点B ，使△BCD 也是等腰三角形，如果DC=BC ，那么△CDB =△ABC ，因为△CDB=2△A ，所以△ABC= 2△A ．于是小明得到了一个结论：当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．25．如图[感知]如图①，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，易知：△ADC△△BEA （1）[探究]如图②，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BA 、CB 的延长线上，且AD=BE ，△ADC与△BEA 还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（2）[拓展]如图③，在△ABC 中，AB=AC ，△1=△2，点D 、E 分别在BA 、FB 的延长线上，且AD=BE=CF ，若AF=2AD ，S△ABF=6，则S△BCD的大小为答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵BD=BC，∠ACE=25°，∴∠BDC=∠C=25°，∴∠ABD=50°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠ADE=∠A+∠C=75°.故答案为：C.【分析】由等边对等角得∠BDC=∠C=25°，利用三角形外角的性质求出∠ABD=50°，由等边对等角得∠A=∠ABD=50°，根据三角形外角的性质求出∠ADE=∠A+∠C=75°.2．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：当BC＝BA时，使△ABC为等腰三角形的点C有2个；当AB＝AC时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；当CA＝CB时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；综上所述，若动点C在y轴上运动，使△ABC为等腰三角形的点C有4个；故答案为：B．【分析】利用等腰三角形的判定方法求解即可。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。
八年级数学竞赛培优训练 等腰三角形 含解析
第4讲等腰三角形【思维入门】1．已知等腰△ABC中，腰AB＝8，底BC＝5，则这个三角形的周长为() A．21B．20C．19D．182．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为() A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图1－4－1，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°图1－4－14．如图1－4－2，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为()A．30°B．40°C．45°D．60°图1－4－25．如图1－4－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是____．图1－4－36．如图1－4－4，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .求证：△DEB ≌△DFC .【思维拓展】7．如图1－4－5，已知在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，且OM ∥AB ，ON ∥AC ，若CB ＝6，则△OMN 的周长是()图1－4－5A ．3B ．6C ．9D ．128．如图1－4－6，AB ＝AC ，AD ＝DE ＝EC ＝BC ，则∠ABC 的度数为 ( ) A ．30° B ．40° C ．45°D ．60°图1－4－69．如图1－4－7，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，D 是 AB 边上的一点，AD ＝BC ，连结CD ，则∠BDC ＝____． 10．如图1－4－8，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB ＝145°，则∠DBE 的度数是____．图1－4－4图1－4－7图1－4－811．如图1－4－9，正六边形被三组平行线分割成小的正三角形，则图中所有正三角形的个数是____．12．如图1－4－10，△ABC 中，AB ＝AC .∠A ＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作(画图不要求使用圆规，以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括△ABC )：(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数分别是____度和____度；(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3)继续以上操作发现：在△ABC 中画n 条线段，则图中有____个等腰三角形，其中有____个黄金等腰三角形．图1－4－10 【思维升华】图1－4－913．三角形三边的长分别为a，b，c，且ab＋ac＝b＋cb＋c－a，则三角形是()A．等边三角形B．直角三角形C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形14．如图1－4－11，已知P为等腰△ABC内的一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠P AC＝____．15．如图1－4－12，一个六边形的内角都相等，其中四条边的长分别是3，7，4，8，则另外两条边的长度的和a＋b等于____．图1－4－1216．如图1－4－13，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，延长AB到D，使AD＝BC，连结CD，则∠BCD的度数是____．图1－4－13第4讲等腰三角形【思维入门】1．已知等腰△ABC中，腰AB＝8，底BC＝5，则这个三角形的周长为(A) A．21B．20C．19D．182．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(D) A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图1－4－1，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是(C)A．45°B．54°C．40°D．50°图1－4－14．如图1－4－2，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为(B)A．30°B．40°C．45°D．60°图1－4－25．如图1－4－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是__30°__．图1－4－36．如图1－4－4，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：△DEB≌△DFC.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵BD＝CD，∴△DEB≌△DFC(AAS)．【思维拓展】7．如图1－4－5，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB＝6，则△OMN的周长是(B)图1－4－4图1－4－5A．3 B．6C．9 D．12【解析】∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠MBO，又OM∥AB，∴∠ABO＝∠MOB，∴∠MBO＝∠MOB，∴OM＝BM，同理ON＝CN，∵BC＝6，则△OMN的周长＝OM＋MN＋ON＝BM＋MN＋NC＝BC＝6.8．如图1－4－6，AB＝AC，AD＝DE＝EC＝BC，则∠ABC的度数为(B) A．30°B．40°C．45°D．60°图1－4－69．如图1－4－7，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D是AB边上的一点，AD＝BC，连结CD，则∠BDC＝__30°__．10．如图1－4－8，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB＝图1－4－7145°，则∠DBE 的度数是__85°__．图1－4－8第10题答图【解析】 如答图，∵等边△ABC 和等边△DCE ， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝∠ABC ＝60°， 在△ACE 与△BCD 中， ∵∠ACB ＝∠ECD ，∴∠ACB －∠ECB ＝∠ECD －∠ECB ， ∴∠1＝∠2，而AC ＝BC ，EC ＝DC ， ∴△ACE ≌△BCD ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝60°＋∠3，∴∠AEB ＝360°－∠AEC －∠CED －∠BED ， 则360°－∠AEC －∠CED －∠BED ＝145°， 360°－(60°＋∠3)－60°－∠BED ＝145°， 360°－120°－(∠3＋∠BED )＝145°， 360°－120°－(180°－∠DBE )＝145°， 解得∠DBE ＝85°.11．如图1－4－9，正六边形被三组平行线分割成小的正三角形，则图中所有正三角形的个数是__38__．【解析】 设正六边形的边长为2，那么边长为1的正三角形的个数有24个，边长为2的正三角形有12个，边长为3的正三角形的个数有2个，共计38个．12．如图1－4－10，△ABC中，AB＝AC.∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作(画图不要求使用圆规，以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)：(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数分别是__108__度和__36__度；(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3)继续以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有__2n__个等腰三角形，其中有__n__个黄金等腰三角形．