概率统计第三章
工程数学_概率统计简明教程_第三章_随机事件
常由实际问题的意义判断事件的独立性
定义 三事件 A, B, C 相互独立
P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( AC ) P ( A) P (C ) P ( BC ) P ( B ) P (C )
n
n
又事件B满足
则有
B
i 1
B Ai
n
P ( B ) P ( B Ai )
i 1
P BA
i i 1
n
P A P B
i i 1
n
Ai
例（课本例4）设某工厂有两个车间生产同型号家用 电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为 0.12。两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中， 假设第1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户 从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。
PB A
( A )
A
( AB )
AB
( B )
B
(n)
AB A
2 3
P A
A
3 6
AB={出现的点数不超过3,且是奇数}＝｛１，３｝
P AB
AB
2 6
PB A
AB A
P( AB) P( A)
2 3
例2 设有两个口袋，第一个口袋装有3个黑球、2个白球； 第二个口袋装有2个黑球和4个白球。今从第一个口袋任取 一球放到第二个口袋，再从第二个口袋任取一球，求已知 从第一个口袋取出的是白球条件下从第二个口袋取出白球 的条件概率。 记A＝{从第一个口袋取出白球}， B={从第二个口袋取出白球} 由题意即求P(B|A)
概率统计第三章
第三章二维随机变量及其分布练习题 3.1一、判断题1(X,Y)的分布可确定 X 与 Y 的边缘分布。
()、由2、设、是两个随机变量，则是二维随机变量。
3、设二维随机变量 (,)的联合分布函数为 F (x, y) ，则 F ( x, y)P{x,y} 1 P{x,y} 。
() 4、设二维随机变量(,) 的联合分布函数为 F (x, y) 则，P{ x1x2 , y1y2 } F (x2 , y2 ) F ( x1 , y1 )()5、由( X,Y)的两个边缘分布可确定 ( X ,Y )的联合分布()6、若(X,Y)为离散型二维随机变量，则P{ X a,Y b}P{ x a, y b} (其中 a,b 为常数)() 7、设( , )的概率分布为0133 1010131 1010则， U的概率分布为U012343。
( )P1010 10二、填空题1.设二维随机变量 ( , ) 的联合概率分布为01200.10.2010.30.10.120.100.1则 P0 =____。
2.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度e y0 x yx, y0其他而的边缘密度为y ，则 2 =________。
3.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度为1 0 x 1,0 y1x, y0其他则概率 P0.5,0.6 =________。
4.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度为4xy0 x1,0y1x, y0其他则 P 01 , 12 41=___________，P{} =_________，P{} =_________。
5.(X ,Y)是二维连续型随机变量，用(X ,Y)的联合分布函数 F ( x, y)表示下列概率（1）p( a X b, Y c)__________ __________;（2）p( X a, Y b)____________________ ;（3） p(0 Y a ) __________ __________;（4） p( X a, Y b) ____________________ .练习题 3.2一、选择题1、设,为随机变量，则事件1,1的逆事件为 ().A1, 1 ;B1, 1 ;C1, 1 ;D1 1 .2、p ij P{x i ,y j }( i, j1,2,) 是离散型二维随机变量( ,) 的（）。
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
三章节概率
伴随试验次数旳增长，能够发觉，“正面 朝上、背面朝上各一次”旳频率与“两次均正 面朝上”“两次均背面朝上”旳频率是不同旳， 而且“两次均正面朝上”“两次均背面朝上” 旳频率大致相等； “正面朝上、背面朝上各 一次”旳频率不小于“两次均正面朝上” （“两次均背面朝上”）旳频率。
实际上， “两次均背面朝上”旳概率为 0.25， “两次均背面朝上”旳概率也为 0.25， “正面朝上、背面朝上各一次”旳 概率为0.5 。
1000
旳彩票中奖。实际上，买1000张彩票中奖旳
概率为
1
999 1000
1000
0.6323
。
没有一张中奖也是有可能旳，其概率近似为
0.3677。
问题3:你能举出生活中某些与概率有 关旳例子吗?
问题4:随机事件发生旳频率与概率 旳区别与联络是什么?
