高考数学二轮复习 不等式与线性规划

( 理 )(2015·新 课 标 Ⅰ 文 ， 15) 若 x ， y 满 足 约 束 条 件
x＋y－2≤0， x－2y＋1≤0， 2x－y＋2≥0，
则 z＝3x＋y 的最大值为________．
[立意与点拨] 本题考查线性规划，先画出可行域，再平 移直线3x＋y＝0找最优解．
[答案] 4
[解析] 由已知可得可行域如下图所示，
则 z＝2x－y 的最大值为( )
A．10 ห้องสมุดไป่ตู้．3 [易错分析]
B．8 D．2 因为没有弄清目标函数z＝2x－y的几何意
义，由z＝2x－y得y＝2x－z，当z取最大值时，－z应取最小值，
故当直线y＝2x－z在y轴上截距最大时，符合题意，另外画图不
够准确致错．
[解答] 作出可行域如图，作直线l：y＝2x，平移直线l， 当经过可行域内的点A时，－z取最小值，z取最大值，
高
考
数
学
二
轮
复
习
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走向高考 ·数学
线
性
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划
高考二轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一部分
微专题强化练
第一部分 一 考点强化练
16 不等式与线性规划
1 考向分析
3 强化训练
2 考题引路
4 易错防范
考向分析
1．以客观题形式考查不等式的性质和解不等式与集合、 函数、简易逻辑知识结合命题．
集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝( )
A．{x|－1<x<3}
B．{x|－1<x<1}
C．{x|1<x<2}
D．{x|2<x<3}
[立意与点拨] 考查集合的基本运算和一元二次不等式的
解法．解答本题先解不等式求出A，再按并集的意义求解．
[答案] A
[解析] A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，
由xx＋－y3－y＋7＝1＝0，0， 解得yx＝＝25.， ∴A(5,2)，∴zmax＝2×5－2＝8，故选 B． [警示] ①线性规划的求解是在图上进行的，因此做图是 否准确直接影响到结论的正误；②要注意目标函数最值的几何 意义；③要注意线性目标函数直线与围成可行域的直线的位置 关系．
2．以客观题形式考查基本不等式的应用． 3．以客观题形式考查线性规划知识，主要是求目标函数 的最值问题或求平面图形的面积． 4．不等式恒成立问题与函数、导数、数列等知识结合作 为大题的一问，或将不等式有关知识分散在几个题中，间接考 查，一般不单独命制大题．
考题引路
考例1 (2015·四川理，1)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，
两直线x＋y－2＝0与x－2y＋1＝0的交点为(1,1)，由z＝3x ＋y得y＝－3x＋z，由图形可知，当y＝－3x＋z经过点(1,1)时取 得最大值，即zmax＝3＋1＝4.
故本题正确答案为4.
易错防范
案例 1 (文)忽视基本不等式中等号成立的条件致误 已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求(a＋1a)2＋(b＋1b)2 的最小值． [易错分析] 本题常犯错误是两次利用基本不等式，等号 成立的条件不能同时取到． [解答] (a＋1a)2＋(b＋1b)2 ＝a2＋b2＋a12＋b12＋4＝(a2＋b2)(1＋a21b2)＋4 ＝(1－2ab)(1＋a21b2)＋4，
[警示] 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需 满足“一正、二定、三相等”的条件．解题时，应尽量避免多 次应用基本不等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检 查等号是否能同时成立．
(理)求解线性规划问题时对表达式的几何意义理解错误
(2014·新课标Ⅱ理，9)设 x、y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤00 ， 3x－y－5≥0
[答案] 2
考例 3 (文)(2015·湖南文，4)若变量 x，y 满足约束条件
xy＋ －yx≥ ≤11， ， 则 z＝2x－y 的最小值为(
)
x≤1，
A．－1
B．0
C．1
D．2
[立意与点拨] 考查线性规划的应用；先画出可行域，再 平移直线l：2x－y＝0确定最优解．
[答案] A
∴A(0,1)，∴z＝2x－y在点A处取得最小值为2×0－1＝－ 1，故选A．
∴A∪B＝{x|－1<x<3}，选A．
考例 2 (2015·山东文，14)定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－xyy2(x， y∈R，xy≠0)．当 x＞0，y＞0 时，x⊗y＋(2y)⊗x 的最小值为 ________．
[立意与点拨] 考查阅读理解转化能力和基本不等式．先 按新定义将待求最小值的表达式化简，再用基本不等式求最小 值．