图1－4－10解：(1)如答图①所示；(2)如答图②所示．①②第12题答图【思维升华】13．三角形三边的长分别为a，b，c，且ab＋ac＝b＋cb＋c－a，则三角形是(C)A．等边三角形B．直角三角形C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形【解析】通分得acbc＋abbc＝b＋cb＋c－a，ac＋ab bc＝b＋cb＋c－a，a(b＋c)(b＋c－a)＝bc(b＋c)，a(b＋c－a)＝bc，ab＋ac－a2－bc＝0，a(b－a)＋c(a－b)＝0，(a－c)(b－a)＝0，a－c＝0或b－a＝0.即a＝c或b＝a.此时三角形是等腰三角形且a一定是腰．14．如图1－4－11，已知P为等腰△ABC内的一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠P AC＝__48°__．【解析】由题意可得∠PEA＝∠PEB＝∠CED＝∠AED.而∠PEA＋∠PEB＋∠AED＝180°.所以∠PEA＝∠PEB＝∠CED＝∠AED＝60°.从而可得∠PCA＝30°.又∠BPC＝108°，所以∠PBE＝12°，从而∠ABD＝24°.所以∠BAD＝90°－24°＝66°.∠P AE＝12(∠BAD－∠CAE)＝12(66°－30°)＝18°，所以∠P AC＝∠P AE＋∠CAE＝18°＋30°＝48°.15．如图1－4－12，一个六边形的内角都相等，其中四条边的长分别是3，7，4，8，则另外两条边的长度的和a＋b等于__11__．图1－4－12【解析】延长a，7，8三条边(两边延长)就会得到一个正三角形，正三角形边长＝3＋7＋4＝14，b＝14－4－8＝2，a＝14－3－b＝9，a＋b＝11.16．如图1－4－13，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，延长AB到D，使AD＝BC，连结CD，则∠BCD的度数是__10°__．图1－4－13【解析】以BC为一边在△ABC外作等边△BCE，连结AE，∴BE＝CE＝BC，∠BEC＝∠BCE＝60°，∵AB＝AC，AE＝AE，∴△ABE≌△ACE，∴∠CEA＝∠BEA＝12×60°＝30°，∵∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ACE＝∠BAC＝100°，∵AD＝CE，AC＝AC，∴△ACE≌△CAD，∴∠D＝∠CEA＝30°，在△ACD中，∠ACD＝180°－∠D－∠BAC＝50°，∴∠BCD＝∠ACD－∠ACB＝10°.。
第二章 特殊三角形 单元培优测试卷 (含答案)2024-2025学年 八年级上册数学
特殊三角形单元培优卷一、选择题（每题3分，共30分）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）A．9 B．7C．12 D．9或122．如图，等边△ABC的边长为4，点E是边AB的中点，且BE=CF，则CD的长为（ ）第2题图第4题图第5题图A．4B．3C．2D．1 3．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以，1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）.A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，△ABC的面积为6，AB=5，AD平分∠BAC．若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值（ ）A．245B．125C．52D．35．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4，QD=3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）A．7B．8C．10D．12 6．如图：点C在AB上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M，N，则下列结论①AE=DB，②CM=CN，③△CMN为等边三角形，④MN//BC.正确的有个．（ ）第6题图第7题图第8题图A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知AC×BC=12，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）A．18B．24C．25D．36 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）A．①②④B．①②③C．③④D．①③9．如图，已知∠AOB=120°，点D是∠AOB的平分线上的一上定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；①当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA. 其中正确的个数是（ ）第9题图第10题图A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤SΔPBA：SΔPCA=AB：AC，正确的有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .第11题图第13题图第14题图12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .13．如图，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=30°，AC=b，CD=a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点B，AB=c，则下列说法正确的是 .(填序号)①△BCD是等边三角形，②a+c<b，③a=c，④b=2a14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=55°，M，N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN= °．15．如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB=AE，在AB边上取点D，连接DE，DE=AC，若S△ABC=5S△ADE，BH=1，则BC= ．第15题图第16题图16．如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，CD⊥AB于点D．F，G分别是线段AD，BD上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处．当FG=EG时，AF的长是 ．三、综合题（17-19每题6分，20-21题每题8分，22题12分，共46分）17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：（1）△ABC的周长；（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？18．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.（1）求证：BE=BF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数.19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.（1）求CD的长.（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等?若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.21．在△ABC中，∠B=40°，∠ACB=110°，D为边BC延长线上一点，连接AD．（1）如图1，当∠D=∠B时，求证：AB=CD；（2）如图2，当∠D=2∠B时，求证：AB=AD+CD；、（3）如图3，当AB=CD时，求证：∠D=∠B．22．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.（1）理解概念如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”（2）概念应用如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°.求证：CD为△ABC的等角分割线.（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数.答案解析部分1-5．【答案】CDCBC6-10．【答案】DAACB11．【答案】6412．【答案】71°或19°13．【答案】①③14．【答案】7015．【答案】5216．【答案】2517．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16∴AB= AD2+BD2=122+162=20同理：AC= AD2+CD2=122+52=13∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；（2）解：∵BC2=（BD+DC）2=212=441，AB2=202=400，AC2=132=169 ∴BC2≠AB2+ AC2∴△ABC不是直角三角形．18．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中{AE=CFAB=BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴BE=BF.（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.19．