概率与频率旳关系： （1）频率是概率旳近似值，伴随试验次数旳增长，频 率会越来越接近概率。 （2）频率本身是随机旳，在试验前不能拟定。 （3）概率是一种拟定旳数，是客观存在旳，与每次试 验无关。
2、概率在实际问题中旳应用
（1）概率与公平性旳关系
问题5：你有无注意到在乒乓球、排球 等体育比赛中，怎样拟定由哪一方先 发球？你觉得那些措施对比赛双方公 平吗？
（2）概率与决策旳关系
问题6：在一次试验中，连续10次投掷 一枚骰子，成果出现旳都是1点，你以 为这个骰子旳质地均匀吗？为何？
经过刚学过旳概率知识我们能够推断，假如它是均 匀旳，经过试验和观察，能够发觉出现各个面旳可 能性都应该是 1 ，从而连续10次出现1点旳概率为 抛 61掷10 一 0.枚00骰000子000）616中538是，几这乎在不一可次能试发验生（旳即（连在续一1次0次试 验中几乎不可能发生旳事件称为小概率事件）。，哪位 同学能解释本地降水概率为70%旳含义？
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
工程数学(线性代数与概率统计)第三章典型例题分析
第三章例1 设A 为n 阶方阵, 若存在正整数k 和向量, 使, 且.证明: 向量组线性无关.证明: （利用线性无关定义证明） 假设有常数, 使得1120k k A A λαλαλα-++= （1）将（1）两边左乘, 可得122120k k k k A A A λαλαλα--++=由已知条件, 可知上式从第二项全等于零, 所以, 又由条件, 所以. 类似地, 将（1）两边左乘, 可得； 类似地可证得，所以向量组线性无关.例2 设向量组线性相关, 向量组线性无关, 问:（1）能否由线性表示？ 证明你的结论; （2）能否由线性表示？ 证明你的结论. 解: （1）能由线性表示.证明：由于向量组线性无关, 那么其部分组也线性无关。
又由已知条件有线性相关, 故能由线性表示. (2) 4α不能由123,,ααα线性表示.证明:假设4α能由123,,ααα线性表示,即存在不全为零的常数123,,λλλ,使得4112233ααλαλαλ=++由(1)的结论,我们可以设12233k k ααα=+,代入上式,可得421223133()()k k αλλαλλα=+++即4α可由23,αα线性表示,从而234,,ααα线性相关,与已知条件矛盾.因此假设不成立, 4α不能由123,,ααα线性表示.例3 设两向量组()()()123(1)1,2,3,3,0,1,9,6,7TTTααα=-==- ()()()123(2)0,1,1,,2,1,,1,0TTTa b βββ===已知两向量组的秩相等,且3β能由123,,ααα线性表示,求a,b. 解:令123123(,,),(,,)A B αααβββ==由于矩阵A 已知, 可以先对A 进行初等变换求秩.12231313913913925206061206123331701020000r r A r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=--+-- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此()2r A =,且12,αα为(1)的一个极大无关组.由已知条件两向量组的秩相等,所以()2r B =,从而0B =,即0121011a bB a b ==-= 所以a b =.又由条件3β能由123,,ααα线性表示而12,αα为(1)的一个极大无关组.所以3β能由12,αα线性表示,则1230ααβ=,即123132012100310b b ααβ⎛⎫⎪==-= ⎪⎪-⎝⎭,解得 5b =,所以有5a b ==.例4求向量组()11,1,1,3,T α=-()21,3,5,1Tα=-,()32,6,10,Ta α=-,()44,1,6,10Tα=-,()53,2,1,Tc α=-的秩和一个极大无关组.解:对以12345,,,,ααααα为列构成的矩阵A,做初等变换112431124313612024311510610612243110046291124311243024310243100077000110028110203A a c a c Ba c a c ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦当a=2且c=3时, ,B 中第1.2.4列线性无关, 此时向量组的秩为3, 是一个极大无关组；当时, , B 中第1.2.3.4列线性无关, 此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组；当, , B 中第1.2、4、5列线性无关此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组.例5设向量组（1）的秩为3；向量组（2）的秩为4,证明:向量组的秩为4.证明: （要证明的秩为4, 可通过证明线性无关来得到想要的结论） 由向量组（2）的秩为4, 可知线性无关, 又由向量组（1）的秩为3, 可知线性相关, 从而可由线性表示, 即存在不全为零的常数, 使得, 不妨设, 将代入, 可得14112422343345()()()0k k l k k l k k l k αααα-+-+-+= 由于线性无关, 所以1412421234343400000k k l k k l k k k k k k l k -=⎧⎪-=⎪⇒====⎨-=⎪⎪=⎩故线性无关, 从而该向量组的秩为4.例6 设向量组的秩为r, , , , , 证明向量组12,,,m βββ的秩为r证明:(由推论等价的向量组有相同的秩, 此题只需证明两个向量组等价即可)由已知可由线性表示, 且有下式成立1212(1)()m m m βββααα+++=-+++从而,于是有, 即也可由, 故向量组与向量组等价, 从而他们的秩相等, 从而向量组的秩为r.。
107504-概率统计随机过程课件-第三章(第一,二节)