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE 和△ACD 中{∠ABD =∠ACD AB =AC ∠BAE =∠CAD，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AE ＝AD ；（2）解：∵∠ACB ＝65°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°，∴∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AOB ＝∠COD ，∴∠BDC ＝∠BAC ＝50°.20．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB =62+82=10.∵CD ⊥AB 于点D ，∴S △ABC =12AC·BC =12AB·CD ，∴ 10CD=6×8，即CD =245.（2）解：如图1，∵3AE=2CE ，AC=8，CD =245，∴CE =35×8=245，即CE=CD.∵CD ⊥AB ，EF ⊥AC ，∴∠CDF=∠CEF=90°.∵CF=CF ，∴△CEF ≌△CDF(HL)，∴∠ECF=∠DCF ，∴CF平分∠ACD.（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，CF是公共边，有四种情形：①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8−245=165.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(165)2=(325−FD)2，∴FD=125.②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.同①可得△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8+245=645.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(645)2=(FD+325)2，∴FD=485.③如图4，若点E在线段AC上，点F在线段BD上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，∴EF=CD=245，CE=FD.∵E F2+A E2=A F2，∴(245)2+(8−FD)2=(325+FD)2，∴FD=85.④如图5，若点E在射线CA上，点F在射线BA上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，此时△ACD≅△AFE，∴FD=AF+AD=AC+AD=8+325=725.综上，所有符合条件的DF的长是85，125，485，725.21．【答案】（1）证明：∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=∠B=40°，∴AB=AD，∠CAD=180°−∠D−∠ACD=70°，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD，∴AB=CD；（2）证明：如图所示，在AB上截取一点E使得AE=AD，连接CE，∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=2∠B=80°，∴∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=30°，∵∠BAC=180°−∠B−∠ACB=30°，∴∠CAE=∠CAD，又∵AE=AD，AC=AC，∴△CAE≌△CAD(SAS)，∴CD=CE，∠AEC=∠D，∵∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠BCE，∴∠B=∠BCE，∴BE=CE，∴BE=CD，∵AB=AE+BE∴AB=AD+CD；（3）证明：如图所示，在射线CD上取一点H，使得AB=AH，连接AH，∴∠B=∠AHB由（1）同理可证明AB=CH，又∵AB=CD，∴CH=CD，∴点H和点D重合，∴∠B=∠ADB．22．【答案】（1）解：△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°∵CD为角平分线，∠ACB=40°，∴∠ACD=∠DCB=12∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，∴CD=DA，∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，∴∠BDC=180°−∠DCB−∠B=80°，∴∠BDC=∠ACB，∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A，∠B=∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）解：∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.。
人教版 八年级数学上册 13.2 等腰三角形 优化训练(含答案)
人教版八年级数学上册13.2 等腰三角形优化训练一、选择题1. 如图，等腰三角形的对称轴是()A．直线l1B．直线l2C．直线l3D．直线l42. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AB＝6，则BC的长为()A．2 B．3 C．6 D．83. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．84. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°5. 已知：如图，直线PO与AB交于点O，P A＝PB，则下列结论中正确的是() A．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是线段AB的垂直平分线D．点P在线段AB的垂直平分线上6. 如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是()A. AE＝ECB. AE＝BEC. ∠EBC＝∠BACD. ∠EBC＝∠ABE7. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形8. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB等于()A．30°B．45°C．60°D．90°9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个10. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是()A. AC=AD+BDB. AC=AB+CDC. AC=AD+CDD. AC=AB+BD二、填空题11. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为________米．12. 若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角的度数为____________．13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.15. 如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝________．16. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.17. 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长为________．三、解答题18. 如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.探究一：猜想图①中线段EF与BE，CF间的数量关系，并证明．探究二：设AB＝8，AC＝6，求△AEF的周长．探究三：如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.猜想这时EF与BE，CF间又是什么数量关系，并证明．19. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学上册13.2 等腰三角形优化训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.4. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.5. 【答案】D6. 【答案】C【解析】由题图知，BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∵AB＝AC，∴∠BCA ＝∠CBA，∴∠BCE＝∠BEC＝∠CBA，∵∠EBC＝180°－∠BCE－∠BEC，∠BAC ＝180°－∠BCA－∠CBA，∴∠EBC＝∠BAC.7. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．8. 【答案】C[解析] 连接AB.根据题意得OB＝OA＝AB，∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°.9. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．10. 【答案】D二、填空题11. 【答案】12[解析] ∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∴AB＝2BC.∵BC＝4米，∴AB＝8米．∴这棵树在折断前的高度为12米．12. 【答案】50°或80°13. 【答案】514. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．15. 【答案】40°[解析] 如图．∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°.∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°.由三角形的外角性质和对顶角的性质可知，∠1＝∠2－∠A＝40°.16. 【答案】2[解析] 过点P作PE⊥OB于点E. ∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD.∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°.∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°.∴在Rt△PCE中，PE＝12PC＝12×4＝2.∴PD＝PE＝2.故答案是2.17. 【答案】15[解析] 由多边形的内角和定理可知，这个六边形的每个内角都是120°，因此直线AB，CD，EF围成一个等边三角形，且这个等边三角形的边长为7.因此AF＝4，EF＝2.所以这个六边形的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.三、解答题18. 【答案】解：探究一：猜想：EF＝BE＋CF.证明如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.∴∠ABO＝∠EOB.∴BE＝OE.同理：OF＝CF，∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.探究二：C△AEF＝AE＋EF＋AF＝AE＋(OE＋OF)＋AF＝(AE＋BE)＋(AF＋CF)＝AB＋AC＝8＋6＝14.探究三：猜想：EF＝BE－CF.证明如下：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠CBO.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.∴∠EBO＝∠EOB.∴BE＝OE.同理：OF＝CF，∴EF＝OE－OF＝BE－CF.19. 【答案】解：OE＝OF.理由：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.∴OE＝OC，OC＝OF.∴OE＝OF.20. 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。
江苏省数学八年级上学期期末培优专题2 等腰三角形
江苏省数学八年级上学期期末培优专题2 等腰三角形姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019九上·南山期末) 如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②C D＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2017八下·垫江期末) 如图，正方形ABCD的边长为3，E是BC中点，P为BD上一动点，则PE+PC 的最小值为（）A .B . 2C .D . 23. （2分）(2017·平房模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC边中点，MN⊥AC于点N，那么MN等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2020八上·牡丹江期末) 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（）A . 80°B . 70°C . 60°D . 45°5. （2分）(2020·温州模拟) 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，D是BA延长线上一点，BD=BC，点E，F分别是BC，AC边上两点，且BE=CF，若∠AFB=56°，则∠D的度数为（）度A . 10B . 34C . 15D . 166. （2分）如图，矩形ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，点E、F都在AD上，下列结论不正确的是（）A . △ABE≌△DCFB . △ABE和△DCF都是等腰直角三角形C . 四边形BCFE是等腰梯形D . E、F是AD的三等分点7. （2分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A . 40°B . 45°C . 35°D . 25°8. （2分） (2020八上·安丘月考) 如图，，OA=OD，，的度数为（）A .B .C .D .9. （2分）如图所示，在平行四边形ABCD中，若∠A=45°，AD=，则AB与CD之间的距离为（）A .B .C .D . 310. （2分） (2020八上·长安月考) 下列条件，能判断是直角三角形的是（）A .B .C .D . ，，二、填空题 (共10题；共16分)11. （1分）(2019·武汉模拟) 等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________秒．12. （1分）(2019·南县模拟) 如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于E ，，则下列结论：是等边三角形；；；，其中正确的结论的序号是________．13. （1分）(2014·衢州) 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是________．14. （7分）(2019·哈尔滨) 如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点，点B'落在边AC上，连接A'B，若∠ACB=45°，AC=3，BC=2，则A'B的长为________ 。
初中数学培优-八年级数学等腰三角形巩固练习含答案
等腰三角形 （巩固练习）姓名 班级第一部分1、在等腰三角形中,已知有两边长为2和6,则此等腰三角形的周长是 .2、一个等腰三角形的周长为14 cm,,且一边长为4 cm,,则它的腰长为 .3、如图,已知AC 平分∠BAD,CD ⊥AD 于D,CB ⊥AB 于B.请找出图中的等腰三角形,并说明理由.4、如图3,在△ABC 中,CD 与BE 分别是AB,AC 边上的高,且CD=BE.试判断△ABC 的形状,并说明理由.5、如图4,AD 是等腰三角形ABC 的顶角的平分线,点E,F 分别在AB,AC 上,且它们关于AF 对称,则BE=CF.请说明理由.6、如图5, BD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线,点E,F 分别在AB,AC 上,请分别作出E,F 关于直线BD 的对称点.图2图4 DFCBA图5图3第二部分1.如图1,点D 是△ABC 的边BC 上一点,且AB=AC,BD=AD,则图中有 个等腰三角形.2.如图1,等腰三角形ABD 的顶角是 ,底边是 .3. 在△MNP 中, 若MN=NP,则此等腰三角形的两个底角是： .4.等腰三角形有两边长分别为1cm,2cm,则它的腰长是 . .5.如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为 ．6.下列说法：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线；④等腰三角形的对称轴有三条. 其中正确的说法有 .(填序号)7. 等腰三角形的底边长是8, 则它的腰的取值范围是 .解析：根据”三角形两边之和大于第三边”, 若设腰长为x, 则2x>8, ∴x>4.8. 已知：线段m 、n.用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m, 腰等于n (保留作图痕迹，不写作法、不证明)9.如图7, ∠A=∠D,∠1=∠2,E 是AD 的中点.则△EBC 是等腰三角形吗?请说明理由.图7nm 图1参考答案第一部分5、如图4,AD是等腰三角形ABC的顶角的平分线,点E,F分别在AB,AC上,且它们关于AF 对称,则BE=CF.请说明理由.【解】∵AD是等腰三角形ABC的顶角的平分线,∴直线AD是等腰三角形ABC的对称轴.∵B,C 和E,F 是两对对称点,当将图形沿AD 对折时,点B 与点C 重合,点E 与点F 重合, ∴线段BE 与线段CF 重合, ∴BE=CF.6、如图5, BD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线,点E,F 分别在AB,AC 上,请分别作出E,F 关于直线BD 的对称点.【解】∵BD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线, ∴直线BD 是等腰三角形ABC 的对称轴.∴当把图形沿直线BD 对折时, AD 与DC, BA 与BC 重合, ∴E 的对称点E 1在BC 上, 且BE 1=BE, F 的对称点F 1在AD 上, 且DF 1=DF.如图, 点E 1, F 1分别是E, F 关于直线BD 的对称点.第二部分1.如图1,点D 是△ABC 的边BC 上一点,且AB=AC,BD=AD,则图中有 个等腰三角形.答案：22.如图1,等腰三角形ABD 的顶角是 ,底边是 .答案：∠ABD AB3. 在△MNP 中, 若MN=NP,则此等腰三角形的两个底角是： .答案：∠NMP ∠NPM4.等腰三角形有两边长分别为1cm,2cm,则它的腰长是 . .答案：2cm解析：若AB 为底,则由AB 的长是BC 的2倍可知,两腰之和等于底边,此时三角形不存在;故AB 为腰. ∵AB+BC+AC=40, ∴5BC=40,则BC=8,AB=2BC=16.答案：B5.如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为 ．解析：当腰长为7时三角形才存在, 则周长为7+7+4=18. 答案：186.下列说法：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等腰DFF 1E 1CB A图1DFCA图5三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线；④等腰三角形的对称轴有三条. 其中正确的说法有 .(填序号)解析：轴对称图形的对称轴是一条直线,故②错误. 一般的等腰三角形的对称轴只有一条,故④错误.答案：①③7. 等腰三角形的底边长是8, 则它的腰的取值范围是.解析：根据”三角形两边之和大于第三边”, 若设腰长为x, 则2x>8, ∴x>4.答案：x>4.8. 已知：线段m、n.用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m, 腰等于n (保留作图痕迹，不写作法、不证明)解：△ABC就是所求的等腰腰三角形.9.如图7, ∠A=∠D,∠1=∠2,E是AD的中点.则△EBC是等腰三角形吗?请说明理由.分析：根据已知条件,可得△ABE≌△CDE(ASA),则EB=EC.解：∵E是AD的中点, ∴AE=DE.∵∠A=∠D,∠1=∠2, ∴△ABE≌△CDE(ASA). ∴EB=EC, ∴△EBC是等腰三角形图7nmCBA。