第三章二维随机变量引入二维随机变量目的、用处: 在第二章中,我们讨论了用一个随机变量描述试验结果以及随机变量的概率分布问题.但在实际和理论研究中,有许多随机试验,仅用一个随机变量描述不够用.需要引入二维、三维、n维随机变量描述其规律性.例如,对平面上的点目标进行射击,弹着点A的位置需要用横坐标X和纵坐标Y才能确定.由于X和Y 的取值都是随着试验结果而变化.因此X和Y都是随机变量, 弹着点A 的位置是)X.,(Y又如空中飞行的飞机(其重心)需要用三个随机变量Z,才能确X,Y定它的位置.等等.因此需要考虑多个随机变量及其取值规律问题.定义:设试验E 的样本空间为}{e S =,而)(e X X i i =是定义在}{e S =上的随机变量,n i ,,2,1⋅⋅⋅=,把n 个随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅构成的有序随机变量组),,,(21n X X X ⋅⋅⋅称为n 维随机变量(或n维随机向量);对任意实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，函数),,,(21nx x x F ⋅⋅⋅},,,{2211nn x X x X x X P ≤⋅⋅⋅≤≤= 称为n 维随机变量),,,(21n X X X ⋅⋅⋅的分布函数或称为n 个随机变量nX X X ,,,21⋅⋅⋅的联合分布函数.第一节 随机向量与联合分布一. 定义和基本性质定义1 设试验E 的样本空间为}{e S =,而)(),(e Y Y e X X ==是定义在}{e S =上的两个随机变量.称由这两个随机变量组成的向量),(Y X 为二维随机变量或二维随机向量.例如 掷两颗骰子,观察出现的点数.设X 为第一颗骰子出现的点数,Y 为第二颗骰子出现的点数,Y X ,为定义在}6,,2,1,|),{(⋅⋅⋅==j i j i S上的两个随机变量,),(Y X 为二维随机变量,它描述了掷两颗骰子出现的点数情况.对任意实数y x ,,随机事件})(,)(|{},{y e Y x e X S e y Y x X ≤≤∈=≤≤有概率.定义 2 设),(Y X 为二维随机变量, 对任意实数y x ,,二元函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=})(,)(|{y e Y x e X S e P ≤≤∈=,称为二维随机变量),(Y X 的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数.记},|),{(y v x u v u D ≤≤=，则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=}),{(D Y X P ∈=分布函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=的性质：),(y x F 的定义域+∞<<∞-x ，+∞<<∞-y ；（1）1),(0≤≤y x F ，且},{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F x F y y ≤≤==-∞-∞→-∞→ 0)(==φP ，0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞→-∞→y Y x X P y x F y F x x 0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞-∞→-∞→-∞→-∞→y Y x X P y x F F y x y x },{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F F y x y x ≤≤==+∞+∞+∞→+∞→+∞→+∞→ 1)(==S P ；（2）),(y x F 对x 或对y 单调不减，即 ),(),(2121y x F y x F x x ≤⇒<，（由},{},{21y Y x X y Y x X ≤≤⊂≤≤及概率的单调性），),(),(2121y x F y x F y y ≤⇒<；（3）),(y x F 对x 或对y 右连续，即有),(),(lim ),(0y x F y x x F y x F x =∆+=+→∆+，),(),(lim ),(0y x F y y x F y x F y =∆+=+→∆+； （4）对任意实数2121,y y x x <<有},{02121y Y y x X x P ≤<≤<≤ ),(),(),(),(12211122y x F y x F y x F y x F --+=， 事实上},{2121y Y y x X x ≤<≤<},{22y Y x X ≤≤= },({21y Y x X ≤≤-}),{121y Y x X x ≤≤<+，},{2121y Y y x X x P ≤<≤< },{22y Y x X P ≤≤= },{(21y Y x X P ≤≤-}),{121y Y x X x P ≤≤<+ )),(),((),(),(11122122y x F y x F y x F y x F ---= ),(),(),(),(12211122y x F y x F y x F y x F --+=.可以证明:凡满足上述性质)4(~)1(的二元函数),(y x F 必定是某个二维随机变量的分布函数.例1 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为)2arctan )(arctan (),(y c x b a y x F ++=, (1) 确定常数c b a ,,;(2) 求}0,0{>>Y X P .解(1) 利用分布函数的性质)2)(2(),(1ππ++=+∞+∞=c b a F , )2)(arctan (),(0π-+=-∞=c x b a x F ,由x 的任意性得,0)2(=-πc , 2π=c , )2arctan )(2(),(0y c b a y F +-=-∞=π,由y 的任意性得,0)2(=-πb , ,2π=b 从而21π=a ,2π=b ;(2) }0,0{}0,0{+∞<<+∞<<=>>Y X P Y X P)0,(),0()0,0(),(+∞-+∞-++∞+∞=F F F F4121212211222=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+=πππππππππ. 例2设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧>>--=--其它,00,0),)((),(2y x e b e a y x F y x , (1) 确定常数b a ,;(2) 求}2,0{≤>Y X P .解 (1) 利用分布函数的性质b a F ⋅=+∞+∞=),(1,))(1(),(lim ),0(00y x e b a y x F y F -→--===+, 由0>y 的任意性,得 1,01==-a a ,所以 1,1==b a ;(2)}2,0{}2,0{≤<-∞+∞<<=≤>Y X P Y X P),()2,0(),0()2,(-∞+∞---∞++∞=F F F F000)1(12----⋅=-e 21--=e .二. 二维离散型随机变量定义 3 若二维随机变量()Y X ,的所有取值为有限对或可列对⋅⋅⋅=,2,1,),,(j i y x j i ,则称()Y X ,是离散型随机变量.记{},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ijj i 称它为二维离散型随机变量()Y X ,的(概率)分布律,或称为X 和Y 的联合(概率)分布律.分布律的表示法:(1)公式法,(2)列表法.例如 随机变量()Y X ,的分布律为二维离散型随机变量()Y X ,的(概率)分布律具有下列基本性质:(1){},,2,1,,0, =≥===j i y Y x X P p ji ij (2)1,=∑j i ijp .利用分布律可计算概率定理 设()Y X ,的分布律为{},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ij j i则随机点()Y X ,落在平面上任一区域D 内的概率为∑∈=∈D y x ijj i p D Y X P ),(}),{(, 其中和式是对所有使D y x ji ∈),(的j i ,求和;特别有},{),(y Y x X P y x F ≤≤= }),{(D Y X P ∈=∑∈=D y x ijj i p ),(∑≤≤=y y x x ij j i p.例1 甲、乙两盒内均有3只晶体管,其中甲盒内有1只正品,2只次品; 乙盒内有2只正品,1只次品.第一次从甲盒内随机取出2只管子放入乙盒内; 第二次从乙盒内随机取出2只管子.以Y X ,分别表示第一、二次取出的正品管子的数目. 试求),(Y X 的分布律以及},),{(D Y X P ∈其中}2|),{(:22≥+y x y x D .解 根据题意知,X 的可能取值为0,1;Y 的可能取值为0,1,2.因此, ),(Y X 的可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2).),(Y X 是离散型随机变量.}0{=X 表示从甲盒内取出2只次品管子放入乙盒内,此时乙盒内有2只正品,3只次品,利用乘法公式可得}0|0{}0{}0,0{==⋅====X Y P X P Y X P30325232322=⋅=C C C C , }0|1{}0{}1,0{==⋅====X Y P X P Y X P3062513122322=⋅=C C C C C , }0|2{}0{}2,0{==⋅====X Y P X P Y X P30125222322=⋅=C C C C , }1{=X 表示从甲盒内取出1只正品和1只次品管子放入乙盒内,此时乙盒内有3只正品,2只次品,利用乘法公式可得}1|0{}1{}0,1{==⋅====X Y P X P Y X P3022522231211=⋅=C C C C C , }1|1{}1{}1,1{==⋅====X Y P X P Y X P3012251312231211=⋅=C C C C C C , }1|2{}1{}2,1{==⋅====X Y P X P Y X P3062523231211=⋅=C C C C C , 于是得),(Y X 的分布律为}),{(D Y X P ∈}2,0{===Y X P}2,1{}1,1{==+==+Y X P Y X P30193063012301=++= . 例2 某射手在射击中,每次击中目标的概率为)10(<<p p ,射击进行到第二次击中目标为止,X 表示第一次击中目标时所进行的射击次数, Y 表示第二次击中目标时所进行的射击次数,试求二维随机变量),(Y X 的分布律.解 设=kA 第k 次射击时击中目标, 根据题意,p A P k=)(,⋅⋅⋅=,2,1k , 且⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21kA A A 相互独立, jj i i i A A A A A A j Y i X 1111},{-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅===, 所以),(Y X 的分布律为},{j Y i X P ==)()()()()()(1111j j i i i A P A P A P A P A P A P -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=22)1(--=j p p ,1,,2,1-⋅⋅⋅=j i ;⋅⋅⋅=,3,2j .例 3 接连不断地掷一颗匀称的骰子,直到出现点数大于2为止, 以X 表示掷骰子的次数.以Y 表示最后一次掷出的点数.求二维随机变量),(Y X 的分布律.解 依题意知,X 的可能取值为⋅⋅⋅,3,2,1;Y 的可能取值为3,4,5,6 设=kB 第k 次掷时出1点或2点,=kj A 第k 次掷时出j 点, 则62)(=kB P ,61)(=kj A P , S A A A A B k k k k k =++++6543,===},{j Y i X “掷骰子i 次,最后一次掷出j 点,前)1(-i 次掷出1点或2点”ij i A B B 11-⋅⋅⋅=,(各次掷骰子出现的点数相互独立)于是),(Y X 的分布律为11)31(6161)62(},{--⋅=⋅===i i j Y i X P , ⋅⋅⋅=,2,1i ,6,5,4,3=j .(例如11)31(6161)62(}3,{--⋅=⋅===i j Y i X P )三. 