八年级培优训练(2)等腰三角形
八年级培优训练（2）--等腰三角形班级 姓名1、如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的 钢管 根．253．如图，AA′、BB′分别是∠EAD 、∠DBC 的平分线，若AA ′=BB ′＝AB ，则∠BAC 的度数为 ．4、如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，则∠A= ．5、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个 等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度．6、在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个7、如图，在五边形ABCDE 中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=21DC=21DE ， 则∠D ＝（ ）A ．30°B ．45°C ． 60°D ．67．5°8、如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则( ) A ．PA+PB+PC<AB+AC B ． PA+PB+PC>AB+ACC ．PA+PB+PC=AB+ACD ．PA+PB+PC 与AB+AC 的大小关系不确定，与P 点位置有关A /9、如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.10、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．11、如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF是等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小题结论是否仍然成立(不要求证明)．12、如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由．D CA13、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD⊥AC 交BC 于点D ，求证：BC=3AD.14、已知△ABC 中AB=AC,D 是AB 上一点,E 是AC 延长线上一点,且BD=CF,DE 交BC 于F 求证:DF=EF15、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．16、如图， △ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=CD17、如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD上E异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．(1)E、F移动时，△BEF的形状如何? (2)E、F移动时，四边形BEDF的面积变化吗?说明理由。
八年级培优专题1 等腰三角形
培优专题 等腰三角形班级 姓名等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 练习11．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAE ＝30°，则∠DEC 等于（ ）．A ．7．5°B ．10°C ．12.5°D ．18°2．如图，AA′、BB′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝AB ＝B′B ，A′、B 、C 在一直线上，则∠ACB 的度数是多少？3．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°．D 是AB 边上的点，且AD ＝BC ，连结CD ，则∠BDC ＝________．例2 如图，D 是等边三角形ABC 的AB 边延长线上一点，E 是等边三角形ABC 的AC 边延长线上一点，且EB ＝ED ．那么CE 与AD 相等吗？试说明理由．1．已知如图，在△ABC中，AB＝CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC＝∠DCA ＝15°，则BD与BA的大小关系是（）A．BD>BA B．BD<BA C．BD＝BA D．无法确定3．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？例3已知：如图，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．分析要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM＝BN，且∠MBN＝60°即可．1．已知：如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE＝AF，AD与BE交于G，BE与CF交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．2．已知：如图，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，•使△CDE 是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN是等边三角形吗？为什么？3．已知：如图，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD＝AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．例4 已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠ABC 的平分线交AC 于E ，试比较AE+BE 与BC 的大小？ 练习41．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？2．已知：如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形．B 、C 、D 在一条直线上，说明CE 与AC+CD 相等的理由．3．已知：如图，△ABC 是等边三角形，延长AC 到D ，以BD 为一边作等边三角形BDE ，连结AE ，则AD_______AE+AB ．（填“>”或“＝”或“<”）。
人教版八年级上册 数学三角形动点问题培优练习
人教版八年级上册数学三角形动点问题培优练习1、在等腰三角形ACB中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE+DF=CE。
2、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为12cm。
3、将边长为1的等边三角形OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置。
P1的坐标为（1，0），P3的坐标为（-1/2，-√3/2），P50的坐标为（-1/2，√3/2），P2011的坐标为（1，0）。
4、在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE。
连接DE、DF、EF。
1）证明：△ADF≌△CEF。
2）证明：△DFE是等腰直角三角形。
5、在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每1个单位的速度沿A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处。
1）在爬行过程中，CD和BE始终相等。
2）证明：∠CQE=60°，若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q。
3）若蜗牛沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F，则爬行过程中，DF始终等于EF。
6、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。
1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE仍然成立。
2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△XXX不再是等边三角形。
当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为1:3:4.7、在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。
(完整word版)八上等腰三角形精品提高题系列