二维连续型随机变量定义 4 设二维随机变量()Y X ,的分布函数为()y x F ,,若有非负可积函数()y x f ,,使得对任意实数y x ,,恒有()dudv v u f y x F y x⎰⎰∞-∞-=,),( ⎰⎰≤≤=yv x u dudv v u f ),( ,则称()Y X ,是二维连续型随机变量,称函数()y x f ,为连续型随机变量()Y X ,的概率密度, 或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度.()Y X ,的概率密度()y x f ,具有下列基本性质:(1) ()0,≥y x f , +∞<<∞-y x , ;(2) ()1),(,=+∞+∞=⎰⎰+∞∞-+∞∞-F dxdy y x f . 反之,可以证明,若二元函数()y x f ,满足上面两条基本性质,那么它一定是某个二维随机变量()Y X ,的概率密度.显然,如果概率密度()y x f ,在点()y x ,处连续,则有()y x f y x F ,2=∂∂∂ . 利用概率密度计算概率定理 设()Y X ,的概率密度为()y x f ,,则有(1)⎰⎰=≤<≤<b a d cdydx y x f d Y c b X a P ),(},{,(2)设D 为平面上任一区域, ⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{( .例 3 设二维随机变量()Y X ,具有概率密度⎩⎨⎧>≤≤=-其它,00,20,),(2y x ae y x f y, (1)确定常数a ;(2)求分布函数),(y x F ;(3)求}{X Y P ≤解（1）由概率密度的性质()dy ae dx dxdy y x f y⎰⎰⎰⎰+∞-+∞∞-+∞∞-==0220,1a a e a y =⋅=-=∞+-212|)21(202， 即得1=a ；（2）()dudv v u f y x F y x⎰⎰∞-∞-=,),( ， （A ）当0,20>≤≤y x 时，dv e du y x F y vx ⎰⎰-=020),()1(2|)21(202yy v e x e x ---=-= ， （B ）当0,2>>y x 时dv e du y x F y v⎰⎰-=0220),( )1(|)21(2202yy v e e ---=-=， （C ）当0<x 或0≤y 时，对y v x u ≤≤,有0),(=v u f ，()0,),(==⎰⎰∞-∞-dudv v u f y x F y x于是得所求分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->≤≤-=--其它,00,2),1(0,20),1(2),(22y x e y x e x y x F yy ；（3）设}|),{(x y y x D ≤=，}0,20|),{(1x y x y x D ≤≤≤≤=， }),{(}{D Y X P X Y P ∈=≤⎰⎰=D dxdy y x f ),(⎰⎰=1),(D dxdy y x f dx e dy e dx xx y )1(212200220---==⎰⎰⎰ )21212(21|)21(214202-+=+=--e e x x )3(414-+=e . 四. 常用的二维连续型随机变量有下面两种:(1)均匀分布若随机变量()Y X ,概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1,D y x A y x f ,其中A 为有界区域D 的面积.则称()Y X ,在区域D 上服从均匀分布. 记为())(~,D U Y X .(2)二维正态分布若随机变量()Y X ,概率密度为),(y x f 221121ρσπσ-=2112[)1(21exp{⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅σμρx 22112σμσμρ---y x ]}222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+σμy 其中ρσσμμ,,,,2121均为常数,且 +∞<<∞-1μ,+∞<<∞-2μ 1||,0,021<>>ρσσ,则称随机变量()Y X ,服从参数为ρσσμμ,,,,2121的二维正态分布,记作 );,;,(~),(222211ρσμσμN Y X . 上述五个参数的意义将在第五章中说明.第二节 边沿分布函数(或边缘分布函数)概念:设随机变量()Y X ,的分布函数为),(y x F ,分量X 的分布函数记为)(x F X ,称)(x F X 为()Y X ,关于X 的边沿分布函数; 分量Y 的分布函数记为)(y F Y , 称)(y F Y 为()Y X ,关于Y 的边沿分布函数.边沿分布函数的计算公式:},{}{)(+∞<≤=≤=Y x X P x X P x F X},{lim y Y x X P y ≤≤=+∞→ ),(lim y x F y +∞→=),(+∞=x F , },{}{)(y Y X P y Y P y F Y≤+∞<=≤= },{lim y Y x X P x ≤≤=+∞→),(lim y x F x +∞→= ),(y F +∞=.已知联合分布函数),(y x F ,可以计算出边沿分布函数)(),(y F x F Y X ;但由Y X ,的分布函数)(),(y F x F YX ,一般无法确定联合分布函数),(y x F .例1设二维随机变量()Y X ,的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->≤≤-=--其它,00,2),1(0,20),1(2),(22y x e y x e xy x F yy , 求()Y X ,关于X 和关于Y 的边沿分布函数.解 ()Y X ,关于X 的边沿分布函数)(x F X ),(lim ),(y x F x F y +∞→=+∞= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-≤≤=-<==-+∞→-+∞→+∞→2,1)1(lim 20,2)1(2lim 0,00lim 22x e x x e x x yy y y y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,2,0x x x x ;()Y X ,关于Y 的边沿分布函数)(y F Y ),(lim ),(y x F y F x +∞→=+∞= ⎩⎨⎧>-=-≤==--+∞→+∞→0,1)1(lim 0,00lim 22y e e y y y x x ⎩⎨⎧>-≤=-0,10,02y e y y.。
概率论与数理统计第三章笔记
概率论与数理统计第三章笔记好的，以下是为您生成的一篇“概率论与数理统计第三章笔记”，希望符合您的需求：---# 概率论与数理统计第三章笔记在学习概率论与数理统计这门课的时候，第三章的内容就像是一座神秘的城堡，充满了新奇和挑战。
这一章主要讲的是多维随机变量及其分布。
一开始，听到这个概念的时候，我的脑袋里就像是被塞进了一团乱麻。
不过，随着深入学习，我逐渐理清了其中的头绪。
先来说说多维随机变量的联合分布函数。
这玩意儿就像是一个神奇的魔法盒子，它能把多个随机变量的可能性都装在一起。
想象一下，有两个随机变量 X 和 Y，它们就像是两个调皮的小精灵，在一个大大的游乐场里到处乱跑。
而联合分布函数 F(x,y) 呢，就能告诉我们这两个小精灵同时出现在某个特定区域的概率。
比如说，X 表示今天的气温，Y 表示湿度，那 F(x,y) 就能告诉我们在气温为 x 度，湿度为 y 的情况下的可能性。
再讲讲多维离散型随机变量。
这可有意思啦！比如说，咱们来假设一个场景，有一家小杂货店，店里卖两种零食，薯片和巧克力。
每天来买零食的顾客人数是随机的，而且他们选择薯片或者巧克力的情况也是随机的。
我们把买薯片的人数设为 X，买巧克力的人数设为 Y。
那么 (X,Y) 就是一个二维离散型随机变量。
我们可以列出它们所有可能的取值以及对应的概率，就像是给这两个调皮的小家伙拍了一张张照片，记录下它们每一个瞬间的样子。
然后是多维连续型随机变量。
这就像是一条流淌不息的河流，没有明显的断点。
还是用上面那个杂货店的例子，不过这次假设每天的销售额是连续变化的。
销售额 X 受到很多因素的影响，比如客流量、顾客的购买欲望等等。
这时候，我们就得用概率密度函数 f(x,y) 来描述它。
想象一下，这个函数就像是一张地图，告诉我们销售额在不同区域的密集程度。
在学习边缘分布的时候，我可真是费了好大的劲。
边缘分布就像是从一个大蛋糕上切下来的一小块。
还是以杂货店为例，如果我们只关心买薯片的人数 X 的分布，不考虑巧克力的情况，那这就是 X 的边缘分布。
概率统计 第三章 连续型随机变量
（２）Ｙ：30个元件中寿命大于２万小时的 元件个数．则Ｙ服从的分布律为？
Ｙ～Ｂ（30,0.4060） Ｐ（Ｙ３）＝１－Ｐ（Ｙ＝０）－ Ｐ（Ｙ＝１）－Ｐ（Ｙ＝２）
４、正态分布
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特
别重要的地位。 B
A A，B间真实距离为，测量值为X。 X的概率密度应该是什么形态？
解：X～ （２，１），又（２）＝ （２－１）！＝１
1 2 1 x x x e xe x0 f ( x) (2) 0 x0
2
( X 2) 2 f ( x)dx 2 xe dx
x
xe
x 2
2 e dx 3e 0.4060
b
(3) 归一性
b
f ( x)dx 1 ＝
b a
事实上
f ( x)dx lim
b a a
f ( x)dx lim F (b) F (a) F () F () 1
0
(4) 若f(x)在x0处连续，则有 F ( x) x x f ( x0 ) (5) f(x)在x0处连续，且Δh充分小时,有
定义３．２．５若随机变量X的概率密度函数为
1 f ( x) 2
e
( x )2 2 2
x ,
（其中 ，为实数，>0）
则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为X～N(, 2)。
f(x)的图像为
正态分布密度函数f(x)的性质
(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称，即
概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量及其分布、随机变量的离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容。
以下是本章的总结:
1. 随机变量及其分布
第三章第一小节介绍了随机变量的定义和性质,并介绍了离散型和连续型随机变量的区别。
然后,章节第二小节介绍了随机变量的分布,其中包括概率分布、密度函数、期望和方差的计算方法。
这些内容对于理解随机变量的分布非常重要。
2. 随机变量的离散概率和连续概率
第三章第三小节介绍了随机变量的离散概率和连续概率。
离散概率讨论的是离散型随机变量在某一范围内的取值概率,而连续概率讨论的是连续型随机变量在某一区间内的概率。
这些概念对于理解随机变量的性质和分布非常重要。
3. 期望和方差的计算
第三章第四小节介绍了期望和方差的计算方法。
期望是指一个随机变量的平均值,可以通过计算各个取值的概率和总和来实现。
方差是指一个随机变量在各个取值之间的差异,可以通过计算各个取值的差值和总和来实现。
这些内容对于计算随机变量的期望和方差非常重要。
4. 贝叶斯统计学
第三章第五小节介绍了贝叶斯统计学的原理和应用。
贝叶斯统计
学可以用来预测未来事件的概率,也可以用于概率模型的建模和优化。
这些内容对于实际应用非常有帮助。
综上所述,概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量的分布、离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容,是学习概率论和统计学的重要基础。
《概率统计简明教程》(第3章-事件的概率)条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性、二项概率
这正好是第3列的第一个数字(需除以1000)。
《概率统计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事件的独立性
作业
• 习题二 12、14、15； • 习题三 1、3、4.