1.如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．（ I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．2.如图，点P为△ABC内部一点，使得∠PBC=30°，∠PBA=8°，且∠PAB=∠PAC=22°，求∠APC的度数.3.如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.5.在△ABC中，BD平分∠ABC（∠ABC＜60°）（1）如图1，当点D在AC边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，直接写出AB，DC和BC之间的数量关系．（2）如图2，当点D在△ABC内部，且∠ACD=30°时，①若∠BDC=150°，直接写出AB，AD和BC之间的数量关系，并写出结论成立的思路．②若∠ABC=2α，∠ACB=60°-α，请直接写出∠ADB的度数（用含α的式子表示）．6.如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，求证：AC=BD+CD.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．如图，过△ABC的边BC的中点M作直线垂直于∠A的平分线AA′，且分别交直线AB，AC于点E，F，已知：如图在△ABC中，BD，CE为两条高线，F为BD上一点，G为CE延长线上一点，BF=AC，CG=AB．（1）请你判断△AFG的形状并证明．（2）当F为BD反向延长线上一点，G为CE反向延线上一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请你画出图形，并证明你的结论．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E，F为线段BC上的两点，且CE=BF，连接AF，过点C 作CD⊥AF于点G，交AB于点D，连接DE，交AF于点M．（1）求证：∠ACD=∠AFC；（2）求证：ME=MF在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．（1）如图1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求证：△ABC为等边三角形；（2）如图2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的长度；（3）如图3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC=AB，求∠A的度数．1.如图，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请直接写出关系式_______（2）如图，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请你给出结论并加以证明．2.如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．3.已知△ABC，∠BAC=45°，以AB、AC为边在△ABC外作等腰△ABD和△ACE，AD=AB、AE=AC，且∠BAD=∠CAE，连CD、BE交于F，连AF．（1）①如图1，若∠BAD=60°，则∠AFE=_______度；②如图2，若∠BAD=90°，则∠AFE=_______度；（2）如图3，若∠BAD=a°，猜想∠AFE的度数（用a表示），并予以证明．4.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论1.如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC=68°（1）求证：∠ADC=124°；（2）若AB+BD=AC，求∠ACB的度数2.已知：在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD的延长线于点E．设△ACD的面积是S．（1）求△ABD的面积；（2）求证：AD=DE；（3）探究BE-AC和BD-CD之间的大小关系并证明你的结论3.在△ABC中，∠BAC=90°，射线AM∥BC，点D在射线AM上（不与点A重合），连接BD，过点D作BD的垂线交CA的延长线于点P（1）如图①，若∠C=30°，且AB=DB，求∠APD的度数；（2）如图②，若∠C=45°，当点D在射线AM上运动时，PD与BD之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明；（3）如图③，在（2）的条件下，连接BP，设BP与射线AM的交点为Q，∠AQP=α，∠APD=β，当点D在射线AM上运动时，α与β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明．4.已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），（1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB；（2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．1.在锐角三角形ABC中，AF是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作△ABD和△ACE，使得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE、DE、DC，DE与FA的延长线交于点G，下列结论：①BE=DC；②BE⊥DC；③AG是△ADE的中线；④∠DAG=∠ABC．其中正确的结论有哪些？2.在△ABC中，AB≠AC，分别以AB，AC为边作等腰△ABD和△ACE，AD=AB，AC=AE，且∠ACB=∠BAD=∠CAE=α，连接DE，交CA延长线于点M，求证：M为DE中点3.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，求∠AFG与α的数量关系.4.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．（1）求证：AD=AE；（2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．1.如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）求证：FA平分∠DFE；（4）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量关系和位置关系2.如图1，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．（1）求证：△DAC≌△BAE；（2）F、H分别是BE与DC的中点；①如图2．当∠DAB=∠CAE=90°时，求∠AFH的度数；②请探究当∠DAB等于多少度时，AF=FH？请说明理由．3.如图，△ABC向外侧作等腰Rt△ABD与Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，F为BC的中点，连接F、A并延长交DE于G点，请问：AF与DE之间存在怎样的数量关系和位置关系?4.已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=_______；如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=_______.（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；（3）如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）5.在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过B点作∠BDE=90°，且点D 在直线MN上（不与点A重合）．（1）如图①，当DE与AC交于P时，求证：BD=DP；（2）如图②，当DE与AC的延长线交于点P时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图③，当DE与CA的延长线交于点P时，请直接写出DB与PD的数量关系，此时过D作DF⊥AB于F，求证：AP+AB=2AF．6.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G（如图①）．（1）求证：AE=CG；（2）若点E运动到线段BD上时（如图②），试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；（3）过点A作AH垂直于直线CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图③），找出图中与BE 相等的线段，并证明．2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC边上的-点，过点P引直线分别交AB于点M，交AC的延长线于点N，且PM=PN．（1）写出图中除AB和AC，PM和PN外的其他相等的线段．（2）证明你的结论3.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E为边AC上的两动点，以相同的速度D从A向C，E从C 向A运动，AM⊥BD交BC于N，连NE并延长交BD延长线于F．①说明∠ABD=∠NAC②当D，E运动到如图2所示的位置时，试作出图形，并判断FD与FE的数量关系，请写出你的结论．（不要求证明）③对图1证明△FED为等腰三角形．4.已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是_______（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图，△ABD与△ACE中，AB=AC，∠ACE+∠ABD=180°，BD=CE，BC延长线交ED于F．（1）求证：∠DBF=∠ECF；（2）图中是否存在与DF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）DG=CF；（3）直接写出CF与DE的数量关系．1.已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，AB=BC，CD=DE，∠ABC=90°，∠CDE=90°，CD＞BC，取线段AE的中点M，连结BM、DM、BD．（1）如图1，当BC⊥CE时，连接AE，试猜想BM与MD的数量关系和位置关系，请直接写出答案；（2）如图2，当点A、C、E三点在同一条直线上时，其他条件不变，试探究BM与MD的数量关系和位置关系，请说明理由．2.如图1，△ABC中，AB=AC，连B，C分别作BD⊥AB，CD⊥AC，BD、CD相交于D点，P为BC上一点，过P的直线交AB于E，AC延长线于F，且满足PE=PF，连结DP．（1）求证：DP⊥EF；（2）如图2，若P为BC延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否成立？3.（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．4.如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD=BC=AC=1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AB于点E，则PE+PF的值是（）A．B．C．D．5.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H（1）求∠APB度数；（2）求证：△ABP≌△FBP；（3）求证：AH+BD=AB6.