《概率统计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事件的独立性
复习：
第三章 事件概率与事件的独立性
在实际问题中，常需要计算在某个事件A已经
发生的条件下，另一个事件B发生的概率。 一般地，设A，B两个事件，以及P(A)>0， 称已知A发生条件下B发生的概率为B的条件概 率，记为P(B|A)。 通常，因为增加了“事件A已经发生”的条件，
所以P(B|A)≠P(B)。
《概率统计简明教程》第二版
解法二：条件概率法 由乘法公式，先求P(B|A)及P(A). 已知P(A)= 10/100 =0.1，而P(B|A)＝90/99，
因此, P(AB)＝ P(A)P(B|A)＝0.1*90/99≈0.091.
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第三章 事件概率与事件的独立性
例2（P20）生命表 生命表是人身保险精算的重要依据，下表是美国 1976年的部分生命表。
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第三章 事件概率与事件的独立性
第三章 事件的概率与事件的独立性
• 第一节 • 第二节 • 第三节 • 第四节 • 第五节
条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 事件的独立性 伯努利试验和二项概率
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第三章 事件概率与事件的独立性
第一节
条件概率
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第三章 事件概率与事件的独立性
例5(P22) ：设某工厂有两个车间生产同一型号家用电器， 第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12。两个 车间生产的成品混合堆放在一个仓库中，假设第一、二车 间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机 提一台产品，求该产品合格的概率。 (Ai 为B发生的可能原因).
《概率统计》第三章习题解答
1
可知，放回不放回都是
（2）由
0
1
2
3
1
3
可知边缘分布为
7． 设二维随机变量的概率密度为
，求边缘概率密度。
解：
1
1
2
1/2
1/2
1
2
3
1/3
1/3
1/3
1
2
3
4
1/4
1/4
1/4
1/4
13．在第9题中，（1）求条件概率密度 ，特别当=1/2时，的条件概率密度；（2）求条件概率密度，特别写出当=1/3 ，=1/2 时，的条件概率密度；（3）求条件概率。
5． 设随机变量的概率密度为
； （1）确定常数；
（2）求 ；（3）求； （4）求。
解：（1）由 可知；
（2）；
（3）；
（4）。
6．（1）求第1题中随机变量的边缘分布律；（2）求第2题中的随机变量的边缘分布律。
解：（1）由，
0
1
0
1
。
18．设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
，求随机变量的概率密度。
解：因为和相互独立，故 ，
则当时，，
当时，显然或，，故 ，
当时，
，
可知的概率密度为： 。
19．某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为： ，
设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周；（2）三周的需要量的概率密度。
解：（1） ，；
设两周的需要量为，当时
，故 。
（2）设为三周需要量，则=，当>0时，
《概率论与数理统计》第三章
§1 二维随机变量
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中
任取一件产品，取后不放回，令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
2e(2x y) , x 0，y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y)；2求P{X 2，Y 3}；
3求P(Y X )的概率
解： (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量（X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
《概率论与数理统计》三
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
概率统计各章节总结(1)
概率统计各章节总结(1)
概率统计各章节总结
概率统计是数学的一个分支，它研究随机事件的发生规律。
在实际生
活中，概率统计有着广泛的应用，如医学、金融、工程等领域。
以下
是对概率统计各章节的总结：
第一章：概率的基本概念
概率是描述随机事件发生的可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
而随机事件是指在实验和观察中，不确定性因素所引起的事件。
第二章：概率分布函数
概率分布函数是指离散或连续型随机变量取某个值或某个区间的概率。
常用的概率分布有二项分布、正态分布等。
第三章：随机变量与概率密度函数
随机变量是指随机事件的数值表示，概率密度函数是连续型随机变量
的概率分布函数。
它对应的图像为概率密度曲线。
第四章：多维随机变量及其概率分布
多维随机变量是指两个或两个以上的随机变量组成的随机变量，它们
的取值可以是一个向量。
多维随机变量的概率分布可用联合概率分布
来表示。
第五章：大数定律和中心极限定理
大数定律指的是随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值。
中心极限定理是指，样本均值的分布在n趋近于无穷大时逐渐趋近于正态分布。
第六章：参数估计
参数估计是利用样本数据来推断总体参数的方法。
它分为点估计和区间估计两种方法。
第七章：假设检验
假设检验是对总体参数是否符合我们提出的假设进行检验。
它分为单侧检验和双侧检验。
综上所述，概率统计的各章节涵盖面广，从概率的基本概念到假设检验，均有重要的理论和方法。
在实际生活和科学研究中，概率统计的应用和意义不可忽视。
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习题三解答1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .解 4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==3.04.06.05.01=+--=2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解 10789989981989910090910=⨯=⨯⨯⨯⨯=p .3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P (1) .327.058.019.0)()()|(===A P AB P A B P(2) 678.028.019.0)()()|(===B P AB P B A P .4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P =解 )(213.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====)(5.07.035.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==)(3.05.015.0)()()|(B P A P AB P A B P ====)(5.015.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。
求他最后可能迟到的概率。