已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，连接AP．直线BE垂直于直线AP，交AP于点E，直线CF垂直于直线AP，交AP于点F．（1）当点P在BD上时（如图①），求证：CF=BE+EF；（2）当点P在DC上时（如图②），CF=BE+EF还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE、EF之间的关系（不需要证明）．（3）若直线BE的延长线交直线AD于点M（如图③），找出图中与CP相等的线段，并加以证明．8.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．9.在△ABC中，AB=AC，D在AC上，AE=AC交BD的延长线于点E，AF平分∠CAE交BE于F. （1）如图1，连CF，求证：∠ABE=∠ACF；（2）如图2，当∠ABC=60°时，且BD平分∠ABC，请写出AF、EF、BF的数量关系，不需证明；（3）如图3，若∠BAC=90°，且BD平分∠ABC，求证：BD=2EF．1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为线段AC上的一点（不和点A、C重合），点E在线段BD 的延长线上，点F在线段BD上，连接CE、CF、AE，且∠ECF=90°，CE=CF，过点F作FG⊥BD分别交线段BC、线段AC的延长线于点P、G．（1）如图l，求证：AC=CG；（2）如图2，延长线段GF交线段AB于点H，连接DH，当AH=BH时，求证：∠BHG=∠AHD．2.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点P运动到A时，点P、Q随即停止运动，若点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P自点B出发在线段BA上运动是，过点P作AC的平行交BC于点F，连接PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论．（2）如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q在移动的过程中，DE长度保持不变．4.如图，等腰三角形ABC中，∠AC=90°，D，E分别为AB，AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD，交BE于点G，交AC于点M．（1）求证：GM=GE；（2）求证：BG=AF+FG．1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线AC上一点，直线AE⊥直线BD，垂足为E，直线AE 和直线BC交于点H，过点C作AB的平行线，交直线AE于F，连DF．（1）若D在线段AC上（如图1），求证：∠CDB=∠CDF；（2）若D在AC延长线上（如图2），求证：∠CDB+∠CDF=180°．2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，占M在线段AC上（不与C重合），BM延长线与过点C的直线交于D，连接AD，∠MAD=∠DBC，AE⊥BM于E，当M在线段AC上时，求证：BD-CD=2DE3.已知△ABC，∠BAC=90°，等腰直角△BDE，∠BDE=90°，BD=DE，点D在线段AC上．（1）如图1，当∠ACB=30°，点E在BC上时，试判断AD与CE的数量关系，并加以证明；（2）如图2，当∠ACB=45°，点E在BC外时，连结EC、BD并延长交于点F，设ED与BC交于点N，(完整word版)八上等腰三角形精品提高题系列图中是否存在与BN相等的线段？若存在．请加以证明．若不存在，请说明理由．。
人教版数学8年级上学期【能力培优】等腰三角形
13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．参考答案:1．①②③ 解析：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ．∵BF 是∠ABC 的平分线，CF 是∠ACB 的平分线，∴∠FBC=∠DBF ，∠FCE=∠FCB ．∴∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠EC F ，∴△DFB ，△FEC 都是等腰三角形．∴DF=DB ，FE=EC ，即有DE=DF+FE=DB+EC ．∴△ADE 的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC ．综上所述，命题①②③正确．2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB ，∴BD=CE ． ∵AB=AC ，∴∠B=∠C ． ∵BE=CF ，∴△BDE ≌△CEF ．∴DE=EF ，即△DEF 是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=12(180°－∠A)=12(180°－40°)=70°． ∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE=∠CEF ．∴∠DEF=180°－∠BED －∠CEF=180°－∠BED －∠BDE=∠B=70°． (3)不能．∵∠DEF=∠B ≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°． ∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC ． （2）AD 与BE 垂直．证明：∵BE 为∠ABC 的平分线，∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE ， ∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合． ∴A 、D 是对称点． ∴AD ⊥BE ．（3）∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ， ∴AE=DE ．在Rt △ABE 和Rt △DBE 中， AE =DE BE =BE ⎧⎨⎩，，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE （HL ）． ∴AB=BD ．又△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴∠C=45°． 又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形． ∴DE=DC ．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6 解析：连接OD ，∵PO=PD ，∴OP=DP=OD ．∴∠DPO=60°．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA －60°．∴△OPA ≌△PDB ．∵AO=3， ∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等边三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM．∴∠AMN=∠ANM．∴∠AMC=∠ANB．∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形．∴∠C=∠B ．在△ACM 和△ABN 中，AC AB C B AMC ANB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠，∠∠， ∴△ACM ≌△ABN ． ∴CM=BN ．设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形， ∴CM=y －12，NB=36－2y ，CM=NB ． y －12=36－2y ，解得：y=16．故假设成立．∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M 、N 运动的时间为16秒．7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B 关于a 的对称点B′与A 的连线的交点F ，煤气分管道的连接点是点A 关于b 的对称点A′与B 的连线的交点C ．故选A ．8．解：如图，作点B 关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C ，则这个基地建在C 处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.第十三章轴对称13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．下列图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠AB C和∠C的度数．6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3D．18．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．9．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．状元笔记【知识要点】1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；【温馨提示】1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．参考答案:1．D 解析：∵将D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D图形是轴对称图形，故选D．2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3．如图所示：4．A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ABC和△ADE关于直线l对称，则△ABC≌△ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A．5．解：根据题意A点和E点关于BD对称，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．B点、C点关于DE对称，有∠DBE=∠BCD，∠ABC=2∠BCD．且已知∠A=90°，故∠ABC+∠BCD=90°．故∠ABC=60°，∠C=30°．6．解：（1）对称点有A和A'，B和B'，C和C'．（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．7．B 解析：在Rt△FDB中，∵∠F＝30°，∴∠B＝60°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°．在Rt△AED中，∵∠A＝30°，DE＝1，∴AE＝2．连接EB. ∵DE 是AB的垂直平分线，∴EB＝AE＝2. ∴∠EBD＝∠A＝30°．∵∠ABC＝60°，∴∠EBC＝30°．∵∠F＝30°，∴EF＝EB＝2．故选B．AF ED8．8 解析：∵DF是AB的垂直平分线，∴DB=DA．∵EG是AC的垂直平分线，∴EC=EA．∵BC=8，∴△ADE的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8．9．解：AB+BD=DE．证明：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．∴AB=CE．∴AB+BD=CE+DC=DE．10．C 解析：关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5．解得1.5＜a＜2.5，又因为a必须为整数，∴a=2．∴点P2（－1，－1）．∴P1点的坐标是（－1，1）．。
八年级上册数学思维训练培训(培优)试题：等腰三角形
八年级上册数学思维训练培训（培优）试题：等腰三角形【思维入门】例1：如图，BD是等腰△ABC底边AC上的高线，DE∥BC角AB于点E，求证：△BED是等腰三角形。
例1—1：如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB相邻的外角的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，（1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。
（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明。
【思维拓展】例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形的顶角为。
例3：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AD＝AE，则∠CDE＝。
例4：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为。
【思维升华】例5：老师布置了一道思考题：如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q，求证：∠BQM＝60°。
（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别分别移动到BC，AC的延长线，是否仍能得到∠BQM＝60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上” ，是否仍能得到∠BQM ＝60°？……请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①；②；③。
对②，③的判断，选择一个给出证明。
【思维探究活动】例：小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一定可以分成两个等腰三角形吗？于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成几何图形，如图1，△ABC中，设∠A＝α，∠B＝β，∠C＝γ。
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八年级上数学等腰三角形培优经典练习
A经典例题
例1、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线
OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，求∠AOB的度数。
例2已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证
2CE=BD．
B、扎实基础
1 、已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．
2、在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个
数是___________
A
O
C
B E
D
A
Q C
P
B
3、如图，△MNP 中， ∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是___________
4. 如图，O 是△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E 点，若BC =10cm ，那么△ODE 的周长为___________
5、如图，已知: P ，Q 是△ABC 边上BC 上的两点，且BP =PQ =QC =AP =AQ ，∠BAC 的度数___________．
6、 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．
7、等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是________．
8、 如图5，AB =AC ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若∠AFD=145°，则∠EDF =______．
9、下列命题正确的个数是（ ） ①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距 离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
10、 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）
A ．42°
B ．60°
C ． 36°
D ． 46°
11、如图，∠ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC ， ∠BAD =30°，且AD =AE ，则∠EDC 等于__________．
12、 如图，△ABC 中，点D 在AC 上，且AB =AD ， ∠ABC =∠C +30°，则∠CBD 等于__________．
13. 如图△ABC 中，∠ACB =90°，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD ∶∠CAB =1∶3，则∠B 等于_______度．
A F
E D B D B A
E C A D C B
E
14、 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是BC 边上的
两点，
且满足AD ＝AE =BD =CE ，∠DAE=70°则∠B=______度．
15如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，CE=3，BC=4，则DE=______ 16如图，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．
17如图，△ABC 为等边三角形，P 为三角形内一点，将△ABP 绕A 点逆时针旋转60°后与△ACP ′重合，若AP=3，则PP ′=______
18如图，B 、C 、D 在一直线上，△ABC 、△ADE 是等边三角形，若CE=15cm ，CD=6cm ，则AC=_____，∠
ECD=_____．
19已知等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B ′处，DB ′，EB ′分别交于AC 于点F ，G ．若∠ADF=70°，则∠BED 的度数为_____．
20如图，△ABC 是等边三角形，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 垂足为点E ，EF ∥AB ，AE=1，则△EFC 的周长=______．
A B C D E 21E
D C
A B
21如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小______．
C、培优经典
1已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连接AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP=2PQ．
2、如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，
点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是
__ _秒
3、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，求BC．
4、已知：如图，ABC中，ABC= 45，CD AB于点D，
BE平分ABC，且BE AC于点E，与CD相交于点F，H
是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G。
(1）试比较BG与CE大小关系； (2)求证：DG=DA
5、已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=•AC，•延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？
6、已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC•的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．
7、已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。
求证：DE+DC=AE。