解 =B {迟到}，=1A {坐火车}，=2A {坐船}，=3A {坐汽车}，=4A {乘飞机}，则 41==i iBA B ，且按题意25.0)|(1=A B P ，3.0)|(2=A B P ，1.0)|(3=A B P ，0)|(4=A B P .由全概率公式有：∑==⨯+⨯+⨯==41145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i iiA B P A P B P6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
求下列事件的概率：(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以70411482110621)|()()|()()(2211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 1272414)(==B P7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解 02.04.004.035.005.025.0⨯+⨯+⨯⨯%45.30345.0008.00140.00125.0==++=8．发报台分别以概率0.6，0.4发出""∙和""-，由于通信受到干扰，当发出""∙时，分别以概率0.8和0.2收到""∙和""-，同样，当发出信号""-时，分别以0.9和0.1的概率收到""-和""∙。
求(1) 收到信号""∙的概率；(2) 当收到""∙时，发出""∙的概率。
解 记 =B {收到信号""∙}，=A {发出信号""∙} (1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 52.004.048.01.04.08.06.0=+=⨯+⨯=(2) 131252.08.06.0)()|()()|(=⨯==B P A B P A P B A P .9．设某工厂有C B A ,,三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间C B A ,,生产的概率。
解 为方便计，记事件C B A ,,为C B A ,,车间生产的产品，事件=D {次品}，因此)|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++=02.04.004.035.005.025.0⨯+⨯+⨯=0345.0008.0014.00125.0=++=362.00345.005.025.0)()|()()|(=⨯==D P A D P A P D A P406.00345.004.035.0)()|()()|(=⨯==D P B D P B P D B P232.00345.002.04.0)()|()()|(=⨯==D P C D P C P D C P10．设A 与B 独立，且q B P p A P ==)(,)(，求下列事件的概率：)(B A P ，)(B A P ，)(B A P .解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()(pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()( pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()(11．已知B A ,独立，且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==，求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =，由独立性有)()()()(B P A P B P A P =从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P =再由 9/1)(=B A P ，有 2))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--==所以 3/1)(1=-A P 。
最后得到 .3/2)()(==A P B P12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解 记 =B {命中目标}，=1A {甲命中}，=2A {乙命中}，=3A {丙命中}，则 31==i iA B ，因而.989113121321)()()(11)(32131=-=⨯⨯-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==A P A P A P A P B P i i 13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p ，求这个装置通达的概率。
假定各个元件通达与否是相互独立的。
解 记 =A {通达}，=i A {元件i 通达}，6,5,4,3,2,1=i则 654321A A A A A A A =， 所以)()()()(654321A A P A A P A A P A P ++=)()()()(654321652165434321A A A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P +---642)1()1(3)1(3p p p -+---=14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解 0512.0)8.0()2.0(3523=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p . 15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解 104.0096.0008.0)2.0(8.023)2.0(3323=+=⨯⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p . 16．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .解 记=i A {A 在第i 次试验中出现}，.3,2,1=i )(A P p = 依假设332131)1(1)(12719p A A A P A P i i --=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==图3.1所以， 278)1(3=-p ， 此即 3/1=p .17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。
记 =i A {第i 道工序为次品}，.3,2,1=i 则次品率097.090307.0195.097.098.01)()()(132131≈-=⨯⨯-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==A P A P A P A P p i i18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。
解 记 =A {译出密码}， =i A {第i 人译出}，.3,2,1=i 则7075.02925.016.065.075.01)()()(1)(32131=-=⨯⨯-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==A P A P A P A P A P i i19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？解 (1) 256632151010=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ；(2) 10642110⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=k k .20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。